列主元消去法與全主元消去法

1、 山東省成人高等教育品牌專業(yè)網(wǎng)絡(luò)課程 計算方法Taishan University4 4 主元消去法主元消去法 4.1 列主元消去法與全主元消去法列主元消去法與全主元消去法 列主元消去法 考慮方程組（1.4），這里系數(shù)矩陣A是 n階非奇異矩陣，求解此線性方程組的列主元消去法的步驟如下： 從數(shù)值計算的角度來看，應該避免應用絕對值很小的元素作為主元。為了提高計算的數(shù)值穩(wěn)定性,在消元過程中采用選擇主元的方法.常采用的是列主元消去法和全主元消去法列主元消去法和全主元消去法. . 山東省成人高等教育品牌專業(yè)網(wǎng)絡(luò)課程 計算方法Taishan University 111111max0lii nlliAaa

2、aallllxa 11第一步取 的第一列諸元素中絕對值最大者作為主元，并將它調(diào)到第一行，即取滿足的作為主元，顯然，如有幾個 都滿足上式，則取最小的 ；交換方程組 1.4 中的第一個與第 個方程，其余不變，此即交換增廣矩陣 A b 的第一與第 行，得新矩陣記為 Ab。新方程組與 1.4 同解，且它的第一個約化主元比起第一列中其他元素有較大的絕對值。這時，消去系數(shù)所用的乘數(shù)因子111la 的絕對值不超過 ，因而在消元過程第一步中，舍入誤差的影響得以減弱。 山東省成人高等教育品牌專業(yè)網(wǎng)絡(luò)課程 計算方法Taishan University 11.1,kkkknnbxxxxx一般的，在做第k步消元之前，

3、通過方程交換將第k列主對角元素中絕對值最大者換到第k個方程，作為新的主元，它必定不等于零，將得到的增廣矩陣 A然后進行該步的消元運算，消去.同樣地，這時消去 系數(shù)的乘數(shù)因子必定有不超過 的絕對值。如此繼續(xù)進行下去，直到方程組 1.4 逐步約化為上三角形方程組為止，至此便完成整個消元過程。接著應用向后回代過程求得方程組 1.4 的解。 這個方法通常稱為按列選主元的高斯消去法，簡稱為列主元消去法列主元消去法。 山東省成人高等教育品牌專業(yè)網(wǎng)絡(luò)課程 計算方法Taishan University 例4.3 用列主元消去法求解線性方程組:1231231230.501.13.16.02.04.50.360.

4、0205.00.966.50.96xxxxxxxxx 山東省成人高等教育品牌專業(yè)網(wǎng)絡(luò)課程 計算方法Taishan University 2. 2. 用列主元Gauss消去法求解,消元過程為0.501.103.106.002.004.500.3600.0200.9606.500.9605.00130.9606.500.9602.004.500.3600.0200.501.103.106.05.0100rr選主元0.9606.500.96002.240.36401.002.455.0045.19.02消元 山東省成人高等教育品牌專業(yè)網(wǎng)絡(luò)課程 計算方法Taishan University0.9606

5、.500.96002.240.364002.994.1295.005. 9消元回代得: x3=2.00, x21.00, x1=-2.60 可見，列主元Gauss消去法是在每一步消元前,在主元所在的一列選取絕對值最大的元素作為主元素.002.60001.00001.001.0012 00.0. 0回代 山東省成人高等教育品牌專業(yè)網(wǎng)絡(luò)課程 計算方法Taishan University 全主元消去法全主元消去法 除了列主元消去法以外，常用的帶有選主元技巧的消去法還有全主元消去法，這種方法比起前一方法來舍入誤差的影響更小，因而往往能求得更為滿意的計算解。 還考慮問題（1.4），其系數(shù)矩陣A仍設(shè)為非奇

6、異的，全主元消去法首先選取系數(shù)矩陣A所有元素中絕對值最大者最為第1個主元，它顯然不是零。現(xiàn)設(shè)第I行與第J列的元素aIJ滿足：1,maxIJiji j naa 山東省成人高等教育品牌專業(yè)網(wǎng)絡(luò)課程 計算方法Taishan University1JAA bIxx交換 的增廣矩陣的第一行與第 行以及第一列與第J列，同時，將未知 與 交換一下次序。這樣我們便選出第一個主元。接著消去第一列中主元以下的系數(shù)。第二步也包括選取第二個主元與消元兩個步驟，其中第二個主元是在第一步消元后得到的新矩陣的后n-1行與列組成的主子陣中選取絕對值最大的元素，然后交換相應增廣矩陣的第二行和此主元所在的行以及第二列和此主元所在

7、的列，接著進行消元，如此進行下去，直到方程組系數(shù)矩陣變?yōu)樯先切尉仃嚍橹?。至此，便完成消元過程。在經(jīng)過回代過程便可求出方程組（1.4）的計算解。 山東省成人高等教育品牌專業(yè)網(wǎng)絡(luò)課程 計算方法Taishan University例例 4.5 4.5 用全主元法求解線性方程組用全主元法求解線性方程組2 . 421 . 0301045132321321321xxxxxxxxx 山東省成人高等教育品牌專業(yè)網(wǎng)絡(luò)課程 計算方法Taishan University消元行交換列交換消元行交換列交換18 . 05 . 01215 . 20541025 . 25 . 0015 . 08 . 0005410231

8、. 01112305410211 . 030104513213 , 23 , 22131232, 13 , 1123321bxxxbxxxbxxxbxxx 山東省成人高等教育品牌專業(yè)網(wǎng)絡(luò)課程 計算方法Taishan University312312123105401001.402.50.520101.2000.71.400121.221.4.xxxbxxxbxxx 回代消元因此，原方程組的計算解為，把這些數(shù)值代入原方程組可以驗證這是準確解。 山東省成人高等教育品牌專業(yè)網(wǎng)絡(luò)課程 計算方法Taishan University 上面兩種主元消去法一般地都能保證算法的穩(wěn)定性以及計算解有較好的精度，因而

9、它們都是求解線性方程組的有效地方法，但由于全主元消去法在第k步消元之前，需要在（n-k+1）2個元素中找出絕對值較大的元素，因而比起列主元消去法來要花費更多的機器運算的時間，所以實用上一般更多的傾向于采用列主元消去法。 山東省成人高等教育品牌專業(yè)網(wǎng)絡(luò)課程 計算方法Taishan University4.2 4.2 主元消去法與矩陣的三角分解主元消去法與矩陣的三角分解 在上述兩種帶有選主元技巧的消元過程中，涉及到三種關(guān)于矩陣的初等變換：一種是交換矩陣的兩行，一種是交換矩陣的兩列，最后一種是某行減去另一行的常數(shù)倍的變換。對于最后一種關(guān)于矩陣的初等變化我們已經(jīng)在本章2.1節(jié)中介紹過它的等價矩陣（2.2）.現(xiàn)在來討論余下的兩種變換的矩陣等價形式。 首先回憶一下置換矩陣的概念。凡是交換單位矩陣I若干行所得到的矩陣便稱為置換矩陣。特別的，我們將交換n階單位矩陣I的i,j兩行所得的置換矩陣記為Pij ,即 山東省成人高等教育品牌專業(yè)網(wǎng)絡(luò)課程 計算方法T