數(shù)學(xué)歸納法PPT課件

1、我是一毛我是二毛我是三毛我是誰？我不是四毛！我是小明！猜：四毛！第1頁/共36頁1. 了解數(shù)學(xué)推理的常用方法（歸納法）.2. 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及使用范圍.3. 初步掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論.4. 會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的等式問題. （重點(diǎn)、難點(diǎn)）第2頁/共36頁探究點(diǎn)探究點(diǎn) 數(shù)學(xué)歸納法的原理與定義數(shù)學(xué)歸納法的原理與定義問題1:口袋中有4個(gè)吃的東西，如何證明它們都是糖？ 把研究對象一一都考察到，而推出結(jié)論的歸納法把研究對象一一都考察到，而推出結(jié)論的歸納法. .完全歸納法 11211,.nnnnaaaaa 問問題題 ：對對于于數(shù)數(shù)列列若若（1 1）求出數(shù)列前）求出數(shù)列前4 4

2、項(xiàng)項(xiàng), ,你能得到什么猜想？你能得到什么猜想？（2 2）你的猜想一定是正確的嗎？）你的猜想一定是正確的嗎？第3頁/共36頁11a*)(1Nnnan猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為：猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為：212a 313a 解解: :414=a不完全歸納法從一類對象中的部分對從一類對象中的部分對象都具有某種性質(zhì)推出象都具有某種性質(zhì)推出這類對象全體都具有這這類對象全體都具有這種性質(zhì)的歸納推理方法種性質(zhì)的歸納推理方法919=a717=a818=a驗(yàn)證驗(yàn)證: :515=a616=a逐一驗(yàn)證，不可能！能否通過有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立？第4頁/共36頁數(shù)學(xué)歸納法與多米諾骨牌有怎樣的相似之處呢？數(shù)學(xué)歸

3、納法與多米諾骨牌有怎樣的相似之處呢？多米諾骨牌多米諾骨牌第5頁/共36頁數(shù)學(xué)歸納法的第一步：先證明數(shù)學(xué)歸納法的第一步：先證明n n取第一個(gè)值時(shí)命題成取第一個(gè)值時(shí)命題成立立. .相當(dāng)于多米諾骨牌開始倒的第一張相當(dāng)于多米諾骨牌開始倒的第一張. .數(shù)學(xué)歸納法的第二步：假設(shè)當(dāng)數(shù)學(xué)歸納法的第二步：假設(shè)當(dāng)n=kn=k時(shí)命題成立，時(shí)命題成立，并證明當(dāng)并證明當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)命題也成立時(shí)命題也成立. .相當(dāng)于多米諾骨牌第相當(dāng)于多米諾骨牌第k k張倒后第張倒后第k+1k+1張是否也會跟著張是否也會跟著倒倒. .第6頁/共36頁1.1.第幾塊骨牌，數(shù)列第幾項(xiàng)都是與正整數(shù)有關(guān)的問題第幾塊骨牌，數(shù)列第幾項(xiàng)都是與

4、正整數(shù)有關(guān)的問題. .2.2.共同點(diǎn)是任意前一個(gè)的情況都可以推出后一個(gè)的情共同點(diǎn)是任意前一個(gè)的情況都可以推出后一個(gè)的情況況. . 多米諾骨牌與我們要解決的問題2有相似性嗎？相似性體現(xiàn)在哪些方面呢？ 上述上述2 2，事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系，換言之就，事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系，換言之就是假設(shè)第是假設(shè)第k k塊倒下，則相鄰的第塊倒下，則相鄰的第k+1k+1塊也倒下塊也倒下. .第7頁/共36頁 你能類比多米諾骨牌游戲牌全倒條件，證明上述問題2猜想的結(jié)論嗎？猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為.1nan證明證明: : (1)(1)當(dāng)當(dāng),1時(shí)=n猜想成立猜想成立. .,1111=a(2)(2),猜

5、想成立時(shí)假設(shè)當(dāng)kn .1kak即那么那么, ,當(dāng)當(dāng),1時(shí)+= kn=+kkaa1=+kk11111+k.,1猜想也成立時(shí)即當(dāng) kn=+1ka根據(jù)根據(jù)(1)和和(2)，猜想對于任何，猜想對于任何 都成立都成立.*Nn第8頁/共36頁 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：1.1.（歸納奠基（歸納奠基) )證明當(dāng)證明當(dāng)n n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n n0 0( (n n0 0 N N* *) )時(shí)命題時(shí)命題成立成立. .2.2.（歸納遞推）假設(shè)當(dāng)（歸納遞推）假設(shè)當(dāng)n=k(n=k(knkn0 0，k k N N* *) )時(shí)命題成立，時(shí)命題成立，證明當(dāng)證明當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)

6、命題也成立時(shí)命題也成立. . 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對于從只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對于從n n0 0開始的所有正整數(shù)開始的所有正整數(shù)n n都成立都成立. .這種證明方法叫做這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法. .第9頁/共36頁若n = k ( k n0) 時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成立. 驗(yàn)證n=n0時(shí)命題成立.命題對從命題對從n n0 0開始所有開始所有的正整數(shù)的正整數(shù)n 都成立都成立.歸納奠基歸納奠基歸納遞推歸納遞推數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法：兩個(gè)步驟 一個(gè)結(jié)論缺一不可第10頁/共36頁已知三角形內(nèi)角和為已知三角形內(nèi)角和為180180，四邊形的內(nèi)角和為四邊形的

7、內(nèi)角和為360360，五邊形的內(nèi)角和為，五邊形的內(nèi)角和為540540，于是有：凸，于是有：凸n n邊邊形的內(nèi)角和為形的內(nèi)角和為(n-2)180(n-2)180，若用數(shù)學(xué)歸納法證，若用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步驗(yàn)證明，第一步驗(yàn)證n n取第一個(gè)正整數(shù)時(shí)命題成立，則取第一個(gè)正整數(shù)時(shí)命題成立，則第一個(gè)正整數(shù)取值為第一個(gè)正整數(shù)取值為_3【即時(shí)訓(xùn)練即時(shí)訓(xùn)練】第11頁/共36頁例例1 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明).(6) 12)(1(321*2222Nnnnnn證明：證明： （1）當(dāng)）當(dāng)n=1時(shí)，時(shí)， 左邊左邊=12=1,右邊右邊=1 等式成立等式成立(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k( )時(shí)等式成立時(shí)等式成立

8、,即即.6) 12)(1(3212222kkkk那么那么,當(dāng)當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)22222) 1(321+kk2) 1(6) 12)(1(kkkk6) 1(6) 12)(1(2+=kkkkkN*第12頁/共36頁6)672)(1(2+=kkk6)32)(2)(1(+=kkk.6 1) 1(21) 1)(1(kkk即當(dāng)即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立時(shí)等式也成立.根據(jù)根據(jù)(1)和和(2),可知等式對任何可知等式對任何 都成立都成立.*Nn第13頁/共36頁用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 13(2n-1)3(2n-1)時(shí)，在證

9、明時(shí)，在證明n=k+1n=k+1時(shí)：左邊代數(shù)式時(shí)：左邊代數(shù)式為為 ，共有共有 項(xiàng)，從項(xiàng)，從k k到到k+1k+1左邊需要增乘的代左邊需要增乘的代數(shù)式為數(shù)式為_. _. (k+1)+1(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+(k+1)(k+1)+2(k+1)+(k+1)k+1k+12 2（2 2k k+ +1 1) )【變式練習(xí)】第14頁/共36頁即即n=k+1n=k+1時(shí)等式成立時(shí)等式成立. .所以等式對一切自然數(shù)所以等式對一切自然數(shù) 均成立均成立. .nN【總結(jié)提升】問題問題1 1：甲同學(xué)猜想：甲同學(xué)猜想 用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟如下：用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟如下：1125312nn證明：證明：假設(shè)

10、假設(shè)n=kn=k時(shí)等式成立，即時(shí)等式成立，即21 3 5(23)(21)1 kkk那么那么1 35(21)(21) kk221(21)(1)1kkk 上述證法是正確的嗎？為什么？上述證法是正確的嗎？為什么？第15頁/共36頁2135(23)(21)1上上 述述 證證 明明 是是 錯(cuò)錯(cuò) 誤誤 的的 , ,事事 實(shí)實(shí) 上上 命命 題題本本 身身 是是 錯(cuò)錯(cuò) 誤誤 的的當(dāng)當(dāng) n n = = 1 1時(shí)時(shí) , ,左左 邊邊 = = 1 1, ,右右 邊邊 = = 0 0左左 邊邊 右右 邊邊nnn 結(jié)論結(jié)論1 1：第一步是遞推的基礎(chǔ)，缺少了第一步就失第一步是遞推的基礎(chǔ)，缺少了第一步就失去了保證，不要誤認(rèn)

11、為第一步是一個(gè)簡單的驗(yàn)證，去了保證，不要誤認(rèn)為第一步是一個(gè)簡單的驗(yàn)證，可有可無可有可無. .第16頁/共36頁問題問題2 2：乙同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明：乙同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明如采用下面證法，對嗎？為什么？如采用下面證法，對嗎？為什么？212531nn11,.n （1 1）當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 左左邊邊證證：右右邊邊明明 21321.nkkk（2 2）假假設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，等等式式成成立立，即即1nk則則時(shí)時(shí)， 21121132112kkkk1.nk即即時(shí)時(shí)等等式式也也成成立立.nN 根根據(jù)據(jù)(1)(1)和和（2 2），可可知知等等式式對對任任何何都都成成立立結(jié)論結(jié)論2 2：在第二步中在第二步中, ,證明證明n=

12、k+1n=k+1命題成立時(shí)命題成立時(shí), ,必須用到必須用到n=kn=k命題成立這一歸納假設(shè)命題成立這一歸納假設(shè), ,否則就打破數(shù)學(xué)歸納法步否則就打破數(shù)學(xué)歸納法步驟之間的邏輯嚴(yán)密關(guān)系驟之間的邏輯嚴(yán)密關(guān)系, ,造成推理無效造成推理無效. . 22135(21)(21)(21)1kkkkk 上 述 證 明 沒 有 用 到 n=k命 題 成 立 這 一 歸 納 假 設(shè)正 解 ：第17頁/共36頁 計(jì)算S1，S2，S3，S4，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.) 13)(23(1nn例例2 2 已知數(shù)列已知數(shù)列4117411071，解：解： 1031071

13、72;7274141;414114321SSSS第18頁/共36頁 可以看到，上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分可以看到，上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項(xiàng)數(shù)子與項(xiàng)數(shù)n n一致，分母可用項(xiàng)數(shù)一致，分母可用項(xiàng)數(shù)n n表示為表示為3n+1,3n+1,于是于是可以猜想可以猜想.13 nnSn 下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想. .(1)當(dāng)n=1時(shí)，114S左左邊邊，11313 1 14nn 右右邊邊，猜想成立猜想成立. .第19頁/共36頁1,kkN（）(2)假設(shè)n=k 時(shí), 猜想成立，即11111 44 77 1032)(31)31kkkk（那么111111 44 77

14、1032)(31)31)(34)kkkk（所以，當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也成立.)43)(13(113kkkk)43)(13(1432kkkk 對對* *根根據(jù)據(jù)(1)和(1)和(2)，(2)，可可知知猜猜想想任任何何nN 都nN 都成成立立. .第20頁/共36頁證明: (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊= , 212111)1(1321211kkkk(2)假設(shè)n=k(kN*)時(shí)原等式成立 ，即21111右邊= 此時(shí)，原等式成立. *111n(nN ).1 22 3n (n1)n1證明：【變式練習(xí)】第21頁/共36頁11111223(1)(1) (2)111(1)(2)(1)1kkkkkkkkkk那么n=k

15、+1時(shí),這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.由 (1)(2)知,對一切正整數(shù)n,原等式均正確. 第22頁/共36頁例例3 3 求證求證: :( (n+1)(n+2)(n+n)=2n+1)(n+2)(n+n)=2n n 1 3 (2n-1) 1 3 (2n-1)第23頁/共36頁證明：證明：【解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵】第一步驗(yàn)證第一步驗(yàn)證n n取第一個(gè)正整數(shù)取第一個(gè)正整數(shù)1 1時(shí)等式成時(shí)等式成立，第二步假定立，第二步假定n=k(kNn=k(kN* *) )時(shí)命題成立，再推證時(shí)命題成立，再推證n=k+1n=k+1時(shí)成立時(shí)成立. .*111n.(n N )1 3 3 52n 1 2n 12n 1【變式練習(xí)

16、】【證明證明】(1)(1)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊= = 右邊右邊= =左邊左邊= =右邊，所以等式成立右邊，所以等式成立111 33，11,2 1 13 第24頁/共36頁(2)(2)假設(shè)假設(shè)n=k(k1)n=k(k1)時(shí)等式成立，即有時(shí)等式成立，即有所以當(dāng)所以當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，等式也成立時(shí)，等式也成立由由(1)(1)、(2)(2)可知，對一切可知，對一切nNnN* *等式都成立等式都成立 2111k1 3 3 52k 1 2k 12k 11111n k 11 3 3 52k 1 2k 12k 1 (2k 3)k 2k 31k12k 12k 1 2k 32k 1 (2k 3)

17、2k3k 1k 1k 12k 1 2k 32k 32 k 11 ，則當(dāng)時(shí)，第25頁/共36頁1.(20151.(2015南陽高二檢測南陽高二檢測) )命題命題P(n)P(n)滿足：若滿足：若n=k(kNn=k(kN* *) )成立，則成立，則n=k+1n=k+1成立，下面說法正確的是成立，下面說法正確的是( () )A.P(6)A.P(6)成立則成立則P(5)P(5)成立成立B.P(6)B.P(6)成立則成立則P(4)P(4)成立成立C.P(4)C.P(4)成立則成立則P(6)P(6)成立成立D.D.對所有正整數(shù)對所有正整數(shù)n n，P(n)P(n)都成立都成立【解析解析】選選C.C.由題意知，

18、由題意知，P(4)P(4)成立，則成立，則P(5)P(5)成立，若成立，若P(5)P(5)成立，則成立，則P(6)P(6)成立，所以成立，所以P(4)P(4)成立，則成立，則P(6)P(6)成立成立. .C第26頁/共36頁2.2.下面四個(gè)判斷中，正確的是下面四個(gè)判斷中，正確的是( () )A.A.式子式子1+k+k2+kn(nN1+k+k2+kn(nN* *) )中，當(dāng)中，當(dāng)n=1n=1時(shí)，式子的值為時(shí)，式子的值為1 1B.B.式子式子1+k+k2+kn-1(nN1+k+k2+kn-1(nN* *) )中，當(dāng)中，當(dāng)n=1n=1時(shí)，式子的值為時(shí)，式子的值為1+k1+kC.C.式子式子 (nN(

19、nN* *) )中，當(dāng)中，當(dāng)n=1n=1時(shí)，式子的時(shí)，式子的值為值為D.D.設(shè)設(shè)f(x)= (nNf(x)= (nN* *) )，則，則f(k+1)=f(k)+f(k+1)=f(k)+1 1112 32n 1 1 112 3 111n 1 n 23n 11113k 2 3k 3 3k 4C第27頁/共36頁3.3.用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+21+2+22 2+2+2n+1n+1=2=2n+2n+2-1(nN-1(nN* *) )的過程中，在驗(yàn)證的過程中，在驗(yàn)證n=1n=1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為 ( () )A.1 B.1+2A.1 B.1+2C.1+2+2C

20、.1+2+22 2 D.1+2+2 D.1+2+22 2+2+23 3C第28頁/共36頁第29頁/共36頁4n13n第30頁/共36頁 5. 5.是否存在常數(shù)是否存在常數(shù)a a、b,b,使得等式使得等式: : 對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)n n都成立都成立, ,并證明你的結(jié)論并證明你的結(jié)論. .2 22 22 22 21 12 2n na an n + + n n+ + + + += =1 1 3 33 3 5 5( (2 2n n - -1 1) )( (2 2n n + +1 1) )b bn n + + 2 2點(diǎn)撥點(diǎn)撥: :對這種類型的題目對這種類型的題目, ,一般先利用一般先利用n n的

21、特殊值的特殊值, ,探探求出待定系數(shù)求出待定系數(shù), ,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明它對一切正然后用數(shù)學(xué)歸納法證明它對一切正整數(shù)整數(shù)n n都成立都成立. .第31頁/共36頁(2)(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=kn=k時(shí)結(jié)論正確時(shí)結(jié)論正確, ,即即: :2 22 22 22 21 12 2k kk k+ + k k+ + + + += =. .1 1 3 33 3 5 5( (2 2k k - - 1 1) )( (2 2k k + + 1 1) )4 4k k + + 2 2(1)(1)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)時(shí), ,由上面解法知結(jié)論正確由上面解法知結(jié)論正確. .解解: :令令n=1,2,n=1,2,并整理得并整理

22、得311,.10324 a baabb所以以下用數(shù)學(xué)歸納法證明以下用數(shù)學(xué)歸納法證明: :2222*12()1 33 5(21)(21)42.nnnnNnnn第32頁/共36頁則當(dāng)則當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)時(shí), ,2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 21 12 2k k( (k k + +1 1) )+ + + + + +1 1 3 33 3 5 5( (2 2k k1 1) )( (2 2k k + +1 1) )( (2 2k k + +1 1) )( (2 2k k + + 3 3) )k k + + k k( (k k + +1 1) )k k( (k k + +1 1) )( (2 2k k + + 3 3)