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1、電源學(xué)會第二十一屆學(xué)術(shù)年會集分?jǐn)?shù)階元件對 CCMBuck 變換器特性影響，丘東元（華南理工大學(xué)電力學(xué)院, 廣州 510641）摘要：現(xiàn)實中都是將實際性質(zhì)為分?jǐn)?shù)階的電感近似成整數(shù)階電感進(jìn)行理論分析，而無法體現(xiàn)出分?jǐn)?shù)階特性的實際電感功能，因此在理論研究中有必要建立準(zhǔn)確的分?jǐn)?shù)階電感模型。本文建立了分?jǐn)?shù)階電感模型并將其代入到工作于連續(xù)導(dǎo)通模式的 Buck 變換器中，從而列出電路的分?jǐn)?shù)階狀態(tài)方程，分形結(jié)構(gòu)的電極表面面積、不同的電解液出了0.59 階、0.42 階等不同的分?jǐn)?shù)階電容12，所以無論從理論還是實驗都可以證明分?jǐn)?shù)階器件的性及其正確性。文獻(xiàn)9建立了 CCMBoost 分?jǐn)?shù)階狀態(tài)平均模型，推導(dǎo)得狀態(tài)

2、變量的表，通過數(shù)值仿推導(dǎo)出其狀態(tài)變量的表，分析研究階數(shù)對變換器的影響。真進(jìn)行對比驗證，但是缺少電路的結(jié)果。文獻(xiàn)同時利用Oustaloup 算法逼近分?jǐn)?shù)階算子，運用電感、電阻10建立了 PCCMBoost 分?jǐn)?shù)階狀態(tài)平均模型，構(gòu)造出 0.8 階分?jǐn)?shù)階電感、電容，得到電感電流和電容構(gòu)造出分?jǐn)?shù)階電感，最后對該構(gòu)造進(jìn)行。：分?jǐn)?shù)階電感；CCM Buck；Oustaloup；狀態(tài)變量1 引言現(xiàn)實世界中所應(yīng)用的電感特性都認(rèn)為其電感電壓的電路波形，分析了分?jǐn)?shù)階數(shù)對電感電流和輸出電壓傳遞函數(shù)的影響，但是其電路元件參數(shù)比較特殊無法進(jìn)行實驗驗證。文獻(xiàn)14 建立了DCMBuck 分?jǐn)?shù)階小信號模型，推導(dǎo)得分別以輸入電壓

3、和占空比為輸入、電容電壓為輸出的傳遞函數(shù)電流成整數(shù)階微積分，但很多事實表明其兩端電壓和電流實際是成分?jǐn)?shù)階微積分，因此整數(shù)階電感和電容事實上是不的，只是在實際以及輸入、輸出阻抗，但沒有對數(shù)學(xué)式進(jìn)行仿應(yīng)用的過程中將它近似成整數(shù)階。實際按照整數(shù)階微積分所構(gòu)造的模型在理論上都會有一定的誤差，真，對構(gòu)造出的分?jǐn)?shù)階電感和分?jǐn)?shù)階電容也未在Buck 變換中進(jìn)行驗證。文獻(xiàn)15建立了 CCMBuck分?jǐn)?shù)階小信號模型，利用 Oustaloup 算法構(gòu)造出了所以按照整數(shù)階模型來構(gòu)造的結(jié)果與實驗電路總誤差。0.8 階鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)電感和電容，并對其進(jìn)行了驗對于分?jǐn)?shù)階電感和電容的無源構(gòu)造已有很長證其近似度，但未將構(gòu)造出的分?jǐn)?shù)階

4、電感代入到Buck 變換器中進(jìn)行理論驗證。為了豐富分?jǐn)?shù)階 DC-DC 變換器的研究內(nèi)容， 本文以 Buck 變換器為研究對象，建立了分?jǐn)?shù)階的發(fā)展歷史，現(xiàn)有主要有連分式法、二項展開法、正則過程、Oustaloup 等，在一定的誤差內(nèi)能構(gòu)造出特定階數(shù)或任意階數(shù)的分?jǐn)?shù)階電感 和電容2-4。連分式法是將理想分抗的有理分式函數(shù) 進(jìn)行輾轉(zhuǎn)相除形成連分式函數(shù)，從而得到依次串聯(lián)、并聯(lián)的電路網(wǎng)絡(luò)，但僅適用于 1/2n 階次，而且對于n>1 的階次需要用到之前構(gòu)造的 1/2n-1 階次的近似電路，每次迭代模擬網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的階次只增加一次， 效率不高。二項展開法對不等式取極限并將其轉(zhuǎn)換為矩陣的形式，每次可求得多個

5、階次的近似分抗， 無須迭代，其所取不等式的收斂域即為逼近頻段。正則過程通過 迭代求解方程 0 解得變量 x，每次迭代函數(shù)階次成倍數(shù)增長，迭代效率較高，但是僅能實現(xiàn) 1/n 階次，有待進(jìn)一步擴(kuò)展。一些特殊的拓?fù)潆娐芬材軐崿F(xiàn)特定階數(shù)的電感或Buck 變換器的狀態(tài)平均模型，利用小信號分離出直流量和小信號量推導(dǎo)出了電感電流的直流量和交流量的表，給出了臨界連續(xù)的條件，構(gòu)造了 0.7 階的分?jǐn)?shù)階電感，并用 Simulink 進(jìn)行了電路。2Buck 變換器的分?jǐn)?shù)階建模2.1分?jǐn)?shù)階 Buck 變換器建模分?jǐn)?shù)階器件電壓電流分式如下：da iv = LL ,(1)Ldta其中，iL 分別是流過電感和電容的電流，v

6、L、vo 分別是電感和電容兩端的電壓，分?jǐn)?shù)階電感和分?jǐn)?shù)階電容的值分別為 L，電壓電流為關(guān)聯(lián)方向，階數(shù) 0<<1。Buck 變換器電路原理圖如圖 1 所示，Pw 為開關(guān) S 的脈沖信號，周期為 T。Buck 變換器兩不夠系統(tǒng)。早在 90 年電容，但是這樣的構(gòu)造代Westerlund 等人已經(jīng)通過實驗測定了在不解質(zhì)情況下分?jǐn)?shù)階電容的階數(shù)，Jesus 等通過選擇不同基金項目：自然科學(xué)基金重點項目資助 514370051255電源學(xué)會第二十一屆學(xué)術(shù)年會集種工作模態(tài)下的狀態(tài)方程如下：工作模態(tài) 1（0<t<dT）d = 0, v = 0 。in綜上，可得電路的狀態(tài)方程為daiv -

7、 v= inoL Ldtaé d a iù(2)éù1LêL ú-é d ù0ú = êú é iL ù + êdtaúê(9)ê1ú êúvê L úë0 ûê d vúindviv1ê ú êëúûv- o = L - o dtCRCoêo (3)ú

8、34;ë CCR úûë dtû工作模態(tài) 2（dT <t<T）將(8)式代入(10)式進(jìn)行直流分量分離后，可得é da I ùLé 0- D ùdaivé D ùêúêú éIL ù L = - o dta(4)Lêúêú = ê1+Vdtaú êV(10)LLúêúinê dVo ú1ê

9、;ú ë o û-ë0ûêëúûêë CCR úûdtdviv o = L - o dtCRC(5)由 Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義可知，常數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為零，從而可得電壓和電流的直流分量分別為，顯然，CCMBuck 變換器狀態(tài)方程與電感的階數(shù) 密切相關(guān)，利用狀態(tài)平均法將上述兩種狀態(tài)下= Vo R(11)I = ILo的方程組起來形成一個方程組，同時也可消去Buck 變換器中與開關(guān)頻率相關(guān)的高頻開關(guān)紋波。其表達(dá)形式如下，V = D×V(12)oin分離式(

10、10)的小信號變量，并忽略高階無窮小量可得1 t +T ò=xdt ,Tx(6)tì da iDv + dV - vïL =inino ï dtaLLí(13)aiSiï dvoïî dt1 i1inL=-vioLoCCRPw根據(jù) Caputo 分?jǐn)?shù)階微積分的定義，結(jié)合狀態(tài)方程計算出電感電流 iL 在(0,dT)內(nèi)的增加量，即電感的紋波電流為9-10DCvoRvindTv1G(a) ò(t -t )a-1dtD i=inLL0(14)圖 1 Buck 變換器的電路原理圖v (1- d)(dT )a=inL

11、a × G(a)x 可表示電路中任一變量。將電路中各狀態(tài)平均量分解為直流量和交流分量的和，即將式（7）代入到上式，并忽略高階小量，得= Vin + vin ,vinV (1- D)(DT )aDi= in(15)vo = Vo + vo ,LLa ×G(a )(7)i= I + i ,LLLd = D + d .流分量遠(yuǎn)小于直流分量，即其中 ()=(-1)!為函數(shù)。從而，電感的紋波電流不僅與占空比 d、電感 L、輸入電壓 Vin、開關(guān)周期 T 有關(guān)，還與電感 L 的分?jǐn)?shù)階階數(shù) 相關(guān)。且上式是關(guān)于 的單調(diào)遞減函數(shù)。當(dāng) =1 時，它的紋波電流最小。由電感的紋波電流和直流量可求得

12、其最值電流為其v V ,ininv V ,oo(8)iI , LLD .dVV (1- d )(dT )ad 1i= I + Di= in + in(16)L maxLL2LaG(a )2R其中，輸入電壓和占空比的交流分量認(rèn)為1256電源學(xué)會第二十一屆學(xué)術(shù)年會集了濾波階數(shù)而導(dǎo)致低通截止頻率增加，延長了通頻帶的寬度，同時分?jǐn)?shù)階過渡帶的斜率小于整數(shù)階的斜率。DVV (1 - D)(DT )a1i= I -Di=in - in(17)2La × G(a )L minLL2R50顯然，階數(shù)影響直流量，只會改變其紋波量13。為了使得 Buck 變換器運行于電感電流連續(xù)模式，電感電流的直流量必須

13、大于其紋波電流的一半，即0-50d(1- d)(dT )a³-100(18)10-5100f/Hz105R2LaG(a)0因此，Buck 變換器是否處于電感電流連續(xù)模式不僅與負(fù)載電阻 R、電感 L、開關(guān)周期 T、占空比 d 有關(guān)，還要考慮電感 L 的分?jǐn)?shù)階階數(shù) 。當(dāng)電感的分?jǐn)?shù)階階數(shù) 越大，變換器連續(xù)模式下的元件參數(shù)越容易選取。-50-100-5051010f/Hz(a)102.2 電感階數(shù)對傳遞函數(shù)的影響實際電路中輸入電壓和電力器件的開關(guān)50信號都有擾動，為研究在加入分?jǐn)?shù)階電感后該0擾動對電感電流波形的影響，利用疊加法通過變換求取電感電流的傳遞函數(shù)對應(yīng)的-50，-100輸入電壓到電感

14、電流所對應(yīng)的可得電感電流和輸出電壓的2。由式（14）變換，=0.7=1-150-200010-5100105Dv (s) + d (s)Vf/Hz=i (s) inin(19)LRLsa +-50sRC + 1令占空比小信號為零，求得輸入電壓到電感電流的傳遞函數(shù)，-100-150=0.7=1i (s) D(sC + 1 / R) LCsa +1 + Lsa / R + 1-200-505G (s) = L=(20)10f/Hz 10(b)10ivv (s) d ( s)=0in令輸入電壓小信號為零，求得占空比到電感電流的傳遞函數(shù)，圖 2 (a) Giv(s)的(b) Gvv(s)的i (s)

15、3 Buck 變換器的分?jǐn)?shù)階模型的3.1 分?jǐn)?shù)階微分算子的近似實驗Vin (sC + 1 / R) LCsa +1 + Lsa / R + 1G (s) = L=(21)vin ( s )=0idd(s) 在中，列出了Buck 變換器的狀態(tài)方程，同理可得輸入電壓、占空比到輸出電壓的傳遞函數(shù)為，結(jié)合分?jǐn)?shù)階微積分原理解得電路電感電流紋波的表。為了驗證上述理論分析的正確性，首(s) = vo (s) DLCs1+a + Lsa / R + 1=先要構(gòu)造出分?jǐn)?shù)階電感。由于分?jǐn)?shù)階微積分計算復(fù)雜，而在 S 域中只要將分?jǐn)?shù)階算子轉(zhuǎn)化成整數(shù)階算子即可。這里采用 Oustaloup 算法來近似分?jǐn)?shù)階微分算子，其

16、表達(dá)形式為，G(22)vvd( s)=0v (s) in(s) = vo (s) Vin+ Lsa / R + 1=G(23)vdd(s) vin ( s)=0LCs1+as + wk¢NÕk =- Nas » K(24)由圖 2 可知，由于有了分?jǐn)?shù)階電感的加入降低s + wk1257Phase/(°)Magnitude/dBPhase/(°)Magnitude/dB=0.7=1=0.7=1電源學(xué)會第二十一屆學(xué)術(shù)年會集L=1 mH 的電感，并將其代入到 Buck 變換器中進(jìn)行w¢ìïïNK = (w)-a

17、 /2 Õ k / w電路制，將所得分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階電感電流繪hbwk =- Nk5 中。對比電感電流的理論計算值和電路仿ïK + N +(1+a )/ 2 2 N +1= wb (wh / wb )íwk(25)真所得電感電流的紋波量和直流量是相等的。顯然， 分?jǐn)?shù)階電感會造成電路紋波電流顯著增加，該分?jǐn)?shù)階電感具有 10 條支路，每條支路都包含一個整數(shù)階電感，相當(dāng)于每條支路的紋波電流匯集成了分?jǐn)?shù)階電感的總紋波。實際中的電感階數(shù)都是非常接近ïK + N +(1-a )/ 2 2 N +1ïwk¢ = wb (wh / wb )ï

18、î上式各參數(shù)值設(shè)置在表格 1 中，圖3 對應(yīng)的Oustaloup 函數(shù)的。由圖 3 可知，Oustaloup于 1 的，在理論計算和電路方正默認(rèn)為是函數(shù)在指定的擬合頻段內(nèi)幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)都整數(shù)階，所以必然會一定的理論誤差，因此在能夠很貼合理想曲線，在其他頻段幅頻響應(yīng)趨選擇開關(guān)器件以及決定其工作模式器件的閥值留有一定的裕量。應(yīng)對所選于飽和形成一條直線，同時其相位也大幅衰減。200Oustaloup Theoretic0RRRRRRRRRRL1L 2L3L 4L5L6L 7L8L9L10Lsa -20080604020010-5100105LLLLLLLLLL12345678910Ou

19、staloup Theoretic圖 4 分?jǐn)?shù)階電感的近似電路-5051010105分?jǐn)?shù)階整數(shù)階圖 3Oustaloup 函數(shù)的表 1 電路參數(shù)4.5L1mh40.73.5C100FVin5V30.10.1001t/s圖 5 分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階電感電流0.1002N8wb5.0×10-6 rad/swh2.0×105 rad/s4 結(jié)論R0.5f20kHz本文建立了 CCMBuck 變換器的分?jǐn)?shù)階數(shù)階狀態(tài)平均模型，推出了 Buck 變換器運行于電感電流連續(xù)模式下的臨界電阻因階數(shù)的減小而增大的結(jié)果，CCM 模式運行范圍也隨之?dāng)U大，同時也驗證D0.43.2 分?jǐn)?shù)階電路將上述 Ous

20、taloup 所示 S 域函數(shù)簡化成相應(yīng)的了理論計算和電路的一致性，階數(shù) 的降低會模塊函數(shù)之和，從而由多個模塊電路分?jǐn)?shù)階電導(dǎo)致電流 iL 的急劇增大。電感階數(shù)的降低會導(dǎo)致 LC 濾波的截止頻率增大，過渡帶衰減斜率減小。在小信號模型分析中，以輸入電壓和占空比為輸入，電感電流為輸出推導(dǎo)得電路的傳遞函數(shù)均包含階數(shù) 。運用 Oustaloup 近似表達(dá)分?jǐn)?shù)階微分算子的擬合頻 段時要結(jié)合變換器的開關(guān)頻率設(shè)計。通過以上結(jié)論可知，如果想要得到電路準(zhǔn)確的模型，務(wù)必要將原感。圖 4 是由鏈?zhǔn)椒挚箚卧姆謹(jǐn)?shù)階電感，各電阻阻值為 RL1=83 ，RL2=14 ，RL3=2 ，RL4=263 m，RL5=36 m，R

21、L6=5 m，RL7=684，RL8=94 ，RL9=13 ，RL10=0.27 ;各電感值為 L1=9.24 H，L2=26.4 H，L3=61.5 H，L4=144 H，L5=337 H，L6=788.5 H，L7=1.845 mH，L8=10.117 mH，L9=10.117 mH，L10=13.516 mH。近似得到階數(shù) =0.7，1258Phase/degMagnitude/dBiL/A電源學(xué)會第二十一屆學(xué)術(shù)年會集有的整數(shù)階電感和電容用實際的分?jǐn)?shù)階電感和電容來替代，建立能夠真實反應(yīng) Buck 變換器性能的分?jǐn)?shù)階模型。參考文獻(xiàn)1Jonscher A K 1983 Dielectric

22、relaxation in solids (London: Chelsea Dielectric Press) chapt. 32，蒲亦非.基于連分式分解的 1/2n 階模擬分抗逼近電路設(shè)計J.四川大學(xué)學(xué)報，2012,44（3）：1-6.3 任毅.二項式展開法實現(xiàn)分?jǐn)?shù)階模擬分抗電路J.四川大學(xué)學(xué)報，2008，45（5）：1-5.4 LiaoKe,YuanXiao.One-nthorderFrantance Implementation Using Regular Newton ProcessJ.Journal ofSichuan University,2006,43(1):1-5.56.電力技術(shù)M.，2006.求解M.：科學(xué).高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的，2008.：7.基于/Simulink 的系統(tǒng)與應(yīng)用M.，2002.：8.電力，2011