泄洪方案數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論

1、泄洪方案數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)系20021111班 張瑞華指導(dǎo)教師 黃麗云摘 要：文通過(guò)對(duì)具體數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析，抓住主要矛盾，在不影響結(jié)果的前提下，忽略了一些次要矛盾，建立優(yōu)化模型。從兩個(gè)不同的方向來(lái)考慮該問(wèn)題，根據(jù)合理的假設(shè)，分別建立了兩個(gè)互不相同的網(wǎng)絡(luò)圖，并把網(wǎng)絡(luò)圖作為該模型的約束條件。這樣，可以比較容易地解決問(wèn)題，達(dá)到了通用的目的。最后通過(guò)分枝定界解法對(duì)兩個(gè)模型分別進(jìn)行求解并比較所得結(jié)果，從而得出最優(yōu)解。關(guān)鍵詞：優(yōu)化模型；網(wǎng)絡(luò)圖；分枝定界法The Mathematical Model of the Scheme for Flood DischargeAbstract: Through analyzi

2、ng a concrete mathematical problem, some main contradictions were accepted, and some secondary ones were ignored on the premise of not influencing the result. Thus an optimization model was established. The problem was considered from two different aspects. Based a reasonable assumption, two differe

3、nt network charts were set up, which were regarded as restraint terms of this model. As a result, the problem was solved easily and the aim of general application was attained. At last, the two models were solved through branch bound method and the optimal solution was obtained after their results w

4、ere compared. Key words: optimization model; network chart; branch and bound method1 引言洪水通常指由暴雨、急劇融化冰雪、風(fēng)暴湖等自然因素或水庫(kù)調(diào)度不當(dāng)、水利工程潰決失事等人為因素引起的江河、湖泊洪水流量激增、水位急劇上漲的一種水文現(xiàn)象若洪水超過(guò)江河、湖泊、水庫(kù)等水體的承受能力而造成災(zāi)害的，則稱之為災(zāi)害性洪水洪水是自然和環(huán)境系統(tǒng)變化的產(chǎn)物，其發(fā)生和發(fā)展均要受自然和環(huán)境系統(tǒng)的作用和制約.洪災(zāi)是洪水作用于人類社會(huì)的產(chǎn)物，是自然和人的關(guān)系的表現(xiàn)災(zāi)害性洪水往往會(huì)對(duì)自然生態(tài)系統(tǒng)和社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)產(chǎn)生嚴(yán)重的沖擊，破壞人類賴以生

5、存的這兩個(gè)系統(tǒng)的完整性和穩(wěn)定性洪水災(zāi)害是當(dāng)今世界范圍內(nèi)發(fā)生最頻繁和最具毀滅性的自然災(zāi)害之一幾千年來(lái)，洪澇災(zāi)害始終是威脅中華民族生存發(fā)展的心腹大患近50多年來(lái)，盡管我國(guó)在水利建設(shè)方面取得了很大成就，防洪減災(zāi)效果顯著，但是由于氣候條件的異常變化，大規(guī)模人類活動(dòng)和環(huán)境的影響，我國(guó)的防洪形勢(shì)仍十分嚴(yán)峻，洪水災(zāi)害仍時(shí)有發(fā)生在這樣的背景下，防洪減災(zāi)已成為我國(guó)21世紀(jì)可持續(xù)發(fā)展的重大課題.近年來(lái)我國(guó)提出了新的治水思路，要求我們的防洪策略逐步從洪水控制（flood control）向洪水管理（flood management）轉(zhuǎn)變洪水管理是人類按可持續(xù)發(fā)展的原則，以協(xié)調(diào)人與洪水的關(guān)系為目的，理性規(guī)范洪水調(diào)控行

6、為與增強(qiáng)人類自適應(yīng)能力等一系列活動(dòng)的總稱對(duì)數(shù)學(xué)建模的一些具體方法與措施在文獻(xiàn)26中均進(jìn)行了比較詳細(xì)的描述本文就文獻(xiàn)7中的一個(gè)關(guān)于洪水的具體問(wèn)題建立了數(shù)學(xué)模型，這里所研究的泄洪方案，是用分枝定界解法建立了一種以減少洪水所造成的人員和財(cái)產(chǎn)的總的損失為目標(biāo)的破堤泄洪的方法這對(duì)我國(guó)的防洪減災(zāi)工作有一定的意義.2 問(wèn)題的提出下面就文獻(xiàn)7中提到的問(wèn)題重述如下：有一條河流由于河床泥沙淤結(jié)，每當(dāng)上游發(fā)生洪水時(shí)，就會(huì)破堤淹沒兩岸，造成人員和財(cái)產(chǎn)的損失為減少總的損失，人們采取破堤泄洪的方法圖1是該河一岸區(qū)域的信息示意圖在該區(qū)域周圍有很高的山，使該區(qū)域成為封閉的區(qū)域區(qū)域內(nèi)又分成15個(gè)小區(qū)每個(gè)小區(qū)內(nèi)標(biāo)有4個(gè)數(shù)字，分別

7、表示該小區(qū)的編號(hào)、小區(qū)的海拔高度、面積和被完全淹沒時(shí)土地、房屋和財(cái)產(chǎn)等損失總數(shù)(百萬(wàn)元)求：（1）整個(gè)區(qū)域全部受損失的最小洪水量.（2）當(dāng)洪水量為/6時(shí)制定泄洪方案，使總損失最小，并計(jì)算出該方案的損失數(shù).河 流 大 堤 1 3.6 6.1 1.42 4.0 8.4 7.03 4.7 7.0 5.84 4.4 9.3 3.35 3.8 4.8 2.06 3.3 3.6 9.97 3.2 0.9 0.98 2.5 8.5 6.09 5.0 1.8 7.210 4.4 0.1 1.611 3.0 4.6 3.012 3.51.5 4.113 2.4 2.3 4.114 3.8 8.8 5.315 3

8、.8 1.3 4.4 圖 1上面簡(jiǎn)單地提出了所要研究的問(wèn)題，下面就在解決問(wèn)題的過(guò)程當(dāng)中要用到的一些假設(shè)及符號(hào)說(shuō)明如下：（1）各小區(qū)間有相對(duì)高度為1.2m的小堤互相隔離例如第一塊和第二塊小區(qū)間事實(shí)上有海拔5.2m的小堤.（2）當(dāng)洪水淹沒一個(gè)小區(qū)且水位高于該小區(qū)高度m時(shí)， 該小區(qū)的損失為該小區(qū)的和的函數(shù)，損失： , 0 = , （3）假設(shè)決堤口可選在大堤或小堤的任何地方，決堤口數(shù)目不受任何限制但一經(jīng)決口，就不能再補(bǔ)和從河流經(jīng)大堤決口流入小區(qū)的洪水量按決口數(shù)成比例分配如果在小區(qū)之間小堤一開決口，則假設(shè)該兩小區(qū)之間的這段小堤不復(fù)存在若水位高過(guò)小堤，則將自動(dòng)向鄰近最低的一個(gè)小區(qū)泄洪若這樣的小區(qū)有幾塊時(shí)，

9、則平均泄洪.（4） ：對(duì)于模型一，由于選擇第j種排列方式而超過(guò)基本洪水量的洪水量.（5） ：對(duì)于模型二，由于選擇第j種排列方式而超過(guò)基本洪水量的洪水量. （6） ：每個(gè)小區(qū)剛好被完全淹沒的基本洪水量之和（7） ：整個(gè)區(qū)域全部受損失的最小洪水量.（8） ：當(dāng)洪水量為Q/6時(shí)，第個(gè)小區(qū)的洪水量.（9） ：對(duì)于模型一，整個(gè)區(qū)域全部受損失的洪水量.（10） ：對(duì)于模型二，整個(gè)區(qū)域全部受損失的洪水量. （11） ：當(dāng)洪水量為/6時(shí)，區(qū)域所受的總損失.（12） ：第個(gè)小區(qū)被完全淹沒時(shí)土地、房屋和財(cái)產(chǎn)等損失總數(shù).此外，還把下面要用到的每個(gè)小區(qū)剛好被完全淹沒的基本洪水量（）先計(jì)算出來(lái)，如小區(qū)基本洪水量統(tǒng)計(jì)表.

10、小區(qū)12345678基本洪水量21.9633.632.940.9218.2411.882.8821.25小區(qū)9101112131415基本洪水量90.4413.85.255.5233.444.94小區(qū)基本洪水量統(tǒng)計(jì)表做了這些準(zhǔn)備工作之后，就可以建立具體的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，首先解決問(wèn)題（1）.3問(wèn)題（1）的模型建立及求解根據(jù)假設(shè)3得知決堤口可選在大堤或小堤的任何地方，決堤口數(shù)目不受限制這樣，當(dāng)上游發(fā)生洪水時(shí)，就可以采取破堤泄洪的方法，但在破堤時(shí)可以選擇在區(qū)域的左側(cè)或右側(cè)的大堤不同的破堤地點(diǎn)對(duì)應(yīng)的泄洪方案也不同，根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，本文建立了兩個(gè)數(shù)學(xué)模型并對(duì)這兩個(gè)數(shù)學(xué)模型分別進(jìn)行求解，并比較結(jié)果，

11、最后得到最小洪水量并把這兩個(gè)數(shù)學(xué)模型分別叫做模型一和模型二具體的建立步驟如下：3.1模型一的建立 為了建立此模型，首先考慮它的約束條件，這里用網(wǎng)絡(luò)圖來(lái)表示它的約束條件用圓圈表示洪水經(jīng)過(guò)一個(gè)小區(qū)，用箭頭表示水流方向；即箭頭指向的圓圈內(nèi)的小區(qū)必須在箭尾圓圈內(nèi)的小區(qū)被完全淹沒后才能被淹沒根據(jù)圖1和假設(shè)3可畫出網(wǎng)絡(luò)圖，如圖2所示. （6） (11) （12） （13 ） （14） （15） （1） （10） （7） （8） （2） （3） （4）(9) (5) 圖 2其中括號(hào)內(nèi)的數(shù)字表示小區(qū)的編號(hào)，這張圖十分明顯地表示了由假設(shè)3得到水流方向的約束.其次考慮優(yōu)化目標(biāo)： 設(shè)s,s,s是1,2,15的一個(gè)排

12、列，滿足由圖2中的網(wǎng)絡(luò)描述的水流方向的約束，稱為可行的水流方向，那么整個(gè)區(qū)域全部受損失的洪水量為： =+ 因?yàn)闉槊總€(gè)小區(qū)剛好被完全淹沒時(shí)的基本洪水量之和，是一個(gè)固定的常量從而問(wèn)題歸結(jié)為：求可行的水流方向（,），使達(dá)到最小.3.2模型一的求解 從圖2，可以很明顯地看出，小區(qū)1，6，7和5，9，15的順序已經(jīng)確定，所以實(shí)際上只需確定小區(qū)2，3，4，8，10，11，12，13，14的水流方向?yàn)榇?，采用分枝定界解法?lái)求這個(gè)極小化問(wèn)題這里采用的分支是這15個(gè)小區(qū)的“部分次序”，相應(yīng)的洪水量便是這一分支的下界.首先，從圖2不難看出，當(dāng)洪水從大堤出發(fā)流經(jīng)小區(qū)1，再由小區(qū)1平均泄洪到小區(qū)6和7后，這時(shí)小區(qū)11

13、的洪水來(lái)源有兩條途徑：一種途徑是小區(qū)11的洪水全部來(lái)自小區(qū)6；另一種途徑是小區(qū)11的洪水來(lái)自小區(qū)6和小區(qū)7如果小區(qū)11的洪水來(lái)源是第二種途徑的話，那么根據(jù)假設(shè)3，小區(qū)7又應(yīng)該平均泄洪給小區(qū)8和11，這樣小區(qū)7所需的洪水量就比較多，因此總洪水量也比較多故這一分支不會(huì)達(dá)到最優(yōu)，可以剪去依次類推，最后便可求解，得到最優(yōu)水流方向?yàn)椋?（6） (11) （12） （13） （14） （15）（1） （10） （7） （8） （2） （3） （4）（9） （5）圖 3此外根據(jù)圖3和表一中的數(shù)據(jù)還可以得到最小洪水量，在這里采用遞推的方法來(lái)求解，具體求解步驟為：首先求出從小區(qū)14到小區(qū)3的洪水量為其次計(jì)算出小

14、區(qū)7，8，2，3的洪水量之和最后就可以計(jì)算最小洪水量為上面討論了洪水從整個(gè)區(qū)域的左側(cè)流入小區(qū)，并建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型（即模型一）.下面考慮洪水從整個(gè)區(qū)域的右側(cè)流入小區(qū)，并建立與之對(duì)應(yīng)的模型二.3.3模型二的建立 和模型一的建立步驟一樣，首先建立與之對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)圖：圖4. (2) (1) （6）(4) (3) (9) (8) (7) (5) (14) (13) (12) (11)(10) (15) 圖 4圖4中的數(shù)字，符號(hào)所代表的意義和圖2中所代表的是一樣的.優(yōu)化目標(biāo)： = + 和模型一一樣，問(wèn)題歸結(jié)為：求可行的水流方向，使 達(dá)到最小. 3.4模型二的求解從圖4可以看出小區(qū)3、4、5、6、10、1

15、1、14、15的順序已經(jīng)確定，所以實(shí)際上只需確定小區(qū)1、2、7、8、9、12、13的水流方向?yàn)榇巳圆捎梅种Χń缃夥▉?lái)求解這個(gè)極小化問(wèn)題這里所采用的分支是這個(gè)小區(qū)的“部分次序”，相應(yīng)的洪水量便是這一分支的下界.首先，從圖4還可以看出，當(dāng)洪水從大堤出發(fā)流經(jīng)小區(qū)5，再由小區(qū)5平均泄洪到小區(qū)4和10，依次類推，當(dāng)洪水經(jīng)過(guò)小區(qū)9后，有三條途徑可供選擇：一、洪水流到小區(qū)8；二、洪水流到小區(qū)13；三、洪水流到小區(qū)8和13若洪水流到小區(qū)8和13，則小區(qū)9應(yīng)該平均泄洪，這樣小區(qū)9的洪水量就應(yīng)該有較多的洪水量，那么便可推得小區(qū)3的洪水量比較多，最后可推得總洪水量比較多因此，這一分支不會(huì)達(dá)到最優(yōu)，可以剪去依次類推，

16、便可以得到最優(yōu)水流方向?yàn)椋?（2） （1） （6）（4） （3） （9） （8） （7） （5） (14) (13) (12) (11)(10) (15) 圖 5和模型一的求解方法一樣，還可以得到最小洪水量為666.0410m即min Q= 666.0410m比較上述兩個(gè)模型所得結(jié)果邊可以得到Q= 666.0410m且水流方向?yàn)椋海?） （1） （6）（4） （3） （9） （8） （7） （5） (14) (13) (12) (11)(10) (15)圖 64問(wèn)題（）的模型建立及求解4. 模型建立當(dāng)洪水量為Q/6 時(shí)，根據(jù)假設(shè)2，我們可得到優(yōu)化目標(biāo)： , 0 T = , 約束條件為：= Q/

17、6此外，還要受水流方向的約束從而問(wèn)題歸結(jié)為：求滿足條件的水流方向使T達(dá)到最小.4.模型的求解從問(wèn)題1可以看出，洪水可以從區(qū)域的兩側(cè)流入小區(qū)，于是，對(duì)于此問(wèn)題的求解也可以從兩個(gè)方向來(lái)考慮若洪水從區(qū)域的左側(cè)流入小區(qū)，則圖3便是水流方向的約束條件當(dāng)洪水從區(qū)域的右側(cè)流入小區(qū)，圖5就是水流方向的約束條件這里可以采用窮舉法進(jìn)行求解，即一一驗(yàn)證可行的情況，對(duì)可行的方案分別計(jì)算總損失，進(jìn)行比較，選出最優(yōu)泄洪方案這樣做計(jì)算量較大，計(jì)算起來(lái)比較繁為了方便起見，采用分枝定界解法進(jìn)行求解首先計(jì)算出每個(gè)小區(qū)的單位損失，得到下面的小區(qū)損失統(tǒng)計(jì)表；然后，優(yōu)先選擇單位損失最小的小區(qū)小區(qū)1，以此類推便可得到一組最優(yōu)解，水流方向

18、為 ：(1) (7) (8) (2) (3)（9）此時(shí)得到T=28.3（百萬(wàn)元），但從剛才的分析知，洪水還可以從區(qū)域的右側(cè)進(jìn)入小區(qū)，仔細(xì)觀察表二，不難發(fā)現(xiàn)，除了小區(qū)1以外，小區(qū)4便是損失最少的小區(qū)于是考慮水從右側(cè)進(jìn)入小區(qū)的情況，和剛才一樣，優(yōu)先考慮單位損失較少的小區(qū)，得到一組最優(yōu)解，水流方向?yàn)椋?5) (4) (3) （2）損失：T = 18.1（百萬(wàn)元）比較這兩個(gè)方案，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)洪水量為Q/6時(shí)，min T = 18.1（百萬(wàn)元），泄洪方案為：(5) (4) (3) （2）小區(qū)12345678損失總數(shù)（百萬(wàn)元）1.47.05.83.32.09.40.96.0容量（10）21.9633.632.940.9218.2411.882.886.0單位損失（10）0.0640.20830.17630.08060.10960.71920.31250.2824小區(qū)9101112131415損失總數(shù)（百萬(wàn)元）7.21.63.04.14.15.34.4容量（10）90.4413.85.255.5233.444.94單位損失（10）0.83.63640.21740.78160.74280.15850.8907小區(qū)損失統(tǒng)計(jì)