流體力學(xué)第二版(蔡增基)第六章

1、6-1 流體微團(tuán)運(yùn)動分析流體微團(tuán)運(yùn)動分析6-2 有旋流動有旋流動6-3不可壓縮流體連續(xù)性微分方程不可壓縮流體連續(xù)性微分方程第六章 不可壓縮流體的多維流動6-4無旋流動無旋流動 流體由于具有易流動特性，因此流體的運(yùn)動要比剛體的運(yùn)動復(fù)雜得多。在流體運(yùn)動中，有旋流動和無旋流動是流體運(yùn)動的兩種類型。由流體微團(tuán)運(yùn)動分析可知，有旋流動是指流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度 的流動，無旋流動是指 的流動。 實際上，黏性流體的流動大多數(shù)是有旋流動，而且有時是以明顯的旋渦形式出現(xiàn)的，如橋墩背流面的旋渦區(qū)，船只運(yùn)動時船尾后形成的旋渦等等。工程中大量存在著的紊流運(yùn)動，更是充滿著尺度不同的大小旋渦。00 6-1流體微團(tuán)運(yùn)動分析流體微

2、團(tuán)運(yùn)動分析 剛體的一般運(yùn)動可以分解為移動和轉(zhuǎn)動兩部分。 流體與剛體的主要不同在于它具有流動性，極易變形。因此，任一流體微團(tuán)在運(yùn)動過程中不但與剛體一樣可以移動和轉(zhuǎn)動，而且還會發(fā)生變形運(yùn)動。所以，在一般情況下流體微團(tuán)的運(yùn)動可以分解為移動、轉(zhuǎn)動和變形運(yùn)動三部分。一、表示流體微團(tuán)運(yùn)動特征的速度表達(dá)式一、表示流體微團(tuán)運(yùn)動特征的速度表達(dá)式 在運(yùn)動流體中，在時刻t任取一正方形流體微團(tuán)，其邊長分別為dx、dy，設(shè)O 點的速度分量分別為ux、uy、其他各點的速度均可利用泰勒級數(shù)展開并略去二階及以上無窮小量得到：xdydoADCB2Adxxuuuxxx點：2Bdyyuuuxxx點：2Cdxxuuuxxx點：2Dd

3、yyuuuxxx點：2dxxuuuyyy2dyyuuuyyy2dxxuuuyyy2dyyuuuyyyxuyu 由速度表達(dá)式可見，微團(tuán)上每一點的速度都包含中心點的速度以及由于坐標(biāo)位置不同引起的速度增量兩個組成部分。 把中心點的速度ux和uy定義為流體微團(tuán)的平移速度。 由于微團(tuán)上的A點和C點x方向有速度差，一段時間后沿x方向發(fā)生變形。 單位時間，單位長度的線變形稱為線變形速度。線變形速度用 ， 表示：xdydoADCBxuyuxxyyxudtdxdtdxxuxxxxyuyyy擴(kuò)展到空間zzzzu1.1.線變形線變形2dyyuuxx2.2.角變形角變形 由于微團(tuán)上的A點和C點y方向有速度差 ，一段時

4、間后微團(tuán)沿y方向發(fā)生變形。所以AOC直線繞O點發(fā)生旋轉(zhuǎn)。同樣，BD直線也繞O點旋轉(zhuǎn)。但旋轉(zhuǎn)角度不同。由A點C點y方向的速度表達(dá)式2dxxuuuyyy2dxxuuuyyyxdydoACxuyudxxuyDBAOC的旋轉(zhuǎn)角速度為：xudxdxxuyyBOD的旋轉(zhuǎn)角速度為：yudydyyuxx角速度方向規(guī)定逆時針為正。 由于過O點的直線的旋轉(zhuǎn)角速度不相等，最終正方形流體微團(tuán)變?yōu)榱庑?。oACDB 整個變形過程可以分為兩部分：1.流體微團(tuán)繞O點以等角速度轉(zhuǎn)動；2.由于各直線角速度不等產(chǎn)生角變形運(yùn)動。EFEF 把對角線EOF的旋轉(zhuǎn)角速度定義為整個流體微團(tuán)在xoy面的旋轉(zhuǎn)角速度，用 表示。zEOF的旋轉(zhuǎn)角速

5、度可看成是AOC和BOD角速度的平均：yuxuxy21z擴(kuò)展到三維流動zuyuyz21xxuzuzx21y 把AOC與EOF的夾角的變形速度定義為流體微團(tuán)的角變形速度，記為 ：xyyuxuyuxuxuxuxyxyyyyxxy2121擴(kuò)展到三維流動xuzuzxzxxz21zuyuyzzyyz21 一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動由以上四種情況組合而成，已知任意點M0的速度分量，ux0，uy0，uz0，流體微團(tuán)內(nèi)任意點的速度可寫為：xxxduuu00MMyyyduuu0zzzduuu0oCDBFE0 xxuu xxxduuu0將速度分量展開dzzudyyudxxuuuxxxxx0dyxuyudxxuuu

6、yxxxx)(210dyxuyuyx)(21dzxuzuzx)(21dzxuzuzx)(21yxydyzdzydyzzyxuuzyxzxyxxxxddddd0zxzdxxxd流體微團(tuán)的運(yùn)動可分解為三部分： 以流體微團(tuán)中某點的速度作整體平移運(yùn)動；繞通過該點軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動； 微團(tuán)本身的變形運(yùn)動（線變形和角變形）。 例例1 1 已知流速分布已知流速分布u ux x=-ky,u=-ky,uy y=kx,u=kx,uz z=0=0。求旋轉(zhuǎn)角速度、。求旋轉(zhuǎn)角速度、線變形速度和角變形速度。線變形速度和角變形速度。 解：解：0 xuxkyuxkxuy0yuy所以所以kkkyuxuxyz)(21)(210yx線變

7、形速度線變形速度0 xuxxx0zzyy角變形速度角變形速度0)(21)(21kkyuxuxyxy0yzxz 6-2 有旋流動有旋流動一、有旋流動和無旋流動的定義一、有旋流動和無旋流動的定義 流體的流動是有旋還是無旋，是由流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn)來決定的。 流體在流動中，如果流場中有若干處流體微團(tuán)具有繞通過其自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，則稱為有旋流動。 如果在整個流場中各處的流體微團(tuán)均不繞自身軸線旋轉(zhuǎn)，則稱為無旋流動。 這里需要說明的是，判斷流體流動是有旋流動還是無旋流動，僅僅由流體微團(tuán)本身是否繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動來決定，而與流體微團(tuán)的運(yùn)動軌跡無關(guān)。 如圖（a）所示，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動軌跡是圓形，但由于微團(tuán)

8、本身不旋轉(zhuǎn)，故它是無旋流動； 在圖 (b)中，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動軌跡是直線，但微團(tuán)繞自身軸線旋轉(zhuǎn)，故它是有旋流動。 流體微團(tuán)運(yùn)動無旋流動有旋流動ab 判斷流體微團(tuán)無旋流動的條件是：流體中每一個流體微團(tuán)都滿足0zyx則有,yuxuxyyuxuxy21z由于,xuzuzxzuyuyz 6-3不可壓縮流體連續(xù)性微分方程不可壓縮流體連續(xù)性微分方程 和一元流連續(xù)性方程相似，在流場中選取邊長為dx、dy、dz正六面微元控制體。dxdydz 設(shè)控制體中心的坐標(biāo)為x、y、z，中心點的速度為ux、uy、uz。 左側(cè)中心點沿x方向的流速為：2dxxuuuxxx左 右側(cè)中心點沿x方向的流速為：2dxxuuuxxx右

9、dt時間內(nèi)沿x方向流入和流出的凈體積流量為：dtdydzdxxuudtdydzdxxuudQxxxx)2()2(xdtdxdydzxudQxx同理 dt時間內(nèi)沿y方向流入和流出的凈體積流量為：dtdxdydzyudQyy dt時間內(nèi)沿z方向流入和流出的凈體積流量為：dtdxdydzzudQzz 對于不可壓縮流體，dt時間內(nèi)流入和流出微元控制體的凈體積流量之和應(yīng)為0。0)(zyxdtdxdydzzuyuxudQdQdQzyx0 zuyuxuzyx即 多維流動的不可壓縮流體的連續(xù)性方程。對于定常和非定常流動都適用。 6-4 無旋流動無旋流動 在流場中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度在任意時刻處處為零的流動稱為

10、無旋流動，無旋流動也稱為有勢流動。 021zyuxuxy021xzuyuyz021yxuzuzxyuxuxyxuzuzxzuyuyz1、空間問題、空間問題一、速度勢函數(shù)一、速度勢函數(shù)此時，速度勢函數(shù)與速度的關(guān)系：zuyuxudzyxddd根據(jù)全微分理論，勢函數(shù) 的全微分可寫成zzyyxxdddd于是得xuxyuyzuz 流體不論是可壓縮流體還是不可壓縮流體，也不論是定常流動還是非定常流動，只要滿足無旋流動條件，必然存在速度勢函數(shù)。 根據(jù)數(shù)學(xué)分析可知：上式成立是 成為某一函數(shù) 的全微分的充要條件。 稱為速度勢函數(shù)，簡稱速度勢。 zuyuxuzyxddd)(zyx， 把速度勢函數(shù)代入到不可壓縮流體的連續(xù)性方程其中0 zuyuxuzyx0222222zyx22xxxxux22yyyyuy同理22zzzzuz所以 上式稱為拉普拉斯方程，滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)。所以不可壓縮流體的速度勢函數(shù)是一個調(diào)和函數(shù)。2、平面問題、平面問題在不可壓縮流體平面流動中，連續(xù)性方程為：0 yuxuyx旋轉(zhuǎn)角速度也只有z分量，如果z 為零，即：yuxuxy平面流動為無旋流動。平面無旋流動的速度勢函數(shù)為：yuxuyxddd平面無旋流動的拉普拉斯方程：02222yx【例例2 2】有一不可壓流體平面流動的速度分布為 該平面流動是否滿足連續(xù)性方程； 是否存在速度勢