流體力學(xué)第二版(蔡增基)第六章

1、6-1 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析6-2 有旋流動(dòng)有旋流動(dòng)6-3不可壓縮流體連續(xù)性微分方程不可壓縮流體連續(xù)性微分方程第六章 不可壓縮流體的多維流動(dòng)6-4無(wú)旋流動(dòng)無(wú)旋流動(dòng) 流體由于具有易流動(dòng)特性，因此流體的運(yùn)動(dòng)要比剛體的運(yùn)動(dòng)復(fù)雜得多。在流體運(yùn)動(dòng)中，有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)是流體運(yùn)動(dòng)的兩種類型。由流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析可知，有旋流動(dòng)是指流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度 的流動(dòng)，無(wú)旋流動(dòng)是指 的流動(dòng)。 實(shí)際上，黏性流體的流動(dòng)大多數(shù)是有旋流動(dòng)，而且有時(shí)是以明顯的旋渦形式出現(xiàn)的，如橋墩背流面的旋渦區(qū)，船只運(yùn)動(dòng)時(shí)船尾后形成的旋渦等等。工程中大量存在著的紊流運(yùn)動(dòng)，更是充滿著尺度不同的大小旋渦。00 6-1流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析流體微

2、團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。 流體與剛體的主要不同在于它具有流動(dòng)性，極易變形。因此，任一流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不但與剛體一樣可以移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。所以，在一般情況下流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)三部分。一、表示流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)特征的速度表達(dá)式一、表示流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)特征的速度表達(dá)式 在運(yùn)動(dòng)流體中，在時(shí)刻t任取一正方形流體微團(tuán)，其邊長(zhǎng)分別為dx、dy，設(shè)O 點(diǎn)的速度分量分別為ux、uy、其他各點(diǎn)的速度均可利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)并略去二階及以上無(wú)窮小量得到：xdydoADCB2Adxxuuuxxx點(diǎn)：2Bdyyuuuxxx點(diǎn)：2Cdxxuuuxxx點(diǎn)：2Dd

3、yyuuuxxx點(diǎn)：2dxxuuuyyy2dyyuuuyyy2dxxuuuyyy2dyyuuuyyyxuyu 由速度表達(dá)式可見(jiàn)，微團(tuán)上每一點(diǎn)的速度都包含中心點(diǎn)的速度以及由于坐標(biāo)位置不同引起的速度增量?jī)蓚€(gè)組成部分。 把中心點(diǎn)的速度ux和uy定義為流體微團(tuán)的平移速度。 由于微團(tuán)上的A點(diǎn)和C點(diǎn)x方向有速度差，一段時(shí)間后沿x方向發(fā)生變形。 單位時(shí)間，單位長(zhǎng)度的線變形稱為線變形速度。線變形速度用 ， 表示：xdydoADCBxuyuxxyyxudtdxdtdxxuxxxxyuyyy擴(kuò)展到空間zzzzu1.1.線變形線變形2dyyuuxx2.2.角變形角變形 由于微團(tuán)上的A點(diǎn)和C點(diǎn)y方向有速度差 ，一段時(shí)

4、間后微團(tuán)沿y方向發(fā)生變形。所以AOC直線繞O點(diǎn)發(fā)生旋轉(zhuǎn)。同樣，BD直線也繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。但旋轉(zhuǎn)角度不同。由A點(diǎn)C點(diǎn)y方向的速度表達(dá)式2dxxuuuyyy2dxxuuuyyyxdydoACxuyudxxuyDBAOC的旋轉(zhuǎn)角速度為：xudxdxxuyyBOD的旋轉(zhuǎn)角速度為：yudydyyuxx角速度方向規(guī)定逆時(shí)針為正。 由于過(guò)O點(diǎn)的直線的旋轉(zhuǎn)角速度不相等，最終正方形流體微團(tuán)變?yōu)榱庑?。oACDB 整個(gè)變形過(guò)程可以分為兩部分：1.流體微團(tuán)繞O點(diǎn)以等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)；2.由于各直線角速度不等產(chǎn)生角變形運(yùn)動(dòng)。EFEF 把對(duì)角線EOF的旋轉(zhuǎn)角速度定義為整個(gè)流體微團(tuán)在xoy面的旋轉(zhuǎn)角速度，用 表示。zEOF的旋轉(zhuǎn)角速

5、度可看成是AOC和BOD角速度的平均：yuxuxy21z擴(kuò)展到三維流動(dòng)zuyuyz21xxuzuzx21y 把AOC與EOF的夾角的變形速度定義為流體微團(tuán)的角變形速度，記為 ：xyyuxuyuxuxuxuxyxyyyyxxy2121擴(kuò)展到三維流動(dòng)xuzuzxzxxz21zuyuyzzyyz21 一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)由以上四種情況組合而成，已知任意點(diǎn)M0的速度分量，ux0，uy0，uz0，流體微團(tuán)內(nèi)任意點(diǎn)的速度可寫(xiě)為：xxxduuu00MMyyyduuu0zzzduuu0oCDBFE0 xxuu xxxduuu0將速度分量展開(kāi)dzzudyyudxxuuuxxxxx0dyxuyudxxuuu

6、yxxxx)(210dyxuyuyx)(21dzxuzuzx)(21dzxuzuzx)(21yxydyzdzydyzzyxuuzyxzxyxxxxddddd0zxzdxxxd流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可分解為三部分： 以流體微團(tuán)中某點(diǎn)的速度作整體平移運(yùn)動(dòng)；繞通過(guò)該點(diǎn)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)； 微團(tuán)本身的變形運(yùn)動(dòng)（線變形和角變形）。 例例1 1 已知流速分布已知流速分布u ux x=-ky,u=-ky,uy y=kx,u=kx,uz z=0=0。求旋轉(zhuǎn)角速度、。求旋轉(zhuǎn)角速度、線變形速度和角變形速度。線變形速度和角變形速度。 解：解：0 xuxkyuxkxuy0yuy所以所以kkkyuxuxyz)(21)(210yx線變

7、形速度線變形速度0 xuxxx0zzyy角變形速度角變形速度0)(21)(21kkyuxuxyxy0yzxz 6-2 有旋流動(dòng)有旋流動(dòng)一、有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)的定義一、有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)的定義 流體的流動(dòng)是有旋還是無(wú)旋，是由流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn)來(lái)決定的。 流體在流動(dòng)中，如果流場(chǎng)中有若干處流體微團(tuán)具有繞通過(guò)其自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱為有旋流動(dòng)。 如果在整個(gè)流場(chǎng)中各處的流體微團(tuán)均不繞自身軸線旋轉(zhuǎn)，則稱為無(wú)旋流動(dòng)。 這里需要說(shuō)明的是，判斷流體流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng)，僅僅由流體微團(tuán)本身是否繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)決定，而與流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)。 如圖（a）所示，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓形，但由于微團(tuán)

8、本身不旋轉(zhuǎn)，故它是無(wú)旋流動(dòng)； 在圖 (b)中，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，但微團(tuán)繞自身軸線旋轉(zhuǎn)，故它是有旋流動(dòng)。 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)無(wú)旋流動(dòng)有旋流動(dòng)ab 判斷流體微團(tuán)無(wú)旋流動(dòng)的條件是：流體中每一個(gè)流體微團(tuán)都滿足0zyx則有,yuxuxyyuxuxy21z由于,xuzuzxzuyuyz 6-3不可壓縮流體連續(xù)性微分方程不可壓縮流體連續(xù)性微分方程 和一元流連續(xù)性方程相似，在流場(chǎng)中選取邊長(zhǎng)為dx、dy、dz正六面微元控制體。dxdydz 設(shè)控制體中心的坐標(biāo)為x、y、z，中心點(diǎn)的速度為ux、uy、uz。 左側(cè)中心點(diǎn)沿x方向的流速為：2dxxuuuxxx左 右側(cè)中心點(diǎn)沿x方向的流速為：2dxxuuuxxx右

9、dt時(shí)間內(nèi)沿x方向流入和流出的凈體積流量為：dtdydzdxxuudtdydzdxxuudQxxxx)2()2(xdtdxdydzxudQxx同理 dt時(shí)間內(nèi)沿y方向流入和流出的凈體積流量為：dtdxdydzyudQyy dt時(shí)間內(nèi)沿z方向流入和流出的凈體積流量為：dtdxdydzzudQzz 對(duì)于不可壓縮流體，dt時(shí)間內(nèi)流入和流出微元控制體的凈體積流量之和應(yīng)為0。0)(zyxdtdxdydzzuyuxudQdQdQzyx0 zuyuxuzyx即 多維流動(dòng)的不可壓縮流體的連續(xù)性方程。對(duì)于定常和非定常流動(dòng)都適用。 6-4 無(wú)旋流動(dòng)無(wú)旋流動(dòng) 在流場(chǎng)中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度在任意時(shí)刻處處為零的流動(dòng)稱為

10、無(wú)旋流動(dòng)，無(wú)旋流動(dòng)也稱為有勢(shì)流動(dòng)。 021zyuxuxy021xzuyuyz021yxuzuzxyuxuxyxuzuzxzuyuyz1、空間問(wèn)題、空間問(wèn)題一、速度勢(shì)函數(shù)一、速度勢(shì)函數(shù)此時(shí)，速度勢(shì)函數(shù)與速度的關(guān)系：zuyuxudzyxddd根據(jù)全微分理論，勢(shì)函數(shù) 的全微分可寫(xiě)成zzyyxxdddd于是得xuxyuyzuz 流體不論是可壓縮流體還是不可壓縮流體，也不論是定常流動(dòng)還是非定常流動(dòng)，只要滿足無(wú)旋流動(dòng)條件，必然存在速度勢(shì)函數(shù)。 根據(jù)數(shù)學(xué)分析可知：上式成立是 成為某一函數(shù) 的全微分的充要條件。 稱為速度勢(shì)函數(shù)，簡(jiǎn)稱速度勢(shì)。 zuyuxuzyxddd)(zyx， 把速度勢(shì)函數(shù)代入到不可壓縮流體的連續(xù)性方程其中0 zuyuxuzyx0222222zyx22xxxxux22yyyyuy同理22zzzzuz所以 上式稱為拉普拉斯方程，滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)。所以不可壓縮流體的速度勢(shì)函數(shù)是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。2、平面問(wèn)題、平面問(wèn)題在不可壓縮流體平面流動(dòng)中，連續(xù)性方程為：0 yuxuyx旋轉(zhuǎn)角速度也只有z分量，如果z 為零，即：yuxuxy平面流動(dòng)為無(wú)旋流動(dòng)。平面無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)為：yuxuyxddd平面無(wú)旋流動(dòng)的拉普拉斯方程：02222yx【例例2 2】有一不可壓流體平面流動(dòng)的速度分布為 該平面流動(dòng)是否滿足連續(xù)性方程； 是否存在速度勢(shì)