高等數(shù)學(xué)A§1.1 函數(shù)及映射

1、第一章第一章分析基礎(chǔ)分析基礎(chǔ) 函數(shù)函數(shù) 極限極限 連續(xù)連續(xù) 研究對(duì)象研究對(duì)象 研究方法研究方法 研究橋梁研究橋梁函數(shù)與極限函數(shù)與極限 17世紀(jì)（世紀(jì)（1763年）年）Descartes建立了解析幾何，同建立了解析幾何，同時(shí)把變量引入數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影時(shí)把變量引入數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響，使數(shù)學(xué)從研究常量的初等數(shù)學(xué)進(jìn)一步發(fā)展到研響，使數(shù)學(xué)從研究常量的初等數(shù)學(xué)進(jìn)一步發(fā)展到研究變量的高等數(shù)學(xué)。究變量的高等數(shù)學(xué)。微積分是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要微積分是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的組成部分，是研究變量間的依賴(lài)關(guān)系的組成部分，是研究變量間的依賴(lài)關(guān)系函數(shù)的函數(shù)的一門(mén)學(xué)科，是學(xué)習(xí)其它自然科學(xué)的基礎(chǔ)。

2、一門(mén)學(xué)科，是學(xué)習(xí)其它自然科學(xué)的基礎(chǔ)。 高等數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象是函數(shù)，主要研究函高等數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象是函數(shù)，主要研究函數(shù)的分析性質(zhì)（連續(xù)、可導(dǎo)、可積等）和分析運(yùn)算數(shù)的分析性質(zhì)（連續(xù)、可導(dǎo)、可積等）和分析運(yùn)算（極限運(yùn)算、微分法、積分法等）。那么高等數(shù)學(xué)（極限運(yùn)算、微分法、積分法等）。那么高等數(shù)學(xué)用什么方法研究函數(shù)呢？這個(gè)方法就是極限方法，用什么方法研究函數(shù)呢？這個(gè)方法就是極限方法，也稱(chēng)為無(wú)窮小分析法。也稱(chēng)為無(wú)窮小分析法。從方法論的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，這是從方法論的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，這是高等數(shù)學(xué)區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的一個(gè)顯著標(biāo)志。高等數(shù)學(xué)區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的一個(gè)顯著標(biāo)志。 高等數(shù)學(xué)中幾乎所有的概念都離不開(kāi)極限，因此高等數(shù)學(xué)中

3、幾乎所有的概念都離不開(kāi)極限，因此極限概念是高等數(shù)學(xué)的重要概念，極限理論是高等數(shù)極限概念是高等數(shù)學(xué)的重要概念，極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論，極限是高等數(shù)學(xué)的精華所在，是高等學(xué)的基礎(chǔ)理論，極限是高等數(shù)學(xué)的精華所在，是高等數(shù)學(xué)的靈魂。數(shù)學(xué)的靈魂。因此很好地理解極限概念是學(xué)習(xí)好微積因此很好地理解極限概念是學(xué)習(xí)好微積分的關(guān)鍵，同時(shí)也是從初等數(shù)學(xué)邁入高等數(shù)學(xué)的一個(gè)分的關(guān)鍵，同時(shí)也是從初等數(shù)學(xué)邁入高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要階梯。重要階梯。 本章我們首先介紹極限理論的基本概念、運(yùn)算本章我們首先介紹極限理論的基本概念、運(yùn)算和性質(zhì)，然后討論函數(shù)的連續(xù)性。和性質(zhì)，然后討論函數(shù)的連續(xù)性。重點(diǎn)重點(diǎn) 極限概念，無(wú)窮小與極限的關(guān)系

4、，極限運(yùn)算法則，極限概念，無(wú)窮小與極限的關(guān)系，極限運(yùn)算法則，兩個(gè)重要極限，連續(xù)概念，初等函數(shù)的連續(xù)性，間斷兩個(gè)重要極限，連續(xù)概念，初等函數(shù)的連續(xù)性，間斷點(diǎn)及其分類(lèi)點(diǎn)及其分類(lèi)難點(diǎn)難點(diǎn)極限概念及求極限的方法技巧極限概念及求極限的方法技巧基本要求基本要求能準(zhǔn)確敘述并深刻理解極限定義，明確其幾何意能準(zhǔn)確敘述并深刻理解極限定義，明確其幾何意義，會(huì)用定義驗(yàn)證極限義，會(huì)用定義驗(yàn)證極限正確理解無(wú)窮小量及其與極限的關(guān)系正確理解無(wú)窮小量及其與極限的關(guān)系牢固掌握極限運(yùn)算法則，極限的性質(zhì)，尤其是函牢固掌握極限運(yùn)算法則，極限的性質(zhì)，尤其是函數(shù)數(shù) 極限的保號(hào)性質(zhì)極限的保號(hào)性質(zhì)理解極限存在準(zhǔn)則，熟記兩個(gè)重要極限及其證明理解

5、極限存在準(zhǔn)則，熟記兩個(gè)重要極限及其證明 方法，靈活地運(yùn)用它們及各種變形公式求極限方法，靈活地運(yùn)用它們及各種變形公式求極限正確理解連續(xù)概念，理解間斷點(diǎn)的分類(lèi)正確理解連續(xù)概念，理解間斷點(diǎn)的分類(lèi)理解初等函數(shù)的連續(xù)性，掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)理解初等函數(shù)的連續(xù)性，掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)二、映射二、映射 三、函數(shù)三、函數(shù) 一、集合一、集合第一節(jié)第一節(jié)映射與函數(shù)映射與函數(shù)一、集合一、集合1.1.集合集合: :具有某種特定性質(zhì)的事物的具有某種特定性質(zhì)的事物的總體總體.組成這個(gè)集合的事物稱(chēng)為該集合的組成這個(gè)集合的事物稱(chēng)為該集合的元素元素.,Ma ,Ma ,21naaaA 有限集有限集所具有的特征所具有的

6、特征xxM 無(wú)限集無(wú)限集.,的的子子集集是是就就說(shuō)說(shuō)則則必必若若BABxAx .BA 記記作作數(shù)集分類(lèi)數(shù)集分類(lèi):N-自然數(shù)集自然數(shù)集Z-整數(shù)集整數(shù)集Q-有理數(shù)集有理數(shù)集R-實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系數(shù)集間的關(guān)系:.,RQQZZN .,相相等等與與就就稱(chēng)稱(chēng)集集合合且且若若BAABBA )(BA 例如例如,2 , 1 A,0232 xxxC.CA 則則不含任何元素的集合稱(chēng)為不含任何元素的集合稱(chēng)為空集空集.)(記作記作例如例如,01,2 xRxx 規(guī)定規(guī)定空集為任何集合的子集空集為任何集合的子集.2.2.區(qū)間區(qū)間: :是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間

7、的端點(diǎn)這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).,baRba 且且bxax 稱(chēng)為開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為開(kāi)區(qū)間,),(ba記記作作oxabbxax 稱(chēng)為閉區(qū)間稱(chēng)為閉區(qū)間,ba記作記作oxabbxax 稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間,),ba記作記作bxax 稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間,(ba記作記作有限區(qū)間有限區(qū)間),xaxa ),(bxxb 無(wú)限區(qū)間無(wú)限區(qū)間oxaoxb區(qū)間長(zhǎng)度的定義區(qū)間長(zhǎng)度的定義: :兩端點(diǎn)間的距離兩端點(diǎn)間的距離(線(xiàn)段的長(zhǎng)度線(xiàn)段的長(zhǎng)度)稱(chēng)為區(qū)間的長(zhǎng)度稱(chēng)為區(qū)間的長(zhǎng)度.3.3.鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個(gè)實(shí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)與與設(shè)設(shè)a,鄰鄰域域的的稱(chēng)稱(chēng)為為點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)集集 aaxx ,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)

8、點(diǎn)a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 . )( axaxaUxa a a ,鄰鄰域域的的去去心心的的點(diǎn)點(diǎn) a).(0aU 記記作作0( )0.Uaxxa4.4.絕對(duì)值絕對(duì)值: : 00aaaaa)0( a運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì):;baab ;baba .yxyx 絕對(duì)值不等式絕對(duì)值不等式: :)0( aax;axa )0( aax;axax 或或絕對(duì)值不等式的兩個(gè)變形公式：絕對(duì)值不等式的兩個(gè)變形公式：|)1(yxyx |)2(yxyx 二、映射二、映射定義定義.設(shè)設(shè) X , Y 是兩個(gè)非空集合是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則則 f , 使得使得,Xx有唯一確定的有唯一確定的Yy與

9、之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng) , 則則稱(chēng)稱(chēng) f 為從為從 X 到到 Y 的的映射映射,記作記作.:YXf元素元素 y 稱(chēng)為元素稱(chēng)為元素 x 在映射在映射 f 下的下的 像像 ,記作記作).(xfy 元素元素 x 稱(chēng)為元素稱(chēng)為元素 y 在映射在映射 f 下的下的 原像原像 .集合集合 X 稱(chēng)為映射稱(chēng)為映射 f 的的定義域定義域 ;Y 的子集的子集)(XfXxxf)(稱(chēng)為稱(chēng)為 f 的的 值域值域 .XYfxy注意：注意：1) 映射是集合間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系映射是集合間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系. . 集合集合 X 、Y中所含的元素不一定是數(shù)，可以是其它的中所含的元素不一定是數(shù)，可以是其它的一一些些對(duì)象對(duì)象 ( ( 或事物或事物

10、 ) )。2) 對(duì)每一個(gè)對(duì)每一個(gè)x X，只有唯一的一個(gè)，只有唯一的一個(gè)y Y 值與值與 之之對(duì)應(yīng)關(guān)系不一定就是映射。對(duì)應(yīng)關(guān)系不一定就是映射。對(duì)應(yīng)，這一點(diǎn)很重要，它說(shuō)明集合間元素的對(duì)應(yīng)，這一點(diǎn)很重要，它說(shuō)明集合間元素的3) 映射的定義不排除幾個(gè)不同的映射的定義不排除幾個(gè)不同的 x 值與同一個(gè)值與同一個(gè)y 值對(duì)應(yīng)。值對(duì)應(yīng)。對(duì)映射對(duì)映射YXf:若若YXf)(, 則稱(chēng)則稱(chēng) f 為為滿(mǎn)射滿(mǎn)射; XYf)(Xf若若,2121xxXxx有有 )()(21xfxf則稱(chēng)則稱(chēng) f 為為單射單射;若若 f 既是滿(mǎn)射又是單射既是滿(mǎn)射又是單射, 則稱(chēng)則稱(chēng) f 為為雙射雙射 或或一一映射一一映射. XY)(Xff一一映射

11、的實(shí)質(zhì)一一映射的實(shí)質(zhì) fXY如果是到的一一映射，則12121122(1) ()() xxXxxyf xf xy，若， 則； ) )( ( )2(?；験XfYRf三、函數(shù)三、函數(shù)定義域定義域定義定義. 設(shè)數(shù)集設(shè)數(shù)集,RD則稱(chēng)映射則稱(chēng)映射R:Df為定義在為定義在D 上的函數(shù)上的函數(shù) , 記為記為Dxxfy, )( f ( D ) 稱(chēng)為值域稱(chēng)為值域 函數(shù)圖形函數(shù)圖形: ),(yxC Dx, )(xfy xy) ,(baDabxy)(DfD自變量自變量因變量因變量DxfDxxfyyDfy),()(對(duì)應(yīng)規(guī)則對(duì)應(yīng)規(guī)則)(值域值域)(定義域定義域)例如例如, 反正弦主值反正弦主值xxfyarcsin)(,

12、1, 1D,)(22Df 定義域定義域 對(duì)應(yīng)規(guī)律對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示方法的表示方法: 解析法解析法、圖象法、圖象法、列表法、列表法使表達(dá)式及實(shí)際問(wèn)題都有意義的自變量使表達(dá)式及實(shí)際問(wèn)題都有意義的自變量集合集合.定義域定義域值域值域xyoxy xxf)(又如又如, 絕對(duì)值函數(shù)絕對(duì)值函數(shù)0,xx0,xx定義域定義域RD值值 域域),0)(Df如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函單值函數(shù)數(shù)，否則叫做，否則叫做多值函數(shù)多值函數(shù)例例如如，222ayx 問(wèn)題：多值函數(shù)與單值函數(shù)的區(qū)別在哪里？問(wèn)題：

13、多值函數(shù)與單值函數(shù)的區(qū)別在哪里？ 根據(jù)函數(shù)的定義，多值函數(shù)本質(zhì)上不是函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的定義，多值函數(shù)本質(zhì)上不是函數(shù)，只是在使用時(shí)為了方便起見(jiàn)，仍然把它叫做只是在使用時(shí)為了方便起見(jiàn)，仍然把它叫做“函函數(shù)數(shù)”！幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例 (1) 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)xxx sgn1-1xyo(2) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過(guò)表示不超過(guò) x 的最大整數(shù)的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線(xiàn)階梯曲線(xiàn)(3) 狄利克雷狄利克雷函數(shù)（函數(shù)（Dirichlet ） 是無(wú)理數(shù)時(shí)是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是

14、有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy01)(有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xyo(4) 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, 對(duì)應(yīng)法則用不同的對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù)式子來(lái)表示的函數(shù),稱(chēng)為稱(chēng)為分段函數(shù)分段函數(shù). 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xy(5)絕對(duì)值函數(shù)絕對(duì)值函數(shù) 0,0,|xxxxxyoxy定義域定義域R值域值域), 0 三、函數(shù)的特性三、函數(shù)的特性1函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:,)(, 0,成成立立有有若若Mxf

15、XxMDX .)(否則稱(chēng)無(wú)界否則稱(chēng)無(wú)界上有界上有界在在則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)XxfM-Myxoy=f(x)X有界有界M-MyxoX0 x無(wú)界無(wú)界Ox成立，則稱(chēng)函數(shù) y = f ( x )在區(qū)間 I 上是上方有界的, 簡(jiǎn)稱(chēng)有上界上界。設(shè)函數(shù) y = f ( x ) 在區(qū)間I 上有定義。 若存在實(shí)數(shù) M (可正，可負(fù))，對(duì)一切 x I 恒有OxyMy = f ( x )f ( x ) M Oxf ( x )m在區(qū)間 I 上是下方有界的, 簡(jiǎn)稱(chēng)有下界下界。設(shè)函數(shù) y = f ( x )在區(qū)間 I 上有定義。若存在實(shí)數(shù) m (可正，可負(fù)), 對(duì)一切 x I 恒有 成立，則稱(chēng)函數(shù) y = f ( x )Oxy

16、my = f ( x ) 函數(shù)函數(shù) y = f ( x ) 有界有界f ( x ) 既有上界又有下界既有上界又有下界.在區(qū)間在區(qū)間 I 上上:xyABO)(xfy 如何證明或判斷函數(shù)無(wú)界？提一個(gè)問(wèn)題：證明或判斷無(wú)界，通常依據(jù)證明或判斷無(wú)界，通常依據(jù): :函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 I 上無(wú)界，上無(wú)界，則不論則不論 M 0 的值取得多么大，的值取得多么大， 總總,0Ix 使得使得 | f ( x0 ) | M 成立成立。易知：易知：例例2 yx討論函數(shù)的有界性：。函數(shù)的定義域?yàn)椋?) ,( fD ) ,(1 0 0有，取因?yàn)镸xM，MMMxf1)1( | )(|20在其定義域內(nèi)是

17、無(wú)界的。在其定義域內(nèi)是無(wú)界的。 故函數(shù)故函數(shù)2xy 在任何一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)有界。在任何一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)有界。2xy 2函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性:,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上上任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)如如果果對(duì)對(duì)于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ),()()1(21xfxf 恒恒有有;)(上是單調(diào)增加的上是單調(diào)增加的在區(qū)間在區(qū)間則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)Ixf)(xfy )(1xf)(2xfxyoI,2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上上任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)如如果果對(duì)對(duì)于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ),()()2(21xfxf 恒恒有有;)(上上是是單單調(diào)調(diào)減減少少的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù)

18、Ixf)(xfy )(1xf)(2xfxyoI,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)3函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性:有有對(duì)對(duì)于于關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf ;)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)稱(chēng)稱(chēng)xfyx)( xf )(xfy ox-x)(xf偶函數(shù)偶函數(shù)有有對(duì)對(duì)于于關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf ;)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)稱(chēng)稱(chēng)xf)( xf yx)(xfox-x)(xfy 奇函數(shù)奇函數(shù)4函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性:,)(Dxf的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)如如果果存存在在一一個(gè)個(gè)不不為為零零的的.)()(恒恒成成立立且且xflxf 為為周周則

19、則稱(chēng)稱(chēng))(xf.)( ,DlxDxl 使使得得對(duì)對(duì)于于任任一一數(shù)數(shù).)(,的的周周期期稱(chēng)稱(chēng)為為期期函函數(shù)數(shù)xfl（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l5. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1) 反函數(shù)的概念及性質(zhì)反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)若函數(shù))(:DfDf為單射為單射, 則存在逆映射則存在逆映射DDff)(:1習(xí)慣上習(xí)慣上,Dxxfy, )(的反函數(shù)記成的反函數(shù)記成)(,)(1Dfxxfy稱(chēng)此映射稱(chēng)此映射1f為為 f 的的反函數(shù)反函數(shù) .其反函數(shù)其反函數(shù)(減減)(減減) .1) yf (x) 單調(diào)遞增單調(diào)遞增,)(1存在xfy

20、且也單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增 性質(zhì)性質(zhì): 2) 函數(shù)函數(shù))(xfy 與其反函數(shù)與其反函數(shù))(1xfy的圖形關(guān)于直線(xiàn)的圖形關(guān)于直線(xiàn)xy 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng) .例如例如 ,),(,xeyx對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)),0(,lnxxy互為反函數(shù)互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增它們都單調(diào)遞增, 其圖形關(guān)于直線(xiàn)其圖形關(guān)于直線(xiàn)xy 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng) .)(xfy )(1xfyxy ),(abQ( , )P a bxyo指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)(2) 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 1),(Duufy,),(Dxxgu1)(DDg且則則Dxxgfy, )(設(shè)有函數(shù)鏈設(shè)有函數(shù)鏈稱(chēng)為由稱(chēng)為由, 確定的確定的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) , 復(fù)合映射的特例復(fù)合映射的特例 u 稱(chēng)為

21、稱(chēng)為中間變量中間變量. 注意注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件 1)(DDg不可少不可少. 例如例如, 函數(shù)鏈函數(shù)鏈 :,arcsinuy ,122xu函數(shù)函數(shù),12arcsin2xyDx,1231,23但函數(shù)鏈但函數(shù)鏈22,arcsinxuuy不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) .可定義復(fù)合可定義復(fù)合兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如例如, 0,uuy可定義復(fù)合函數(shù)可定義復(fù)合函數(shù):,2cotxy ,) 12( ,2(kkxZn02cot,22xkxk時(shí)),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv四四. . 初等函數(shù)初等函數(shù)(1) 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、三角函數(shù)、 反三角函數(shù)反三角函數(shù)(2) 初等函數(shù)初等函數(shù) 由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成算和復(fù)合步驟所構(gòu)成 , ,并可用一個(gè)式子表示并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)的函數(shù) , ,稱(chēng)為初等函數(shù)稱(chēng)為初等函數(shù) . .否則稱(chēng)為否則稱(chēng)為非初等函非初等函數(shù)數(shù) . . 例如例如 都是初等函數(shù)都是初等函數(shù). . 1523xxy112xxxyxxeey23xyxxxy22sin1 cos1 sin 一般說(shuō)來(lái), 分段函