北京市朝陽(yáng)區(qū)高三一模數(shù)學(xué)理

1、北京市朝陽(yáng)區(qū)高三年級(jí)第一次綜合練習(xí) 數(shù)學(xué)測(cè)試題（理工類） 2011.4（考試時(shí)間120分鐘 滿分150分）本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分第一部分（選擇題 共40分）注意事項(xiàng)：1答第一部分前，考生務(wù)必將自己的姓名、考試科目涂寫在答題卡上.考試結(jié)束時(shí)，將試題卷和答題卡一并交回.2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，不能答在試題卷上.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1若集合，則等于（A） （B） （C） （D），2某校高三一班有學(xué)生54人，

2、二班有學(xué)生42人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從兩個(gè)班抽出16人參加軍訓(xùn)表演，則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是（A）8，8（B）10，6（C）9，7（D）12，4 3極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程是（A） （B） （C） （D）4已知是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，表示的前項(xiàng)的和若，則的值是 （A）511（B） 1023 （C）1533 （D）30695函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（A） （B） （C） （D）側(cè)視圖正視圖1俯視圖6已知某個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中正視圖是等邊三 角形，側(cè)視圖是直角三角形，俯視圖是等腰直角三角形， 則此三棱錐的體積等于 （A） （B） （C） （D）xyOCBAFD7如圖，雙曲線的中心在

3、坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別是雙曲線虛軸的上、下頂點(diǎn)，是雙曲線的左頂點(diǎn)，為雙曲線的左焦點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn).若雙曲線的離心率為2，則的余弦值是 （A） （B） （C） （D）8定義區(qū)間，的長(zhǎng)度均為，多個(gè)區(qū)間并集的長(zhǎng)度為各區(qū)間長(zhǎng)度之和，例如, 的長(zhǎng)度. 用表示不超過的最大整數(shù)，記，其中. 設(shè)，若用分別表示不等式，方程，不等式解集區(qū)間的長(zhǎng)度，則當(dāng)時(shí)，有 （A） （B） （C） （D）第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上. 9復(fù)數(shù)，則等于 .10在二項(xiàng)式的展開式中，第四項(xiàng)的系數(shù)是 .ABCDE··F11如右圖，在三角形中，分別為

4、，的中 點(diǎn)，為上的點(diǎn)，且. 若 ，則實(shí)數(shù) ，實(shí)數(shù) .開始輸入x是輸出結(jié)束否12執(zhí)行右圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為 13如下圖，在圓內(nèi)接四邊形中, 對(duì)角線相交于點(diǎn)已知，則 ，的長(zhǎng)是 14對(duì)于各數(shù)互不相等的整數(shù)數(shù)組 (是不小于3的正整數(shù))，對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)有，則稱，是該數(shù)組的一個(gè)“逆序”，一個(gè)數(shù)組中所有“逆序”的個(gè)數(shù)稱為該數(shù)組的“逆序數(shù)”，則數(shù)組（2，4，3，1）中的逆序數(shù)等于 ；若數(shù)組中的逆序數(shù)為，則數(shù)組中的逆序數(shù)為 .三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15（本小題滿分13分）在銳角中，角，所對(duì)的邊分別為，已知.（）求；（）當(dāng)，且時(shí)，求.16

5、（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，側(cè)面底面. 若.（）求證：平面；ABPCD（）側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn) 的位置并證明，若不存在，請(qǐng)說明理由；（）求二面角的余弦值.17（本小題滿分13分）在某校教師趣味投籃比賽中,比賽規(guī)則是: 每場(chǎng)投6個(gè)球，至少投進(jìn)4個(gè)球且最后2個(gè)球都投進(jìn)者獲獎(jiǎng)；否則不獲獎(jiǎng). 已知教師甲投進(jìn)每個(gè)球的概率都是（）記教師甲在每場(chǎng)的6次投球中投進(jìn)球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（）求教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率；（）已知教師乙在某場(chǎng)比賽中，6個(gè)球中恰好投進(jìn)了4個(gè)球，求教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率；教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率與教師甲在

6、一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率相等嗎？ 18（本小題滿分13分）已知函數(shù).（）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若對(duì)于都有成立，試求的取值范圍；（）記.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19（本小題滿分14分）已知，為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，是橢圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為 （）求橢圓的方程及離心率；（）直線與橢圓在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試判斷以 為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并加以證明20（本小題滿分14分）有個(gè)首項(xiàng)都是1的等差數(shù)列，設(shè)第個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)為，公差為，并且成等差數(shù)列（）證明 （，是的多項(xiàng)式），并求的值；（）當(dāng)時(shí)，將數(shù)列分組如下：(每組數(shù)

7、的個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列)設(shè)前組中所有數(shù)之和為，求數(shù)列的前項(xiàng)和（）設(shè)是不超過20的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)于（）中的，求使得不等式成立的所有的值北京市朝陽(yáng)區(qū)高三年級(jí)第一次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)測(cè)試題答案（理工類）2011.4一、選擇題: 題號(hào)（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ACADABCB二、填空題:題號(hào)（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案160210.864三、解答題：本大題共6小題，共80分.15（本小題滿分13分）解：（）由已知可得.所以.因?yàn)樵谥?，所? 6分（）因?yàn)?，所?因?yàn)槭卿J角三角形，所以，.所以. 由正弦定理可得：，所以. 13分16（本小題滿分13分）解法一：（）

8、因?yàn)?，所以.又因?yàn)閭?cè)面底面，且側(cè)面底面，所以底面.而底面，所以. 在底面中，因?yàn)?，所?， 所以. 又因?yàn)椋?所以平面. 4分（）在上存在中點(diǎn)，使得平面， EFABPCD證明如下：設(shè)的中點(diǎn)是， 連結(jié)，則，且.由已知，所以. 又，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以. 因?yàn)槠矫?，平面，GHABPCD所以平面. 8分（）設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié)，則 .又因?yàn)槠矫嫫矫?，所?平面.過作于，連結(jié)，由三垂線定理可知.所以是二面角的平面角.設(shè)，則, .在中，所以.所以 ，.即二面角的余弦值為. 13分zyxABPCD解法二：因?yàn)?，所以.又因?yàn)閭?cè)面底面，且側(cè)面底面，所以 底面.又因?yàn)?，所以，兩兩垂?分別以，為

9、軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)，則，. （），,所以 ，所以，.又因?yàn)椋?所以平面. 4分（）設(shè)側(cè)棱的中點(diǎn)是， 則，. 設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則 因?yàn)?，所?取，則.所以， 所以.因?yàn)槠矫?，所以平? 8分（）由已知，平面，所以為平面的一個(gè)法向量.由（）知，為平面的一個(gè)法向量.設(shè)二面角的大小為，由圖可知，為銳角，所以.即二面角的余弦值為. 13分17（本小題滿分13分）解：（）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6. 依條件可知XB(6，). ()X的分布列為：X0123456P所以=.或因?yàn)閄B(6，)，所以. 即X的數(shù)學(xué)期望為4 5分 （）設(shè)教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)為事件A，

10、則答：教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率為 10分（）設(shè)教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)為事件B， 則.即教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率為.顯然，所以教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率與教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率不相等13分18（本小題滿分13分）解: (I) 直線的斜率為1.函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，所? 所以. .由解得；由解得.所以的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是. 4分(II) ，由解得；由解得.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，.因?yàn)閷?duì)于都有成立，所以即可.則. 由解得.所以的取值范圍是. 8分(III)依題得，則.由解得；由解得.所以函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù).

11、又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以解得.所以的取值范圍是. 13分19（本小題滿分14分）解：（）由題意可設(shè)橢圓的方程為，由題意知解得， 故橢圓的方程為，離心率為6分（）以為直徑的圓與直線相切 證明如下：由題意可設(shè)直線的方程為.則點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)的坐標(biāo)為由得設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則所以， 10分因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.直線軸，此時(shí)以為直徑的圓與直線相切當(dāng)時(shí)，則直線的斜率.所以直線的方程為點(diǎn)到直線的距離又因?yàn)?，所以故以為直徑的圓與直線相切綜上得，當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓與直線相切14分20（本小題滿分14分）解：（）由題意知，同理， 又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以.故，即是公差為的等差數(shù)列所以，令