第五節(jié) 廣義積分ppt課件

1、二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分第五節(jié)常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣一、無窮限的廣義積分一、無窮限的廣義積分廣義積分 (反常積分) 廣義積分（ImproperIntegrals) 第五章 基本問題：基本問題：中在定積分dxxfba)(（1積分區(qū)間 a , b 為有限區(qū)間；（2f (x) 連續(xù)，或有界且間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為有限個(gè)。（1將定積分的概念推廣至積分區(qū)間 為無限區(qū)間；（2考慮被積函數(shù)在積分區(qū)間上無界的情形。一、無窮限的廣義積分一、無窮限的廣義積分一、無窮限的廣義積分一、無窮限的廣義積分引例引例. 曲線曲線21xy 和直線1x及 x 軸所圍成的開口曲邊梯形的面積21xy A1可記

2、作12dxxA其含義可理解為 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1定義定義1. 設(shè)設(shè), ),)(aCxf,ab 取假設(shè)xxfbabd)(lim存在 , 則稱此極限為 f (x) 的無窮限廣義積分, 記作xxfxxfbabad)(limd)(這時(shí)稱廣義積分xxfad)(收斂收斂 ;如果上述極限不存在,就稱廣義積分xxfad)(發(fā)散發(fā)散 .類似地 , 假設(shè), ,()(bCxf則定義xxfxxfbaabd)(limd)(, ),()(Cxf若則定義xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 為任意取定的常數(shù) )只要有一個(gè)極限不存在 , 就稱xxfd)(發(fā)散

3、 .無窮限的廣義積分也稱為第一類廣義積分. ,并非未定型 ,說明說明: 上述定義中若出現(xiàn)上述定義中若出現(xiàn) 它表明該廣義積分發(fā)散 .收斂xdxf)(都收斂與ccxdxfxdxf)()(通常取通常取 c = 0 .,)()(的原函數(shù)是若xfxF引入記號(hào); )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx則有類似牛 萊公式的計(jì)算表達(dá)式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF廣義積分 的計(jì)算分兩步： axdxf)(（1計(jì)算正常積分：taxdxftI)()(（2求極限：tattxdxftI)(lim)(lim例例1. 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣

4、義積分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2xoy211xy21dxx021dxx201dxx0211aalimdxx2011bblimdxx0aalim arctanx0bblim arctanxalim arctana blim arctanb22. 或考慮考慮: ?01d2對(duì)嗎xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原積分發(fā)散 !注意注意: 對(duì)廣義積分對(duì)廣義積分, 只有在收斂的條件下才能使用只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零” 的性質(zhì), 否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤 .例例2. 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解:2211sindx.xx2211sindxxx211sindxx 211

5、bblimsindxx 21bblim cosx12blim coscosb. 1 例例3. 證明第一類證明第一類 p 積分積分apxxd證證:當(dāng)當(dāng) p =1 時(shí)有時(shí)有 axxdaxlnapxxdappx11當(dāng) p 1 時(shí)有 1p1p,11pap當(dāng) p 1 時(shí)收斂 ; p1 時(shí)發(fā)散 .,因而, 當(dāng) p 1 時(shí), 廣義積分收斂 , 其值為;11pap當(dāng) p1 時(shí), 廣義積分發(fā)散 . 例例4. 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分. )0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p例例5：計(jì)算：計(jì)算21arctan xdxx 方法一：兩個(gè)不同類型函數(shù)乘積的廣義方法一：兩個(gè)不同類

6、型函數(shù)乘積的廣義積分，積分，可考慮用分部積分法。可考慮用分部積分法。12arctanxdxx)1(arctan1xdx1arctanxx)arctan(11xdx4 12)1(1xdxx4 12)11(xdxxx4 12)1(ln21lnxx4 121lnxx42ln21其中，12)11(xdxxx2ln212111x()dxxx11dxx 211xdxx1lnx2112ln(x )2111x()dxxx 122ln思考題：指出下面解題過程的錯(cuò)誤22111121d(x)x 1lnx不存在或發(fā)散例5：計(jì)算 12arctanxdxx 方法二：先換元，消去反三角函數(shù)方法二：先換元，消去反三角函數(shù)令u

7、 arctanx ,那么x tanu,2dx sec udu ,21arctanxdxx 2422usec udutan u242ucsc udu24udcotu正常積分24u cotu24cotudu4 24lnsinu4 2ln21 ,1時(shí)當(dāng)x4u,時(shí)當(dāng)x2u,二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分引例引例:曲線曲線xy1所圍成的1x與 x 軸, y 軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作10dxxA其含義可理解為 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02xy10A1xy定義定義2. 設(shè)設(shè), ,()(baCxf而在點(diǎn) a 的右鄰域內(nèi)無界,0取存在 ,xxfxxfbabad)(

8、limd)(0這時(shí)稱廣義積分xxfbad)(收斂 ; 如果上述極限不存在,就稱廣義積分xxfbad)(發(fā)散 .類似地 , 假設(shè), ),)(baCxf而在 b 的左鄰域內(nèi)無界,xxfxxfbabad)(limd)(0若極限baxxfd)(lim0數(shù) f (x) 在 a , b 上的廣義積分, 記作則定義則稱此極限為函 若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類 說明說明: ,)(,)(外連續(xù)上除點(diǎn)在若bcacbaxf而在點(diǎn) c 的無界函數(shù)的積分又稱作第二類廣義積分, 無界點(diǎn)常稱鄰域內(nèi)無界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220為

9、瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)) 瑕積分.例如,xxxd11112xxd) 1(11間斷點(diǎn),而不是廣義積分. 則本質(zhì)上是常義積分, 則定義注意注意: 若瑕點(diǎn)若瑕點(diǎn),)()(的原函數(shù)是設(shè)xfxF的計(jì)算表達(dá)式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF則也有類似牛 萊公式的假設(shè) b 為瑕點(diǎn), 那么假設(shè) a 為瑕點(diǎn), 那么假設(shè) a , b 都為瑕點(diǎn), 那么, ),(bac那么xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消嗎可相消嗎?例例6. 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分. )0(d022axaxa解解:顯然瑕點(diǎn)為 a , 所以2201xalim,ax 220

10、adxax2200adxlimax00axlim arcsina00alim arcsina.2 原式0arcsinaax1arcsin2112dxx211111x下述解法是否正確: , 積分收斂例例7. 討論廣義積分討論廣義積分112dxx的收斂性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以廣義積分112dxx發(fā)散 .例例8. 證明廣義積分證明廣義積分baqaxx)(d證證: 當(dāng)當(dāng) q = 1 時(shí)時(shí),當(dāng) q 1 時(shí)收斂 ; q1 時(shí)發(fā)散 .baaxxdbaax ln當(dāng) q1 時(shí)baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分收斂 , 其值為;1)(1qabq當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分發(fā)散 .例例9.解：解：,)2() 1() 1()(32xxxxxf設(shè)求.d)(1)(312xxfxfI)(20 xfxx為與 的無窮間斷點(diǎn), 故 I 為廣義xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI202d)(1)(xxfxf322d)(1)(xxfxf積分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf232222732arctan222732arctan10內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 廣義積分廣義積分積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界