數(shù)學物理方法第十章_格林函數(shù)法

1、10.3 10.3 無界空間的格林函數(shù)無界空間的格林函數(shù) 基本解基本解無界區(qū)域無界區(qū)域中格林積分公式中的中格林積分公式中的面積分面積分應為應為零零，故有，故有 0000( )( ,) ( )dTuGfVrr rr選取選取( )u r和和0( ,)G r r分別滿足下列方程分別滿足下列方程 ( )( )uf rr00( , )( - )Gr rr r一、三維球?qū)ΨQ一、三維球?qū)ΨQ對于對于三維球?qū)ΨQ三維球?qū)ΨQ情形，我們選取情形，我們選取 00r兩邊在球內(nèi)積分兩邊在球內(nèi)積分 ( ,0)d( )dTTGVV rr( )d1TVr利用利用高斯定理高斯定理得到得到 2( ,0)d( ,0)d( ,0) ds

2、in d dTTSSGGVGVGrr rrrS00( , )( - )Gr rr r 故有故有 2sin d d( ,0)d1STGrGVr r使上式恒成立使上式恒成立，有，有 2( ,0)41Grr r 1( ,0)4Gcrr r 0G 因此因此0c ，,故得到故得到 1(, 0 )4 Grr對于三維無界球?qū)ΨQ情形的格林函數(shù)可以選取為對于三維無界球?qū)ΨQ情形的格林函數(shù)可以選取為001( ,)4|Gr rrr代入代入 得到得到三維無界區(qū)域問題的解三維無界區(qū)域問題的解為為00T00( )1( )d4|fuVrrrr上式正是我們所熟知的靜電場的電勢表達式上式正是我們所熟知的靜電場的電勢表達式 000

3、0( )( ,) ( )dTuGfVrr rr二、二維軸對稱情形二、二維軸對稱情形用單位長的圓柱體來代替球積分在單位長的圓柱體內(nèi)進行用單位長的圓柱體來代替球積分在單位長的圓柱體內(nèi)進行，即，即因為( ,0)d( )dTTGVV rr( )d1TVr( ,0)d( ,0)d( ,0) dTTSGVGVG rrrS由于由于 ,rGGGre只是垂直于軸，且向外的分量，所以上式在只是垂直于軸，且向外的分量，所以上式在圓柱體上、下底的圓柱體上、下底的面積分為零面積分為零，只剩下沿，只剩下沿側(cè)面的積分側(cè)面的積分，即，即 d d( )d1TGrzVr r選取的選取的圓柱的高度圓柱的高度為單位長，則很容易得到下

4、面的結(jié)果為單位長，則很容易得到下面的結(jié)果 12Grr 11( ,0)ln2Gcrr令令積分常數(shù)為積分常數(shù)為0 0，得到，得到 11( ,0)ln2Grr因此二維軸對稱情形的格林函數(shù)為因此二維軸對稱情形的格林函數(shù)為0011( ,)ln2|Gr rrr得到得到二維無界區(qū)域的解二維無界區(qū)域的解為為000011( )( )lnd2|SufS|rrrr10.4 10.4 用電像法確定格林函數(shù)用電像法確定格林函數(shù)用格林函數(shù)法求解的用格林函數(shù)法求解的主要困難主要困難還在于還在于如何確定格林函數(shù)本身如何確定格林函數(shù)本身 一個具體的定解問題，需要一個具體的定解問題，需要尋找一個合適的格林函數(shù)尋找一個合適的格林函

5、數(shù) 為了求解的方便，對一些具體問題我們給出構(gòu)建格林函數(shù)的方法為了求解的方便，對一些具體問題我們給出構(gòu)建格林函數(shù)的方法 一、電像法定義一、電像法定義 考慮一個具體的考慮一個具體的物理模型物理模型：設在一接地導體球內(nèi)的：設在一接地導體球內(nèi)的 0M放置一個單位正電荷，求在體內(nèi)的電勢分布，并滿足邊界條件為零放置一個單位正電荷，求在體內(nèi)的電勢分布，并滿足邊界條件為零 點點對于對于第一類邊值問題第一類邊值問題，其格林函數(shù)可定義為下列定解問題的解，其格林函數(shù)可定義為下列定解問題的解000( ,)( -)( ,)|0GG r rr rr r 為了滿足邊界條件：電勢為零，所以還得在為了滿足邊界條件：電勢為零，所

6、以還得在邊界外像邊界外像點（或?qū)ΨQ點）點（或?qū)ΨQ點）放置放置一個合適的負電荷，這樣才能使這兩一個合適的負電荷，這樣才能使這兩個電荷在界面上產(chǎn)生的電勢之和為零個電荷在界面上產(chǎn)生的電勢之和為零 這方法是基于這方法是基于靜電學的鏡像原理來構(gòu)建格林函數(shù)靜電學的鏡像原理來構(gòu)建格林函數(shù)，所，所以我們稱這種構(gòu)建方法為以我們稱這種構(gòu)建方法為電像法（也稱為鏡像法）電像法（也稱為鏡像法） 二、二、 上半平面區(qū)域第一邊值問題的格林函數(shù)構(gòu)建上半平面區(qū)域第一邊值問題的格林函數(shù)構(gòu)建拉普拉斯方程的第一邊值問題求解拉普拉斯方程的第一邊值問題求解物理模型物理模型：若在：若在 000(,)Mx y處放置一處放置一正單位點電荷正單

7、位點電荷 則虛設的則虛設的負負單位點電荷單位點電荷應該在應該在 100(,)Mxy于是得到這兩點于是得到這兩點電荷電荷在在 xoy xoy 的上半平面的的上半平面的電位分電位分布布也就是本問題的格林函數(shù)，即為也就是本問題的格林函數(shù)，即為 0010022220000220022001111( ,)lnln2|2|1111( ,|,)lnln22()()()()()()1 ln4()()GG x y xyxxyyxxyyxxyyxxyyr rrrrr據(jù)上述據(jù)上述物理模型物理模型可求解下列定解問題可求解下列定解問題 例例1 1 定解問題：定解問題： 00, (0)|( ) xxyyyuuyux解：解

8、： 根據(jù)根據(jù)第一邊值問題第一邊值問題，構(gòu)建的格林函數(shù)滿足，構(gòu)建的格林函數(shù)滿足 200() ()xxyyGGGxxyy 0|0yG0000(,),(,)xyxy處放置于一個正和一個負的點電荷（或點源）處放置于一個正和一個負的點電荷（或點源） 構(gòu)建格林函數(shù)為構(gòu)建格林函數(shù)為 2200002200()()1( ,|,)ln4()()xxyyG x y xyxxyy邊界外法線方向為負邊界外法線方向為負y軸，故有軸，故有 0000222222000000111|=2 () () ()yyyyGGnyxxyxxyxxy 代入到代入到拉普拉斯第一邊值問題拉普拉斯第一邊值問題解的公式，拉普拉斯方程的解的公式，拉

9、普拉斯方程的自由自由項項0f ,則由則由000( ,)( )( ,) ( )d( )dTGuGfVSr rrr rrrn得得 0002200( )(,)d()yxu xyxxxy或代入拉普拉斯方程的或代入拉普拉斯方程的第一邊值問題第一邊值問題的解公式的解公式0000( ,)( )( )dGuS r rrrn得到00220()( , )d()g xyu x yxxxy稱為稱為上半平面的拉普拉斯積分公式上半平面的拉普拉斯積分公式三、三、 泊松方程的第一邊值問題求解泊松方程的第一邊值問題求解 例例2 2 定解問題：定解問題： ( , ) ( + ,0)( ,0)( ) ( + ,0)xxyyuuf

10、x yxyu xxxy 根據(jù)第一類邊值問題的解公式第一類邊值問題的解公式得到 000000000000( ,)( , )( , ;,) (,)d d()|dyGu x yG x y xyf xyxyxx 0nr r根據(jù)根據(jù)半平面區(qū)域第一類邊值問題的格林函數(shù)式半平面區(qū)域第一類邊值問題的格林函數(shù)式，得到，得到 2200002200()()1( ,|,)ln4()()xxyyG x y xyxxyy因為邊界上的法線為負因為邊界上的法線為負y y軸，軸，故故 002200|()yyGGnyxxy 得到泊松方程在得到泊松方程在半平面區(qū)域第一邊值問題的解半平面區(qū)域第一邊值問題的解2200000000222

11、20000()()()11( , )ln (,)d dd4()()()xxyyyxu x yf xyx yxxxyyxxy 例例.3.3 在上半空間0z內(nèi)求解拉普拉斯方程的內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題第一邊值問題 00,(0)|( , )xxyyzzzuuuzux y解：構(gòu)建格林函數(shù)解：構(gòu)建格林函數(shù)000( , , ,)G x y z xyz滿足滿足0000() () ()|0 zGxxyyzzG 四、上半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題四、上半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題00111( ,)4|4|Gr rrrrr根據(jù)根據(jù)物理模型和無界區(qū)域的格林函數(shù)物理模型和無界區(qū)域的格林函數(shù)

12、可以構(gòu)建為可以構(gòu)建為022222200000011( , )4 ()()()4 ()()()Gx xyyz zx xyyzzr r即有 為了把為了把0( ,)G r r代入代入拉普拉斯第一邊值問題拉普拉斯第一邊值問題的解的公式，的解的公式，需要先計算需要先計算000|zGn即為即為000|zGz 000000222000002220000222 3/200|11 ()4()()()1 +()|()()()1 =2()()zzzGGnzzxxyyzzzxxyyzzzxxyyz代入即得到代入即得到 0000222 3/200(,)( , , )d d2()()g xyzu x y zxyxxyyz

13、 這公式叫作這公式叫作上半空間的拉普拉斯積分上半空間的拉普拉斯積分五、五、 圓形區(qū)域第一邊值問題的格林函數(shù)構(gòu)建圓形區(qū)域第一邊值問題的格林函數(shù)構(gòu)建物理模型物理模型：在圓內(nèi)任找一點 0()M 1R P 2R 1M x 00()M 放置一個單位電荷圓外圓外M1放置另一個單位電荷根據(jù)圖，這兩電荷在圓內(nèi)任一觀察點根據(jù)圖，這兩電荷在圓內(nèi)任一觀察點( )P 所產(chǎn)生的所產(chǎn)生的電勢電勢為為0111lnln2|2|ucb 當觀察點當觀察點P位于圓周上位于圓周上()a時，應該有時，應該有0u ，即滿足即滿足第一類齊次邊值條件第一類齊次邊值條件|0u, 即為即為2222001ln2cos()ln2cos()044aa

14、ababc上式應對任何上式應對任何值成立，所以上式對值成立，所以上式對的的導數(shù)應為零導數(shù)應為零，即，即02222002sin()12sin()042cos()42cos()aabaaabab即得到即得到 22220002cos()2cos()0b aaabab要求上式對要求上式對任意任意的的值要成立，故提供了確定值要成立，故提供了確定,b的方程的方程22220000()()0220b aababab 聯(lián)立解得聯(lián)立解得 201, ab 于是圓形區(qū)域于是圓形區(qū)域()a的第一類邊值問題的格林函數(shù)為的第一類邊值問題的格林函數(shù)為02001111( ,)lnln2|2|Ga 即為即為 2242000222

15、002cos()1( ,)ln42cos()aaGa 2222000,xyxy.其中其中例例.4.4 求解如下泊松方程定解問題求解如下泊松方程定解問題 2( )( ), ()( )|( ), ()aufaua 根據(jù)根據(jù)第一類邊值問題解的公式第一類邊值問題解的公式 ，并取沿垂直于圓的方，并取沿垂直于圓的方向取單位長積分，這樣原來的體積分化為面積分，原來的向取單位長積分，這樣原來的體積分化為面積分，原來的面積分化為線積分故得到面積分化為線積分故得到 00000000( )( ,) ()d()|daSlGuGfSln 根據(jù)構(gòu)建的根據(jù)構(gòu)建的圓內(nèi)第一邊值問題的格林函數(shù)圓內(nèi)第一邊值問題的格林函數(shù)00222200|2 2cos()