數(shù)字信號處理第四章ppt課件

1、第四章第四章 離散隨機信號處置離散隨機信號處置 離散時域信號和系統(tǒng)有時域和頻域兩種表示，離散時域信號和系統(tǒng)有時域和頻域兩種表示，之前的分析和討論都是以假定信號為確定性為根底之前的分析和討論都是以假定信號為確定性為根底的。所謂確定性是指序列在每一點上的值都可以由的。所謂確定性是指序列在每一點上的值都可以由數(shù)學(xué)表達式，數(shù)據(jù)鏈表或某種法那么確定，也就是數(shù)學(xué)表達式，數(shù)據(jù)鏈表或某種法那么確定，也就是說信號的過去、當(dāng)前和未來的值都是確知的。對于說信號的過去、當(dāng)前和未來的值都是確知的。對于確定性信號，我們可以用確定性信號，我們可以用Z Z變換或者傅里葉變換來表變換或者傅里葉變換來表示。示。 然而在實踐工程問

2、題中，我們遇到的離散時間然而在實踐工程問題中，我們遇到的離散時間信號或數(shù)據(jù)往往是無法用確定的數(shù)學(xué)解析式或數(shù)據(jù)信號或數(shù)據(jù)往往是無法用確定的數(shù)學(xué)解析式或數(shù)據(jù)鏈表來表示的，有能夠描畫這種信號的參變量是隨鏈表來表示的，有能夠描畫這種信號的參變量是隨機變量，我們將這類信號稱為隨機信號。機變量，我們將這類信號稱為隨機信號。 例如信號：例如信號： ，假設(shè)其中的參變量除了時，假設(shè)其中的參變量除了時間變量間變量t t以外，以外， 都是常數(shù)，那么該信號有確定的變換都是常數(shù)，那么該信號有確定的變換規(guī)律，每一時辰的值都可以獨一確定，即為確定性信號；假規(guī)律，每一時辰的值都可以獨一確定，即為確定性信號；假設(shè)其中的參變量除

3、了時間設(shè)其中的參變量除了時間t t變量以外，變量以外， 有一個為隨機有一個為隨機變量時，該信號的波形都是不確定的，是隨機信號，它的每變量時，該信號的波形都是不確定的，是隨機信號，它的每一次實現(xiàn)都是一個隨機樣本。一次實現(xiàn)都是一個隨機樣本。 因此，不同于確定性信號，我們用統(tǒng)計方法來描畫隨機因此，不同于確定性信號，我們用統(tǒng)計方法來描畫隨機信號，即它的特征由一組概率密度函數(shù)來描寫。對于隨機信信號，即它的特征由一組概率密度函數(shù)來描寫。對于隨機信號，其號，其Z Z變換和傅里葉變換顯然都是不存在的，然而在隨機信變換和傅里葉變換顯然都是不存在的，然而在隨機信號廣義平穩(wěn)的條件下，我們卻可以利用自相關(guān)序列和自協(xié)方

4、號廣義平穩(wěn)的條件下，我們卻可以利用自相關(guān)序列和自協(xié)方差序列來描畫隨機信號的性質(zhì)，這兩個序列都是確定性的，差序列來描畫隨機信號的性質(zhì)，這兩個序列都是確定性的，且自協(xié)方差序列的且自協(xié)方差序列的Z Z變換和傅里葉變換通常是存在的，其傅里變換和傅里葉變換通常是存在的，其傅里葉變換可以解釋為信號功率的頻域分布。這種解釋使得離散葉變換可以解釋為信號功率的頻域分布。這種解釋使得離散隨機信號可以在頻域進展分析和處置，而且離散隨機信號經(jīng)隨機信號可以在頻域進展分析和處置，而且離散隨機信號經(jīng)過線性系統(tǒng)以后的輸出也可以用自協(xié)方差序列來描畫。過線性系統(tǒng)以后的輸出也可以用自協(xié)方差序列來描畫。 ( )cos()x tAt和

5、,A和,A信號的分類如圖信號的分類如圖4-54-5書上書上144144頁頁信號分為確定性信號和隨機信號兩大類。信號分為確定性信號和隨機信號兩大類。平穩(wěn)隨機信號的統(tǒng)計特性不隨時間的平移而變化平穩(wěn)隨機信號的統(tǒng)計特性不隨時間的平移而變化廣義平穩(wěn)隨機信號是指均值和相關(guān)函數(shù)都不隨時間廣義平穩(wěn)隨機信號是指均值和相關(guān)函數(shù)都不隨時間的平移而變化的信號的平移而變化的信號各態(tài)歷經(jīng)信號是寬平穩(wěn)信號的一種，它的所以樣本各態(tài)歷經(jīng)信號是寬平穩(wěn)信號的一種，它的所以樣本函數(shù)是某一固定時辰的統(tǒng)計特性和單一樣本函數(shù)在函數(shù)是某一固定時辰的統(tǒng)計特性和單一樣本函數(shù)在無限長時間內(nèi)的統(tǒng)計特性一樣。無限長時間內(nèi)的統(tǒng)計特性一樣。平穩(wěn)隨機信號的

6、數(shù)字特征平穩(wěn)隨機信號的數(shù)字特征各態(tài)歷經(jīng)隨機信號的數(shù)字特征各態(tài)歷經(jīng)隨機信號的數(shù)字特征1 1、數(shù)學(xué)期望、數(shù)學(xué)期望 2 2、均方值、均方值3 3、方差、方差 4 4、自相關(guān)序列、自相關(guān)序列5 5、自協(xié)方差序列、自協(xié)方差序列 6 6、相互關(guān)、互協(xié)方差序列、相互關(guān)、互協(xié)方差序列1 1、數(shù)學(xué)期望、數(shù)學(xué)期望 2 2、均方值、均方值3 3、方差、方差 4 4、自相關(guān)序列、自相關(guān)序列5 5、自協(xié)方差序列、自協(xié)方差序列 6 6、相互關(guān)、互協(xié)方差序列、相互關(guān)、互協(xié)方差序列 在本章中，我們將學(xué)習(xí)離散隨機信號的頻譜，在本章中，我們將學(xué)習(xí)離散隨機信號的頻譜，離散線性系統(tǒng)對隨機信號的呼應(yīng)和離散線性系統(tǒng)對隨機信號的呼應(yīng)和FI

7、RFIR最優(yōu)濾波和最優(yōu)濾波和線性預(yù)測等內(nèi)容，即課本的線性預(yù)測等內(nèi)容，即課本的2 24 4節(jié)。節(jié)。 在這些內(nèi)容的討論過程中，會涉及到概率論和在這些內(nèi)容的討論過程中，會涉及到概率論和隨機過程的一些知識。由于隨機信號的實際非常高隨機過程的一些知識。由于隨機信號的實際非常高深、籠統(tǒng)，嚴厲討論需求較高的數(shù)學(xué)程度，因此我深、籠統(tǒng)，嚴厲討論需求較高的數(shù)學(xué)程度，因此我們主要目的是搜集和解釋有關(guān)隨機過程的一些詳細們主要目的是搜集和解釋有關(guān)隨機過程的一些詳細結(jié)果和結(jié)論，這些結(jié)果和結(jié)論無論在本課程的學(xué)習(xí)結(jié)果和結(jié)論，這些結(jié)果和結(jié)論無論在本課程的學(xué)習(xí)還是詳細的工程實際中都非常有用。還是詳細的工程實際中都非常有用。 離散

8、隨機信號的頻譜離散隨機信號的頻譜( (功率譜功率譜) ) 假設(shè)平穩(wěn)離散隨機過程假設(shè)平穩(wěn)離散隨機過程 是實序列，那么其自相關(guān)序列是實序列，那么其自相關(guān)序列和自協(xié)方差序列和自協(xié)方差序列 定義為：定義為： ( )x n( )xxm( )xxm( ) ( ) ()xxmE x n x nm2( ) ( ) ()( )xxxxxxxmEx nx nmm其中其中 ( )xE x n性質(zhì)：性質(zhì)：1 1、 均方值；均方值； 方差方差2 2、 ， ，為偶函數(shù)，為偶函數(shù)2(0)( )xxE xn2(0)xxx( )()xxxxmm( )()xxxxmm4 4、對于大多數(shù)隨機過程，他們各個隨機變量假設(shè)在時間上間、對

9、于大多數(shù)隨機過程，他們各個隨機變量假設(shè)在時間上間隔越遠，之間的相關(guān)性就越弱，當(dāng)時間間隔趨于無窮遠時，隨隔越遠，之間的相關(guān)性就越弱，當(dāng)時間間隔趨于無窮遠時，隨機變量之間就趨于獨立，即機變量之間就趨于獨立，即2lim( )xxxmmlim( )0 xxmm( )( )( )mxxxxxxmzmm zZ()( )( )jj mxxxxxxmemm eF對于平穩(wěn)隨機信號對于平穩(wěn)隨機信號x(n)x(n)，假設(shè)，假設(shè) ，那么那么 ，且，且 ，即即 ， 是絕對可和的是絕對可和的 ( )0 xE x n2lim( )0 xxxmm( )( )xxxxmmlim( )lim( )xxxxmmmm ( )xxm所

10、以當(dāng)所以當(dāng) 時，時， 存在傅里葉變換和存在傅里葉變換和Z Z變換，變換，即有即有 ，功率譜密度函數(shù)，功率譜密度函數(shù)或叫功率密度譜函數(shù)或叫功率密度譜函數(shù)即此時即此時 與與 為一傅里葉變換對為一傅里葉變換對0 x( )xxm( )( )( )j mxxxxxxmPmm eF11( )( )( )2j mxxxxxxmPPedF( )xxP( )xxm1 1 ，為信號的平均功率，為信號的平均功率2 2 ，即功率譜非負，即功率譜非負且且 ， 為實偶函數(shù)為實偶函數(shù)21(0)( )2xxxxxPd( )0 xxP( )()xxxxPP( )*( )xxxxPP( )w n0w2( )xxwP2( )( )

11、xxwmm 例例1 1：白噪聲：白噪聲，其，其( )w n0w211 ( )0 wxxP21sin( )xxwmmm例例2 2：帶限白噪聲：帶限白噪聲，其，其，例例3 3：正弦離散隨機信號：正弦離散隨機信號 ，其中其中 ， 為常數(shù)，為常數(shù)， 為在為在 區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機變區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機變量即量即 ， ，那么，那么0( )cos()x nAnn A0, 1( )2p, 均值均值01 ( )( ) ( )cos()02xE x nx n pdAnd0020020( ) ( ) () cos()cos() ( ) cos(2)2 cos4 cos2xxmE x n x nmAnAnmpdAn

12、mmdAm20200( )( ) ( ) cos2 ()()2xxxxj mxxmj mmPmm eAmeA F自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度0 x( )( )xx nx n ( )0E x n2( ) ( ) () ( ) ()( )xxxxxxxmE x n x nmEx nx nmm2( )( )( )( )xxxxxxxPmmm FF2( )( )( )( )xxxxxxxPmPm F四、修正四、修正假設(shè)假設(shè)，那么定義，那么定義即即那么有那么有 可見修正后的隨機序列的自相關(guān)同原隨機序列自相關(guān)之間可見修正后的隨機序列的自相關(guān)同原隨機序列自相關(guān)之間只差一常數(shù)只差一常數(shù) 有均值隨機

13、信號的功率譜密度和去均值后的隨機信號功率有均值隨機信號的功率譜密度和去均值后的隨機信號功率譜密度，除在譜密度，除在w=0w=0處差處差 之外，在其它之外，在其它w w之處的功率譜密度是之處的功率譜密度是一樣的。一樣的。2x2x 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)對隨機信號的呼應(yīng)對隨機信號的呼應(yīng) 在第一章，我們討論了輸入為確定離散時間信號時，線在第一章，我們討論了輸入為確定離散時間信號時，線性非時變系統(tǒng)的呼應(yīng)問題，分別得出了系統(tǒng)呼應(yīng)的時域和頻性非時變系統(tǒng)的呼應(yīng)問題，分別得出了系統(tǒng)呼應(yīng)的時域和頻域表示。本節(jié)將在隨機信號模型表示信號的情況下，討論線域表示。本節(jié)將在隨機信號模型表示信號的情況下，討論線性系統(tǒng)對隨機信號呼

14、應(yīng)的時域和頻域分析。性系統(tǒng)對隨機信號呼應(yīng)的時域和頻域分析。 假設(shè)一個穩(wěn)定的線性非時變系統(tǒng)，其單位脈沖呼應(yīng)為假設(shè)一個穩(wěn)定的線性非時變系統(tǒng)，其單位脈沖呼應(yīng)為h(n)h(n)，輸入序列輸入序列x(n)x(n)是廣義平穩(wěn)離散隨機過程的一個樣本，輸出序列是廣義平穩(wěn)離散隨機過程的一個樣本，輸出序列y(n)y(n)是輸出隨機過程的一個樣本，與是輸出隨機過程的一個樣本，與x(n)x(n)存在線性變換關(guān)系如存在線性變換關(guān)系如下下: :( )( )( )( ) ()( ) ()kky nx nh nx k h nkh k x nk0 ( ) ( ) () ( ) () ( ) ()ykkxkjxE y nEx k

15、 h nkE x k h nkh kH e0()jH e其中其中為直流分量。為直流分量。 1.1.一個均值為常數(shù)的廣義平穩(wěn)隨機信一個均值為常數(shù)的廣義平穩(wěn)隨機信號輸入一個線性系統(tǒng)，其輸出仍為號輸入一個線性系統(tǒng)，其輸出仍為均值是常數(shù)的廣義平穩(wěn)隨機信號，均值是常數(shù)的廣義平穩(wěn)隨機信號，只是輸出均值按線性系統(tǒng)的直流增只是輸出均值按線性系統(tǒng)的直流增益增減一個倍數(shù)。益增減一個倍數(shù)。2 2輸出信號輸出信號y(n)y(n)的自相關(guān)序列的自相關(guān)序列121212112212121212( ,) ( ) () ( ) ()() () ( )() () () ( )()() yykkkkxxkkn mE y n y n

16、mEh k x nkh kx nmkh kh k E x nk x nmkh kh kmkk122121122211222( )()() ()( ) () ()() ( )( )xxkkxxkkxxhhkxxhhh kh kkmkmkh k h kkmkkmm即即( )( )( )yyxxhhmmm212kkk討論：討論：(1).(1). 由于自相關(guān)函數(shù)由于自相關(guān)函數(shù) 與起始時辰與起始時辰n n無關(guān)，僅無關(guān)，僅與時間與時間 差差m m有關(guān)，因此輸出隨機過程有關(guān)，因此輸出隨機過程y(n)y(n)也是平穩(wěn)的。也是平穩(wěn)的。(2).(2). 定義定義 ，為系統(tǒng)單為系統(tǒng)單 位沖激呼應(yīng)自相關(guān)函數(shù)，所以線性

17、系統(tǒng)輸出的位沖激呼應(yīng)自相關(guān)函數(shù)，所以線性系統(tǒng)輸出的自相關(guān)是自相關(guān)是 輸入的自相關(guān)和系統(tǒng)單位沖激呼應(yīng)自相關(guān)的卷輸入的自相關(guān)和系統(tǒng)單位沖激呼應(yīng)自相關(guān)的卷積和。積和。(3).(3). 輸出隨機過程自相關(guān)函數(shù)的輸出隨機過程自相關(guān)函數(shù)的Z Z變換，變換， 其中其中 為系統(tǒng)單位沖激呼應(yīng)自相關(guān)函數(shù)的為系統(tǒng)單位沖激呼應(yīng)自相關(guān)函數(shù)的Z Z變換：變換： ( ,)yyn m( )( ) ()( )()hhnmh n h nmh mhm1( )( )( )()( )( )yyxxxxhhzz H z H zzz ( )hhz1( )( )( )()hhhhzZmH z H z2( )( )()jyyxxPPH e22

18、1(0)( )2yyyyyyPd2y2y輸出隨機過程輸出隨機過程y(n)y(n)的功率譜密度為的功率譜密度為而而其中其中表示直流信號功率，表示直流信號功率，表示交流信號功率。表示交流信號功率。假設(shè)假設(shè) ，那么，那么 ，即，即 ，那么有，那么有0 x0y( )( )yyyymm1( )( )( )( )()yyyyxxzzz H z H z 221(0)(0)( )2yyyyyyyyPd關(guān)于關(guān)于 的推導(dǎo)：的推導(dǎo)：(a).(a).( )yyP2( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ()( )()() ( )()yyyyxxhhjjxxxxjxxPmmmmh mhmPH eH ePH eFFF

19、FFF(b).2( )( )( )()()( )()jjjjyyyyxxxxz ePzH eH ePH e 例如：假設(shè)例如：假設(shè) 是一個理想的帶通濾波器，通帶為是一個理想的帶通濾波器，通帶為即即 ，假設(shè)輸入信號，假設(shè)輸入信號x(n)x(n)的均值的均值 ，且，且功功率譜密度為率譜密度為 ，那么輸出信號功率為，那么輸出信號功率為思索到思索到 為實偶函數(shù)，所以最后一等號成立。為實偶函數(shù)，所以最后一等號成立。()jH eab1 ()0 abjH e其它0 x( )xxP22111( )( )()( )22bajyyyxxxxPdPH edPd( )xxP3 3定義線性系統(tǒng)輸入和輸出之間的相互關(guān)為定義

20、線性系統(tǒng)輸入和輸出之間的相互關(guān)為( ) ( ) () ( )( ) () ( ) ( ) () ( )() ( )( )xykkxxkxxmE x n y nmE x nh k x nmkh k E x n x nmkh kmkh mm 即線性系統(tǒng)輸入和輸出之間的相互關(guān)是系統(tǒng)單位沖激呼即線性系統(tǒng)輸入和輸出之間的相互關(guān)是系統(tǒng)單位沖激呼應(yīng)和輸入自相關(guān)序列的卷積和。應(yīng)和輸入自相關(guān)序列的卷積和。21( )( )()yyxzH z H z22( )()jyyxPH e222201(0)( )( ) ()( )2yyyyyxxnnmPdh n h mnh n2( )( )xyxmh m2( )()jxyx

21、PH e對于輸入與輸出的相互關(guān)，有對于輸入與輸出的相互關(guān)，有 可見，互功率譜正比于系統(tǒng)的頻率呼應(yīng)，利用這一點，可見，互功率譜正比于系統(tǒng)的頻率呼應(yīng)，利用這一點，給一個未知線性非時變系統(tǒng)加上一個白噪聲輸入，觀測該給一個未知線性非時變系統(tǒng)加上一個白噪聲輸入，觀測該系統(tǒng)對它的呼應(yīng)，就可以經(jīng)過估計互功率譜來估計這個系系統(tǒng)對它的呼應(yīng)，就可以經(jīng)過估計互功率譜來估計這個系統(tǒng)的頻率呼應(yīng)和沖激呼應(yīng)。統(tǒng)的頻率呼應(yīng)和沖激呼應(yīng)。FIRFIR最優(yōu)濾波和線性預(yù)測最優(yōu)濾波和線性預(yù)測 在通訊系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、地質(zhì)勘測等很多工程運用在通訊系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、地質(zhì)勘測等很多工程運用中，經(jīng)過設(shè)計濾波器來實現(xiàn)信號估計是我們經(jīng)常會碰到中，經(jīng)過

22、設(shè)計濾波器來實現(xiàn)信號估計是我們經(jīng)常會碰到的問題。在這一章中，我們從統(tǒng)計的觀念出發(fā)，基于最的問題。在這一章中，我們從統(tǒng)計的觀念出發(fā)，基于最小均方誤差的準那么設(shè)計最優(yōu)的線性濾波器。因此，對小均方誤差的準那么設(shè)計最優(yōu)的線性濾波器。因此，對于平穩(wěn)信號而言，在設(shè)計的過程中只需用到二階統(tǒng)計量，于平穩(wěn)信號而言，在設(shè)計的過程中只需用到二階統(tǒng)計量，包括信號的自相關(guān)函數(shù)和相互關(guān)函數(shù)。包括信號的自相關(guān)函數(shù)和相互關(guān)函數(shù)。 一、最正確濾波和維納霍普方程一、最正確濾波和維納霍普方程 設(shè)廣義平穩(wěn)隨機信號設(shè)廣義平穩(wěn)隨機信號 ，其中，其中s(n)s(n)為信號，為信號，w(n)w(n)為加性噪聲或丈量誤差。要求設(shè)為加性噪聲或丈

23、量誤差。要求設(shè)計可以實現(xiàn)最正確濾波的計可以實現(xiàn)最正確濾波的FIRFIR濾波器，對濾波器，對x(n)x(n)做濾波做濾波處置，使輸出信號處置，使輸出信號y(n)y(n)可以按最優(yōu)準那么逼近有用可以按最優(yōu)準那么逼近有用信號信號s(n)s(n)。 最優(yōu)準那么：濾波器輸出與輸入信號之間的均方誤最優(yōu)準那么：濾波器輸出與輸入信號之間的均方誤差為最小。差為最小。( )( )( )x ns nw n122200212120001200( )( )( ) ()( )( ) () ( )2( ) ( ) ()( ) () () () (0)2( )( )( ) ()NNkkNNNkkkNNsssxkkE e nE

24、s nh k x nks nh k x nkE snh k E s n x nkh k h kE x nk x nkh kkh k h k1120()Nxxkkk2200( )( )( )2( )( )( )( ) 2( )( )( ) ()( ) 2( ) () 2( )( ) ()() NkNmE enene nEE e nh kh kh kE e ns nh k x nkh kE e n x nkEs nh m x nmx nk 0 2( )2( )() 0Nsxxxmkh mkm 0kN(0)(1)()(0)(0)(1)(0)(1)(1)(1)()(1)(0)()()xxxxxxsxx

25、xxxxxsxxxxxxxsxNhNhNNNh N求解以上方程，即可求得求解以上方程，即可求得FIRFIR濾波器系數(shù)濾波器系數(shù)h(k)h(k)，其中其中 0kN( ) ( ) () ( )( ) ()() ( ) () ( ) () ( ) () ( ) () ( )( )()( )xxssswswwwmE x n x nmEs nw ns nmw nmE s n s nmE s n w nmE w n s nmE w n w nmmmmm按最小均方誤差準那么設(shè)計的最優(yōu)按最小均方誤差準那么設(shè)計的最優(yōu)FIRFIR濾波器，其均方誤差為濾波器，其均方誤差為1221212000( )(0)2( )(

26、)( ) ()()NNNsssxxxkkkE e nh kkh k h kkk當(dāng)滿足維納霍普方程時，當(dāng)滿足維納霍普方程時， ，可得最小均方誤差為可得最小均方誤差為0( )( )()Nsxxxmkh mkm0kN2min000( )(0)2( )( )( )( ) (0)( )( )NNsssxsxkkNsssxkE enh kkh kkh kk例例1 1：假設(shè)信號：假設(shè)信號s(n)s(n)，有，有 ，w(n)w(n)是與是與s(n)s(n)統(tǒng)計獨立統(tǒng)計獨立的實白噪聲，且方差的實白噪聲，且方差 ，試按最小均方誤差準那么設(shè)計，試按最小均方誤差準那么設(shè)計2 2階階最最優(yōu)優(yōu)FIRFIR濾波器。濾波器。1( )42mssm22w解：對于解：對于w(n)w(n)，有，有 ，所以，所以2( )( )2 ( )wwwmmm 1( )( )( )42 ( )2mxxsswwmmmm1( )( )( )42msxssssmmm二、線性預(yù)測二、線性預(yù)測 定義：根據(jù)知的前定義：根據(jù)知的前p p個觀測樣本，預(yù)測當(dāng)前時辰個觀測樣本