高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.7向量應(yīng)用舉例課件2北師大版必修

1、2.72.7向量應(yīng)用舉例向量應(yīng)用舉例【題型探究題型探究】類型一類型一 向量在解析幾何中的應(yīng)用向量在解析幾何中的應(yīng)用【典例典例】1.1.點點p p0 0(-1,2)(-1,2)到直線到直線l:2x+y-10=0:2x+y-10=0的距離為的距離為_._.2.2.已知已知abcabc的三頂點的三頂點a(0,-4),b(4,0),c(-6,2),a(0,-4),b(4,0),c(-6,2),點點d,e,fd,e,f分別為邊分別為邊bc,ca,abbc,ca,ab的中點的中點. .(1)(1)求直線求直線de,ef,fdde,ef,fd的方程的方程. .(2)(2)求求abab邊上的高線邊上的高線ch

2、ch所在的直線方程所在的直線方程. .【解題探究解題探究】1.1.典例典例1 1中點中點p p0 0到直線到直線l的距離的實質(zhì)是什么的距離的實質(zhì)是什么? ?提示提示: :實質(zhì)是過點實質(zhì)是過點p p0 0作直線作直線m,m,垂足與垂足與p p0 0的距離的距離. .2.2.典例典例2 2題題(1)(1)中直線中直線dede有什么特征有什么特征? ?題題(2)(2)中的中的chch呢呢? ?提示提示: :設(shè)點設(shè)點m m為直線為直線dede上任意一點上任意一點, ,則則 設(shè)點設(shè)點n n為為chch所在的直線所在的直線上任意一點上任意一點, ,則則 dmde ；cnab. 【解析解析】1.1.方法一方

3、法一: :取直線取直線l的一個法向量為的一個法向量為n=(2,1),=(2,1),在直線在直線l上任取上任取一點一點p(5,0),p(5,0),所以所以 =(-6,2),=(-6,2),所以點到直線所以點到直線l的距離的距離d d就是就是 在法在法向量向量n上的射影上的射影. .設(shè)設(shè) 與與n的夾角為的夾角為. .所以所以 故點故點p p0 0到直線到直線l的距離為的距離為 . .0pp 0pp 0pp 0000pp |pp|dpp |cos |pp nn0|pp|1222 5.5|nn2 5方法二方法二: :由點到直線的距離公式得由點到直線的距離公式得 答案答案: : 0022axbyc|2

4、( 1)2 10|d2 5.5ab2 52.(1)2.(1)由已知得點由已知得點d(-1,1),e(-3,-1),f(2,-2).d(-1,1),e(-3,-1),f(2,-2).設(shè)點設(shè)點m(x,ym(x,y) )是直線是直線dede上任一點上任一點, ,則則 所以所以(-2)(-2)(x+1)-(-2)(x+1)-(-2)(y-1)=0,(y-1)=0,即即x-y+2=0 x-y+2=0為直線為直線dede的方程的方程. .同理可求同理可求, ,直線直線ef,fdef,fd的方程分別為的方程分別為x+5y+8=0,x+y=0.x+5y+8=0,x+y=0.dmde dm (x1y 1) de

5、 ( 22) ， ， ， ，(2)(2)設(shè)點設(shè)點n(x,yn(x,y) )是是chch所在的直線上任一點所在的直線上任一點, ,則則 所以所以4(x+6)+4(y-2)=0,4(x+6)+4(y-2)=0,即即x+y+4=0 x+y+4=0為所求直線為所求直線chch所在的直線方程所在的直線方程. .cnabcn ab 0 cn (x6y2) ab4,4 ， ， ， ， ，【方法技巧方法技巧】1.1.直線的法向量直線的法向量n2.2.利用方向向量及法向量求直線方程的關(guān)鍵及常用結(jié)論利用方向向量及法向量求直線方程的關(guān)鍵及常用結(jié)論(1)(1)關(guān)鍵是探尋所求直線的方向向量同已知直線方向向量或法向量的關(guān)

6、鍵是探尋所求直線的方向向量同已知直線方向向量或法向量的關(guān)系關(guān)系. .(2)(2)常用結(jié)論如下常用結(jié)論如下: :所求直線與已知直線平行所求直線與已知直線平行, ,則和已知直線的方向向量平行則和已知直線的方向向量平行, ,和已知直和已知直線的法向量垂直線的法向量垂直. .所求直線與已知直線垂直所求直線與已知直線垂直, ,則和已知直線的方向向量垂直則和已知直線的方向向量垂直, ,和已知直和已知直線的法向量平行線的法向量平行. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】已知圓已知圓c:(x-3)c:(x-3)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=4=4及點及點a(1,1),ma(1,1),m是圓是圓c c上的任一上的任一

7、點點, ,點點n n在線段在線段mama的延長線上的延長線上, ,且且 求點求點n n的軌跡方程的軌跡方程. .ma 2an ，【解析解析】設(shè)設(shè)n(x,y),m(xn(x,y),m(x0 0,y,y0 0),),所以所以 =(1-x=(1-x0 0,1-y,1-y0 0), =(x-1,y-1).), =(x-1,y-1).依題設(shè)依題設(shè) 則則(1-x(1-x0 0,1-y,1-y0 0)=2(x-1,y-1).)=2(x-1,y-1).所以所以 又因為點又因為點m(xm(x0 0,y,y0 0) )在圓在圓c c上上, ,所以所以(x(x0 0-3)-3)2 2+(y+(y0 0-3)-3)2

8、 2=4,=4,則則x x2 2+y+y2 2=1.=1.故點故點n n的軌跡方程為的軌跡方程為x x2 2+y+y2 2=1.=1.ma anma 2an ，00001x2x2x32x1y2y2y32y. ，所以 ， 類型二類型二 向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用【典例典例】已知正方形已知正方形abcdabcd中中,e,f,e,f分別是分別是cd,adcd,ad的中點的中點,be,cf,be,cf交于點交于點p.p.求證求證:becf.:becf.【解題探究解題探究】典例中如何用向量證明典例中如何用向量證明becf?becf?提示提示: :可證明可證明 becfbe cf0. ，

9、即【證明證明】建立如圖所示的平面直角坐標系建立如圖所示的平面直角坐標系, ,設(shè)設(shè)ab=2,ab=2,則則a(0,0),a(0,0),b(2,0),c(2,2),e(1,2),f(0,1).b(2,0),c(2,2),e(1,2),f(0,1). 所以所以 =(-1) =(-1)(-2)+2(-2)+2(-1)=0,(-1)=0,所以所以 即即becf.becf.be ( 1,2) cf ( 21). ， ，be cf becf ，【延伸探究延伸探究】1.(1.(改變問法改變問法) )本例條件不變本例條件不變, ,證明證明:ap=ab.:ap=ab.【證明證明】連接連接ap.ap.建系同例題建系

10、同例題, ,設(shè)點設(shè)點p p坐標為坐標為( (x,yx,y),),則則 因為因為 所以所以x=2(y-1),x=2(y-1),即即x=2y-2,x=2y-2,同理同理, ,由由 得得y=-2x+4,y=-2x+4,由由fp (xy 1) fc2,1 ， ， ，fpfc，bpbe ，6xx2y25y2x48y5 ， ，得， ，所以點所以點p p坐標為坐標為 所以所以 即即ap=ab.ap=ab.6 8.5 5( ， )2268ap2 ab55 ()() ，2.(2.(變換條件變換條件) )本例條件變?yōu)楸纠龡l件變?yōu)椤皃 p為對角線為對角線bdbd上的一點上的一點, ,四邊形四邊形pecfpecf是矩

11、是矩形形”, ,求證求證:paef.:paef.【證明證明】方法一方法一:(:(基向量法基向量法) )如圖如圖, ,設(shè)設(shè) 由已知得由已知得, ,|a|=|b|a|=|b|且且a ab b=0.=0.設(shè)設(shè) 所以所以 abda ，abdfcf(1) ，則，aadpdb,ce, abbefcfce(1), abapdpda(1) , abbab 所以所以 即即apef.apef.2222ap ef(1)(1)()()0, abababapef ，方法二方法二:(:(坐標法坐標法) )如圖如圖, ,以以a a為坐標原點為坐標原點,ab,ab所在直線為所在直線為x x軸軸, ,建立平面直角坐標系建立平面

12、直角坐標系, ,設(shè)正方形的邊長為設(shè)正方形的邊長為1,1, 則則a(0,0),a(0,0), dp(02) ，2222p,1,e1,1,f,1,2222()() ()所以所以 故故 所以所以 即即apef.apef.2222ap,1,ef1,2222 ()()2222ap ef1102222 ()()，apef ，【方法技巧方法技巧】1.1.用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路(1)(1)向量的線性運算法的四個步驟向量的線性運算法的四個步驟: :選取基底選取基底; ;用基底表示相關(guān)向量用基底表示相關(guān)向量; ;利用向量的線性運算或數(shù)量積利用向量的線性運算或數(shù)量積

13、找相應(yīng)關(guān)系找相應(yīng)關(guān)系; ;把幾何問題向量化把幾何問題向量化. .(2)(2)向量的坐標運算法的四個步驟向量的坐標運算法的四個步驟: :建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼到⑦m當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼? ;把相關(guān)向量坐標化把相關(guān)向量坐標化; ;用向量的坐標用向量的坐標運算找相應(yīng)關(guān)系運算找相應(yīng)關(guān)系; ;把幾何問題向量化把幾何問題向量化. .2.2.用向量解決平面幾何問題的常用策略用向量解決平面幾何問題的常用策略(1)(1)證明線段相等、平行證明線段相等、平行, ,常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則法則, ,有時也用到向量減法的定義有時也用到向量減法的定義. .(2)(

14、2)證明線段平行、三角形相似、判斷兩直線是否平行證明線段平行、三角形相似、判斷兩直線是否平行, ,常運用向量平常運用向量平行的條件行的條件: :aba=b( (b0),),或者或者abx x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0.=0.(3)(3)證明線段的垂直問題證明線段的垂直問題, ,如證明四邊形是矩形、正方形如證明四邊形是矩形、正方形, ,判斷兩直線判斷兩直線是否垂直等是否垂直等, ,常運用向量垂直的條件常運用向量垂直的條件: :abab=0,=0,或者或者abx x1 1x x2 2 +y+y1 1y y2 2=0.=0.(4)(4)求與夾角相關(guān)的問題求與夾角相關(guān)的問題, ,

15、往往利用向量的夾角公式往往利用向量的夾角公式coscos= = 如求三角形的面積用公式如求三角形的面積用公式s=s= absincabsinc時時, ,可能會利用夾可能會利用夾角公式求出角公式求出cosccosc, ,進而求出進而求出sincsinc. .(5)(5)向量的坐標法向量的坐標法, ,對于有些平面幾何問題對于有些平面幾何問題, ,如矩形、正方形、直角三如矩形、正方形、直角三角形等角形等, ,可建立平面直角坐標系可建立平面直角坐標系, ,把向量用坐標表示把向量用坐標表示, ,通過代數(shù)運算解通過代數(shù)運算解決幾何問題決幾何問題. .，a ba b12【補償訓(xùn)練補償訓(xùn)練】如圖如圖, ,已知

16、已知rtrtoaboab中中,aob=90,aob=90,oa=3,ob=2,m,oa=3,ob=2,m在在obob上上, ,且且om=1,nom=1,n在在oaoa上上, ,且且on=1,pon=1,p為為amam與與bnbn的交點的交點, ,求求ap.ap.【解析解析】設(shè)設(shè) 1oaobam,2 ， ，則abba1nb,ab.31apam,21pbnb,311abappb231123 設(shè)()()因為()()，()() ，bababababababa22222241152131.354 124ap5 2552442416ap25525552541616023,25252544ap10.ap10

17、.55 所以解得，所以()，所以()所以 即babababb aa【延伸探究延伸探究】1.(1.(改變問法改變問法) )本題條件不變本題條件不變, ,求求mpn.mpn.【解析解析】設(shè)設(shè) 的夾角為的夾角為, ,則則 所以所以 oaobam bn ， ，且，ab111omonam om oa232 ， ，又因為 ，baba1bn on ob3 ，ab11am bn523 ( ) ( ) ，baabam10 bn5 ，所以所以coscos= = 又因為又因為0,0,所以所以= ,= ,因為因為mpnmpn即為向量即為向量 的夾角的夾角, ,所以所以mpn= .mpn= .522510，34am b

18、n ，342.(2.(變換條件變換條件) )本題條件變?yōu)楸绢}條件變?yōu)椤暗妊妊黵trtoaboab中中,oa=ob=2,d,oa=ob=2,d是是bobo的中的中點點,e,e是是abab上的點上的點, ,且且ae=2be”,ae=2be”,求證求證adoe.adoe.【證明證明】如圖如圖, ,以以o o為坐標原點為坐標原點, ,以以oa,oboa,ob所在的直線為所在的直線為x x軸軸,y,y軸建立坐標系軸建立坐標系, ,則則a(2,0),a(2,0),因為因為ao=bo,ao=bo,所以所以b(0,2).b(0,2).因為因為d d為為bobo的中點的中點, ,所以所以d(0,1).d(0,

19、1).所以所以 =(0,2)-(2,0)=(-2,2).=(0,2)-(2,0)=(-2,2). ab 2oeoaaeoaab3 22 42,0( 2 2),.33 3 ，() =(0,1)-(2,0)=(-2,1). =(0,1)-(2,0)=(-2,1).所以所以 所以所以 所以所以adoe.adoe.ad 2 4ad oe2,1,3 3 ()24210,33 adoe, 類型三類型三 向量在物理中的應(yīng)用向量在物理中的應(yīng)用【典例典例】1.1.如圖如圖, ,無彈性的細繩無彈性的細繩oa,oboa,ob的一端分別固定在的一端分別固定在a,ba,b處處, ,同樣無同樣無彈性的細繩彈性的細繩oco

20、c下端系著一稱盤下端系著一稱盤, ,且使得且使得oboc,oboc,試分析三根繩子受力的試分析三根繩子受力的大小大小, ,判斷哪根繩受力最大判斷哪根繩受力最大. .2.2.某人在靜水中游泳某人在靜水中游泳, ,速度為速度為4 km/h.4 km/h.如果他徑直如果他徑直游向河對岸游向河對岸, ,水的流速為水的流速為4km/h,4km/h,他實際沿什么方向前他實際沿什么方向前進進? ?速度大小為多少速度大小為多少? ?3【解題探究解題探究】1.1.典例典例1 1中考查的中考查的知識點知識點是什么是什么? ?提示提示: :向量加法的平行四邊形法則向量加法的平行四邊形法則. .2.2.典例典例2 2

21、中某人在水中的速度與其在靜水中的速度及水的流速有什么中某人在水中的速度與其在靜水中的速度及水的流速有什么關(guān)系關(guān)系? ?提示提示: :某人在水中的速度是其在靜水中的速度及水的流速的和某人在水中的速度是其在靜水中的速度及水的流速的和. .【解析解析】1.1.設(shè)設(shè)oa,ob,ocoa,ob,oc三根繩子的受力分別為三根繩子的受力分別為a, ,b, ,c, ,則則a+ +b+ +c= =0, ,a與與b的合力為的合力為c=a+ +b,|,|c|=|=|c|,|,在如圖的平行四邊形中在如圖的平行四邊形中, ,因為因為 所以所以 即即| |a|b| |且且| |a|c|,|,故繩故繩oaoa受力最大受力最

22、大. .ocob |bcoa | ，|oa |ob |oa |oc | ，且，2.2.如圖如圖, ,設(shè)人游泳的速度為設(shè)人游泳的速度為 , ,水流的速度為水流的速度為 , ,以以oa,oboa,ob為鄰邊作為鄰邊作平行四邊形平行四邊形oacb,oacb,則此人的實際速度為則此人的實際速度為 根據(jù)勾股定理根據(jù)勾股定理, , 且在且在rtrtacoaco中中,coa=60,coa=60, ,故此人實際沿與水速夾角為故此人實際沿與水速夾角為6060的方向前進的方向前進, ,速度大小為速度大小為8km/h.8km/h.ob oaoaoboc ，oc 8 ，【延伸探究延伸探究】( (改變問法改變問法) )

23、典例典例2 2條件不變條件不變, ,他必須朝哪個方向游才能沿他必須朝哪個方向游才能沿與水流垂直的方向前進與水流垂直的方向前進( (求出其與河岸夾角的余弦值即可求出其與河岸夾角的余弦值即可)?)?他實際前他實際前進的速度大小為多少進的速度大小為多少? ?【解析解析】如圖如圖, ,設(shè)此人的實際速度為設(shè)此人的實際速度為 , ,水流速度為水流速度為 . .因為實際速度因為實際速度= =游速游速+ +水速水速, ,故游速為故游速為 在在rtrtaobaob中中, , 所以所以cosbaocosbao= ,= ,故此人的前進方向與河岸夾角的余弦值為故此人的前進方向與河岸夾角的余弦值為 , ,且逆著水流方向

24、且逆著水流方向, ,實際實際前進速度的大小為前進速度的大小為4 km/h.4 km/h.ob oaoboaab ，ab4 3, oa4, ob4 2. 33333【方法技巧方法技巧】利用向量解決物理問題的步驟利用向量解決物理問題的步驟【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】兩個力兩個力f1 1= =i+ +j, ,f2 2=4=4i-5-5j作用于同一質(zhì)點作用于同一質(zhì)點, ,使該質(zhì)點從點使該質(zhì)點從點a(20,15)a(20,15)移動到點移動到點b(7,0)(b(7,0)(其中其中i, ,j分別是與分別是與x x軸軸,y,y軸同方向的單位向軸同方向的單位向量量).).求求:(1):(1)f1 1, ,f2 2分別

25、對該質(zhì)點做的功分別對該質(zhì)點做的功. .(2)(2)f1 1, ,f2 2的合力的合力f f對該質(zhì)點做的功對該質(zhì)點做的功. .【解題指南解題指南】明確所求力及其位移明確所求力及其位移, ,代入公式代入公式, ,得出結(jié)論得出結(jié)論. .【解析解析】 =(7-20)=(7-20)i+(0-15)+(0-15)j=-13=-13i-15-15j. .(1)(1)f1 1做的功做的功w w1 1= =f1 1s= =f1 1 =(=(i+ +j) )(-13(-13i-15-15j)=-28j;)=-28j;f2 2做的功做的功w w2 2= =f2 2s= =f2 2 =(4=(4i-5-5j) )(-

26、13(-13i-15-15j)=23j.)=23j.(2)(2)f= =f1 1+ +f2 2=5=5i-4-4j, ,所以所以f f做的功做的功w=w=fs= =f =(5=(5i-4-4j) )(-13(-13i-15-15j)=-5j.)=-5j.ab ab ab ab 【補償訓(xùn)練補償訓(xùn)練】如圖如圖, ,在細繩在細繩o o處用水平力處用水平力f2 2緩慢拉起所受重力為緩慢拉起所受重力為g的物的物體體, ,繩子與鉛垂方向的夾角為繩子與鉛垂方向的夾角為,繩子所受到的拉力為繩子所受到的拉力為f1 1. .(1)(1)求求| |f1 1|,|,|f2 2| |隨角隨角的變化而變化的情況的變化而變

27、化的情況. .(2)(2)當當| |f1 1|2|2|g| |時時, ,求角求角的取值范圍的取值范圍. .【解析解析】(1)(1)如圖如圖, ,由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則, ,得得| |f1 1|= ,|= ,|f2 2|=|=|g|tan|tan. .當當從從0 0趨向于趨向于9090時時,|,|f1 1|,|,|f2 2| |都逐漸變大都逐漸變大. .(2)(2)由由(1),(1),得得| |f1 1|= ,|= ,由由| |f1 1|2|2|g|,|,得得coscos . .又因為又因為0 09090, ,所以所以0 06060. .gcosgcos12易錯案例易錯案例 用錯向量的性質(zhì)及運算法則致誤用錯向量的性質(zhì)及運算法則致誤【典例典例】在在abcabc中中, ,設(shè)設(shè) 若若ab= =bc= =ca, ,判斷判斷三角形三角形abcabc的形狀的形狀. .bccaab ， ， ，abc【失誤案例失誤案例】【錯解分析錯解分析】分析上面的解析過程分析上面的解析過程, ,你知道錯在哪里嗎你知道錯在哪里嗎? ?提示提示: :以上三種解法都犯了推理不嚴謹?shù)腻e誤以上三種解法都犯了推理不嚴謹?shù)腻e誤. .解法一中解法一中, ,只有在只有在a, ,b同同向共線時向共線時