化工設(shè)備機械基礎(chǔ)-彎曲扭矩

1、第四章 直梁的彎曲第一節(jié) 梁的彎曲實例與概念 2/4/202212/4/202222/4/20223受力特點受力特點：力偶或垂直于軸線的外力作用在一個通過軸線平面力偶或垂直于軸線的外力作用在一個通過軸線平面內(nèi)。內(nèi)。變形特點變形特點：桿件的軸線（力偶或橫向力）由直線變?yōu)榍€。桿件的軸線（力偶或橫向力）由直線變?yōu)榍€。彎曲變形梁梁平面彎曲 把以彎曲為主要變形的桿稱為梁。載荷作用把以彎曲為主要變形的桿稱為梁。載荷作用在同一平面，并使梁的軸線在該平面內(nèi)彎曲時稱在同一平面，并使梁的軸線在該平面內(nèi)彎曲時稱為平面彎曲。為平面彎曲。2/4/20224工程中的梁橫截面一般都是對稱的。工程中的梁橫截面一般都是對稱

2、的。平面彎曲 外載荷作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，外載荷作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，梁的軸線在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)彎曲成一梁的軸線在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)彎曲成一條平面曲線條平面曲線撓曲線。撓曲線。PPP縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面撓曲線撓曲線2/4/20225懸臂梁懸臂梁外伸梁外伸梁簡支梁簡支梁一、梁的計算簡圖一、梁的計算簡圖:二二、載荷的形式、載荷的形式:qlPRARB2l2lABC2aaqP = q aABDRARB集中力集中力AB集中力偶集中力偶分布力分布力CqPM梁的支座和載荷的簡化梁的支座和載荷的簡化2/4/20226第二節(jié) 梁橫截面上的兩種內(nèi)力剪力和彎矩1、剪力和彎矩 梁在外力作用下，內(nèi)部將產(chǎn)生內(nèi)力。為求出梁橫截面

3、1-1上的內(nèi)力，假想沿1-1截面將梁截為兩段，取其中一段（此處取左段）作為研究對象。在這段上作用的外力有支座約束反力 。截面上的內(nèi)力應(yīng)與這些外力相平衡。由靜力平衡方程判斷截面上作用有沿截面的力Q，截面上還應(yīng)有一個力偶M，以滿足平衡方程 ，該力偶與外力對截面1-1形心O的力矩相平衡。 0yF0OM2/4/202272/4/20228一、截面法求內(nèi)力剪力Q和彎矩M 0FmA0aPlRBlaPRB即lalPRA內(nèi)力Q稱為橫截面上的剪力。內(nèi)力偶M稱為橫截面上的彎矩。因此，梁彎曲時的內(nèi)力包括剪力Q與彎矩M。運用靜力平衡方程求圖中1-1和2-2截面上的剪力和彎矩。2/4/20229ARQ 1剪力：11xR

4、MA彎矩（內(nèi)力偶矩）：，PRQA2axPxRMA2222/4/202210二、二、內(nèi)力符號規(guī)定內(nèi)力符號規(guī)定：剪力符號:-Q-Q+QQ截面一側(cè)所有豎向分力的代數(shù)和截面一側(cè)所有豎向分力的代數(shù)和; ; 截面一側(cè)所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和截面一側(cè)所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和。以某一截面為界，左右兩段梁發(fā)生左上右下的相對錯動時，該截面上剪力為正，反之為負。+ +QQFF左左右右FF左左右右2/4/202211彎矩符號:+ +MM-M-M+ +MM-M-M左側(cè)外力對截面之矩為順時針時為正彎矩，逆時針時為負；MMMM右側(cè)外力對截面之矩為逆時針時為正彎矩，順時針時為負；2/4/202212三、梁內(nèi)力的簡

5、便求法三、梁內(nèi)力的簡便求法 “ “外力簡化法外力簡化法”剪力剪力截面一側(cè)所有豎向分力的代數(shù)和；截面一側(cè)所有豎向分力的代數(shù)和； “左上右下為正”彎矩彎矩截面一側(cè)所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和；截面一側(cè)所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和；“左順右逆為正”1Q1MARx1P1ao11PRQA)(111axPxRMABR1Q1M2Pxl oxa 2BRPQ21)()(221xaPxlRMB+Q+ +MM2/4/202213例題例題：簡支梁，求：簡支梁，求1-1，2-2截面上的內(nèi)力截面上的內(nèi)力ARBRm1m1m2Am5 .1m311228PkN2qkN mB（1）求支反力）求支反力RA、RB0,AM42 2

6、 3 8 10BR 5BRkN0yFRA82 2 + RB =0RA= 7kN（2）求內(nèi)力）求內(nèi)力m1kNP 8m5 .1AR1Q1M Q1 = RA8 ； Q1= 1kNM1 = RA1.580.5 ； M12/4/2022142Q2Mm1m1kNP 8mkNq2Am3ARm12Q2MmkNq2Bm1BRKNRQB3122mKNRMB45 . 01212mKNMqPRMA41223222KNQqPRQA3122ARBRm1m1m2Am5 .1m311228PkN2qkN mB亦可取亦可取2-2截面的右側(cè)研究截面的右側(cè)研究2/4/202215練習題練習題練習題：試求練習題：試求1-1，2-2截

7、面的彎曲內(nèi)力截面的彎曲內(nèi)力。q = 10kN/m 200mm1122答案答案:1-1截面截面Q1= 1.33kNM1= 266N.m2-2截面截面Q2= 0.67kNM2= 322N.m200mm200mm2/4/202216步驟：步驟：(1)求支反力求支反力(2)列剪力、彎矩方程列剪力、彎矩方程描述剪力和彎矩沿梁的描述剪力和彎矩沿梁的軸線變化規(guī)律的方程軸線變化規(guī)律的方程一、剪力方程一、剪力方程 Q(x)和彎矩方程和彎矩方程 M(x)：10AYQRP10()AmMR xP xaQM1PARxARBRyxmm1P2PiPnPABa0( )0( )0yFm Am B例如在例如在m-m截面，畫出正號

8、截面，畫出正號內(nèi)力，列出平衡方程內(nèi)力，列出平衡方程)()(xMMxQQ第三節(jié)第三節(jié) 彎矩方程與彎矩圖彎矩方程與彎矩圖二、內(nèi)力圖二、內(nèi)力圖剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖2/4/202217寫剪力方程和彎矩方程的要點：寫剪力方程和彎矩方程的要點：（1）分段表示，規(guī)則為：）分段表示，規(guī)則為：（2）區(qū)間表示，規(guī)則為：）區(qū)間表示，規(guī)則為：剪力方程：剪力方程：在集中力集中力(包括約束反力)作用點、分布載荷的起點和終點處，要分段表示。彎矩方程：彎矩方程：在集中力(包括約束反力)作用點、集中力偶(包括約束反力偶)作用點、分布載荷的起點和終點處，要分段表示。剪力：剪力：在集中力作用點要用開區(qū)間表示，在分布載荷的起

9、點和終點處要用閉區(qū)間表示。彎矩：彎矩：在集中力偶作用點要用開區(qū)間表示，其它點處要用閉區(qū)間表示。2/4/202218例3-1 簡支梁受集度為q的均布荷載作用，畫出此梁的剪力圖和彎矩圖。qlRRBA21222)(2)(2qxxqlxqxxRxMqxqlqxRxQAA2max81qlM2/4/202219例3-2 簡支梁在C點處受集中荷載P作用，畫出此梁的剪力圖和彎矩圖。lPbRlPaRAB)0()()0()(111111axxlPbxRxMaxlPbRxQAA)()()()()()(22222222lxaAxPxlPbaxPxRxMlxaPlaPRxQAA2/4/202220例3-3 簡支梁在C處

10、受一集中力偶mC的作用，畫出剪力圖和彎矩圖。 lmRRCBA)0()()0()(111111axxlmxRxMaxlmRxQCACA)()()()(222222lxamxlmmxRxMlxalmRxQCCCACA2/4/202221)()()()()(22xqdxxdQdxxMdxQdxxdM剪力斜率：彎矩斜率：若梁上某段有均布載荷，則剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。 2dMxqLqxQxdx,d Qxqd x 22dMxqdx 2/4/202222)()()()()(22xqdxxdQdxxMdxQdxxdM剪力斜率：彎矩斜率：若梁上某段有集中力，則集中力作用處，剪力圖有突變，突變值即為

11、該處集中力的大小，彎矩圖此處有折角。 2/4/202223)()()()()(22xqdxxdQdxxMdxQdxxdM剪力斜率：彎矩斜率：若梁上無均布荷載，剪力圖為一平行于x軸水平線。集中力偶作用處剪力圖無變化，彎矩圖出現(xiàn)突變，突變的絕對值等于集中力偶的數(shù)值。 2/4/202224)x( qdx)x(dQ )x(Qdx)x(dM )x( qdx)x(Md 222/4/2022251、q(x)=0：一段梁上無均布荷載，剪力圖為一平行于x軸水平線，彎矩圖為一斜直線；2、q(x)=常數(shù)：一段梁上有均布荷載，剪力圖為一斜直線，彎矩圖為一條二次曲線，當均布荷載q(x)向下時，彎矩圖凸向上，當均布荷載向

12、上時，曲線凸向下；3、彎矩的極值：若梁的某一截面上的剪力Q(x)=0，則該截面的彎矩為一極值；4、集中力作用處：此處剪力圖有突變，突變方向與集中力方向一致，突變絕對值等于集中力數(shù)值，彎矩圖上形成尖角；5、集中力偶作用處：此處剪力圖無變化，彎矩圖出現(xiàn)突變，突變的絕對值等于集中力偶的數(shù)值。內(nèi)力圖的一些規(guī)律:2/4/202226例3-4外伸梁上均布荷載的集度為 q=3kN/m, 集中力偶矩 m=3kN.m, 畫出剪力圖和彎矩圖。 kNRkNRBA5 . 35 .140aqRQAmqRaA83.4mkNqaaRMA04. 621) 2(2max2/4/202227第四節(jié) 彎曲時橫截面上的正應(yīng)力及其分布

13、規(guī)律一、純彎曲的變形特征2/4/202228中性層現(xiàn)象：現(xiàn)象：mm,nn變形后仍為直線。 bb伸長，aa縮短；推斷：推斷：同層纖維變形相等(平面假設(shè))；中性層沒有變形。變形后(小變形)mmnabnaboonmxamnabb變形前ooyz中性軸z二、中性層的概念及性質(zhì):中性層 中性軸2/4/202229三、橫截面上的正應(yīng)力 變形幾何條件 yL y物理條件：彈性范圍內(nèi) Eymaxmaxyymaxmaxyy2/4/202230靜力平衡： AAAdAyydAyyydAyM2maxmaxmaxmax2/4/202231AdAyyM2maxmax橫截面對中性軸z的慣性矩，單位為m4AzdAyJ2令：ZJy

14、MmaxmaxZJyMmaxmaxZZWyJmax令：WZ稱為抗彎截面模量，單位為m3。 梁純彎曲時橫截面上的最大正應(yīng)力的公式為： ZWMmax2/4/202232四、橫力彎曲 以上有關(guān)純彎曲的正應(yīng)力的公式，對于橫力彎曲的情形，如果是細長桿，也是近似適用。理論與實驗結(jié)果都表明，由于剪應(yīng)力的存在，梁的橫截面在變形之后將不再保持平面，而是要發(fā)生翹曲，此時平面假設(shè)和各縱向纖維不互相擠壓不成立。而對于細長梁，這種翹曲對正應(yīng)力的影響是很小的。通常都可以忽略不計。 均布載荷作用下的矩形截面簡支梁，L/h5時，按純彎曲正應(yīng)力計算，誤差 計算值如果如果: : Wz 小于計算值，驗算小于計算值，驗算 max，不

15、超過，不超過 的的5%，工程上允許工程上允許選20a,2/4/202238一、支撐和荷載的合理布置 1. 支撐的合理布置 第六節(jié) 提高梁彎曲強度的措施 ZWMmaxmax2/4/2022392. 載荷的合理布置 2/4/202240二、選擇合理的截面形狀 ZWMmaxmaxhAbhWz61621bAhbWz616222/4/202241材料遠離中性軸AWZ矩形0.167h；圓形0.125h；環(huán)形 0.205h 工字鋼和槽鋼(0.270.31)h 2/4/202242等 強 度 梁2/4/202243第七節(jié) 梁的彎曲變形一、梁的撓度和轉(zhuǎn)角變形后梁的軸線稱為彈性曲線或撓曲線撓度 f梁的撓曲線方程

16、f = f(x)轉(zhuǎn)角 )( xfdxdf2/4/202244)(xfdxdfZEJxMdxfd)(22梁的抗彎剛度 EJz二梁的變形的求解直接積分法和疊加法 2/4/202245直接積分法邊界條件和連續(xù)條件可求出C、DDCxdxxMfEIZ)(ZEJxMdxfd)(22CdxxMfEIZ)()(xMfEJZ 2/4/202246例3-6 等截面懸臂梁的自由端作用一集中力，梁的抗彎剛度為EJz，求此梁的撓曲線方程以及自由端截面的轉(zhuǎn)角和撓度。 )()(xLPxMfEJZ DCxPxPLxfEJZ3261210f0 x0f0 xAAA,CPxPLxfEJZ2210 DC)21(12PxPLxEJfZ)6121(132PxPLxEJfZ2/4/202247ZZLxBEJPLPLPLEJ2)21(1222ZZLxBEJPLPLPLEJff3)6121(1333疊加法表3-3 基本值2/4/202248例3-7 等直外伸梁AC受荷載如下圖，已知抗彎剛度EJz ，求A點的撓度。 ZAEJPaf331ZBEJPal3ZBAEJLPaaf322)(3221aLEJPafffZAAA2/4/202