數(shù)學(xué)物理方法(梁昆淼)總復(fù)習(xí)

1、ize指數(shù)表示法一.復(fù)平面上復(fù)數(shù)的表示方法直角坐標(biāo)表示法三角表示法zxiy(cossin )zi( )f z( , )u x y( , )v x y( , )u x y( , )v x yuxvyvxuy處處連續(xù)uvxyvuxy1uv uv 極坐標(biāo)直角坐標(biāo)1( )( )nillif z dzf z dz三三 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分 柯西柯西 定理定理 公式公式定理單通復(fù)通( )0lf z dz 解析函數(shù)公式( )2( )lf zifdzz1( )( )2( )knkllf zf zifddzz第一類情形第一類情形：沿非閉合曲線的積分沿非閉合曲線的積分a :若 不解析b : 若 在閉單通區(qū)

2、域上解析，求原函數(shù)來計(jì)算積分( )f z( )f z( )( , )( , )( , )( , )lllf z dzu x y dxv x y dyi v x y dxu x y dy2121( )()( )zzfdF zF z求路徑積分第二類情形：沿閉合圍道的積分第二類情形：沿閉合圍道的積分( )0lf z dz （ 在閉單通區(qū)域上解析）在閉單通區(qū)域上解析）( )f z( )2( )lf zdzifz（ 在閉單通區(qū)域上解析且在閉單通區(qū)域上解析且 為該區(qū)域上的內(nèi)點(diǎn)）為該區(qū)域上的內(nèi)點(diǎn)）( )f z(1)( )2( )()(1)!nnlf zidzfzn留數(shù)定理，單極點(diǎn)留數(shù)定理，n階極點(diǎn)柯西公式和

3、柯西公式和留數(shù)定理是留數(shù)定理是可以統(tǒng)一起可以統(tǒng)一起來的！來的！四四 留數(shù)定理留數(shù)定理0( )()kkkf zazz1次方項(xiàng)的系數(shù)留數(shù)01Re()sf za1. 有限遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)有限遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)2. 留數(shù)定理留數(shù)定理1( )2Re()nljjf z dzisf b.b1.b2.bn.全平面的留數(shù)定理：函數(shù) 在全平面上所有各點(diǎn)的留數(shù)之和為零( )f z3 留數(shù)的計(jì)算（注意判斷奇點(diǎn)的類型）（1）可去奇點(diǎn)0Re()0sf z奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展開無負(fù)冪項(xiàng)，有限遠(yuǎn)點(diǎn)（2）極點(diǎn)單極點(diǎn)000Re()lim() ( )zzsf zzzf zm階極點(diǎn)010011Re()lim()( )1 !mmmzzdsf zzzf

4、 zmdz如何判斷極點(diǎn)的階：00lim()( )mzzzzf z非零有限值（3）本性奇點(diǎn)：將 在 的去心鄰域上作洛朗展開，求1次方的系數(shù)，或用全平面留數(shù)定理( )f z0z五. 洛朗展開常用初等函數(shù)的常用初等函數(shù)的Tayler展開式展開式0!kzkzek()z 210sin( 1)(21)!kkkzzk()z 20cos( 1)(2 )!kkkzzk()z 011kkzz(1)z 10ln(1)( 1)1kkkzzk(1)z 1(1).(1)(1)1!mkkmmm kzzk (1)z 六六. 孤立奇點(diǎn)的分類：孤立奇點(diǎn)的分類： （根據(jù)孤立奇點(diǎn)的去（根據(jù)孤立奇點(diǎn)的去心領(lǐng)域內(nèi)洛朗級(jí)數(shù)的性質(zhì)）心領(lǐng)域內(nèi)

5、洛朗級(jí)數(shù)的性質(zhì)）可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)： 內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)不含有 的負(fù)冪項(xiàng)00zzR0zz00( )()kkkf zazz00lim( )zzfza極點(diǎn)極點(diǎn)：00zzR內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)僅含有有限個(gè) 的負(fù)冪項(xiàng)0zz0( )()kkkmf zazz0lim( )zzfz M階階極點(diǎn)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)00zzR內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)含有無限個(gè) 的負(fù)冪項(xiàng)0zz0( )()kkkf zazz0lim( )zzfz不存在不存在如何判斷極點(diǎn)的階如何判斷極點(diǎn)的階00lim()( )mzzzzf z非零有限值七七 利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變定積分利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變定積分第一類：20(cos ,sin )Rxx dx11201(cos ,

6、sin )(,)22zzzzzdzRxx dxRiiz( )f x dx第二類：特點(diǎn)：被積函數(shù)的積分區(qū)間（ ， ）， 在實(shí)軸上無無奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的。當(dāng) 在上半平面 和實(shí)軸上 時(shí)， 一致地( )f zz( )zf z02 ( )i f z在上半平面所有奇點(diǎn)的留數(shù)之和( )f x dx0( )cosF xmxdx0( )sinG xmxdx第三類：0被積函數(shù)的積分區(qū)間 ， ,偶函數(shù) 和奇函數(shù)( )F z( )G z在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的；當(dāng) 在上半平面或?qū)嵼S上 時(shí)， 和z( )F z( )G z一致地趨于零01( )cos( )2imxF xmxd

7、xF x edx01( )sin( )2imxG xmxdxG x edxi ( )imzi F z e在上半平面所有奇點(diǎn)留數(shù)之和 ( )imzG z e在上半平面所有奇點(diǎn)留數(shù)之和八八 奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)奇函數(shù)2Tl10( )sin( )sinkklkk xf xblk xbf xdxll2其中 只有正弦項(xiàng)偶函數(shù)01000( )cos( )( )coskkllkk xf xaalaf x dxlk xaf xdxll1其中 2只有余弦項(xiàng)九九 函數(shù)函數(shù)1挑選性挑選性00( ) ()( )ft df t 傅立葉積分傅立葉積分2 函數(shù)的函數(shù)的1( )2ikxxe d

8、k0()01()2ik x xxxedk十十.數(shù)學(xué)物理定解問題數(shù)學(xué)物理定解問題A.幾個(gè)重要的泛定方程1.弦的橫振動(dòng)方程和桿的縱振動(dòng)方程弦的橫振動(dòng)方程和桿的縱振動(dòng)方程(自由振動(dòng)自由振動(dòng))20ttxxua u弦的橫振動(dòng)方程和桿的縱振動(dòng)方程弦的橫振動(dòng)方程和桿的縱振動(dòng)方程(受迫振動(dòng)受迫振動(dòng))2( , )ttxxF x tua u( , )F x t每單位長(zhǎng)度的弦所受的橫向力每單位長(zhǎng)度單位橫截面積的桿所受的縱向外力2. 一維的無源擴(kuò)散方程和熱傳導(dǎo)方程（輸運(yùn)方程）一維的無源擴(kuò)散方程和熱傳導(dǎo)方程（輸運(yùn)方程）20txxua u一維的有源熱傳導(dǎo)方程一維的有源熱傳導(dǎo)方程2( , )txxF x tua uc( ,

9、 )F x t單位時(shí)間在單位長(zhǎng)度上產(chǎn)生的熱量0u 3 靜電場(chǎng)方程有源：有源：泊松方程無源：無源：0u 拉普拉斯方程B 定解條件1.初始條件:熱傳導(dǎo)方程 1個(gè)初始條件 波動(dòng)方程2個(gè)初始條件2. 邊界條件第一類邊界條件000000,( , , , )(, )xyzu x y z tf xy z t第三類邊界條件000000,(, )xyzuf xyz tn第二類邊界條件000000,()(, )xyzuuHf xyz tn第二類邊界條件:( )()x auf tYsn若為自由振動(dòng)自由振動(dòng)( )0f t ( )f txa( )x auf txYs0 x aux例1 作縱振動(dòng)的桿例2 細(xì)桿導(dǎo)熱問題(

10、)f txa( )x aukf tx流出( )x aukf tx 流入達(dá)朗貝爾公式適用的問題120ttxxua u(,0)xt 無界區(qū)間內(nèi)的自由振動(dòng)問題無界區(qū)間內(nèi)的自由振動(dòng)問題11( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda 0( )tux0( )ttux齊次的泛定方程20ttxxua u0( )tux0( )ttux(0,0)xt 00 xu半無界區(qū)間內(nèi)的自由振動(dòng)問題半無界區(qū)間內(nèi)的自由振動(dòng)問題一齊2奇延拓0( )tux ( )x0 x ()x0 x 0( )ttux( )x0 x ()x0 x 11( , ) ()()( )22x atx atu x txatxa

11、tda ()xat11( , ) ()()( )22x atat xu x txatatxda ()xat20ttxxua u0( )tux0( )ttux(0,0)xt 00 xxu二齊3偶延拓0( )tux ( )x0 x ()x0 x 0( )ttux( )x0 x ()x0 x 半無界區(qū)間內(nèi)的自由振動(dòng)問題半無界區(qū)間內(nèi)的自由振動(dòng)問題11( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda ()xat00111( , ) ()()( )( )222x atat xu x txatatxddaa ()xat十一 分離變數(shù)法有界區(qū)間I 第一類問題第一類問題: 齊次的泛定方程

12、II 第二類問題第二類問題: 非齊次的泛定方程1. 邊界條件為 “一齊”2.邊界條件為 “二齊”3.邊界條件為 “ 混齊”4 4 極坐標(biāo)系中拉普拉斯方程帶有周期性邊界條件II 第三類問題第三類問題: 非齊次的邊界條件I 第一類問題第一類問題: 齊次的泛定方程1. 邊界條件為“ 一齊”本征值本征值222nl本征函數(shù)本征函數(shù)( )sinnnn xXxCl(1,2.)n a. 波動(dòng)問題20ttxxua u00 xu0 x lu0( )tux0( )ttux(0)xl通解通解1( , )(cossin)sinnnnn atn atn xu x tABlll系數(shù)02( )sinlnn xAxdxll02

13、( )sinlnn xBxdxn alb. 輸運(yùn)問題20txxua u00 xu0 x lu0( )tux(0)xl通解通解22221( , )sinnatlnnn xu x tC el系數(shù)02( )sinlnn xCxdxll2. 邊界條件為“ 二齊”本征值本征值222nl本征函數(shù)本征函數(shù)( )cosnnn xXxCl(0,1,2.)n a. 波動(dòng)問題20ttxxua u00 xxu0 xx lu0( )tux0( )ttux通解通解001( , )(cossin)cosnnnn atn atn xu x tAB tABlll02( )coslnn xAxdxll02( )coslnn xB

14、xdxn al001( )lAx dxl001( )lBx dxl系數(shù)(0)xlb. 輸運(yùn)問題20txxua u00 xxu0 xx lu0( )tux(0)xl222201( , )cosnatlnnn xu x tCC el通解通解系數(shù)001( )lCx dxl02( )coslnn xCxdxll3. 邊界條件為“ 混齊”本征值本征值2(21)2nl本征函數(shù)本征函數(shù)(21)( )sin2nnnxXxCl(0,1,2.)n 00 xu0 xx lu12(21)( )cos2nnnxXxCl00 xxu0 x lu2120ttxxua u0( )tux0( )ttuxa. 波動(dòng)問題12或21

15、(0)xl0sin 212 (21)(21)( , )cossin22cos 212 nnnnxlnatnatu x tABllnxl12210sin 212 2( )cos 212 lnnxlAxdxlnxl0sin(21)2 4( )cos(21)2 (21)lnnxlBxdxnxlna12211221b. 輸運(yùn)問題(0)xl20txxua u12或210( )tux22222140sin 212 ( , )cos 212 natlnnnxlu x tC enxl12210sin 212 2( )cos 212 lnnxlCxdxlnxl通解系數(shù)12214 極坐標(biāo)系中極坐標(biāo)系中拉普拉斯方程

16、帶有周期性邊界條件( ,2 )( , )uu 2m本征值(0,1,2.)m 本征函數(shù)( )cossinmmmAmBm通解001( , )ln(cossin)mmmmuCDAmBm 1(cossin)mmmmCmDmI 第二類問題第二類問題: 非齊次的泛定方程方法一：傅立葉級(jí)數(shù)法方法二：沖量定理法沖量定理法適用的定解問題沖量定理法適用的定解問題2( , )ttxxua uf x t00 xxu0 xx lu00tu00ttu初始條件必須為初始條件必須為0齊次邊界條件齊次邊界條件非齊次的輸運(yùn)方程也適用（齊次邊界條件和初始條件為0）波動(dòng)方程波動(dòng)方程解題模式解題模式1轉(zhuǎn)化20ttxxva v00 xx

17、v0 xx lv0tv( , )ttvf x2求 的解v( , ; )v x t3 原問題的解0( , )( , ; )tu x tv x td階勒讓德多項(xiàng)式階勒讓德多項(xiàng)式l( )lP xA ：表達(dá)式 220(22 )!12!()!(2 )!lklklklkxk lklk查表 2:l不超過 的最大整數(shù)2l記憶：0( )1P x 1( )P xx2231( )22P xx3353( )22P xxx221 !(0)12!nnnPn 21(0)0nPcosx十二.球函數(shù)B ：勒讓德多項(xiàng)式的微分表示和積分表示勒讓德多項(xiàng)式的微分表示和積分表示21( )(1)2 !llllldP xxl dx微分表示微

18、分表示201( )1cos llP xxixd積分表示積分表示(1)1lP( 1)1llP C ：勒讓德多項(xiàng)式的正交關(guān)系勒讓德多項(xiàng)式的正交關(guān)系11( ) ( )0klP x P x dx()klD：勒讓德多項(xiàng)式的模勒讓德多項(xiàng)式的模12212 ( )21llNP xdxl221lNlE: 以勒讓德多項(xiàng)式為基，將以勒讓德多項(xiàng)式為基，將 上的函數(shù)上的函數(shù) 展展 開為廣義傅立葉級(jí)數(shù)開為廣義傅立葉級(jí)數(shù) 1,1( )f x0( )( )lllf xf P x11021( ) ( )221( ) (cos )sin2llllff x P x dxlfPd 系系數(shù)數(shù)勒讓德多項(xiàng)式的應(yīng)用拉普拉斯方程的軸對(duì)稱定解問

19、題拉普拉斯方程的軸對(duì)稱定解問題邊界條件與邊界條件與 無關(guān)無關(guān)0u 通解10( , )() (cos )llllllBu rArPr例：在均勻電場(chǎng)中放入導(dǎo)體球或介質(zhì)球（作業(yè)題和例題）F:勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)0210(cos )111 2 cos(cos )llllllr PrrPr1r 1r 102210(cos )12cos(cos )llllllllrPRRRrRrPrrRrR例：在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中放入導(dǎo)體球或介質(zhì)球（例例：在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中放入導(dǎo)體球或介質(zhì)球（例題）題）階連帶勒讓德函數(shù)階連帶勒讓德函數(shù)l( )mlPxA ：表達(dá)式 22( )(1)( )mmmllPxxPx記憶：0( )(