導數與定積分知識匯總(共9頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上高考數學-導數、定積分知識清單一 、導數的概念 （一）導數的概念 函數y=f(x),如果自變量x在x0處有增量x，那么函數y相應地有增量y=f（x0+x）f（x0），比值叫做函數y=f（x）在x0到x0+x之間的平均變化率，即= 。如果當時，有極限，我們就說函數y=f(x)在點x0處可導，并把這個極限叫做f（x）在點x0處的導數，記作f （x）或y | x = x0即f （x）=。說明：（1）函數f（x）在點x處可導，是指時，有極限。如果不存在極限，就說函數在點x處不可導，或說無導數。（例如：函數y = |x|在x = 0處得左極限與右極限不相等，所以函數y = |x

2、|在x = 0處不存在極限，所以在x = 0處不可導）（2）是自變量x在x處的改變量，時，而是函數值的改變量，可以是零。由導數的定義可知，求函數y=f（x）在點x處的導數的步驟： 求函數的增量=f（x+）f（x）； 求平均變化率=； 取極限，得導數f (x)=。 （二）導數的幾何意義函數y=f（x）在點x0處的導數的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x0，f（x0）處的切線的斜率 。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x0，f（x0）處的切線的斜率是f （x0）。相應地，切線方程為yy0 = f （x0）（xx0）。 例題：1、已知曲線的一條切線方程是，則的值為 （ ） 或 或 2、若曲線的一條

3、切線與直線垂直，則的方程為 （ ） A B C D （三）幾種常見函數的導數: ; ; ; ; . （四）兩個函數的和、差、積、商的求導法則 1.函數和（或差）的求導法則 設是可導的，則. 即兩個函數的和（或差）的導數等于這兩個函數的導數的和（或差），該法則也可以推廣 到任意有限個函數， 即： 2.函數積的求導法則 設是可導的，則，即兩個函數的積的導 數等于第一個函數的導數乘第二個函數加上第一個函數乘第二個函數的導數. 特例：若C為常數,則. 即常數與函數的積的導數等于常數乘以這個函數的導數： 3.函數商的求導法則 設是可導的，且，則. （簡記為 （） ） 即兩個函數的商的導數等于等于分子的導

4、數與分母的積，減去分母的導數與分子的積， 再除以分母的平方二、導數的應用（一）確定函數的單調性（求單調區(qū)間） 1. 在某個區(qū)間內，如果，那么函數在這個區(qū)間內單調遞增；如果 ，那么函數在這個區(qū)間內單調遞減。 2. 如果在某區(qū)間內恒有，則為常數； 注： f（x）0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上并不是都有f（x）0，有一個點例外即x=0時f（x）=0，同樣f（x）0是f（x）遞減的充分非必要條件. 一般地，如果f（x）在某區(qū)間內有限個點處導數為零，在其余各點導數值均為正（或負），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調增加（或單調減少）的. 例題：求的單調區(qū)間（二）極點與極值： 1. 曲線

5、在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導數為0；曲線在極大值點左側切線的斜 率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正；2. 極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點，都有，則是函數 的極大值，極小值同理） 求函數極值的步驟: 求導數 求方程的根 列表 下結論。 3. 當函數在點x0處連續(xù)時， 如果在x0附近的左側0，右側0，那么是極大值； 如果在x0附近的左側0，右側0，那么是極小值.也就是說x0是極值點的充分條件是x0點兩側的導數異號，而不是=0 -（1）. 亦即 是極值點 此外，函數不可導的點也可能是函數的極值點 -（2） 當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關系是不

6、確定的，即有可能極大值比極小值小（函數在某一點附近的點不同）. 注 （1）若點x0是可導函數f(x)的極值點，則 ，但反過來不一定成立。 例如：函數y = x3 在x =0處的導數為0，但是函數在R上單調遞增，則x =0 不是函數的極值點 （2）例如：，在點x=0處不可導，但點x=0是函數的極小值點. 例題：1、函數，若是的一個極值點，則值為 A2 B.-2 C. D.4 2、設函數f(x)= （）求f(x)的單調區(qū)間； （）討論f(x)的極值。 解：由已知得，令，解得 。 （）當時，在上單調遞增； 當時，隨的變化情況如下表：0+00極大值極小值 從上表可知，函數在上單調遞增；在上單調遞減；在

7、上 單調遞增。 （）由（）知，當時，函數沒有極值； 當時，函數在處取得極大值，在處取得極小值。（三）最值： 最值定理：一般地，在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數f（x）在a，b上必有最大值與最小值。求函數f（x）在閉區(qū)間a，b上的最值的步驟： 求函數f（x）在(a，b)內的極值； 求函數f（x）在區(qū)間端點的值(a)、(b)； 將函數f（x）的各極值與(a)、(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。三、定積分的知識梳理 （一）定積分 1. 概念：設函數f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點ax0<x1<<xi1<xi<xnb把區(qū)間 a，b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間

8、xi1，xi上取任一點i（i1，2，n）作和式:f (i)x（其中x為小區(qū)間長度。在等分情況下，x = ），把n即x0時，和式的極限叫做函數f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作：，即f (i)x。這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數f(x)叫做被積函 數，x叫做積分變量，f(x) dx叫做被積式。 2. 基本的定積分公式： （1）（2）（C為常數） （3）（4）（5） （6） （7） 練習（1） （2） （3） 解：（1） （2） （3） 3. 定積分的性質 （1）； （2） （3）。 （二）定積分的應用 要點一：求平面圖形的面積 1. 由直線，軸及曲線所圍成的

9、曲邊梯形的面積. 若在上，如下左圖，則； 此時，定積分的幾何意義：直線，軸及曲線所圍成的曲 邊梯形的面積。（如下左圖） 若在上，如上中間圖，則; 此時，定積分的幾何意義：直線，軸及曲線所圍成的曲 邊梯形的面積的相反數。（如上中間圖） 如上右圖，由曲線，及直線x=a，x=b（ab）， 圍成圖形的面積公式為：.2. 由直線及曲線圍成的平面圖形的面積： （同1條中的）3. 任意平面圖形的面積 由任意曲線圍成的平面圖形總可以分割成若干個曲邊梯形，應用定積分解決了求曲邊梯形 的面積問題，在理論上就解決了求任意平面圖形的面積問題.4.求由兩條曲線圍成的平面圖形的面積的解題步驟 （1）畫出圖形. （2）確定

10、圖形范圍，通過解方程組求出交點的坐標，定出積分上、下限.（3）確定被積函數，特別要注意分清被積函數的上、下位置（積分變量為x） 或左、右位置（積分變量為y）. （4）寫出平面圖形面積的定積分表達式. （5）運用微積分基本定理計算定積分，求出平面圖形的面積. 例1：計算由曲線和直線所圍成的圖形的面積. （） 解法一 畫圖如下左圖，解得交點坐標為（2，-2），（8,4） （II） 解法二 畫圖如上右圖，解得交點坐標為（2，-2），（8,4） （ 以y為積分變量） 例2：計算由曲線圍成的圖形的面積. 解：畫圖，求得交點（-1，1）及（3,9） 例3.計算由曲線圍成的圖形的面積. 解法一： （積分變量

11、為x） 解法二: （積分變量為y） 要點二：定積分在物理中的應用 1. 物體做變速直線運動的位移：做變速直線運動的物體所經過的位移，等于其速度 在時間區(qū)間上的定積分，即. 2. 變力做功：一物體在變力的作用下做直線運動，并且物體沿著與相同的方向從 移動到，可以得到變力做的功. 例4：一輛汽車的速度-時間曲線如圖所示，求汽車在這1min內行駛的路程解： 例5：如右圖，陰影部分面積為（ B ） Adx Bdx Cdx Ddx 例6：求函數的最小值解： 當a = 1時f (a)有最小值1練習題 1. 若點P是曲線yx2ln x上任意一點，則點P到直線yx2的最小距離為 A1 B. C. D.解析：過點P作yx2的平行直線，且與曲線yx2ln x相切，設P(x0，xln x0)，則ky|xx02x0，2x01，x01或x0(舍去)P(1,1)，d.2. 若曲線yx4的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為()A4xy30 Bx4y50 C4xy30 Dx4y30解析：y4x34，得x1，即切點為(1,1)，所以過該點的切線方程為y14(x1)，3、曲線yex在點(2，e