高中數(shù)學(xué)教學(xué)方案

1、課題：正弦定理科目： 數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)象： 高二學(xué)生課時(shí)：一課時(shí) 提供者：申云單位：長(zhǎng)治市第十七中 一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)必修5（人教A版）第一章，正弦定理第一課時(shí)，是在高二學(xué)生學(xué)習(xí)了三角等知識(shí)之后，顯然是對(duì)三角知識(shí)的應(yīng)用；同時(shí)，作為三角形中的一個(gè)定理，也是對(duì)初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應(yīng)用又十分廣泛。 根據(jù)實(shí)際教學(xué)處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個(gè)層次：第一層次教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑問(wèn)，以及特殊三角形中邊角的關(guān)系的驗(yàn)證，通過(guò)“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、“ 向量法”等多

2、種方法證明正弦定理，驗(yàn)證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最后進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。學(xué)生通過(guò)對(duì)任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察實(shí)驗(yàn)猜想證明應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神二、教學(xué)目標(biāo)1讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā), 通過(guò)對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，實(shí)驗(yàn)，猜想，驗(yàn)證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學(xué)會(huì)運(yùn)用正弦定理解決解斜三角形的兩類(lèi)基本問(wèn)題。 2通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解

3、決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。 3通過(guò)學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 4培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。三、學(xué)習(xí)者特征分析學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容，在必修4中，又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和平面向量的有關(guān)內(nèi)容，對(duì)解直角三角形、三角函數(shù)、平面向量已形成初步的知識(shí)框架，這不僅是學(xué)習(xí)正弦定理的認(rèn)知基礎(chǔ)，同時(shí)又是突破定理證

4、明障礙的強(qiáng)有力的工具。正弦定理是關(guān)于任意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一，課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要重視定理的探究過(guò)程，并能運(yùn)用它解決一些實(shí)際問(wèn)題，可以使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也為學(xué)習(xí)正弦定理提供一種親和力與認(rèn)同感。四、教學(xué)策略選擇與設(shè)計(jì)本節(jié)課采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過(guò)程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，以問(wèn)題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究?jī)?nèi)容，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問(wèn)題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過(guò)個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，在知識(shí)的形成、發(fā)展過(guò)程中展開(kāi)思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探索

5、問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。五、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的猜想提出過(guò)程。 六、教學(xué)過(guò)程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖（一）結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動(dòng)機(jī)教師：展示情景圖如圖1，船從港口B航行到港口C，測(cè)得BC的距離為，船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行，由于船員的疏忽沒(méi)有測(cè)得CA距離，如果船上有測(cè)角儀我們能否計(jì)算出A、B的距離？教師：若已知測(cè)得，要計(jì)算A、B兩地距離，你有辦法解決嗎？（圖1）老師：對(duì)，很好，在初中，我們學(xué)過(guò)相似三角形，也學(xué)過(guò)解直角三角形，大家還記得嗎？師生：共同回憶解直角三角形，直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個(gè)角。直

6、角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個(gè)角。教師：引導(dǎo)，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計(jì)算AB呢？解：過(guò)作于在中，在中，教師：表示對(duì)學(xué)生贊賞，那么剛才解決問(wèn)題的過(guò)程中，若，能否用、表示呢？教師：引導(dǎo)學(xué)生再觀察剛才解題過(guò)程。教師：引導(dǎo)，在剛才的推理過(guò)程中，你能想到什么？你能發(fā)現(xiàn)什么？教師：引導(dǎo)，我們習(xí)慣寫(xiě)成對(duì)稱(chēng)形式，因此我們可以發(fā)現(xiàn)，是否任意三角形都有這種邊角關(guān)系呢？學(xué)生：思考提出測(cè)量角A，C學(xué)生：思考交流，畫(huà)一個(gè)三角形，使得為6cm， ，量得距離約為4.9cm，利用三角形相似性質(zhì)可知AB約為490m。學(xué)生：思考，交流，得出過(guò)作于如圖2，把分為兩個(gè)直角三角形，解題過(guò)程，學(xué)生闡述，

7、教師板書(shū)。學(xué)生：發(fā)現(xiàn)，學(xué)生：發(fā)現(xiàn)即然有，那么也有，。興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有良好的開(kāi)頭，那就意味著成功的一半。因此，我通過(guò)從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問(wèn)題引入，激發(fā)學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，在解決問(wèn)題后，對(duì)特殊問(wèn)題一般化，得出一個(gè)猜測(cè)性的結(jié)論猜想，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般思想意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力。（二）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想教師：給學(xué)生指明一個(gè)方向，我們先通過(guò)特殊例子檢驗(yàn)是否成立，舉出特例。（1）在ABC中，A，B，C分別為，對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：1：1，對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為，引導(dǎo)學(xué)生考察，的關(guān)系。（學(xué)生回答它們相等）（2）、在ABC中，A，B，C分別為

8、，對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：1：，對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為，1；（學(xué)生回答它們相等）（3）、在ABC中，A，B，C分別為，對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：2，對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為，1。（學(xué)生回答它們相等）（圖3）（圖3）教師：對(duì)于呢？教師：那么任意三角形是否有呢？學(xué)生按事先安排分組，出示實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，讓學(xué)生閱讀實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，質(zhì)疑提問(wèn)：有什么不明白的地方或者有什么問(wèn)題嗎？（如果學(xué)生沒(méi)有問(wèn)題，教師讓學(xué)生動(dòng)手計(jì)算，附實(shí)驗(yàn)報(bào)告單。）教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，、值仍然保持相等。我們猜想：=學(xué)生：思考交流得出，如圖4，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,則有，又,則從而在直角三角形ABC中，學(xué)

9、生：分組互動(dòng)，每組畫(huà)一個(gè)三角形，度量出三邊和三個(gè)角度數(shù)值，通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算，比較、的近似值。讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，激起學(xué)生的好奇心和求知欲望。學(xué)生自己進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，體會(huì)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理的兩個(gè)側(cè)面。（三）證明猜想，得出定理教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，多媒體技術(shù)支持，對(duì)任意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明呢？前面探索過(guò)程對(duì)我們有沒(méi)有啟發(fā)？學(xué)生分組討論，每組派一個(gè)代表總結(jié)。（以下證明過(guò)程，根據(jù)學(xué)生回答情況進(jìn)行敘述）教師：由于時(shí)間有限，對(duì)正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學(xué)回家再探索。學(xué)生：思考得出在中，成立，如前面檢驗(yàn)。在銳角三角形中，如圖5設(shè)，作：，垂足為在中，在中，同理，在中， 在鈍角三

10、角形中，如圖6設(shè)為鈍角，作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于在中，在中，同銳角三角形證明可知 經(jīng)歷證明猜想的過(guò)程，進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)論證猜想，力圖讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程。（四）利用定理，解決引例教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問(wèn)題。學(xué)生：馬上得出在中，利用正弦定理，重新解決引例，讓學(xué)生體會(huì)用新的知識(shí)，新的定理，解決問(wèn)題更方便，更簡(jiǎn)單，激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識(shí)的欲望。（五）了解解三角形概念教師：一般地，把三角形的三個(gè)角、和它們的對(duì)邊、叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個(gè)元素，求其他元素的過(guò)程叫做解三角形。讓學(xué)生了解解三角形概念，形成知識(shí)的完整性（六）運(yùn)用定理，解決例題教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方

11、程思想分析正弦定理可以解決的問(wèn)題。師生：例1的處理，先讓學(xué)生思考回答解題思路，教師板書(shū)，讓學(xué)生思考主要是突出主體，教師板書(shū)的目的是規(guī)范解題步驟。例1：在中，已知，解三角形。分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為求出第三個(gè)角C，再由正弦定理求其他兩邊。例2：在中，已知，解三角形。例2的處理，目的是讓學(xué)生掌握分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等學(xué)生講解解題思路，其他同學(xué)補(bǔ)充交流用實(shí)物投影儀展示學(xué)生中解題步驟規(guī)范的解答。學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問(wèn)題類(lèi)型：如果已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如；如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，求另一邊與另兩角

12、，如。學(xué)生：反饋練習(xí)（教科書(shū)第5頁(yè)的練習(xí)）自己解決問(wèn)題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動(dòng)力，使學(xué)生體驗(yàn)到成功的愉悅感，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，“我要研究”的主動(dòng)學(xué)習(xí)。（七）嘗試小結(jié)教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)，教師及時(shí)補(bǔ)充，要體現(xiàn)：（1）正弦定理的內(nèi)容（）及其證明思想方法。（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；已知三角形中兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其他元素。（3）分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想。學(xué)生：思考交流，歸納總結(jié)。通過(guò)學(xué)生的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。（八）作業(yè)設(shè)計(jì)作業(yè)： 1、回顧本節(jié)課的整個(gè)研究過(guò)程，體會(huì)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程；2、思考：證法五與證法一有何聯(lián)系？3、思考：能否借助向量的坐標(biāo)的方法證明正弦定理？4、當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)