利用導(dǎo)數(shù)解參數(shù)范圍的八種策略hai

1、巧用導(dǎo)數(shù)解參數(shù)問題的八種策略 現(xiàn)以近幾年的高考題為例，探討一下用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍的幾種常見題型及求解策略。策略一：分離變量法所謂分離變量法，是通過將兩個(gè)變量構(gòu)成的不等式(方程)變形到不等號(hào)(等號(hào))兩端，使兩端變量各自相同,解決有關(guān)不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中參數(shù)取值范圍的一種方法.兩個(gè)變量，其中一個(gè)范圍已知，另一個(gè)范圍未知. 解決問題的關(guān)鍵: 分離變量之后將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域的問題.分離變量后，對(duì)于不同問題我們有不同的理論依據(jù)可以遵循.以下結(jié)論均為已知的范圍，求的范圍： 結(jié)論一、 不等式恒成立（求解的最小值）；不等式恒成立（求解的最大值）. 結(jié)論二、 不等式存在解（求解

2、的最大值）；不等式存在解（即求解的最小值）.案例1、（2009福建卷）若曲線存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)取值范圍是_.分析：依題意方程在內(nèi)有解，即案例2、（2008湖北卷）若上是減函數(shù)，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 分析：由題意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，案例3、（2008廣東卷）設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點(diǎn)，則（ ）ABCD分析：，若函數(shù)在上有大于零的極值點(diǎn)，即有正根。當(dāng)有成立時(shí),顯然有,此時(shí)，由得.案例4、（2008江蘇卷）設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意的都有成立，則實(shí)數(shù)的值為 解：當(dāng)，則不論取何值，顯然成立；當(dāng)時(shí)，可化為，令，則， 所以 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞

3、減，因此，從而；當(dāng)時(shí)，可化為， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此，從而，綜上分離變量法是近幾年高考考查和應(yīng)用最多的一種。解決問題時(shí)需要注意：（1）確定問題是恒成立、存在、方程有解中的哪一類；（2）確定是求最大值、最小值還是值域. 高三復(fù)習(xí)過程中,很多題目都需要用到分離變量的思想,除了基礎(chǔ)題目可以使用分離變量,很多壓軸題也開可以用這種方法去求解。案例5、（2005湖北卷）已知向量=(,)，=(,)，若在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，求的取值范圍. 解析：由向量的數(shù)量積定義，=()+()=+=+.若在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，則有0-在 (-1,1)上恒成立.若令=-=-3()-在區(qū)間-1,1上，=5，故在

4、區(qū)間(-1,1)上使恒成立，只需即可，即5.即的取值范圍是5，）.利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解參數(shù)問題的題型，是高考命題的一種趨勢(shì)，它充分體現(xiàn)了高考 “能力立意”的思想。對(duì)此，復(fù)習(xí)中不能忽視。案例6、已知函數(shù)，若對(duì)任意恒有，試確定的取值范圍。解：根據(jù)題意得：在上恒成立，即：在上恒成立，設(shè)，則當(dāng)時(shí)， 所以 案例7、已知時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍。解：令， 所以原不等式可化為：，要使上式在上恒成立，只須求出在上的最小值即可。 策略二：主次元變換法案例1、.（2009北京卷）設(shè)函數(shù)（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.分析：本題主要考查利用

5、導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力（）（）題略，對(duì)于題（），若借助（）的結(jié)論入手，須分兩種情況求解，學(xué)生不一定能考慮得很全面；通過思考，不妨變換一下主次元，轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的問題求解。（）解：由題意 即 又 的取值范圍是.本題通過變換主元的思想，巧妙地應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性，避免了對(duì)k的討論，簡(jiǎn)化了問題的求解。案例2、若不等式對(duì)滿足的所有都成立，求的取值范圍。解：設(shè)，對(duì)滿足的，恒成立， 解得：策略三、極值法有些函數(shù)問題，若能適時(shí)地借助函數(shù)的圖象，巧妙地利用函數(shù)的極值來求解，可使問題豁然開朗。案例1.（07全國(guó)卷二）已知函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)

6、，如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：解：（1）略（2）如果有一條切線過點(diǎn)，則存在，使若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根記，則當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：000增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)如果過可作曲線三條切線，即=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則有即本題的求解，充分利用函數(shù)的極值，把原本復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為極值的正負(fù)問題，使問題變得更加直觀、充分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的優(yōu)越性案例2、（2009陜西卷）已知函數(shù) 求的單調(diào)區(qū)間； 若在處取得極值，直線y=m與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍。解析：（1）略（2）因?yàn)樵谔幦〉脴O大值，所以所以由解得。由（1）中的單調(diào)性可知，在處取得極大值，在處取得極小值

7、。因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，由的單調(diào)性可知，案例3.（2008四川卷）已知x=3函數(shù)f(x)=a ln(1+x)+x2-10x的一個(gè)極值點(diǎn)。（）求a；（）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍。分析：（） （）略（）由（）知，在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少，在上單調(diào)增加，且當(dāng)或時(shí)，所以的極大值為，極小值為因此 所以在的三個(gè)單調(diào)區(qū)間直線有的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)因此，的取值范圍為。充分利用函數(shù)的極值和數(shù)形結(jié)合的思想，把問題轉(zhuǎn)化為極值問題，進(jìn)一步分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在解題中的作用。策略四、零點(diǎn)法案例1、（2009浙江文）已知函數(shù) （I）若函

8、數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是，求的值； （II）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍解析：（）略 （）函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，等價(jià)于 導(dǎo)函數(shù)在既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù) 即函數(shù)在上存在零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得案例2、(2004新課程卷  )若函數(shù)y=x3ax2+（a1）x+1在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+）內(nèi)為增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：令，解得x=1或x=a-1，并且 a2,否則f (x)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)。由題意，函數(shù)f(x)的圖象應(yīng)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間且先增后減再增，而已知f(x)在(1,4)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(6,+)

9、內(nèi)為增函數(shù)，可知函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值，在x=a-1處取得極小值。 4a-16   得5a7  所以a的取值范圍是5,7 應(yīng)用函數(shù)的零點(diǎn)問題，解決相關(guān)的問題，也能取到意想不到的功效。策略五、構(gòu)造新函數(shù)法 一定分類討論？娟思考對(duì)于某些不容易分離出參數(shù)的恒成立問題，可利用構(gòu)造函數(shù)的方法，再借助新函數(shù)的圖像、性質(zhì)等來求解，可以開拓解題思路、化難為易。 案例1、若時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍。解：設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，的最小值非負(fù)。（1） 當(dāng)即：時(shí)， 又所以不存在；（2） 當(dāng)即：時(shí)， 又 （3） 當(dāng) 即：時(shí)， 又綜上所得：案例2、（2007全國(guó)卷一）

10、設(shè)函數(shù)（）證明：的導(dǎo)數(shù)；（）若對(duì)所有都有，求的取值范圍解：（）的導(dǎo)數(shù)而，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）（）法一：令，于是不等式f(x)ax成立即為g(x)g(0)成立則，由（）可知，由當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，從而有時(shí)，即案例3、（2006全國(guó)卷II）設(shè)函數(shù)f(x)(x1)ln(x1)，若對(duì)所有的x0，都有f(x)ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：令g(x)(x1)ln(x1)ax（x>-1）于是不等式f(x)ax成立即為g(x)g(0)成立對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得 當(dāng)時(shí)，g(x)0，g(x)為增函數(shù)，當(dāng)，g(x)0，g(x)為減函數(shù)， 所以要對(duì)所有x0都有g(shù)

11、(x)g(0)等價(jià)條件為ea-110由此得a1，即a的取值范圍是（，1 通過適時(shí)構(gòu)造新的函數(shù)，簡(jiǎn)化了問題，把求參數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，對(duì)解題起到了畫龍點(diǎn)睛的作用。策略六、二次函數(shù)法某些函數(shù)可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的模型，則可利用二次函數(shù)的性質(zhì)來求解。案例1.（2008天津卷）已知函數(shù)（），其中（）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（）若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍；（）若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍分析：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最大值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力（）略（）解：，顯然不是方程的根為使僅在處有極值，必須成立，即有解些不等式，得這時(shí)，

12、是唯一極值因此滿足條件的的取值范圍是（）解：由條件，可知，從而恒成立當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者為使對(duì)任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即，在上恒成立所以，因此滿足條件的的取值范圍是案例2、（2004河北卷）已知f(x)=在R上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解： . f(x)在R上是減函數(shù)，恒成立，0在xR上恒成立，即 0，因此 3.策略七：利用集合與集合間的關(guān)系在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關(guān)系來求解，即：，則且，不等式的解即為實(shí)數(shù)的取值范圍。案例1、當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：（1） 當(dāng)時(shí)，則問題轉(zhuǎn)化為 （2） 當(dāng)時(shí)，則問題轉(zhuǎn)化為綜上所得：或策略八：數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合法是先將不等式兩端的式子分別看作兩個(gè)函數(shù)，且正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，然后通過觀察兩圖象（特別是交點(diǎn)時(shí)）的位置關(guān)系，列出關(guān)于參數(shù)的不等式。案例1、若不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題意知：在內(nèi)恒成立，在同一坐標(biāo)