用F展開法求解廣義KdVmKdV方程畢業(yè)論文

1、2013年度本科生畢業(yè)論文（設計） 用F-展開法求解廣義KdV-mKdV方程院 系： 數(shù)學學院 專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 年 級： 2009級 學生姓名： 胡 安 平 學 號： 2 導師及職稱： 芮老師 (教 授) 2013年5月2013Annual Graduation Thesis (Project) of the College UndergraduateThe F-expansion method for solving the generalized KdV-mKdV equationsDepartment: College of MathematicsMajor: Mathemat

2、ics and Applied MathematicsGrade: 2009Students Name: Hu AnpingStudent No.: 2Tutor: Rui (professor)May, 2013畢業(yè)論文（設計）原創(chuàng)性聲明本人所呈交的畢業(yè)論文（設計）是我在導師的指導下進行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文（設計）不包含其他個人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對本論文（設計）的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中作了明確說明并表示謝意。 作者簽名： 日期： 畢業(yè)論文（設計）授權(quán)使用說明本論文（設計）作者完全了解紅河學院有關(guān)保留、使用畢業(yè)論文

3、（設計）的規(guī)定，學校有權(quán)保留論文（設計）并向相關(guān)部門送交論文（設計）的電子版和紙質(zhì)版。有權(quán)將論文（設計）用于非贏利目的的少量復制并允許論文（設計）進入學校圖書館被查閱。學?？梢怨颊撐模ㄔO計）的全部或部分內(nèi)容。保密的論文（設計）在解密后適用本規(guī)定。 作者簽名： 指導教師簽名：日期： 日期： 胡安富畢業(yè)論文（設計）答辯委員會(答辯小組)成員名單姓名職稱單位備注教授數(shù)學學院組長教授數(shù)學學院組員教授數(shù)學學院組員21 / 28文檔可自由編輯打印摘要 本文針對廣義KdV-mKdV方程的特點,引入了一個輔助方程。在這個輔助方程的基礎(chǔ)上,利用F-展開法獲得這個輔助方程的一些函數(shù)型的精確解。進一步地,利用這些

4、輔助方程的解獲得了廣義KdV-mKdV方程的各種精確行波解。并借助maple軟件畫出了在不同參數(shù)條件下的三維圖像和二維圖像。關(guān)鍵詞: 廣義KdV-mKdV方程;F-展開法;孤立波解;周期波解；行波解ABSTRACTIn this paper, according to the characteristics of generalized KdV-mKdV equations, an auxiliary equation is introduced. Basied on the auxiliary equation, using the F-expansion method, some exac

5、t solutions of auxiliary equatioan are given. Further, using the auxiliary equations solution, different kinds of exact travelling wave solutions of generalized KdV-mKdV equation are obtained. By using maple software, we draw three-dimensional graphics and two-dimensional images under the condition

6、of different parameters.Keywords: Generalized KdV-mKdV equation; F-expansion method; Solitary wave solution; periodic wave solutions; Travelling wave solutions目 錄 第一章 引言11.1 研究背景和現(xiàn)狀11.2廣義KdV-mKdV方程簡介11.3研究內(nèi)容3第二章 研究方法42.1 F-展開法4第三章 用F-展開法求解廣義KdV-mKdV方程6第四章 小結(jié)17參考文獻18致謝19第一章 引言 1.1 研究背景和現(xiàn)狀最近30多年來，非線性數(shù)

7、學在物理研究領(lǐng)域頗具特色的成就之一就是創(chuàng)造了求非線性偏微分方程的解，特別是求行波解的各種方法。如: F-展開法，Jacobi橢圓函數(shù)展開，雙曲正切函數(shù)展開,齊次平衡等。這些方法對于某一類方程來說，它們求某一種形式的行波精確解是十分有效的, 其中“F-展開法”，“齊次平衡”對于求非線性發(fā)展方程的Jacobi橢圓函數(shù)解較為常用。一般情況下, 求解非線性方程(尤其是非線性偏微分方程（PDE）)非常困難,而且也沒有統(tǒng)一而普遍的方法，以上所述的一些方法也只能具體應用于求解某個或某些非線性方程較為有效,因此,在數(shù)學領(lǐng)域 ,求解非線性方程任重而道遠，繼續(xù)尋找一些有效可行的求解方法仍是擺在數(shù)學愛好者面前的一項

8、十分艱巨而又很有意義的工作。1.2廣義KdV-mKdV方程簡介在現(xiàn)代科學研究中，非線性波動現(xiàn)象，如流體力學、固體物理、集成電路、光纖、化學動力學、等離子體物理、地球化學起重要作用。在非線性波方程中，非常重要的現(xiàn)象是擴散、耗散、色散、對流和反應。在許多科學索引文獻中提到的孤立子問題,比如呼吸型孤立子,扭結(jié)型孤立子, 尖峰型孤立子，緊孤立子和尖孤波1是現(xiàn)代非線性數(shù)學在物理研究領(lǐng)域中的主要研究內(nèi)容。 目前盡管已經(jīng)有了多種方法可以解決非線性波方程, 如雙線性變換法, 貝克隆變換， 逆散射方法的轉(zhuǎn)變, sine-cosine方法，齊次平衡方法和tanh方法。但是，由于非線性波方程本身的復雜性，導致目前沒

9、有統(tǒng)一的方法去尋找這些方程的所有解。這就是擺在我們面前的新課題，解決這些新課題需要我們不斷的去尋找新的方法和新的技巧。另外，精確解的物理特性非常重要,這一重要性體現(xiàn)在它們能夠為我們在非線性波方程的物理研究領(lǐng)域提供多方面的洞察力和靈感。標準的KdV方程 （1-1）與K(n,n)方程 （1-2）目前已被廣泛而全面得到研究2-3。通過平衡KdV方程中的高階色散效應項與非線性項，研究人員獲得了方程（1-1）的孤立子(soliton)解，簡稱孤子解。然而，在K(n,n)方程（1-2）中, 非線性色散項與非線性項之間的相互作用產(chǎn)生的孤波具有緊致的特性,通常人們把具有這一特性的解叫做緊孤子（Compacto

10、ns）解。一般地，非線性波孤立子的特征被定義為4：（1）.局部的波形是穩(wěn)定,它們相互碰撞時保持他們的特性。反過來又意味著孤子是具有這樣的性質(zhì)（彈性碰撞）的粒子。（2）.局部的波形,傳播時不改變其性質(zhì)(如形狀、速度等)。因為緊孤子被證明彈性碰撞消失在一個有限的核心區(qū)域。所以人們觀察到緊孤子結(jié)構(gòu)有兩個重要的特點5：（1）.緊孤子的寬度是獨立的振幅。（2）.緊孤子的特點是不像孤立波那樣有長長的尾巴（即長長的漸進于某條直線曲線）。國內(nèi)外大量的研究工作已表明緊孤子（Compactons）有實際的科學應用,如慣性聚變，裂變的液體滴(核子物理學),預先形成的水動力模型6-7等等?，F(xiàn)代許多數(shù)學和物理學研究領(lǐng)域

11、,名詞后面帶后綴-on，一般被用來表示粒子性質(zhì)8，例如孤子（soliton）有粒子、光子（photon）、聲子（phonon）和尖孤子（peakon）的性質(zhì)。也因為這個原因,緊致的孤立波,簡稱緊孤子（Compacton）。需更加深入透徹地了解緊孤子（Compacton）性能和物理結(jié)構(gòu)9。正如廣義KdV-mKdV方程： （1-3）（其中，,、都是常數(shù)。）出現(xiàn)在大量的物理應用領(lǐng)域,曾經(jīng)被許多人員研究過10-11,(以及這些文獻中所引用的文獻)?，F(xiàn)在考慮一種較為特殊的情形，即在方程（1-3）中，讓，其中為非零自然數(shù)。便可以得到方程（1-3）的一種新形式，如下： （1-4）本文的主要工作就是在這種較為

12、特殊情形下，用F-展開法尋求方程（1-4）的精確行波解。1.3研究內(nèi)容本論文主要分為四個章節(jié)來撰寫第一章 主要寫研究此問題的背景和現(xiàn)狀，研究方程的由來及撰寫本論文的大概情況； 第二章 主要介紹論文用到研究方法；第三章 論文研究的全過程；第四章 小結(jié)。第二章 研究方法 2.1 F-展開法 目前F-展開法的應用,可視為雙曲正切函數(shù)，Jacobi橢圓函數(shù)以及三角函數(shù)展開法的概括。其研究的方法步驟如下：一般考慮非線性偏微分方程(PDE) （2-1）為其變元的多項式,其中包含有非線性項和高階偏導數(shù)項。第一步.設(2-1)的行波解為: （2-2）其中表示波速,將(2-2)代入(2-1)則將(2-1)化為的

13、常微分方程（ODE） （2-3）第二步.設可表示為的有限冪級數(shù): （2-4）這里為待定常數(shù),一般滿足一階常微分方程（ODE）: （2-5）對(2-5)式求導得: （2-6）其中是待定常數(shù),正整數(shù)由齊次平衡具體支配地位的最高階導數(shù)項與非線性最高次方項來確定。第三步.將(2-4)代入(2-5),利用(2-5),(2-6)可將(2-3)式變成的多項式。令的各次項冪的系數(shù)為零,從而可以得和c的代數(shù)方程組。第四步.求上述代數(shù)方程組，可借助Maple軟件求解,和可由來表示。將這些結(jié)果代入(2-5)式得PDE(2-1)的一個行波解的一般形式。本論文是建立在一個變形的輔助方程： （2-7）之上,通過對（2-7

14、）式湊微分并令（2-8）可得如下方程： . (2-9)在（2-9）式中記: （2-10）， （2-11） 則方程（2-9）的積分情況如下表表一(積分表)當時當時或者當時第三章 用F-展開法求解廣義KdV-mKdV方程 在本章中，我們考慮下列廣義KdV-mKdV方程 (3-1)其中，,、都是常數(shù)。現(xiàn)在考慮時的情形：（其中為自然數(shù)） (3-2)作一個行波變換，, ， (3-3)其中表示波速。 將（3-3）求導代入（3-2）得： (3-4)對（3-4）積分一次得：（取積分常數(shù)為零） (3-5)設 （其中是常參數(shù) ） (3-6)將（3-6）代入（3-5）得： (3-7)令 (3-8)由（3-8）求導得

15、： (3-9)將（3-9）代入（3-7）得：(3-10)在（3-10）中令各階各次系數(shù)為零得以下方程組： （3-11）整理以上方程組得： （3-12）由（3-8）式得： (3-13)對（3-13）式湊微分得：. (3-14)令 (3-15)則（3-14）變?yōu)槿缦滦问?. （3-16）在（3-16）式中、都是常數(shù)。情形一：當時，對（3-16）是兩邊積分（查積分表）得：, (3-17)為任意積分常。 化簡（3-17）式得： , (3-18)其中，,（因為是任意常數(shù)，所以也是任意常數(shù)）。借助maple軟件，由（3-18）式求得： (3-19)在（3-19）式中，令則（3-19）式可以化簡為： . (

16、3-20)記.（） 當時，可以表示為： . (3-21) 因為， 且，所以容易得： (3-22) 即可以表示為如下形式： (3-23)其中、的表達式如下所示： (3-24) （） 當時，解的形式不存在。 （） 當時，可以表示為： (3-25) 對應的可以表示為： (3-26)其中、的表達式如下所示： (3-27)情形二：當時，對（3-16）是兩邊積分（查積分表）得： （是任意的積分常數(shù)） (3-28)借助maple軟件，由（3-28）式求得： (3-29)或者 (3-30)所以 (3-31)或者 （3-32）其中、的表達式如下所示： （3-33）情形三：當時，對（3-16）是兩邊積分（查積分表

17、）得： (3-34)(其中是任意的積分常數(shù)) 借助maple軟件，由（3-34）式求得： (3-35) 記 則：（）當時，可以表示為: (3-36) 此時可以表示為： (3-37)其中、的表達式如下所示： (3-38)（） 當時，可以表示為: (3-39)此時可以表示為： (3-40)其中、的表達式如下所示： (3-41)（）當時，可以表示為: (3-42)此時可以表示為： (3-43)其中、的表達式如下所示： (3-44) 借助maple軟件，取適當?shù)膮?shù)，可以畫出原方程在不同解形式下的圖形，為了更形象和對比，分別畫出了三維圖和對應的二維圖如下：3-1-1三維圖 3-1-2二維圖 圖3-1是

18、孤立行波解（3-23）的三維圖和二維圖其中，3-1-1是孤立行波解（3-23）在參數(shù)條件的三維圖，3-1-2是孤立行波解（3-23）在參數(shù)條件的二維圖。 3-2-1三維圖 3-2-2二維圖圖3-2是孤立行波解（3-23）的三維圖和二維圖其中，3-2-1是孤立行波解（3-23）在參數(shù)條件的三維圖，3-2-2是孤立行波解（3-23）在參數(shù)條件的二維圖。 3-3-1三維圖 3-3-2二維圖 圖3-3是無界行波解（3-26）的三維圖和二維圖其中，3-3-1是無界行波解（3-26）在參數(shù)條件的三維圖，3-3-2是無界行波解（3-26）在參數(shù)條件的二維圖。 3-4-1三維圖 3-4-2二維圖 圖3-4是無

19、界行波解（3-26）的三維圖和二維圖其中，3-4-1是無界行波解（3-26）在參數(shù)條件的三維圖，3-4-2是無界行波解（3-26）在參數(shù)條件的二維圖。 3-5-1三維圖 3-5-2二維圖圖3-5是孤立行波解（3-32）的三維圖和二維圖其中，3-5-1是孤立行波解（3-32）在參數(shù)條件的三維圖，3-5-2是孤立行波解（3-32）在參數(shù)條件的二維圖。 3-6-1三維圖 3-6-2二維圖 圖3-6是孤立行波解（3-32）的三維圖和二維圖其中，3-6-1是孤立行波解（3-32）在參數(shù)條件的三維圖，3-6-2是孤立行波解（3-32）在參數(shù)條件的二維圖。 3-7-1三維圖 3-7-2二維圖 圖3-7是周期

20、行波解（3-37）的三維圖和二維圖其中，3-7-1是周期行波解（3-37）在參數(shù)條件的三維圖，3-7-2是周期行波解（3-37）在參數(shù)條件的二維圖。 3-8-1三維圖 3-8-2二維圖 圖3-8是周期行波解（3-37）的三維圖和二維圖其中，3-8-1是周期行波解（3-37）在參數(shù)條件的三維圖，3-8-2是周期行波解（3-37）在參數(shù)條件的二維圖。 3-9-1三維圖 3-9-2二維圖 圖3-9是周期行波解（3-43）的三維圖和二維圖其中，3-9-1是周期行波解（3-43）在參數(shù)條件的三維圖，3-9-2是周期行波解（3-43）在參數(shù)條件的二維圖。 3-10-1三維圖 3-10-2二維圖 圖3-10

21、是周期行波解（3-43）的三維圖和二維圖其中，3-10-1是周期行波解（3-43）在參數(shù)條件的三維圖，3-10-2是周期行波解（3-43）在參數(shù)條件的二維圖。第四章 小結(jié) 本文通過構(gòu)造輔助方程將求解非線性偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的問題,借助-展開法從而求出大量的廣義KdV-mKdV方程的精確行波解。在本文中對輔助方程積分時，由于涉及到討論,由此從大于零、等于零、小于零三種情況出發(fā)進行討論得出對應解的形式，本文共求出7個精確的行波解，其中有兩個解（3-31）和（3-40）相對簡單為常數(shù)，所以沒有畫出相應的圖像，其它的5個解（3-23）、（3-26）、（3-32）、（3-37）、(3-

22、43)都畫出了對應的三維圖和二維圖，并且每一個解都對應取不同的參數(shù)畫出了一組圖像，從讓每個解的意義變得更形象。文章中獲得的結(jié)果,與現(xiàn)有文獻中的結(jié)果相比,在解的形式上是不相同的。筆者認為，本文的結(jié)果在廣義KdV-mKdV方程精確求解方面,起到了一定彌補性的作用,并具有一定的應用前景,豐富了已有文獻的內(nèi)容。參考文獻 1 Wadati M. Introduction to solitons J. Pramana: J.Phys. 2001,57(56):841847. 2 Wazwaz AM.New solitary-wave special solutions with compactsuppor

23、t for the nonlinear dispersive K(m,n) equations J. Chaos, Solitons and Fractals 2002, 13(2):321330. 3 Wazwaz AM.New compactons,solitons and periodic solutions for nonlinear variants of the KdV and the KP equations J. Chaos, Solitons and Fractals 2004, 22:249260.4 Hereman W, Takaoka M. Solitary wave

24、solutions of nonlinear evolution and wave equations using a direct method and MACSYMA J. J. Phys. A 1990,23:4805 4822.5 Rosenau P, Hyman JM. Compactons: solitons with nite wavelengthsJ. Phys. Rev.Lett. 1993,70(5):564567.6 Dusuel S, Michaux P, Remoissenet M. From kinks to compactonlike kinks J.Phys.

25、Rev. E 1998,57(2):23202326. 7 Ludu A, Draayer JP. Patterns on liquid surfaces: cnoidal waves, compactons and scaling J. Physica D 1998,123:8291. 8 Kadomtsev BB, Petviashvili Vi J. Sov. Phys. JETP 1974,39:285295. 9 Wazwaz AM, Taha T. Compact and noncompact structures in a class of nonlinearly dispersiv