高2021屆高2018級(jí)蘇教版步步高大一輪高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件學(xué)案第七章7.5

1、§7.5空間向量及其應(yīng)用1 .空間向量的有關(guān)概念名稱概念表小零向量模為0的向量0單位向量長(zhǎng)度6莫）為1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a= b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量為一a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量a / b共向向量平仃丁同個(gè)平面的向重2 .空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(aw0),b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)“使彳導(dǎo)b=江(2)共面向量定理如果兩個(gè)向量a,b不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x,y),使得p = xa+ yb.(3)空間向量基本定理如果三個(gè)向量ei,

2、e2,e3不共面，那么對(duì)空間任一向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p= xei+ ye2 + ze3.3 .空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念兩向量的夾角a,b是空間兩個(gè)非零向量，過空間任意一點(diǎn) O,作oA=a,OB=b，則/ AOB叫做向量a與向量b的r j 、一 ,一1一兀夾角，記作a,b淇氾圍是0w a,b> &兀右a,b> =,則稱a與b互相垂直,記彳a±b.兩向量的數(shù)量積已知空間兩個(gè)非零向量a,b,則|a|b|cosa,b叫做向量a,b的數(shù)量積，記作a b,即a b= |a|b|cosa,b.(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律(后)b

3、= Xa b)；交換律：a b= ba;分配律:a (b + c) = a b+a c.4 .空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè) a = (ai,a2,a3),b= (bi,b2,b3).向里表小坐標(biāo)表小數(shù)量積a b可3 + a12 b2 + a13a共線a= Mbw0,K R)aB11,a?= 入一 2,ag尸 入 3垂直a b= 0(aw 0,b w 0)aibi+ a2b2+ a3b3= 0模|a|Va2 + a2 + a2夾角余弦a bc0sa，b=而犯(aw 0,b w 0)aibi+ a2b2+ a3b3cos a,b4a2 +a2 +a2 4b2+b2+b25 .空間位置關(guān)系的向量表示

4、(1)直線的方向向量直線l上的向量e(ew0)以及與e共線的非零向量叫做直線 l的方向向量.(2)平面的法向量如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面%那么稱向量n垂直于平面 /記彳n± o,此時(shí)，我們把向量n叫做平面”的法向量.位直大系向里表小直線li,l2的方向向量分別為 ni,n2l 1 / 12ni II n2? ni= Q21 1 _L 12ni±n2? ni n2 = 0直線l的方向向量為 n,平囿a的法向量為 ml / an±m? n m = 0l _L an II m? n =而平面a, 3的法向量分別為n,ma/ 3n II m? n =而

5、a_L 3n±m? n m = 0概 念 方 法 微 思 考1 . 共線向量與共面向量相同嗎？提示 不相同.平行于同一平面的向量就為共面向量.2 .零向量能作為基向量嗎？,故零向量不能作提示 不能.由于零向量與任意一個(gè)非零向量共線,與任意兩個(gè)非零向量共面為基向量 .題組一 思考辨析1 .判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打或“X”)(1)空間中任意兩個(gè)非零向量a,b共面.(V )(2)在向量的數(shù)量積運(yùn)算中(a b)c=a(b c).( x )(3)對(duì)于非零向量 b,由a b= b c,則a= c.( x )(4)若A,B,C,D是空間任意四點(diǎn)，則有AB+BC+CD + DA = 0.(

6、 V )題組二 教材改編, 一 一 一，一、一，, 一.，,、 ，- f2 .如圖所小,在平行六面體 ABCDAiBiCiDi中,M為AiCi與BiDi的交點(diǎn).若AB = a,AD = b,AA1=c,則下列向量中與BM相等的向量是()i iiiA. 2a+Qb+cB.2a+b+c111.1. rii ,C. 1 2a2b + cD.2a2b+c答案 A解析 BM = BBi+EnM = /Ai + i(AD-AB)1 i i=c+ 2( b a) = _ 2a + 2b+ c.3.正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為答案 ,2解析 |EF|2=EF2=(EC

7、 + CD+ Df)2> - - -> > 一 =EC2+ CD2+ DF2+ 2(EC CD +EC DF + CD DF)=i2+22+ i2+ 2(ix 2X cos i20 °+ 0+2X i Xcos i20 ) = 2,，|EF|=42,，ef 的長(zhǎng)為啦.題組三易錯(cuò)自糾 4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(i,2,3),B(2,i,6),C(32i),D(4,3,0),則直線AB與CD的位置關(guān)系是()A.垂直C.異面B.平行D.相交但不垂直答案 B 解析 由題意得，AB=(3, 3,3),CD = (1,1,1), . AB = 3CD ,:.AB 與 CD

8、 共線，又 AB 與 CD 沒有公共點(diǎn)，.AB / CD.，、一 ，一一,_ ，,、 一 3 1 ，一，-，、5.O為空間中任意一點(diǎn)，A,B,C三點(diǎn)不共線，且OP = 4。A+gOB + tOC,若P,A,B,C四點(diǎn)共面，則實(shí) 數(shù) t =.,1答案8解析 P,A,B,C四點(diǎn)共面,3 1/4+8+ t=1，'t=18.6 .設(shè) 函分別是兩個(gè)不同平面的法向量 邛=(2,2,5),當(dāng)丫= (3,2,2)時(shí)，“與3的位置關(guān)系為;當(dāng)v= (4, 4,10)時(shí),“與3的位置關(guān)系為 .答案 a_L 3 a” 3解析 當(dāng) v= (3, 2,2)時(shí)，Wv=- 2X 3+2X (-2) + 5X 2=0,

9、v,所以 a± 3；當(dāng) v= (4, 4, 一 10)時(shí),v= 2(1,(1/ v,所以 all 37 .已知 2a+b=(0,-5,10),c= (1,-2,-2),a c= 4,|b|= 12，則b,c=，以 b,c 為方向向量的兩直線的夾角為.答案 120° 60°解析 由題意得，(2a+b) c=0+ 10-20=- 10,即 2a c+ b c= 10.因?yàn)?a c=4,所以 b c= 18,所以 cos b,c>60°.181j = 1，所以b,c= 120 °,所以兩直線的夾角為 12X571 + 4 + 42空間向量的線性

10、運(yùn)算例1 如圖所示，在平行六面體 ABCD-AiBiCiDi中，設(shè)Ai = a，噩=b/6 = c,M,N,P分別是 AAi,BCCDi的中點(diǎn)，試用a,b,c表示以下各向量：(1)AP； (2)AiN； 加+ nSi.解 P是CiDi的中點(diǎn),-> >>>> ->1 >1AP = AA1 + A1Di + D1p=a + AD + -DiCi=a+ c+-AB= a + -b + c.(2) v N是BC的中點(diǎn)，-> > > >1 >. N = Aa+ AB + BN = a+b + BC1 一1=a+ b+ -AD = a

11、 + b+ -c.(3) / M是AAi的中點(diǎn)，AP=-A1A+APMP= MA +1 1=-a + c+ -b11=/a+'b+ c,又 NCi = NC + CC1 = BC + AAi = 3AD + AAi1=c+ a,MP + NCi = ；a + ；b+c+ a+c313=,a+ 5b + 5c.思維升華用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來跟蹤訓(xùn)練1 如圖所示，在長(zhǎng)方體 ABCDA1B1C1D1中,0為AC的中點(diǎn)用加,尾),康1表

12、示0Ci,0Ci=.答案燉+，!)+/1解析00=(AB+AD),>>> -> ->> 0C1 = 0C + CC1 = (AB + AD) + AAi=AB + ；AD + AAi.(2)如圖，在三棱錐0 ABC中,M,N分別是ABQC的中點(diǎn)，設(shè)6X= a,6fe= b,6&= c，用a,b,c表示NM,則NM等于()1 1A.-(- a+ b + c)B.(a+ b- c)11C，2(a b+ c)D. 2( a b+ c)答案 B解析 NM = NA+AM = (OA-ON) + AB1，1 f 1-1 一 1 .= 0A-QC + -(OB-

13、 OA) = -QA + -OB OC12(a + b c).共線定理、共面定理的應(yīng)用例 2 如圖 ,已知E,F,G,H 分別是空間四邊形ABCD 的邊 AB,BC,CD,DA 的中點(diǎn) .(1)求證 :E,F,G,H 四點(diǎn)共面；(2)求證：BD / 平面 EFGH .證明 (1) 連結(jié) BG,則昆=eb+bg>1 L= eb + (bc+bd)=EB + BF + EH= Ef + Eh ,由共面向量定理的推論知E,F,G,H四點(diǎn)共面.一 -？r±_(2)因?yàn)?EH = AH-AE1 >1 >=2AD 2AB1 一 工 1 一=2(AD AB) = 2BD,所以 E

14、H / BD.又 EH?平面 EFGH,BD?平面 EFGH ,所以BD /平面EFGH .思維升華證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較三點(diǎn)（P,A,B）共線空間四點(diǎn)（M,P,A,B）共面RA= PB且同過點(diǎn)P一_MP = xMA+yMB對(duì)空間任一點(diǎn) o,OP = OA+tAB 、 r->.一_對(duì)空間任一點(diǎn) O,OP = OM + xMA + yMB對(duì)空間任一點(diǎn) O,O P-xO A+(1-x)OB對(duì)空間任一點(diǎn) O,OP= xOMl + y(OA+ (1 x- y)OB跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1,點(diǎn)M,N分別在AC1和BC上,且滿足AM =kACi,BN=kBC

15、(0<k<1).(1)向量MN是否與向量AB,AAi共面？(2)直線MN是否與平面ABBiAi平行?解 (1)AM= kACi,BN = kBo,MN = MA +AB+BN二 二"2 二=kCiA A AB+ kBC=k(CiA+ BC)+ AB= k(CiA+BiCi) + AB =kBi A+ AB= AB kABi=A B-k(AAi+A B)= (i-k)AB-kAA i,由共面向量定理知向量 Mn與向量AB,aAi共面.(2)當(dāng)k= 0時(shí)，點(diǎn)M,A重合，點(diǎn)N,B重合，MN在平面ABBiAi內(nèi)，當(dāng)0vkwi時(shí),MN不在平面 ABBiAi內(nèi)，又由(i)知MN與AB

16、,AAi共面，MN / 平面 ABBiAi.綜上，當(dāng)k=0時(shí),MN在平面 ABBiAi內(nèi)； 當(dāng) 0vkw i 時(shí),MN / 平面 ABBiAi.空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用例3如圖所示，已知空間四邊形 ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)E,F,G分別是AB,AD,CD的中點(diǎn).求證:EG LAB;(2)求EG的長(zhǎng)；(3)求異面直線AG和CE所成角的余弦值.(1)證明 設(shè) AB = a,AC= b,AD= c,由題意知 EG= 2(AC + AD - AB)= |(b+ c- a),所以 EG AB = 2(a b+ a c- a2)= 11X1x1+1X1x11 =0.222故EG LAB,即 E

17、G, AB.,.->111(2)解 由題意知 EG = /a+2b+ 2C,一 2 1 2 1 2 1 2 1111|EG|2= 4a2 + 4b2 + 4c22a b +2b c 2c a=2,則|EG=£川EG的長(zhǎng)為平.-1 77>11(3)解 AG = '(AC + AD) = 2b + 2G“T->.1CE= CA+ AE = - b+2a,cosAG,CEAG CE|AG|CE|22LL 一由于異面直線所成角的范圍是0,2，所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為2.3思維升華 (1)利用向量的數(shù)量積可證明線段的垂直關(guān)系，也可以利用垂直關(guān)系，通過向量

18、共線確定點(diǎn)在線段上的位置.(2)利用夾角公式，可以求異面直線所成的角，也可以求二面角.可以通過|a尸土,將向量的長(zhǎng)度問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問題求解跟蹤訓(xùn)練3如圖，在平行六面體 ABCDA1B1C1D1中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為1,且兩兩夾角為60°.求AC的長(zhǎng)；(2)求bSi與后夾角的余弦值.解 (1)記動(dòng)=aQ = b,AAi = c,則 |a|= |b|= |c|= 1, a,b= < b,c> = < c,a> = 60 ,.1 . a b = b c= c a=- 2-r111|ACiF = (a + b + c)2= a2+ b2 + c2+

19、 2(a b+ b c+ c a)= 1 + 1 +1 + 2x -+- + - = 6, |ACi|=乖，即ACi的長(zhǎng)為6.(2)BDi = b+ c- a,AC= a+b, |BDi| = ,|AC|= V3,BDi AC = (b + c-a) (a+b)=b2 a2+ a c+ b c= 1,， BD1 AC yIqCOS <BDi,AC> =.|BDi|AC|即b6i與Ab夾角的余弦值為 地.向量法證明平行、垂直例4 如圖所示，在四錐P ABCD中,PC，平面ABCD,PC=2,在四邊形 ABCD中,/B=/C=90 ,AB= 4,CD = 1,點(diǎn) M 在 PB 上,PB

20、 = 4PM ,PB 與平面 ABCD 成 30° 的角.求證：CM /平面FAD;(2)平面PABL平面 PAD.證明 以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為x軸,CD為y軸,CP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz. PC，平面 ABCD, / PBC為PB與平面ABCD所成的角, ./ PBC= 30°. PC=2,.1. BC=2tJ3,PB=4, .D(0,1,0),B(24,0,0),A(2V340),P(0,0,2),M * 0, 3 , .DP =(0, i,2),DA =(2V3,3,o),CMi= $ 0, 3 .設(shè)n=(x,y,z)為平面PAD的一個(gè)法向量,DP

21、 n= 0,DA n= 0,-y + 2z= 0, 2y3x+3y=0,令 y=2,得 n = ( 一5,2,1). n CM = - 3x223+2X0+1x|=0,n ±CM .又 CM?平面 FAD, .CM / 平面 FAD.(2)方法一 由(1)知,BA= (0,4,0), PB= (2>/3,0-2),設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量 m = (X0,y0,z0),BA m= 0,-L_PB m = 0,4y0 = 0,2gx02z0=0,令 X0= 1,得 m= (1,0,43),又平面PAD的一個(gè)法向量 n = (-V3,2,1),m n = 1 X( 73)+0X2+

22、73* 1 = 0,-mn,平面PABL平面PAD.方法二 如圖，取AP的中點(diǎn)E,連結(jié)BE,則 E(小,2,1),BE=(一服2,1). PB = AB,.1. BEX PA.又. Bl dA = (-3,2,1) (273,3,0) = 0,BEXDA,.-. BEX DA.又 PAA DA= A,PA,DA?平面 PAD,BE,平面 PAD.又,BE?平面PAB, ,平面PABL平面PAD.思維升華(1)用向量證明平行的方法線線平行，只需證明兩直線的方向向量是共線向量.線面平行，證明直線的方向向量能用平面的兩個(gè)基底表示，或證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.面面平行，證明兩平面的法向量是

23、共線向量(2)用向量證明垂直的方法線線垂直，只需證明兩直線的方向向量互相垂直.線面垂直，證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量面面垂直，證明兩平面的法向量互相垂直.跟蹤訓(xùn)練 4 如圖，在多面體 ABC AiBiCi中，四邊形 AiABBi是正方形，AB = AC,BC=J2一 1AB,BiCi/ BC 且 BiCi = 2BC,二面角 A1一AB C 是直二面角.求證：A1B1,平面 AA1C;(2)ABi/平面 AiCiC.證明 由二面角 AiabC是直二面角，四邊形AiABBi為正方形，可得AAi,平面BAC.又1. AB = AC,BC=/2AB,.-. AB2+AC2= BC2,

24、./ CAB= 90°且 CAL AB,.AB,AC,AAi兩兩互相垂直.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AC,AB,AAi所在直線分別為 x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè) AB=2,則 A(0Q0),B(020),Ai(0Q2),C(2,0,0),Ci(1,1,2),Bi(022).一一、一一一i一 一 iA1B1 = (0,2,0),AiA= (0,0, 2),AC= (2,0,0),設(shè)平面AAiC的一個(gè)法向量n= (x,y,z),n AiA= 0,- -n AC=0,-2z= 0,即2x= 0,x= 0,即取 y=1,則 n = (0,1,0).z= 0.1 AiBi=

25、 2n,即A1B1 / n,A1B1,平面 AAiC.一. 7 一一、-7 一, i 一 一 一 i(2)易知 ABi = (0,2,2),AiCi = (1,1,0), AiC = (2,0, 2),設(shè)平面 AiCiC的一個(gè)法向量m= (xi,yi,zi),m AiCi= 0,m AiC = 0,xi+ yi= 0,2xi-2zi=0,令 xi= i，則 yi = i,zi = i，即 m = (i, i,i).，ABi m = 0X 1 + 2X (-1) + 2X 1=0,，ABi±m.又 ABi?平面 AiCiC,. .ABi / 平面 AiCiC.，i 一1 .已知 a=(

26、2,3, 4),b=( 4, 3, 2),b=2x 2a,則 x 等于()A.(0,3, 6)B.(0,6, 20)C.(0,6, 6)D.(6,6, -6)答案 B i解析 由 b= 2x 2a,得 x= 4a + 2b= (8,i2, i6) + ( 8, 6, 4) = (0,6, 20).2 .已知a=( 2,i,3),b=(i,2,i)，若a，(a,則實(shí)數(shù) 入的值為()A.-2 B.-14 C4 D.2 35答案 D解析由題意知a (a=0,即a2后b= 0,所以i47上0,解得 壯2.3 .已知a=（1,0,1）,b=（x,1,2），且ab=3,則向量a與b的夾角為（）B.2f C

27、.3 D.6答案 D解析 a b= x+ 2= 3,，x= 1, b= (1,1,2),cos <a,b>a b _3|a|b.2X 6一一.it又 <a,b> C 0,4, a與b的夾角為否,故選d.4 .（2020北京海淀區(qū)模擬）在下列命題中：若向量a,b共線,則向量a,b所在的直線平行；若向量a,b所在的直線為異面直線，則向量a,b一定不共面；若三個(gè)向量a,b,c兩兩共面，則向量a,b,c共面；已知空間的三個(gè)向量a,b,c,則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x,y,z使得p=xa + yb+ zc.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1C.2 D.3答案 A解析

28、 a與b共線,a,b所在的直線也可能重合，故不正確；根據(jù)自由向量的意義知，空間任意兩向量a,b都共面，故不正確；三個(gè)向量 a,b,c中任意兩個(gè)一定共面，但它們?nèi)齻€(gè)卻不一定共 面,故不正確；只有當(dāng)a,b,c不共面時(shí)，空間任意一向量p才能表示為p = xa+yb +zc,故不 正確,綜上可知四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為0,故選A.兀5 .已知空間向量a,b滿足|a|=|b|= 1,且a,b的夾角為3,O為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A,B滿足OA=2a + b,OB= 3a b,則 OAB 的面積為()A.2g B.4J3 C.4V3 D.141答案 B 解析 |OA|= M 2a + b 2 = q4|a

29、|2 + |b|2+ 4a b =巾，同理 |OB|=S，則 cos/ AOB = OA OB = 6|a| - |b| + a b =11,從而有 sin/aob=5-3, |OA|OB|71414.OAB的面積S= 1*由*幣*陪=乎,故選b.6 .如圖，在大小為45°的二面角A- EFD中,四邊形ABFE,CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則B,D兩點(diǎn)間的距離是（）A.事 B+ C.1D.13-也答案 D解析 ebd=Bf + f1+=D)|BD|2= |BF|2+ |FE|2+ |ED|2 + 2BF f1 + 2F1 1D + 2BF iD = 1 + 1 + 1段=3, 故

30、|BD|=，3口2.7 .(多選)下列各組向量中，是平行向量的是()A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)B.c=(1,0,0),d=(3,0,0)C.e=(2,3,0),f= (0,0,0)D.g =(-2,3,5),h =(16,-24,40)答案 ABC解析對(duì)于A,有b= 2a,所以a與b是平行向量；對(duì)于B,有d=-3c,所以c與d是平行向量；對(duì)于C,f是零向量，與e是平行向量；對(duì)于D,不滿足g= h所以g與h不是平彳T向量.8 .(多選)有下列四個(gè)命題，其中不正確的命題有() 二 A.已知A,B,C,D是空間任意四點(diǎn)，則AB+BC + CD + DA = 0b.若兩個(gè)非零向量

31、 AB與CD滿足AB+CD = 0,則AB/cDC.分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量. . 一 . ->.一D.對(duì)于空間的任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,若O P=xO A + yO B + zO C(x,y,zC R),則P,A,B,C四點(diǎn)共面答案 ACD解析 對(duì)于A,已知A,B,C,D是空間任意四點(diǎn),則西十/+無+亦=0,錯(cuò)誤；對(duì)于B,若兩個(gè)非零向量 AB與CD滿足AB+CD = 0,I一一一則AB/ CD,正確;對(duì)于C,分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量是共面向量，不正確；對(duì)于D,對(duì)于空間的任意一點(diǎn) 。和不共線的

32、三點(diǎn) A,B,C,右OP = xOA + yOB+zOC(x,y,z C R),當(dāng)且僅當(dāng)x+y+z=1時(shí),PA,B,C四點(diǎn)共面，故錯(cuò)誤.9 .已知 V 為矩形 ABCD 所在平面外一點(diǎn)，且 VA= VB = VC = VD ,VP = VC ,VM = 2VB ,>VN = 2VD. 333則VA與平面PMN的位置關(guān)系是.答案平行解析 如圖，設(shè)VA= a,VB= b,VC= c,則 VD = a+ c- b, 由題意知 PM = |b-3c,PN=|vDTvC 33221=3a-3b + 3c.e 一 一 3 73 7因止匕 va=2pm+2pn, ，/A,pMi,PN 共面.又 VA?

33、平面 PMN,. . VA/平面 PMN.10 .(2019廣州調(diào)研)已知ABCD AiBiCiDi為正方體,(AiA+ AiDi + AiBi)2 = 3AiBi2;AiC (AiBi AiA) = 0;向量ADi與向量a!b的夾角是60°正萬(wàn)體ABCDAiBiCiDi的體積為|AB AAi AD|.其中正確的序號(hào)是.答案一 f > 一->7>-> -> -_ > C_>7斛析 中,(AiA+ Ai Di + AiBi)2= AiA2+ AiDi2+ AiBi2= 3AiBi2,故正確；中,AiBi AiA =ABi,因?yàn)锳BUAiC,故正

34、確；中，兩異面直線 AiB與ADi所成的角為60：但ADi與溫的夾角為i20。,故不正確；中,|AB aAi AD|=0,故也不正確.11 .如圖，在直三棱柱 ABC A' B' C'中,AC=BC=AA'，/ACB= 90 °,D,E 分別為棱 AB,BB ' 的中點(diǎn).(i)求證:CEL A' D;(2)求異面直線CE與AC'所成角的余弦值方法一 .CC'，平面 ABC 且 CACB,，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以CA,CB,CC'所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).令 AC=BC = AA'

35、 =2,則 A(2,0,0),B(0,2,0),C' (0,0,2),A' (2,0,2),B' (0,2,2),E(0,2,1),D(1,1,0), (1)證明.cE=(0,2,1),At2=(1,1,2),- CE A7-D=0+ 22=0,6,記-D,.-.CE±A，D.(2)解AC' =(-2,0,2), .cosVCl/=-=修=續(xù)|CE|AC>, | 木木即異面直線CE與AC'所成角的余弦值為 喀.方法二 設(shè) CAna.CBnbC' = c,根據(jù)題意得|a|= |b|= C|, 且 a b = b c= c a= 0.

36、7 .1 ->11(1)證明CE=b+c,A D = - c+2b-2a,CE AZD= - b c 2c2+址 + 為 c2a b-1a c= 0,.CEXA-Djip CE±A，D.(2)解 .AC' =-a+c,|AC>，|= V2|a|JCE|=5|a|,f «. 、110 1nAC CE=(a+c) b+2c =Qc2 = 2|a|2,_> _>1. .2“白 一 AC CE 2|a| 限 cos <ACCE=(= = 'IaU II在I廠近 210 ,|AC |CE| V2X|a|2即異面直線CE與AC'所成

37、角的余弦值為 興012 .如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2版,四邊形BDEF是平行四邊形,BD與AC交于點(diǎn)G,O為GC的中點(diǎn)，F(xiàn)O=y3，且FOL平面 ABCD.求證:AE/平面BCF;(2)求證：CF，平面 AEF.證明 取BC中點(diǎn)H,連結(jié)OH,則OH / BD,又四邊形 ABCD為正方形，. AC，BD,，OHL AC,故以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則 A(3,0,0),C(-1,0,0),D(1,-2,0),F(0,0，V3),B(1,2,0).BC=(-2,-2,0),Cf = (1,0，V3),BF=(-1-2，V3).(1)設(shè)平面BCF的法向量為n=(x,y,z

38、),n BC=0,-2x-2y=0,則即 ncF = 0,x+V3z=0, 取 z=1,得 n = ( 一43,43,1).又四邊形BDEF為平行四邊形 .DE = BF = (-1 -2,/3), .AE = Ab+Di = BC+BF = (-2,-2,0)+(-1,-2，V3)=(3, 4,后, - AE n = 3*-4*+*= 0,.,. AE±n, 又 AE?平面 BCF,AE/平面 BCF.(2)AF=(-3,0)a/3), 1' CF AF = 一 3+ 3= 0,CF AE = 一 3+ 3 = 0,.CF±AF,CF±AE,IP CF±AF,CF±AE, 又 AEC AF= A,AE,AF?平面 AEF,：CFL平面 AEF.13.A,B,C,D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足AB AC = 0,AC AD = 0,AB AD = 0,M為BC中點(diǎn)，則AMD 是（ ）A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.不確定答案 C解析 M 為 BC 中點(diǎn)，.扁=1（AB+ AC）,AM AD = 2（AB+AC） AD1 1 =