實數(shù)的概念和運算知識講解

1、實數(shù)的概念和運算（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解無理數(shù)和實數(shù)的意義；2. 了解有理數(shù)的概念、運算在實數(shù)范圍內(nèi)仍適用【要點梳理】要點一、有理數(shù)與無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù) .要點詮釋：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)， 不能表示成分?jǐn)?shù)的形式.（2）常見的無理數(shù)有三種形式：含冗類.看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如： .帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如J5.要點二、實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù) .1 .實數(shù)的分類正有理數(shù)有理數(shù) 零有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)實數(shù)負(fù)有理數(shù)正無理數(shù)無理數(shù) 兒生奴無限不循環(huán)小數(shù) 負(fù)無理數(shù)2 .實數(shù)與

2、數(shù)軸上的點對應(yīng) .數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之 對應(yīng).要點三、實數(shù)大小的比較正實數(shù)大于0,負(fù)實數(shù)小于0.兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)較大；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的數(shù)較小從數(shù)軸上看，右邊的點所表示的數(shù)總比左邊的點所表示的數(shù)大要點四、實數(shù)的運算有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實數(shù)當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運算，而且正數(shù)及 0可以進(jìn)行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進(jìn)行開立方運算.在進(jìn)行實數(shù)的運算時，有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)等同樣適用要點五、近似數(shù)及有效數(shù)字1 .近似數(shù)：完全符合實際地表示一個量多少的

3、數(shù)叫做準(zhǔn)確數(shù)；與準(zhǔn)確數(shù)達(dá)到一定接近程度的數(shù)叫做近似數(shù).2 .精確度：近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度即近似程度.對近似程度的要求叫做精確度 .要點詮釋：精確度有兩種形式：精確到哪一位.保留幾個有效數(shù)字.3 .有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個不為零的數(shù)字起，往右到末位數(shù)字為止的所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字，如的有效數(shù)字有三個：2, 0, 8.【典型例題】類型一、實數(shù)概念1、指出下列各數(shù)中的有理數(shù)和無理數(shù)：-22-2'2,7,，9，38，39，0，3,1、Z5,5，0010010001 【思路點撥】對實數(shù)進(jìn)行分類時，應(yīng)先對某些數(shù)進(jìn)行計算或化簡，然后根據(jù)它的最后結(jié)果進(jìn)行分類，不能僅看到根號表示的數(shù)就

4、認(rèn)為是無理數(shù).兀是無理數(shù)，化簡后含兀的代數(shù)式也是無理數(shù).【答案與解析】 有理數(shù)有22,J9,駝，0, 2,73無理數(shù)有.,2, 3 9, 1 、,2, 5、, 5, 0.1010010001【總結(jié)升華】有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù) .常見的無理數(shù)有三種形式：含冗類.看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：.帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如5J5,狗，后，1 J2.舉一反三：【變式】（2015春?聊城校級月考）在下列語句中：無理數(shù)的相反數(shù)是無理數(shù)；一個數(shù)的絕對值一定是非負(fù)數(shù)；有理數(shù)比無理數(shù)小；無限小數(shù)不一定是無理數(shù).其中正確的是（）A.B.C.D.【答案】C;解：

5、因為實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)不可能式有理數(shù)，故本選項正確；一個數(shù)的絕對值一定 0,故本選項正確；數(shù)的大小，和它是有理數(shù)還是無理數(shù)無關(guān)，故本選項是錯誤的；無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故本選項正確.類型二、實數(shù)大小的比較2、比較上5和的大小.2【答案與解析】_5解：作商，得2 辰.0.5因為55 1 ,即-2- 1 ,所以一 0.5 .0.52aaa【總結(jié)升華】根據(jù)若a, b均為正數(shù)，則由“a 1, - 1, - 1”分別得到結(jié)論“a b, bbba b, a b,”從而比較兩個實數(shù)的大小.比較大小的方法有作差法和作商法等，根據(jù)具體情況選用適當(dāng)?shù)姆椒?舉一反三：【變式】比較大小3.14 &

6、quot;祁 4722 展3422 -沂 033加 | 473| ( 7)【答案】V; > V; V; V; > V.3、(2015?棗莊)實數(shù)a, b, c在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，則下列式子中正確的是()A.ac>bcB.|a b|=a - bC.avbvcD.- a-c> - b-c【答案】D;【解析】解：.由圖可知， a< bv0vc, A acvbc,故A選項錯誤；日,. a< b, a - b v 0,1. |a - b|=b - a,故B選項錯誤； C a< b< 0, - a> - b,故C選項錯誤；D - a>- b

7、, c>0, a_c>_ b_c,故D選項正確.故選：D.【總結(jié)升華】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸，熟知數(shù)軸上各點與實數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.類型三、實數(shù)的運算4、化簡:(1)|72-1.4|(2)|"|"4|(3)|1-42|+|42-73|+|信 2|【答案與解析】解：|、,21.4|,2 1.4卜 71 .74| =| ,7-4+7|=2 . 7 4|1、2|+卜5、耳+|3 2|2 1 .32 2 .3 1 .【總結(jié)升華】有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實數(shù).有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)等同樣適用.5、若 |a 2| biT3 (c 4)2 0

8、,則 a b c .【思路點撥】 由有限個非負(fù)數(shù)之和為零，則每個數(shù)都應(yīng)為零可得到方程中a, b, c的值.【答案】3；【解析】解：由非負(fù)數(shù)性質(zhì)可知:a20a2b30,即b3,c40c4a b c 2 3 4 3.【總結(jié)升華】初中階段所學(xué)的非負(fù)數(shù)有|a | ,a2 , ja ,非負(fù)數(shù)的和為 0,只能每個非負(fù)數(shù)分別為0 .舉一反三：【變式】已知(x 16)2 | y 3| Jz 3 0,求。詼 的值.【答案】x160x16解：由已知得y30,解得y3z30z3屈二 J( 16) ( 3) 3 12.類型四、近似數(shù)和有效數(shù)字6、下列各數(shù)有幾個有效數(shù)字，分別是什么？(1) 0.010 20 ; (2) 1.50萬；(3) 15000;(4) 2,30 104【答案與解析】解：由有效數(shù)字的定義可得：(2) 0,010 20有4個有效數(shù)字，分別為：1, 0, 2, 0;(3) 1.50萬有3個有效數(shù)