高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料

1、數(shù)學(xué)第一章-集合考試內(nèi)容：集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集.邏輯聯(lián)結(jié)詞.四種命題.充分條件和 必要條件.考試要求：(1)理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了解 屬于、包含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，并會(huì)用它們正確表示一些 簡(jiǎn)單的集合.(2)理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義理解四種命題及其相互關(guān)系;掌握充分條件、必要條件及充要條件的意義.§ 01.集合與簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)要點(diǎn)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：本章知識(shí)主要分為集合、簡(jiǎn)單不等式的解法(集合化簡(jiǎn))、簡(jiǎn)易邏輯三部分：、知識(shí)回顧：(一)集合1 .基本概念：集合、元素；有限集、無(wú)限集；空集、全集；符號(hào)的使用2

2、.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法集合元素的特征：確定性、互異性、無(wú)序性 .集合的性質(zhì)：任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為A A;空集是任何集合的子集，記為 A；空集是任何非空集合的真子集；如果A B,同時(shí)B A,那么A = B.如果A B, B C,那么A C .注:Z= 整數(shù) (，) Z =全體整數(shù) (X)已知集合S中A的補(bǔ)集是一個(gè)有限集，則集合 A也是有限集.(X)(例：S=NA=n，則 CA= 0)空集的補(bǔ)集是全集.若集合 A=集合 B,則 CA= , CAB =G(CAB)= D (注：CAB =).3 . (x, y) |xy =0, xGR, yGR坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集. (x,

3、y)|xyv0, xGR,y e r 二、四象限的點(diǎn)集. (x,y)|xy>0, xGR,yGR 一、三象限的點(diǎn)集.注:對(duì)方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.例：x y 3解的集合(2,1).2x 3y 1點(diǎn)集與數(shù)集的交集是.(例：A =(x,y)| y=x+i B= y|y=x2+i 則An B=)4 .n個(gè)元素的子集有2n個(gè).n個(gè)元素的真子集有 2n 1個(gè).n個(gè)元素的非空真子集有2n2個(gè).5 .一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題逆命題.一個(gè)命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題逆否命題.例：若a b 5,則a 2或b 3應(yīng)是真命題.解：逆否：a = 2且b = 3,則a+b =

4、5 ,成立，所以此命題為真. x 1且y 2,= x y 3.解：逆否：x + y =3 Ax = 1 或 y = 2.x 1且y 2=x y 3,故x y 3是x 1且y 2的既不是充分，又不是必要條件小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.3 .例：若 x 5, x 5或 x 2 .4 .集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ)5 .主要性質(zhì)和運(yùn)算律(1)包含關(guān)系:B; AU B A, AU B B.A, A, A U,GA U, B,B C A C; AI B A, AI B(2)等價(jià)關(guān)系：A BAI B A AU B B CU AU B U(3)集合的運(yùn)算律:交換律：ABBA; A B B A.結(jié)合律：(A

5、 B) CA (B C); (A B) CA (B C)分配律:.A (BC) (A B) (A C); A (B C) (A B) (A C)0-1 律：I AU A A,U I A A,U U A U等募律：A A A, A A A.求補(bǔ)律:An ?uA=(i)a u?ua=u ?uL=(i)?u(i)=u ?uU(? ua)= a反演律：?u(A n B)= (?uA)U ( ?uB)?u(AU B)= (?uA)A (?uB)6 .有限集的元素個(gè)數(shù)定義：有限集A的元素的個(gè)數(shù)叫做集合 A的基數(shù)，記為card( A)規(guī)定card( () =0.基本公式: card (? lA)= card

6、(U)- card(A)(二)含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根軸法(零點(diǎn)分段法)將不等式化為ao(x-x i)(x-x 2) (x-x m)>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化 “+” ；(為了統(tǒng)一方便)求根，并在數(shù)軸上表示出來(lái)；由右上方穿線，經(jīng)過(guò)數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)(為什么？)；若不等式(x的系數(shù)化“ +”后)是“ >0”，則找“線”在x軸上方的區(qū)間； 若不等式是“ <0”，則找“線”在x軸下方的區(qū)間.(自右向左正負(fù)相間)則不等式aoxn aixn1 a2xn2a0 0(0)(a。0)的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號(hào)確士M.特例一元一次不等式a

7、x>b解的討論；一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的討論.二次函數(shù)(a 0)的圖象F二次方程后兩相異實(shí)根后兩相等實(shí)根無(wú)實(shí)根R2.分式不等式的解法(1)標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為 Ux_>o(或f史<o)； fix)0(或f!aW0)的形 g(x) g(x) g(x)g(x)式，(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)3.含絕對(duì)值不等式的解法f(x)f(x)0 f (x)g(x) 0;0g(x)g(x)f (x)g(x) 0 g(x) 0(1)公式法：ax b c,與ax b c(c 0)型的不等式的解法(2)定義法：用“零點(diǎn)分區(qū)間法”分類討論(3)幾何法：根據(jù)絕對(duì)值的幾何

8、意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題4. 一元二次方程根的分布一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 豐 0)(1)根的“零分布”：根據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之(2)根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之(三)簡(jiǎn)易邏輯1、命題的定義：可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題。2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題：“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡(jiǎn)單命題；由簡(jiǎn)單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。構(gòu)成復(fù)合命題的形式：p或q(記作“pVq”)； p且q(記作“pAq”)； 非p(記作q”)。3、“或”、“且”、“非”的真值判斷(1) “非

9、p”形式復(fù)合命題的真假與 F的真假相反；(2) “ p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真，其他情況時(shí)為假;(3) “ p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真.4、四種命題的形式：原命題：若P則q； 逆命題：若q則p；否命題：若P則q；逆否命題：若q則(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論， 所得的命題是否命題；p。原命題若p貝U q互,否7否命題若1 p則1逆<>1 互逆互逆.>否 逆為逆命題若q貝U p逆否命題 若1 q則1(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題是逆否命題.5、四種命題之間的相

10、互關(guān)系：一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：(原命題逆否命題)、原命題為真，它的逆命題不一定為真。、原命題為真，它的否命題不一定為真。、原命題為真，它的逆否命題一定為真。6、如果已知p q那么我們說(shuō)，p是q的充分條件，q是p的必要條件。若p q且q p,則稱p是q的充要條件，記為p?q.7、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)(假設(shè))，引出(與已知、公理、定理一)矛盾,從而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。數(shù)學(xué)第二章-函數(shù)考試內(nèi)容：映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系.指數(shù)概念的擴(kuò)充.有理指數(shù)募的運(yùn)算性質(zhì).指數(shù)函數(shù).對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

11、對(duì) 數(shù)函數(shù).函數(shù)的應(yīng)用考試要求：（ 1）了解映射的概念，理解函數(shù)的概念（ 2）了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法（ 3）了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù)（ 4）理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像 和性質(zhì)（ 5）理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)（ 6）能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題§ 02. 函 數(shù) 知 識(shí) 要 點(diǎn)一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：二、知識(shí)回顧：（一） 映射與函數(shù)1. 映射與一一映射2. 函數(shù)函數(shù)三

12、要素是定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域，而定義域和對(duì)應(yīng)法則是起決定作用的要素，因?yàn)檫@二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對(duì)應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù).3. 反函數(shù)反函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y f（x）（x A）的值域是C,根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把 x表示出，得到x= (y).若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò) x= (y) , x在A 中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么， x= (y)就表示y是自變量，x是自變量y的 函數(shù)，這樣的函數(shù) x= (y) (y C)叫做函數(shù)y f(x)(x A)的反函數(shù)，記作-1 , 、- 1 ,、x f (y),習(xí)慣上改寫(xiě)成y f (x)(二)函數(shù)的性質(zhì)L

13、函數(shù)的單調(diào)性定義：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值xi,x2,若當(dāng)xi<x2時(shí)，都有f(x i)<f(x 2),則說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；若當(dāng)xi<x2時(shí)，都有f(x i)>f(x 2),則說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).若函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說(shuō)函數(shù) y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù) y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時(shí)也說(shuō)函數(shù)是這 一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).2.函數(shù)的奇偶性7.奇函數(shù)，偶函數(shù)：偶函數(shù)：f( x) f(x)設(shè)(a,b)為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則(a,b)也是圖象上一點(diǎn).偶函數(shù)的判定：兩個(gè)

14、條件同時(shí)滿足定義域一定要關(guān)于y軸對(duì)稱，例如：y x2 i在i, i)上不是偶函數(shù).滿足 f( x) f(x),或 f(x) f(x) 0,若 f(x) 0 時(shí)，fx_ i. f( x)奇函數(shù)：f( x) f(x)設(shè)(a,b)為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則(a, b)也是圖象上一點(diǎn).奇函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，例如： y x3在1, 1)上不是奇函數(shù)滿足 f( x) f(x),或 f( x) f (x) 0,若 f(x) 0 時(shí)，fx-1.f( x)8.對(duì)稱變換：y = f (x)y軸對(duì)稱y f ( x)y = f (x) x軸對(duì)稱y f (x)y =f (x)原點(diǎn)對(duì)手y f (

15、 x)9.判斷函數(shù)單啰%定凸變差'需拆隈定要分子有理化，例如:f(xi) f(x2)x1在進(jìn)行討論.10.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域例如：已知函數(shù)f (x) = 1+上的定義域?yàn)锳, 1 xB A集合A與集合B之間的關(guān)系是 .函數(shù)ff (x)的定義域是B,則解：f(x)的值域是f(f(x)的定義域Bf (x)的值域而 A x| x11.常用變換: f(x y) f (x)f (y)f(x) f(x y) -(-) f(y)證：f(x y)省 f(x) f(x) f(y)f (x) f(x y) yf(xy)f(y)證:yf(x) f(- y) f(-) f(y)f(x y) f

16、(x) f (y)12.熟悉常用函數(shù)圖象:|x 2|值域y|y 2, y R7值域x前的系數(shù)之比|x|7y|x 2|12(三)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y ax (a 。且a 1)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：R(2)值域：(0, +oo)(3)過(guò)定點(diǎn)(0, 1),即x=0 時(shí)，y=1(4)x>0 時(shí)，y>1;x<0 時(shí)，0<y<1x>0 時(shí)， 0<y<1;x<0 時(shí)， y>1.(5)在R上是增函數(shù)(5)在R上是減函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)y=log ax的圖象和性質(zhì)：對(duì)數(shù)運(yùn)算：(以上 M 0, N 0,a 0

17、,a 1,b 0,b 1,c 0,c 1,a1,a2.an 0且 1)注：當(dāng) a,b 0 時(shí),10g(a b) log( a) log( b).：當(dāng)M 0時(shí)，取“ +”，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)且M 0時(shí)，Mn 0,而M 0,故取“一”例如：log a x2 21og ax (21og ax 中 X>0 而 1ogax2 中 XG R).y ax ( a 0,a 1 )與y log a x互為反函數(shù).當(dāng)a 1時(shí)，y logaX的a值越大，越靠近X軸；當(dāng)0 a 1時(shí)，則相反.(四)方法總結(jié).相同函數(shù)的判定方法：定義域相同且對(duì)應(yīng)法則相同.對(duì)數(shù)運(yùn)算：(以上M 0, N 0,a 0,a 1,b 0,b 1,

18、c 0,c 1,a1,a2.an 0且 1)注：當(dāng) a,b 0 時(shí)，log(a b) log( a) log( b).：當(dāng)m。時(shí)，取“ +”，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)且m 0時(shí)，Mn 0,而M 0,故取“一”例如：log a X2 2lOgaX (2log aX 中 X > 0 而 log aX2 中 X G R).y ax ( a 0,a 1)與y logaX互為反函數(shù).當(dāng)a 1時(shí)，y logaX的a值越大，越靠近X軸；當(dāng)0 a 1時(shí)，則相反.函數(shù)表達(dá)式的求法：定義法；換元法；待定系數(shù)法 .反函數(shù)的求法：先解X,互換X、y,注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).a>10<a<1

19、.函 數(shù)的 定義 域的求法：布列使函 數(shù)有意義圖象(1)定義域：(0, +x)(2)值域：R(3)過(guò)點(diǎn)(1, 0),即當(dāng) x=1 時(shí)，y=0性(4 ) X (0,1)時(shí)質(zhì)y 0X (1,)時(shí) y>0x (0,1)時(shí) y 0X (1,)時(shí)丫 0(5)在(0, +x)上是增函數(shù)在(0, +°°)上是減函數(shù). 常涉及到的依據(jù)為分母不為0;偶次根式中被開(kāi)方數(shù)不小于0;對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0,底數(shù)大于零且不等于1;零指數(shù)募的底數(shù)不等于零；實(shí)際問(wèn)題要考慮實(shí)際意義等.函數(shù)值域的求法：配方法(二次或四次)；“判別式法”；反函數(shù)法；換元法；不等式法；函數(shù)的單調(diào)性法.單調(diào)性的判定法：設(shè)Xi，X

20、 2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且 X1<X2； 判定f(x 1)與f(x 2)的大??；作差比較或作商比較. . 奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f(-X) 與 f(X)之間的關(guān)系：f(-x)=f(x) 為偶函數(shù)；f(-x)=-f(x) 為奇函數(shù)；f(-x)-f(x)=0 為 偶；f(x)+f(-x)=0 為奇； f(-x)/f(x)=1 是偶；f(x) +f( -x)=-1 為奇函數(shù).圖象的作法與平移：據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲線；利用熟知函數(shù)的圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；利用反函數(shù)的圖象與對(duì)稱性描繪函數(shù)圖 象.數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)列考試內(nèi)容：數(shù)列等差數(shù)列及其

21、通項(xiàng)公式等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式考試要求：( 1)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)( 2)理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)和公式，并能解決 簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題n項(xiàng)和公式，井能解決(3)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.§ 03.數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)1.(1)至壬守左、等比數(shù)列：公式中項(xiàng)公式A= 土上推廣：22 an = an m an mG2 ab。推廣：an2 an m an m性質(zhì)i若 m+n=p+qMU am an ap aq若 m

22、+n=p+q 貝U aman apaq。2若kn成（其中kn N ）則a%也為。若kn成等比數(shù)列（其中kn N ）,則aj成等比數(shù)列。3 Sn,S2 n Sn,S3n S2 n 成等差數(shù)列。Sn , S2n Sn , S3n S2n 成等比數(shù)歹限4n 1ann mHnq，qaiam(m n)5看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法:an anan 1 d(n 2,d為常數(shù))an kn b( n,k為常數(shù)).看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法:D an an 1q(n 2, q為常數(shù)，且 0)Z a n an i an i ( n 2 , an an i an i 0)注：i. b 是a、b、c成等

23、比的雙非條件，即b /ac=a、b、c等比數(shù)列.ii.iii.b面（ac>0）-為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.b v'ac f為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.iv. b 屈且ac 0f為a、b、c等比數(shù)列的充要注意：任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項(xiàng)，除非有ac>0,則等比中項(xiàng)一定有兩個(gè)an cqn （ Gq為非零常數(shù)）.Siai(n 1)SnSn 1 (n 2)正數(shù)列 an成等比的充要條件是數(shù)列l(wèi)ogxan （x 1）成等比數(shù)列數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系：an注:an ai n 1 d nd a d （ d可為零也可不為零f為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是

24、等差數(shù)列）“若 d不為0,則是等差數(shù)列充分條件）.等差 an前n項(xiàng)和Sn An2 Bn - n2 a1 - n 7 °可以為零也可不為零”為等差 222的充要條件“若d為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù) 列）2 .等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的k2倍Sk,S2k Sk,S3kS2k.；若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2nn N ，則S偶S奇nda . n ,a n 1若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n 1n N ，則S2n 12n1 an, 且* S奇 S偶 an , -S偶 n代入n到

25、2 n 1得到所求項(xiàng)數(shù).3 .常用公式：1+2+3+n =號(hào)62222 n n 1 2n 1出 12 22 32n262 13 23 33n32注:熟悉常用通項(xiàng)：9, 99, 999,an10n5 , 55, 555, ani10n 1.4 .等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的常見(jiàn)應(yīng)用題:生產(chǎn)部門(mén)中有增長(zhǎng)率的總產(chǎn)量問(wèn)題 .例如，第一年產(chǎn)量為a,年增長(zhǎng)率為，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為1 r.其中第n年產(chǎn)量為a(1 r)n1,且過(guò)n年后總產(chǎn)量為： 銀行部門(mén)中按復(fù)利計(jì)算問(wèn)題.例如：一年中每月初到銀行存 a元，利息為r,每月 利息按復(fù)利計(jì)算，則每月的a元過(guò)n個(gè)月后便成為a(1 r)n元.因此，第二年年初可存

26、 款：,11 ,、12、a(1 r)12 a(1 r)11 a(1 r)10 . a(1 r) = a(1 r)1 (1 r) .1 (1 r)分期付款應(yīng)用題：a為分期付款方式貸款為 a元；m為m個(gè)月將款全部付清；r為 年利率.5 .數(shù)列常見(jiàn)的幾種形式：an 2 pan 1 qan (p、q為二階常數(shù))用特證根方法求解.具體步驟：寫(xiě)出特征方程 x2 Px q ( x2對(duì)應(yīng)an 2 , x對(duì)應(yīng)an1),并設(shè)二根x1,x2若 x1x2 可設(shè) an. Cx；C2 x2,若x1x2 可設(shè)an(C1C2n)x n ;由初始值a1,a2 確定C1,C2. an Pan 1 r (P、r為常數(shù))用轉(zhuǎn)化等差，

27、等比數(shù)列；逐項(xiàng)選代;消去常數(shù)n轉(zhuǎn)化為an 2 Pan1 qan的形式,再用特征根方法求an；aC1C2Pn1 (公式法)，C1,C2 由 a1,a2 確定.轉(zhuǎn)化等差，等比:1 x P(anX)1 Pan Px x x選代法：an Pan 1P(Pan 2 r)(a1 P-)Pn1(a1X)Pn 1 n 2P a1P r Pr r .用特征方程求解：aa1 Pa n rPan 1 r相減,an 1PanPan(P1)Pan 1.由選代法推導(dǎo)結(jié)果:c2a1c2Pc1 (a16 .幾種常見(jiàn)的數(shù)列的思想方法:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,在d。時(shí)，有最大值如何確定使取最大值時(shí)的n值，有兩種方法:一是求使a

28、n 0,ani 0,成立的n值；二是由Sn .dn23n利用二次函數(shù)的性質(zhì)求 n的值.如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前n項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前n項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和.例如： J J 小11 2，34，.（2n 1）_2，兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差di, d2的最小公倍數(shù).2 .判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：（1）定義法：對(duì)于n>2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an an 1（入）為同一常數(shù)。（2）通項(xiàng)公式法。（3）中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證 an 12an 1 an a

29、n 2 （a2 1 anan 2）n N 都成立。a 0 .3 .在等差數(shù)列 an中，有關(guān)Sn的最值問(wèn)題：（1）當(dāng)a1>0,d<0時(shí)，滿足am 0的 am1 0a 0 .項(xiàng)數(shù)m使得sm取最大值.（2）當(dāng)a1<0,d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sm取最小am 10值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí)，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。（三）、數(shù)列求和的常用方法1 .公式法：適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。2.裂項(xiàng)相消法：適用于其中 an是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常anan 1數(shù)；部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。3.錯(cuò)位相減法：適用于anbn其中 an是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)不

30、為0的等比 數(shù)列。4.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.5.常用結(jié)論1) : 1+2+3+.+n =n(n 1)22) 1+3+5+.+(2n-1) = n21 23 ) 13 23 n3-n(n 1)24 ) 12 22 32n2 1n(n 1)(2n 1)65) 1，11(1 工n(n 1) n n 1 n(n 2)2 n n 26) 1( -) (p q)pq q p p q數(shù)學(xué)第四章-三角函數(shù)考試內(nèi)容：角的概念的推廣.弧度制.任意角的三角函數(shù).單位圓中的三角函數(shù)線.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式.兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.正

31、弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì).周期函數(shù).函數(shù) y=Asin( ax+d)的圖像.正切函數(shù)的圖像和性質(zhì).已知三角函數(shù)值求角.正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.考試要求：(1)理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算.(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；了解周期函數(shù)與最小正周期的意義.(3)掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.(4)能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明.(5)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五

32、點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù) y=Asin( ax+d)的簡(jiǎn)圖，理解 A. 3、小的物理意義.(6)會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinxarc-cosxarctanx 表示.(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形.(8) “同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：sin2 a +cos2 a =1, sin a /cos a =tan a ,tan a ?cos§ 04.三角函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)1.與 (0° <<360° )| k 360 ,k Z終邊在x軸上的角的集合：終邊在y軸上的角的集合：終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：終邊在y=x軸上的角

33、的集合:終邊相同的角的集合（角| k 180 ,k Z| k 18090 ,k Z| k 90 ,k Z| k 18045 , k Z與角的終邊重合) 3sinx4cosx|、cosx y1|sinx2y2sinx| / 1|cosx| cosx4 sinx I、3SIN COS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在區(qū)域終邊在y x軸上的角的集合:| k 18045 ,k Z若角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系:360 k若角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系:360 k 180若角與角的終邊在一條直線上，則角 與角的關(guān)系:180 k角與角的終邊互相垂直，

34、則角 與角的關(guān)系:360 k 902.角度與弧度的互換關(guān)系：360° =2180°=1° = 1= ° =57° 18'注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零、弧度與角度互換公式：1rad =180° =57° 18"1° =弋(rad)1803、弧長(zhǎng)公式：111r.扇形面積公式：s扇形11r 1| | r222任?。ó愑趕in ； r切四余弦）4、三角函數(shù)：設(shè)是一個(gè)任意角，在的終邊上原點(diǎn)的）一點(diǎn)P （x,y ） P與原點(diǎn)的距離為r,則xy ,.x r,一rcos-，tan

35、，cot_，sec一，.csc.rxyxy5、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：（一全二正弦，三正切線:6、三角函數(shù)線正弦線：MP; 余弦線：OM;AT.8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：型cos7.三角函數(shù)的定義域：三角函數(shù)定義域f(x) sin xf(x) cosxf (x) tan xf (x) cot xf (x) secxf (x) cscxtancos , cotsin9、誘導(dǎo)公式:“奇變偶不變，符號(hào)看象限”三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系公式組公式組二公式組四公式組五公式組六（二）角與角之間的互換公式組二公式組一公式組三五sin 15 cos75sin coscos sin、6 區(qū) sincOs

36、 COs1541 .sin 2sinsin公式組tan l£°s cot 7523, tan75 cot15110.正弦、余弦、正朗、架切函數(shù)co酒象的他版:/(A、>0)定義域RRR值域RR周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)0,非奇非偶當(dāng) 0,奇函數(shù)單調(diào)性-2k ,2k 2上為增函數(shù)；2k 1 ,. 2k '上為增函數(shù)2k , 2k 1 上為減函一k , 一 k 22上為增函數(shù)（k Z ）k , k 1 上為減函數(shù)（k Z ）2k 一2 (A),2k -2( A)上為增函數(shù)；5 2k, 32k 2上為減函 數(shù)(k Z )數(shù)(k Z )2k _ 2(A),

37、2k 22(A)上為減函數(shù)(k Z )ycosx與y cosx的單調(diào)性也同樣相注意：y sinx與y sin x的單調(diào)性正好相反；反.一般地，若y f(x)在a,b上遞增(減)，則y即x與y cosx的周期是 y sin( x )或 y cos( x ) (0 )的周期 T y y f (x)在a,b上遞減(增).y tan：的周期為2(T _ T 2 ,如圖，翻折無(wú)效)y sin( x )的對(duì)稱軸方程是x k - ( k Z ),對(duì)稱中心(k ,0)； y cos( x )的 2對(duì)稱軸方程是x k (k Z),對(duì)稱中心(k J 0) ; y tan( x )的對(duì)稱中心(L,0). 2，2當(dāng)

38、tan , tan 1, k (k Z) ; tan , tan 1, k (k Z).22y cosx與y sin x - 2k是同一函數(shù)，而y ( x )是偶函數(shù)，則2此性質(zhì)）y=|cos2x+1/2| 圖象 例如：，. yy sinx不是周期函數(shù)；y sinx為周期函數(shù)（T ）；cosx是周期函數(shù)（如圖）；y cosx為周期函數(shù)（T ） ；,y= cos|x| 圖象cos2x 1的周期為（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期,2y f(x) 5 f(x k),k R. y acos bsinJa2 b函數(shù)y tanx在R上為增函數(shù).(X)只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個(gè) 定義域，y

39、 tanx為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是 f(x)具有奇偶性的必要不充分條件.(奇偶性的兩個(gè)條件：一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(奇偶都要)，二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：f( x) f(x),奇函數(shù)：f( x) f(x)奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：y tanx是奇函數(shù)，y tan(x 1 2 3 )是非奇非偶. sin( ) cos 有“a2 b2a11、三角函數(shù)圖象的作法：1 )、幾何法：2 ）、描點(diǎn)法及其特例一一五點(diǎn)作圖法 （正、余弦曲線），三點(diǎn)二線作圖法（正、 余切曲線）.3）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象.1 l_J ,相位 x ;初T 2三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變

40、換和相位變換等.函數(shù)y = Asin （a x+小）的振幅|A| ,周期T 頻率 l |相 （即當(dāng)x=0時(shí)的相位）.（當(dāng) A> 0, a >0時(shí)以上公式可去絕對(duì)值符號(hào)），由y = sinx的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng) |A| >1）或縮短（當(dāng)0v|A| v1）到原來(lái)的|A|倍，得到y(tǒng) = Asinx的圖象，叫做 振幅變換 或叫沿y 軸的伸縮變換.（用y/A替換y）由y = sinx的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（0v| a|v1）或縮短（| a| >1）到原來(lái)的乙倍，得到y(tǒng) = sin a x的圖象，叫做周期變換或叫做沿x 軸的伸縮變換.（用a

41、 x替換x）由y = sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)小>0）或向右（當(dāng)小v 0）平行移動(dòng)1小I個(gè)單位，得到y(tǒng) = sin （x+（）的圖象，叫做 相位變換或叫做沿x軸方向的平 移.（用x+小替換x）由y = sinx的圖象上所有的點(diǎn)向上(當(dāng)b>0)或向下(當(dāng)bv0)平行移動(dòng)| b |個(gè)單位，得到y(tǒng) = sinx + b的圖象叫做沿y軸方向的平移.(用y+(-b)替換y)由y = sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y = Asin (ax+() ( A>0, a > 0)(xGR)的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。4、反

42、三角函數(shù)：函數(shù)y=sinx,的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y=arcsin x,它的定義域x2 2是1 , 1,值域是_.函數(shù)y = cosx, (xe 0,兀)的反應(yīng)函數(shù)叫做 反余弦函數(shù)，記作y=arccosx,它的定義域是1, 1,值域是0,冗.函數(shù)y = tanx, x 的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作y= arctan x,它的定義域是(00, +°°),值域是, 2 2函數(shù)y = ctgx, xG (0, tt )的反函數(shù)叫做 反余切函數(shù)，記作y=arcctg x,它的定義域是(X, +*),值域是(0,兀).II. 競(jìng)賽知識(shí)要點(diǎn)一、反三角函數(shù).1 .反三角函數(shù)：反正弦

43、函數(shù) yarcsinx是奇函數(shù)，故arcsin( x) arcsin x , x 1,1 (一定要注明定義域，若x ,沒(méi)有x與y一對(duì)應(yīng)，故y sin x無(wú)反函數(shù))注： sin(arcsin x) x, x 1,1 , arcsin x.2, 2反余弦函數(shù) y arccosx非奇非偶，但有 arccos( x) arccos(x) 2k , x 1,1 .注： cos(arccosx) x, x 1,1 , arccosx 0,.% y cosx是偶函數(shù),arccosx非奇非偶，而y sinx和y arcsin x為奇函數(shù).反正切函數(shù)：yarctanx ,定義域（），值域（2,2）y arcta

44、nx是奇函數(shù),arctan( x) arctan x ,).注： tan(arctan x) x ,).反余切函數(shù)：yarc cot x ,定義域（），值域（y arc cotx 是非奇非arc cot( x) arc cot(x).注： cot(arc cot x).y) y arcsinx 與 y arcsin(1x）互為奇函數(shù),y arctanx同理為奇而arccosx 與 y arc cotx 非奇非偶但滿足arccos( x) arccosx 2k , x 1,1 arc cot x arc cot( x)2k,x 1,1.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集:a的取值范圍解集a的取值范

45、圍解集 sin xa的解集cosx a的解集a >1a>1a =12karcsin a, k Za=1x | x 2k arccosa, k/ k1 arcsin a,ka V1k arccosa, k Z tan xa的解集:k arctan a, k cotx的解集:arccot a, k Z二、三角恒等式.口cos cos2 cos4 .cos2n組一n 1 sin 2n 1.2 sinsin 3cos33sin/34 cos, 34 sin3 cos. 2sin2 cos.2 sin2 cossinsin組二組三三角函數(shù)不等式sin x V x V tan x, x (0,

46、)f(x)sn在（0,）上是減函數(shù) x若 ABC ，貝U x2 y22z 2yz cosA 2xz cos B 2xy cosC數(shù)學(xué)第五章-平面向量考試內(nèi)容：向量.向量的加法與減法.實(shí)數(shù)與向量的積.平面向量的坐標(biāo)表示.線段的定比分 點(diǎn).平面向量的數(shù)量積.平面兩點(diǎn)間的距離、平移.考試要求：(1)理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念.(2)掌握向量的加法和減法.(3)掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件.(4) 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐 標(biāo)運(yùn)算.(5)掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有 關(guān)長(zhǎng)度、角

47、度和垂直的問(wèn)題，掌握向量垂直的條件.(6)掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式，以及線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能 熟練運(yùn)用掌握平移公式.§ 05.平面向量知識(shí)要點(diǎn)1 .本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)2 .向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：幾何表示法AB ;字母表示:a；坐標(biāo)表示法 a= x i + y j =(3)向量的長(zhǎng)度：即向量的大小，記作| a ) . 特殊的向量：零向量 a=O|a|=Q單位向量a。為單位向量I ao| =1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(xi, yi)=(x2, y 2)x1 x2yi y2(6)相反向量：a=-b b=-a a+b=0 平

48、行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量 .記作a / b.平行 向量也稱為共線向量.3.向量的運(yùn)算運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量的加法1 .平行四邊形法則2 .三角形法則向量的減法三角形法則imr um AB BA, OB OA AB數(shù)乘向量r.1. a是一個(gè)向量，滿 rr足：1 a| I llal2. >0時(shí)，a與a同向；r r<0時(shí)，a與a異向；r r=0 時(shí)，a 0.向 量的 數(shù) 量 積r r*,a?b是一個(gè)數(shù)r r r r , 1. a 0或b 0時(shí)，r ra?b 0.r r r r c a 0且b 訓(xùn)， 2. r r r ragb | a |b |

49、cos(a,b)4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理ei, e是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么，對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)入L入2,使a=入e+入2巳2.(2)兩個(gè)向量平行的充要條件a / ba=2ib(bw0)xy2 X2y1 = O.(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件a± ba b=O xiX2 + y1y2=O.(4)線段的定比分點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)P分有向線段麗所成的比為入，即而=入而，則OP = -OPi + -OP2 (線段的定比分點(diǎn)的向量公式 )11XiX2x n，1 (線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式)y y2V 1,當(dāng)入=1時(shí)，得中點(diǎn)公式:XiOP = - ( OP1 +

50、 OP2)或2yiX22T左2(5)平移公式設(shè)點(diǎn)P(x, y)按向量a=k )平移后得到點(diǎn)P' (x'，y')貝 U OP = OP +a 或 x x y yh, k.曲線y=f(x)按向量a=k)平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為:(X- h )(6)正、余弦定理正弦定理：2R.設(shè) ABC的三邊為a, b, c,其高分別為ha, hb, hc,半周長(zhǎng)為P,外接圓、內(nèi)切圓sin A sin B sinC 余弦定理：a2= b2 + c22bccosA,b2 = c2 + a2 2cacos B,c2=a2 + b2-2abcosC.(7)三角形面積計(jì)算公式:的半徑為R, r

51、.3=1/2 aha=1/2 bhb=1/2 chcS=Pr& =abc/4R&=1/2sin C - ab=1/2ac sin B=1/2cb sin AS = Jp p a p b p c 海倫公Sk=1/2 (b+c-a) ra如下圖=1/2 (b+a-c) rc=1/2 (a+c-b)b3個(gè)是旁心.注:到三角形三邊的距離相等的點(diǎn)有 4個(gè)，一個(gè)是內(nèi)心，其余Ac O圖1中的I為Sa ABC的內(nèi)心，S =Pr 圖2中的I為Sa ABC的一個(gè)旁心，季= 1/2 (b+c-a) ra附：三角形的五個(gè)“心”；重心：三角形三條中線交點(diǎn).外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn).垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn) .旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點(diǎn) 已知。是4ABC的內(nèi)切圓，若BC=a, AGb, AB=c 注：s為 ABC的半周長(zhǎng)，即則： AE=s a =1/2 (b+c-a)BN飛 b=1/2 (a+c-b) FC=s c=1/2 (a+b-c)綜合上述：由已知得，一個(gè)角的鄰邊的切線長(zhǎng)，等于半周長(zhǎng)減去對(duì)邊(如圖 4)特例：已知