三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

1、第三章 三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用三角學(xué)的發(fā)展，由起源迄今差不多經(jīng)歷了三、四千年之久， 在古代，由于古 代天文學(xué)的需要，為了計(jì)算某些天體的運(yùn)行行程問題，需要解一些球面三角形， 在解球面三角形時(shí)，往往把解球面三角形的問題歸結(jié)成解平面三角形， 這些問題 的積累便形成了所謂古代球面三角學(xué)、古代平面三角學(xué)；雖然古代球面三角學(xué)的發(fā)展早于古代平面三角學(xué)，但古代平面三角學(xué)卻是古代球面三角學(xué)的發(fā)展基礎(chǔ)。 三角函數(shù)在數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)里的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們本質(zhì)上是任意角 的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。 由于三角函數(shù)具有周期性，所以并 不具有單射函數(shù)意義上的反函數(shù)。三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有重要的應(yīng)用，在

2、物理學(xué)中 也是常用的工具。由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單信函數(shù)意義上的反函數(shù)。 三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。在物理學(xué)中，三角函數(shù)也是常用的工具。在實(shí)際生活中，有許多周期現(xiàn)象可以用三角函數(shù)來模擬，如物理中簡諧振動、 交流電中的電流、潮汐等，都可以建立三角函數(shù)的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決 有關(guān)問題；很多最值問題都可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來解決， 如天氣預(yù)報(bào)、建筑設(shè)計(jì)、 航海、測量、國防中都能找到神奇的三角函數(shù)的影子。因而三角函數(shù)解決實(shí)際問 題應(yīng)用極廣、滲透能力很強(qiáng)。停車場設(shè)計(jì)問題如圖ABCDt一塊邊長為100m的正方形地皮，其中 ATPN一半徑為90m的扇形小山，P是弧TN上一點(diǎn)，其 余部分都

3、是平地，現(xiàn)一開發(fā)商想在平地上建造一個(gè)有邊 落在BC與CD上的長方形停車場PQCR ,求長方形停車 場PQCR面積的最大值和最小值。分析：矩形PQCR的面積顯然跟P的位置有關(guān)，連AP ,延長RP交AB于M .若直接設(shè)RP的長度為x ,則PM = 100 x ,在R APM中, AM =河 一(100 x)2, 從而得 PQ = MB =100-7902 -(100-x)2 ,S = (100-/902 (100 x)2 ) - x,雖然可以得出函數(shù)關(guān)系，但是求解面積的最值 比較復(fù)雜。不妨以角為變量建立函數(shù)關(guān)系。解：如上添加輔助線，設(shè)NPAB =9(00<曰<90°),則 A

4、M =9 0 C o , PM =90sin3 RP = RM PM =100-90sinH,PQ=MB =100-90cos0, S=PQ PR = (100-90cos 6)(10090sin0)= 100009000(sin8+ cosO)比100 sin8 cos,設(shè) sin 日 + cos6 =t(1<t< 72),貝2 t2 -110 2，10 2sin 8 cos =。代入化間得 S = (t) +950.故當(dāng) t=一 時(shí)，Smin = 950(m );299當(dāng) t =四 時(shí)，Smax = 14050- 900072 (m2)通訊電纜鋪設(shè)問題13如圖，一條河寬km,兩

5、岸各有一座城市A和B, A與B的直線距離是4km,今需鋪設(shè)一條電 纜連A與B,已知地下電纜的修建費(fèi)是2萬元/km,水下電纜的修建費(fèi)是4萬元/km,假定河岸是平行的直線（沒有彎曲），問 應(yīng)如何鋪設(shè)方可使總施工費(fèi)用達(dá)到最少？分析：設(shè)電纜為AD+DB時(shí)費(fèi)用最少，因?yàn)楹訉?AC為定值，為了表示AD和BD的長，不妨設(shè)ZCAD=9.解：設(shè)/CAD =9（0900）,則 AD =secH,CB=, BD = tan8 ,總費(fèi)用為 4-2 sin y =4 sec-2 tan- 2-15=42,15cosi問題轉(zhuǎn)化為求u = 4 -2sin 6的最小值及相應(yīng)的9值，cos 1而 u = 2 snf表示點(diǎn) P（

6、0,2）與點(diǎn) Q（cos9,sin 日） cos11 斜率的一2倍（0日90°）,有圖可得Q在-單位圓周上運(yùn)動，當(dāng)直線PQ與圓弧 4切于點(diǎn)Q時(shí)，u取到最小值。此時(shí)Kpq=-V3,umin=2T3,日=±。即水下6 .3 電纜應(yīng)從距B城（J15三）km處向A城鋪設(shè)，圖三因此此時(shí)總費(fèi)用達(dá)最小值253+2而（萬元）。注：本題在求u的最小值時(shí)，除了利用數(shù)結(jié)合的方法外，還可以利用三角函 數(shù)的有界性等方法。探索與思考：1 .你能用其他方法解決上述兩個(gè)實(shí)際問題嗎？2 .通過兩個(gè)例子你能體會三角函數(shù)在生活中應(yīng)用之大，從而體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義了嗎？食品包裝問題某糖果廠為了拓寬其產(chǎn)品的銷售市場，

7、決定對一種半徑為1的糖果的外層包 裝進(jìn)行設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)時(shí)要求同時(shí)滿足如下條件：(1)外包裝要呈一封閉的圓錐形狀；(2)為減少包裝成本，要求所用材料最?。?3)為了方便攜帶，包裝后每個(gè)糖果的體積最小。問：這些條件能同時(shí)滿足嗎？ 如果能，如何設(shè)計(jì)這個(gè)圓錐的底面半徑和高？此時(shí)所用的外包裝用料是多少？體積是多少？若不能，請說明理由。分析：要求該圓錐的全面積和體積，需要知道它的下底面 半徑AG母線PA及高PC,這些變量之間的關(guān)系可以通過一個(gè) “角”把它們聯(lián)系起來。解：如圖，設(shè)/OAC=e,則OC=1,下底面半徑R 、AC =R = cotH ,母線長 l =,局 h = Rtan 20,cos22 RS =

8、 Rl - R -二 R(-cos2 口21R) - - R (-cos212 .1)=二 cot F(1 +1)= 21 -tan tan %1 tan2 f1 21V 二一二 R2h 二33(1 -tan2 ('9.1HR2 Rtg2B 工gg2一 3二代十二；2tg2八1 -tg21)一.,2一 當(dāng)且僅當(dāng)tg2e=1tg2e,即tge=,時(shí)，能使S全和v同時(shí)取到最小值，此時(shí)R =板,h =2,即當(dāng)圓錐的下底面半徑和高分別為 后、2時(shí)能同時(shí)滿足條件,外包裝用料是8兀，體積是8 n3營救區(qū)域規(guī)劃問題如圖，在南北方向直線延伸的湖岸上有一港口 A, 一機(jī)艇以60km/h的速度 從A出發(fā)，

9、30分鐘后因故障而停在湖里，已知機(jī)艇出發(fā)后先按直線前進(jìn)，以后 又改成正東，但不知最初的方向和何時(shí)改變方向。 如何去營救，用圖示表示營救 的區(qū)域。分析：1.要表示出一個(gè)區(qū)域，一般可在直角坐標(biāo)系中表示，所以應(yīng)首先建立 直角坐標(biāo)系；2.題中涉及到方向問題，所以不妨用方向角 8作為變量來求解。解：以A為原點(diǎn)，過A的南北方向直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)機(jī) 艇的最初航向的方位角為0 ,設(shè)OP方向前進(jìn)m到達(dá)點(diǎn)P,然后向東前進(jìn)n到達(dá) 點(diǎn)Q發(fā)生故障而拋錨。則m + n =30，令點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x, y),x = msin【nj = mcos 日J(rèn)T 睚叱.Aq2 =x2 +y2 =m2 +n2 +2mns

10、in8 <m2 + n2 +2mn = (m + n)2 = 900 0.機(jī)艇中途東拐，又Vx2 y2 < 900.x = (，y 二 s =、， m icmsinC ) n - m n =30, 4, x + y >30？滿足不等式組和的點(diǎn)Q(x, y)所在的區(qū)域，按對稱性知上圖陰影區(qū)域所示 探索與思考：1 .你能用其他方法解決上述兩個(gè)實(shí)際問題嗎？2 .通過兩個(gè)例子你能體會三角函數(shù)在生活中應(yīng)用之大，從而體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意 義了嗎？足球射門問題在訓(xùn)練課上，教練問左前鋒，若你得球后，沿平行于邊線 GC的直線EF助 攻到前場(如圖，設(shè)球門寬 AB=a米，球門柱B到FE的距離BF =

11、b米)，那么 你推進(jìn)到距底線CD多少米時(shí)，為射門的最佳位置？(即射門角 /APB最大時(shí)為射門的最佳位置)？請你幫助左前鋒回答上述問題。分析：本題中要求射門的最佳位置，題目中已對 題意進(jìn)行了明確，即只要當(dāng)射門角最大時(shí)為最佳位 置。所以設(shè)角后“求解角”的過程是本題的關(guān)鍵。若直接在非特殊LAPB中利用邊來求上APB的最值，顯得比較繁瑣，注意到/APB =/APF/BPF ,而后兩者都在Rt中，故可應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)求解。解： 如圖， 設(shè) FP=x, NAPB=a,NBPF =P(u、P為銳角)則/APF =a +P, tg(a + P)=tg : =tg： = tg(:-=tg(a + P)-tg

12、B 二 a1 tgG "；) tg -： (a b) bx x。若令 y=x+3, x貝U y 2Jx ,(a.b) b =2<(a+b) b ,x當(dāng) x = (ab)-b，即 x = J(a + b) b 時(shí),y 取到 x最小值2<(a+b) b ,從而可知x=J(a+b) b時(shí)，tga取得最大值，即tg 二2 (a b )b時(shí)，a有最大值。故當(dāng)P點(diǎn)距底線CD為J(a + b) b米時(shí)，為射門的最佳位置。依圖像知，在白天的915時(shí)這個(gè)時(shí)間段可供沖浪愛好者進(jìn)行 沖浪運(yùn)動。點(diǎn)評：本例一開始也可直接建立余弦函數(shù)模型 y = Acoscot + k。另外，模擬漢書中的少數(shù)點(diǎn)有誤

13、差是允許的。最值問題三角函數(shù)的最值問題不僅與三角自身的所有基礎(chǔ)知識密切相關(guān),而且與代數(shù)中的二次函數(shù)、一元二次方程、不等式及某些幾何知識的聯(lián)系也很密切。因此 ， 三角函數(shù)的最值問題的求解，不僅需要用到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、 圖象以及三角函數(shù)的恒等變形，還經(jīng)常涉及到函數(shù)、不等式、方程以及幾何計(jì)算 等眾多知識。這類問題往往概念性較強(qiáng)，具有一定的綜合性和靈活性。如圖，ABCD是一塊邊長為100 m的正方形地皮，其中 口：AST是一半徑為AT = 90m的扇形小山，其余部分都是平一一、地。一開發(fā)商想在平地上建一個(gè)矩形停車場，使矩形的一N個(gè)頂點(diǎn)P在弧ST上，相鄰兩邊CQ, CR落在正方形的邊BC

14、, CD上，求矩形停車場 PQCR面積的最大值和最小a 卜值。解：設(shè) ZPAB =9,(00 <0 E900)，延長 RP交AB于M ,易得 PQ =MB =ABAM =10090cos日， RP = RM PM =10090sin 0 ,從而 S矩形PQCR =(100 90cosf)(100 90sini) =10000 9000(sini cos71) 8100sin/cosi t=sin日+cos日,(1 <t <22),則 S巨形pqcr =10000 9000t +8100 L二1 =4050(t - -)2 +950 ,故當(dāng) t =10 時(shí)，S巨形pqcr 29

15、9有最小值950m2;當(dāng)t = ,2時(shí)，S矩形因或有最大值(14050-9000/'2)m2思維點(diǎn)拔引進(jìn)變量e建立面積函數(shù)后，問題轉(zhuǎn)化為求解三角函數(shù)的最值問題.一條河寬1km!兩岸各有一座城鎮(zhèn)A和B, A與B的直線距離是4kmI僅需在A B間鋪設(shè)一條電纜。已知地下電纜的修建費(fèi)是2萬元/km,水下電纜的修建費(fèi) 是2萬元/km。假設(shè)河的兩岸呈平行線狀，那么如何鋪設(shè)電纜方可使總是費(fèi)用達(dá) 到最少？A圖九解：如圖所示，設(shè)過A點(diǎn)作對岸的垂線，垂足為C ,若從A到C再到B的線路鋪設(shè)電纜，雖然AC最短，但陸上線路BC太長并不合算。設(shè)在BC之間取一點(diǎn)D,CD = x（km）, /CAD =&則x

16、 = tan日，依題意知總施 工費(fèi)用y（萬元）的函數(shù)關(guān)系式為y = 4 1 x2 2（ .15-x）= 4,1 tan2 丁 2（15-tarr）,（0 三 tan - 15）2.2.y=4 8sl 2sin 12( 15-9)cosCOSUV4 -2sm 2 15 =2(2SM .15), coscosA 2 - sin 1 一.令 u =,貝U sin 日 + u cos6=2cos12(D有 sin1 =-u21|sinQ：)怪 1即 2-1,解得 u _ .3,u2 1當(dāng)口 = .3時(shí)，貝U tan/=. 3,=，3由（1）知 sing ' :） =1即,2,8時(shí),ymin =

17、2（6+屈）聞 11.2（萬元）6I-即先從B鎮(zhèn)沿河岸鋪設(shè)地下電纜至距離B鎮(zhèn)（屈-趣）km,處的D點(diǎn)，再從3D點(diǎn)向A鎮(zhèn)鋪設(shè)水下電纜，可使得總施工費(fèi)用最少，約為 11.2萬元。把一段半徑為R的圓木，鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法，才能使橫截面積最大？分析：如圖所示：設(shè)，CAB=8,則 AB =2Rcos8,CB =2Rsin8S巨形ABCD =ABBC =2R2sin2- < 2R22當(dāng)且僅當(dāng)sin20 =1時(shí)，即一 4時(shí)，Smax =2R所以在圓木的橫截面上截取內(nèi)接正方形時(shí)，才能使橫截面積最大。生活中的實(shí)際問題：在這里提供這樣一個(gè)生活中的問題，看看它們與三角函數(shù)的聯(lián)系。(讓學(xué)生探究解決

18、)在一住宅小區(qū)里，有一塊空地，這塊空地可能有這樣三種情況：(1)是半徑為10米的半圓；(2)是半徑為10米，圓心角為60的扇形；(3)是半徑為10米，圓心角為120的扇形；現(xiàn)要在這塊空地里種植一塊矩形的草皮，使得其一邊在半徑上，應(yīng)如何設(shè)計(jì), 使得此草皮面積最大？并求出面積的最大值。分析1:第一種情況，如圖所示：連結(jié) OC ,設(shè)/BOC =0 ,則 BC =10sinH , OB=10cosB,AB =2OB =20cosiS巨形=AB BC = 200sin cosu =100sin 2u7 sin 2 <1. S矩形-100即 2 L90-45這時(shí) BO = AO -10cos45 -

19、5v2,BC =5.2此時(shí)，點(diǎn)A、D分別位于點(diǎn)。的左右方分析2:第二種情況，連結(jié)OC設(shè)/BOC=e,則 BC=10sin9, OB=10cosOA = BC cot 60、= - sin 713S巨形=AB BC-(OB-OA) BC10.3二 (10cos sin) 10sin100.3 . 2 -二100sin ? cos【sin _ 3= 50sin 2 -(1-cos2u)100x3 .小 二、50、. 3=sin(2 1)363當(dāng)且僅當(dāng)sin(2i )=16 時(shí)，即 Sm max6時(shí)，二5023分析3:如圖所示：連結(jié)OB,設(shè)/AOB=e,貝j AB = 10sinH , S巨形=OA

20、 AB =100sin - cos-OA=10cosi二 50sin 2re當(dāng)且僅當(dāng)sin26 =1時(shí)，即 4時(shí),Smax =50引導(dǎo)學(xué)生分析此題與引學(xué)生發(fā)言完畢，老師總結(jié)，將每個(gè)同學(xué)的發(fā)言簡單整理;例中的題的聯(lián)系。試試身手：（看誰做得快又準(zhǔn)確）卜表是某地一年中10天測量的白晝時(shí)間統(tǒng)計(jì)表（時(shí)間近似到 0.1小時(shí)）日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期 位置 序號x15980117126172225263298355白晝 時(shí)間y （小 時(shí)）5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4（I）以日期在365天中的位置序號x為橫坐標(biāo)，白晝時(shí)間y為縱坐標(biāo)，在給 定坐標(biāo)系中畫出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（R）試選用一個(gè)形如y =Asin9x+cP）+t的函數(shù)來近似描述一年中白晝時(shí)間 y與日期位置序號x之間的函數(shù)關(guān)系.注：求出所選用的函數(shù)關(guān)系式；一年 按365天計(jì)算（田）用（H）中的函數(shù)模型估計(jì)該地一年中大約有多少大白晝時(shí)間大于15.9小時(shí).8小時(shí)）Q 川弧 90 1加 IM 1 弭 210 240 Z7D 3DO 330 演解：（I）畫散點(diǎn)圖見下面（n）由散點(diǎn)圖知白晝時(shí)間與日期序號之間的函數(shù)關(guān)系近似為y = Asin（ x +：；'） t由圖形知函數(shù)的最大值