人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊第二十二章《二次函數(shù)》壓軸題綜合培優(yōu)訓(xùn)練(包含答案)

1、人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊 第二十二章 二次函數(shù)壓軸題綜合培優(yōu)訓(xùn)練（包含答案）3 / 38二次函數(shù)壓軸題綜合培優(yōu)訓(xùn)練1.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物 線y=Y芻,？上工入正與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn) 44A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.（1）判斷 ABC勺形狀；（2）過點(diǎn)C的直線y=-K-班交x軸于點(diǎn)H,若點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在對(duì)稱軸的右側(cè)，過點(diǎn) P作PQ y軸交直線CH于點(diǎn)Q,彳PN/ x軸交對(duì)稱軸于點(diǎn) N,以PQ PN為鄰邊作矩形 PQMN當(dāng)矩形PQMNJ周長最大時(shí)，在 y軸上有一動(dòng)點(diǎn) K, x 軸上有一動(dòng)點(diǎn)T, 一動(dòng)點(diǎn)G從線段CP的中點(diǎn)R出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿 R-K

2、-T的 路徑運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)T,再沿線段TB以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到 B點(diǎn)處停止運(yùn)動(dòng)，求動(dòng)點(diǎn) G 運(yùn)動(dòng)的最少時(shí)間及此時(shí)點(diǎn) T的坐標(biāo)；（3）如圖2,將 ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 A BC的位置，點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 A、C',且點(diǎn)C'恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，連接 AC .點(diǎn)E是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE C E,將 AC E沿直線C E翻折為 A C E,是否存在點(diǎn) A',使得 BAA為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1） 4ABB以AC為底的等腰三角形.理由如下：由題意知拋物線丫 =芷 q 與x軸交于A B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y4

3、夕-W軸交于點(diǎn)C,令 x=0,解得 y= 令 x= 0,解得：x1 = 75, x2= 4J3;A （71, 0）, B（4后 0）,匕9, -36）；AC= aM+mC= GJ7）2+W5）2=30, BC= OB+OC=（奶產(chǎn)+C）2=75A=（OA+OB 2=（W3+Vs）2 = 75.AB= BC .ABB以Ag底的等腰三角形.5 L(2)如圖1中，過點(diǎn)C的直線y方K-3北交x軸于點(diǎn)H,圜1令y = 0,解得x=1S/3,丁5設(shè) P - rr- 3、乃）,則 Q （mi -n- - 373）,4 2 厄 r L5y爭一班一丁&41V.拋物線對(duì)稱軸為：直線 x=上芋，. cp_N

4、 下） （久 23 Q 區(qū)、 扇L NP-rrr''用QP=3/3）NP='1'矩形 PQMN的周長 C 矩形 pqmin= 2 （ QF+NP） =2（+詈仄z-）=422飛r_+：2 (m-sVs)2-< 0,開口 向下，P （373, - 3/3）,當(dāng)mi= 3、R時(shí)，C矩形pqm最小，此時(shí), R為線段CP的中點(diǎn),.R （上*- 3/3）,作點(diǎn)R關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)R （- Jbpl, - 3/3）,此時(shí)R與N重 合，由題意知：動(dòng)點(diǎn) G運(yùn)動(dòng)的最少時(shí)間t = RKK*TB,在y軸正半軸上取點(diǎn) S （0, 4）,連接直線BS則直線BS解析式為y=-*x+4,

5、過點(diǎn)RYR' JXBST J,交y軸于K,交x軸于T,則R J即為所求，."SB氏評(píng)調(diào)=學(xué)./ SBO= 30° , .TJ=：-TB即 t=R K+KT+TJ,RR =3行，/ RR J=Z BTJ=60 , . KRR 為等邊三角形，/ RKR = / KRR =60° ./ KRIW / KHR= 30°R' J=2RR = 6 ：;即動(dòng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的最少時(shí)間t = 6-./3 （秒）；. JMP JRRR' R JR'入 .TM= 3/3- 3 ，T 半 0)；(3)當(dāng) AA' =A'V A * Ck

6、一 ； *圖二f3 9B時(shí)，如圖2中,；. _JL 日人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊 第二十二章 二次函數(shù)壓軸題綜合培優(yōu)訓(xùn)練（包含答案）此時(shí)，A'在對(duì)稱軸上對(duì)稱性可知/ AC E= /A' C E又/ HEC = /A' C E ./ AC E= / HEC .HE= HC = 5 ：;. OP HE- HO=-；當(dāng)AA =AB時(shí)，如圖3中，設(shè)A C'交y軸于J.此時(shí) AA =AB=BC =A'' C，四邊形A' ABC為菱形由對(duì)稱性可知/ACE= /A' C E= 30°JE=廠二二. OE= OJ- JE= 6 E (0, 6

7、)當(dāng)AA =A' B時(shí)，如圖4中，設(shè)AC交y軸于M5 / 38人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊 第二十二章 二次函數(shù)壓軸題綜合培優(yōu)訓(xùn)練（包含答案）9 / 38圖4此時(shí)，A 在對(duì)稱軸上/ MCE= 75又/ AM今 / EMC = 30 ./ MEC = 75 .ME= MC，MC=OE=，E43+近）當(dāng)A' B= AB時(shí)，如圖5中，圖二此時(shí) AC=A' C =A' B= AB四邊形AC A'' B為菱形由對(duì)稱性可知，C' , E, B共線OE=730B=12,E （0, 12）.綜上所述，滿足條件的點(diǎn) E坐標(biāo)為（0, 3-J3）或（0, 6）或（0,

8、 3+J5）或（0, 12）.2.如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+5與x軸交于 A (- 1, 0), B (5, 0)兩點(diǎn)(點(diǎn) A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)C, B不重合)，過點(diǎn)D作DF，x軸于點(diǎn)F,交直線BC于點(diǎn)E,連接BQ直線BC能否把 BDF成面積之比為 2： 3的兩部分？ 若能，請(qǐng)求出點(diǎn) D的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由.(3)若M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)， 使得 MB直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) M的坐標(biāo).解：(1)將 A ( 1, 0) , B (5,0)代入 y = ax2+bx+5,得：解得(西升 5b+5

9、 二。1 ，則拋物線解析式為 y = - x2+4x+5;(2)能.(0, 5), B (5, 0)代入得設(shè)直線BC的解析式為y = kx+b,5k+b=01?=-1把C解得L，所以直線BC的解析式為y=- x+5,設(shè) D (x, x2+4x+5),貝U E (x, x+5), F (x, 0), (0<x< 5), DEE= - x2+4x+5 - (- x+5) =- x2+5x, EF= -x+5,2當(dāng) DE EF= 2: 3 時(shí),S>A BDE S>ABEF 2： 3,即(一x+5x): (x+5) =2: 3,整理得 3x2- 17x+10 = 0,2 65、

10、2解得x1 = , x2=5 (舍去)，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(當(dāng) DE EF= 3: 2 時(shí),S>A BDE S>ABEF 3 ： 2,即（x2+5x）: （ x+5） =3: 2,整理得 2x2- 13x+15 = 0,q一 q 屎解得xi = , x2= 5 （舍去），此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（,）;224綜上所述，當(dāng)點(diǎn) D的坐標(biāo)為（一，一二）或（二，三）時(shí)，直線BC把4BDF分成面積之9 z 4比為2: 3的兩部分；（3）拋物線的對(duì)稱軸為直線 x=2,如圖,設(shè) M(2, t),-B (5, 0), C (0, 5),BC= 52+52= 50, MC= 22+ (t5) 2=t210t+29

11、, MB = (25) 2+t 2= 12+9,當(dāng) bC+mC= mB 時(shí)， BC曲直角三角形，/ BC附 90° ,即 50+t2- 10t+29=t2+9,解得 t = 7,此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2, 7);當(dāng) BC+MB=吊6時(shí)， BCM直角三角形，/ CBIW 90° ,即 50+t2+9 = t2- 10t+29,解得 t = - 3,此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2, - 3);當(dāng) mC+mB= bC時(shí)， BCM直角三角形，/ CM降 90° ,即 t2 - 10t +29+t2+9= 50,解得ti=6, t2= 1,此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2, 6)或(2, 1),綜上

12、所述，滿足條件的M我的坐標(biāo)為(2, 7), (2, -3), (2, 6), (2, -1).3.B (4,如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+c (a<0)經(jīng)過點(diǎn)A(T, 0)、(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)M在第一象限的拋物線上，ME¥彳t y軸交直線BC于點(diǎn)E,連接AC CE當(dāng)ME取值最大值時(shí)，求 ACE勺面積.(3)在y軸負(fù)半軸上取點(diǎn) D (0, - 1),連接BQ在拋物線上是否存在點(diǎn) N,使/ /ACO / OBD若存在，t#求出點(diǎn) N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.BANh解：(1) B (4, 0),. tan / ABC=0COBOC丁'

13、;OB- 4,. OC= 2,C (0, 2),設(shè) y = a(x 1) (x4),把C (0, 2)代入求得a= -/，拋物線的解析式為(x 1) (x 4)=-x+2;(2)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+2,把B (4, 0)代入求得k=-y,直線BC解析式為y=-x+2,ri_i設(shè) M (rq -3+mr2),人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊 第二十二章 二次函數(shù)壓軸題綜合培優(yōu)訓(xùn)練（包含答案）ME= -i 當(dāng)m 2時(shí)，M或得最大值2, E (2, 1),S»AACE= S»A ABC- S ABE=5X 5X (2-1)=-217 / 38(3)作C' (0, - 2)與

14、C關(guān)于x軸對(duì)稱，連接 BC ,過點(diǎn)D作DELBC于點(diǎn)E,Ca口 A,方.OA OCCOE AO© COB/ ABC= / ACO . / ABC = / ACO即/ BAN= / ACO / OBD= / DBC ,由題意得 DC =1、DB=V17, BC =21,DC' -OB BC'*DE.DE= :21. tan / DBC = tan / BAN=_, y設(shè) N (n,、2+二-n+2)，且 n>0,.tan / BAN=當(dāng) 2n+2 = 9X （一n+12 .n +- -n+2）時(shí),z32當(dāng) 2n+2= -9X（-n+2）時(shí)，n）.,n2= - 1

15、（舍去）；.N點(diǎn)的坐標(biāo)為（32 828140g98814.拋物線y=x2+ （m+2） x+4的頂點(diǎn)C在x軸正半軸上，直線 y=x+2與拋物線交于 A,點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）.（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;（2）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，若S>A PA 2Saabg求點(diǎn)P的坐標(biāo);（3）將直線AB上下平移，平移后的直線 y= x+t與拋物線交于 A, B兩點(diǎn)（A在左側(cè)），當(dāng)以點(diǎn)A, B和（2）中第二象限的點(diǎn) P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求的值.備用圖解：（1） ,拋物線y = x2+ （ m+2） x+4的頂點(diǎn)C在x軸正半軸上,解得mi= - 6.，拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=x2-4x+4;（2

16、）如圖1,過點(diǎn)C作CE/ AB交y軸于點(diǎn)E,設(shè)直線 AB交y軸于點(diǎn)H.由直線 AB： y=x+2,得點(diǎn) H (0, 2).設(shè)直線CE y=x+b.,y = x2-4x+4= (x-2) 2,C (2, 0).-2+b=0,貝U b= - 2.HEE= 4、由 SapaB= 2Saabg可在y軸上且點(diǎn)H上方取一點(diǎn)F,使 FH= 2HE 貝U F (0, 10).過點(diǎn)F作FP/ AB交拋物線于點(diǎn)Pi、P2.此時(shí)滿足 Sa paB= 2Sa abg設(shè)直線Pi、B的函數(shù)解析式為:y= x+k. F (0, 10)在直線& P2上, .k=10.直線Pi、B的函數(shù)解析式為:y= x+10.聯(lián)立解

17、得綜上，滿足條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)是Pi (T, 9), P2 (6, 16);(3)設(shè) A' (xi, yj, B' (X2, y2),顯然，/ PA' B'豐90(i)如圖 2,當(dāng)/A' B P= 90° 時(shí)，過點(diǎn) B'作直線 MN y 軸，A ML MNT M PN1MNP N鷺直線A' B'的解析式是y = x+t, ./ B AM= 45 .進(jìn)一步可得到 A B M APB N都是等腰直角三角形. PN= NB ,，x2+1 = 9 y2,即 x2+y2 = 8 又 y2= x2+t,將點(diǎn)（4 - ；t ,4+1t

18、）代入二次函數(shù)解析式，得解得ti=0, t2=10 （此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，舍去）；如圖3,當(dāng)/ A PB =90°時(shí)，過點(diǎn) P作EF/ y軸，A E±EF于E, B FL EF于F. XiX2+(X1+X2) +1=9 (yi+y2) 丫仇-81.令 x2- 4x+4=x+t,貝U x2- 5x+4 - t = 0.則 Xi+X2=5, x1x2=4 t.yi+y2= (x+t) + (X2+t) = x+X2+2t =5+2t .y1y2= (x1+t) (X2+t) = X1X2+t(X1+X2) +t2=t2+4t+4.(4-t) +5+1=9 (5+2t) - (t

19、2+4t+4) -81.整理，得 t2- 15t - 50=0.解得 t=20, t2= - 5 (舍去).綜上所述，t的值是0或20.5.在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC勺頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2, 4),拋物線y=-2x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn) D.(1)如圖1,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2,連接AC AD將 ABC& AC折疊后與AD y軸分別交于點(diǎn)交于 E、G求OG勺長度；(3)如圖3,將拋物線在 AC上方的圖象沿 AC折疊后與y軸交與點(diǎn)F,求點(diǎn)F的坐標(biāo).解：(1)如圖1,四邊形OAB磔矩形，B (2,4),A (0, 4), C(2, 0),:拋物線

20、y=- 2x2+bx+c經(jīng)過A C兩點(diǎn),Il E'，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為： y= - 2x2+2x+4;人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊 第二十二章 二次函數(shù)壓軸題綜合培優(yōu)訓(xùn)練(包含答案) / BCA= / B' CA. AO/ BC ./ BCA= / B' CA / BCA= / OACZ B' CA= / OAC. AG= CG設(shè) OG= x,則 AG= CG= 4-x.在 Rt OGO, 22+x2= (4-x) 2,得.0Go(3)如圖3,在AC上方的拋物線圖象取點(diǎn) F的對(duì)稱點(diǎn)F',過點(diǎn)F'直線AC于點(diǎn)G.作y軸的平行線交由題意得：/ FAC= /

21、 F' AG F' A= FAAO/ F' G,/ FAC= / AGF . / FAC= / F' AC / FAC= / AGF . ./ F' AC= Z AGF ,.F' A= F' G.易得直線AC的解析式為：y= - 2x+4.設(shè)點(diǎn) F (n, - 2n2+2n+4),則 G (n, - 2n+4).-F，G= - 2n2+4n, F A2 = n2+ (-，2n2+2n) 2. F，A= F' G.23 / 38，F(xiàn)' A2=F' G2.即：n2+ (-2n2+4n)2= (- 2n2+2n) 2,解

22、得：m=0(舍去)11因嚼 .F' A= F' G= FA= F (0,73326.如圖，已知拋物線 y = x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左),與y軸交于點(diǎn)C(0, -3),對(duì)稱軸是直線 x=1,直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn) D.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(3)點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交 CET點(diǎn)F,交拋物線于 P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限.P的坐標(biāo).當(dāng)線段杷時(shí)，求tan / CED勺值；當(dāng)以C 口 E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn).拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0, -3), . c= - 3,，拋物線的函數(shù)表達(dá)

23、式為y=x2-2x - 3;(2)二.拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),當(dāng) y = 0 時(shí)，x2- 2x3=0.A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè),A (T, 0), B (3, 0)kx+rq設(shè)過點(diǎn)B (3, 0)、C (0, -3)的直線的函數(shù)表達(dá)式為y3k+ro=0 ith-3，尸I. irP-3，直線BC的函數(shù)表達(dá)式為 y = x-3;(3). AB= 4, PQ=.PQ= 3.PQLy 軸，PQ/ x 軸，則由拋物線的對(duì)稱性可得 P陣驚,對(duì)稱軸是直線x=1,.P至|J y軸的距離是，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-.下如直平分CE于點(diǎn)F,5CE= 2FC=r點(diǎn)D在直線BC上,當(dāng) x=1 時(shí)，y= 2,則 D (1, - 2)

24、,過點(diǎn)D作DGL CE于點(diǎn)G,DO 1, CG= 1,GEE= CE- CG=- - 1 =.22在 RtAEGD, tan/CE9瞿=菖.EG 3 Pl (1 - 2), P2 (1 -, - ：)設(shè) OE= a,則 GE= 2 - a,當(dāng) CE為斜邊時(shí)，則 dG= CGGE 即 1= ( OC- OG?(2- a),1 = 1 x ( 2 - a), a= 1,CE= 2,，OE OE-EF= 2 F、P的縱坐標(biāo)為-2,把y= - 2,代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y=x2-2x-3得：x=1+歷或1-6 點(diǎn)P在第三象限. P1 (1 -近，-2),當(dāng)CD為斜邊時(shí)，DEI CE. OE= 2,

25、 CE= 1, .OF= 2.5 , .P和F的縱坐標(biāo)為：-y,把丫=-二，代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y=x2-2x-3得：x=1-Zg,或1 點(diǎn)P在第三象限.P(1一限一即綜上所述：滿足條件為 Pi (1-72，-2), P2(1亨，7.如圖，拋物線 y = ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(- 1, 0),點(diǎn)B (3, 0),與y軸交于點(diǎn)C, 且過點(diǎn)D (2, -3) .點(diǎn)R Q是拋物線y=ax2+bx+c上的動(dòng)點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線ODT方時(shí)，求 PO面積的最大值.(3)直線OQM線段BC相交于點(diǎn)E,當(dāng) OBETABCK似時(shí)，求點(diǎn) Q的坐標(biāo).解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為

26、：y= a (x+1) (x-3),將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得：a= 1,故拋物線的表達(dá)式為： y = x2-2x- 3；(2)設(shè)直線PD與y軸交于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)P (mi m2 - 2mi- 3),將點(diǎn)P、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y= sx+t并解得:亍x OG(xd-xp)(3+2m)直線PD的表達(dá)式為：y=mx- 3-2簿 則OG= 3+23& poD=人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊 第二十二章 二次函數(shù)壓軸題綜合培優(yōu)訓(xùn)練(包含答案) - 1 < 0,故S/xpo-T最大值，當(dāng) m=±時(shí)，其最大值為；|416(3) . OB= O住 3, .Z OCB= / OB仔45

27、76; ,一/ABO / OBE故 OBEW ABCf似時(shí)，分為兩種情況:當(dāng)/ ACB= / BOQ寸,AB= 4, BC= 3-/2, AC=VlQ,過點(diǎn)A作AHL BC于點(diǎn)H,則 sin / ACB=AH= 2 一：kAHAC,則 tan / ACB= 2,29 / 38則直線OQ勺表達(dá)式為：y= - 2x,聯(lián)立并解得：x =士6,故點(diǎn)Q（a/3, 2行），Q （-質(zhì),2咫 / BAG= / BOQ寸,=3= tan / BOQ, 0C 3tan / BAC=3-、- 0A 1則點(diǎn) Q (n, 3n),則直線OQ勺表達(dá)式為：y= - 3x,聯(lián)立并解得：x =故點(diǎn)q（¥，戶”。十部

28、3+W13綜上，當(dāng) OBEfABCt目似時(shí)，Q （匹,-2后）,Q（-行，第）,Q （二Q/ 5 Q4 X c 5 口 / ,8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtABC的邊BC在x軸上，/ ABC= 90° ,以A為頂點(diǎn)的拋物線y= - x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C (3, 0),交y軸于點(diǎn)E (0, 3),動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸上.(1)求拋物線解析式；(2)若點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿 Z B方向以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) B停止，設(shè)運(yùn) 動(dòng)時(shí)間為t秒，過點(diǎn)P作PD，AB交AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D平行于y軸的直線l交拋物線于點(diǎn) Q連接AQ CQ當(dāng)t為何值時(shí)， ACQ勺面積最大？最大值是多少？(3)若點(diǎn)M是

29、平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，在 x軸上方是否存在點(diǎn) P,使得以點(diǎn)P, M E, C為頂 點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.故拋物線的表達(dá)式為：y= - x2+2x+3,則點(diǎn) A (1, 4);(2)將點(diǎn)A C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線AC的表達(dá)式為：y= - 2x+6,_,、n_ t+2, x 、汁-c t+2 t*、點(diǎn) P (1, 4t),則點(diǎn) D (- -, 4 t),設(shè)點(diǎn) Q ( ;, 4,S.acqt-X DQ BC=- #+t,- 4< 0,故SAacqM最大值，當(dāng)t = 2時(shí)，其最大值為1;(3)設(shè)點(diǎn) P (1, m),點(diǎn) M (x

30、, y),當(dāng)EC是菱形一條邊時(shí),當(dāng)點(diǎn)MB y軸右方時(shí),點(diǎn)E向右平移3個(gè)單位、向下平移 3個(gè)單位得到C,則點(diǎn)P平移3個(gè)單位、向下平移 3個(gè)單位得到 M貝U 1+3= x, rrr 3= y,而 MP= EP得：1+( rrr 3) 2= ( x - 1) 2+ (y - mi 2,解得：y = m_ 3= : 17,故點(diǎn)M(4, J百)；當(dāng)點(diǎn)MB y軸左方時(shí)，同理可得：點(diǎn)M( - 2, 3+、萬4);當(dāng)EC是菱形一對(duì)角線時(shí)，則EC中點(diǎn)即為PM中點(diǎn)，貝U x+1= 3, y+m= 3,而 PE= PC,即 1+ ( m- 3) 2=4+ (m- 2) 2,解得：m= 1,故 x = 2, y= 3

31、 - m= 3-1=2,故點(diǎn) M (2, 2);綜上，點(diǎn) M (4,才訴)或(-2, 3+U1Z)或 M (2, 2).9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+2 (aw0)與x軸交于A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,拋物線經(jīng)過點(diǎn) D ( - 2, - 3)和點(diǎn)E (3, 2),點(diǎn)P是 第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求直線DE和拋物線的表達(dá)式;(2)在y軸上取點(diǎn)F (0, 1),連接PF, PB,當(dāng)四邊形 OBP附面積是7時(shí)，求點(diǎn)P的坐 標(biāo)；(3)在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn) P在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，直線 DE±存在兩點(diǎn) M N (點(diǎn) M在點(diǎn)N的上方)，

32、且MtN= 2/2,動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，沿P- MR NR A的路線運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn) A, 當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路程最短時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn) N的坐標(biāo).解：(1)將點(diǎn)D E的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得:-34-2卜+2,解得:故拋物線的表達(dá)式為：y = - -j-：-x2+-；=-x+2,上 2同理可得直線 DE的表達(dá)式為：y = x-1；(2)如圖1,連接BF,過點(diǎn)P作PH y軸交BF于點(diǎn)H,將點(diǎn)FB代入一次函數(shù)表達(dá)式,同理可得直線 BF的表達(dá)式為：y=-gx+1,4設(shè)點(diǎn) P (x, - -ttx2+-；-_x+2),則點(diǎn) H (x, jx+1),S四邊形obpf= Saobi+Sapfe3= T7 X 4X11

33、+ ：X PHX B0= 2+2 (等2+|x+2看 xT) =7,解得：x= 2或z3 2R故點(diǎn)P (2, 3)或(露等);2 o(3)當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸白右側(cè)時(shí)，點(diǎn) P (2, 3),DE于點(diǎn)M此時(shí),過點(diǎn)M作A M/ AN過作點(diǎn)A直線DE的對(duì)稱點(diǎn) A ,連接PA'交直線點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑最短，和.MNk 2歷，相當(dāng)于向上、向右分別平移2個(gè)單位，故點(diǎn) A (1, 2),A A，DE則直線A A過點(diǎn)A',則其表達(dá)式為：y=-x+3， 聯(lián)立得x=2,則A A中點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 1), 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：點(diǎn) A (3, 0),同理可得：直線 A P的表達(dá)式為：y=-3x+9,聯(lián)立并解得

34、:x周,即點(diǎn)M/菅),點(diǎn)M沿ED向下平移2b個(gè)單位得：N仔,10.如圖1,拋物線y=p (x-mj) 2的頂點(diǎn)A在x軸正半軸上，交 y軸于B點(diǎn),(1)求拋物線的解析式;S>A OAB= 1 .(2)如圖2, P是第一象限內(nèi)拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)一點(diǎn)，過 P的直線l與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),l交拋物線對(duì)稱軸于 C點(diǎn)，連PB交對(duì)稱軸于 D點(diǎn)，若/ BA住/ PCD求證：AC= 2AQM N兩點(diǎn)，當(dāng)直角/ MANg(3)如圖3,以A為頂點(diǎn)作直角，直角邊分別與拋物線交于A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求證：MN臺(tái)終經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). 解：(1)由題意和y=t (x-mj) 2設(shè)A 0)人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)

35、上冊 第二十二章 二次函數(shù)壓軸題綜合培優(yōu)訓(xùn)練(包含答案)當(dāng) x = 0 時(shí)，y 工(0 m 2=JL,即設(shè) B (0, 見)444 .OA=簿 OB= 1q由 S»A OAB= 112- -=-?OA?OB= 1,即 ntf!_=234解得，m=2 A (2, 0), B (0, 1)把 y=； (x-2)2化為一般式為，y=x2-x+i.(2)由(1)得拋物線對(duì)稱軸為直線 x=2.口 C兩點(diǎn)在直線x=2上，則設(shè)C(2, n), D(2, n')如圖2延長BA交直線PC于點(diǎn)Q并設(shè)直線PC x軸于點(diǎn)E. / BA仔 / PCD / BOA= / EAC= 90°Rt

36、BOA" RtAEAC / BAO / ECA .tan / BAO-tan / ECA=,-AC='2.AC= 2AE又 / BAO / EAQ / BAO / ECA / ECA= / EAQ又一/ ECA/CEA= 90° / EAQ/ QEA= 90 .BQLPC設(shè)直線AB的解析式為y = kx+b,把A (2, 0), B (0, 1)代入得,產(chǎn)之 “解得.-了，直線AB的解析式為，y= - x+12由BQL PC設(shè)直線PC的解析式為y = 2x+b' .一又過P的直線l與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，令 2x+b' (x-2) 2整理得，x2

37、- 12x+4-4b' =0,且= 0即 144-4 (4- 4b' ) = 0解得，b' = - 8 直線PC的解析式為，y= 2x-8. 把點(diǎn) C (2, n)代入 y = 2x8 中得，n=2X28解得，n=-4.，C點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 4),即AC= 4由 AC= 2AE得，AE= 2.把b' = - 8代入方程x2- 12x+4- 4b' = 0中得，x2- 12x+36= 0解得，x1 = x2= 6再把x= 6代入y=2x- 8中得，y=2X6-8解得，y=4 P (6, 4)設(shè)直線PB解析式為y= k' x+1把P (6, 4)代入上

38、式得，4=6k'+1解得，k' =y 直線PB的解析式為，y=x+1又 D (2, n')在直線PB上，將其代入y=T；x+1中得，n' =-x 2+1=2，D點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 2),即AD= 2，AD= AE. AC= 2ADD(3)如圖3中，以A為原點(diǎn)建立新的坐標(biāo)系,0則拋物線的解析式為 y'= ：x2,在新坐標(biāo)系中設(shè)M(a,435 / 38.AM/L AN1_ 2ILa.1 2m<a= 16設(shè)直線MN的解析式為=kx+b,則有b M 1 2 ka4-b=-Ta1 2 mk+b=m(a-bni)ma= - 16,b= 4,直線MN的解析式為=方(

39、a+nj) x+4直線MNS過定點(diǎn)(0,4)(新坐標(biāo)系中)在原來坐標(biāo)系中，直線MNg過點(diǎn)(2, 4),直線MNS過定點(diǎn)(2, 4).11 .如圖，拋物線 y= ax2+bx+3-J與x軸交于A (- 3, 0), B (9, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接AC BC.點(diǎn)P沿AC以每秒1個(gè)單位長度的速度由點(diǎn) A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) Q沿BO以每秒2個(gè)單位長度的速度由點(diǎn) B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)， 另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ過點(diǎn)Q作QDL x軸，與拋物線交于點(diǎn) D,連接PD與BC交于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t >0)(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)直接寫出P, D兩點(diǎn)的坐標(biāo)

40、(用含t的代數(shù)式表示，結(jié)果需化簡)在點(diǎn)P, Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng) PQ= PD時(shí)，求t的值;(3)點(diǎn)M為線段BC上一點(diǎn)，在點(diǎn)P, Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)點(diǎn) E為PD中點(diǎn)時(shí)，是否存在pmU-bm的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理點(diǎn)M使得PM/BM的值最??？若存在，請(qǐng)求出ax2+bx+3J3，得:9,解得：,X2+9a-3b+3V3=081a+9b+3V3=0拋物線的表達(dá)式為 y=-由題意得：/ ACO= Z OBC= 30° , Z ACB= 90° ,將點(diǎn)直線BC的表達(dá)式為：y=點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3+5,-皆"+3日;V3t ),點(diǎn)Q (9 - 2t , 0),將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入

41、式并整理得：點(diǎn)D9 -2t ,(6t -12);R C (0, 3>/3)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得:當(dāng)PQ= PD時(shí)，則DQ中點(diǎn)的縱坐標(biāo)=點(diǎn) P的縱坐標(biāo),即：1 畢(6t-t2) =,解得：t =(6t-12),(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3+;尹，乂3t )、點(diǎn)D9 - 2t點(diǎn)E是PQ的中點(diǎn)，則點(diǎn)E3 -邑t , 叵 t +L (6t - t2), 4 4g將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入式并整理得：12- 6t+9=0,解得：t = 3,即點(diǎn)P (-，"呵)即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，22作點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)P',過點(diǎn)P'彳P' Hl±x軸、BC于點(diǎn)H M過

42、點(diǎn)P作PN，y軸于點(diǎn)N,則 MH=二-MB則此時(shí)，pJb陣PM+MH= P' H為最小值, 2MC= N. /ACB= 90 , PC= P' C, / P' CM= / NCP / P' MC= / PNC= 90 ,.P' M室 PNC(AAS,3973OM= -OC=P，H,故加勺最小值為B,與y軸交于點(diǎn)C.12 .拋物線y = x2+bx+c與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn) A,與x軸正半軸交于點(diǎn)(1)如圖 1,若 OB= 2OA= 2OC求拋物線的解析式；若M是第一象限拋物線上一點(diǎn)，若 cos/MAG爺;，求M點(diǎn)坐標(biāo).(2)如圖2,直線EF/ x軸與拋物線相

43、交于 E F兩點(diǎn)，P為EF下方拋物線上一點(diǎn)，且 P(m -2) .若/ EP已90。，則EF所在直線的縱坐標(biāo)是否為定值，請(qǐng)說明理由.人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊 第二十二章 二次函數(shù)壓軸題綜合培優(yōu)訓(xùn)練（包含答案）37 / 38解：(1): x= 0 時(shí)，y= x2+bx+c=c.C (0, c), O仔-c (c< 0). O4 O(C= - c, OB= 2O仔-2c A (c, 0), B ( 2c, 0):拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn) A、Br 2人c +tc+c=04c2bc+c=C，拋物線的解析式為解得:12x過點(diǎn)M作MDL AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作GH x軸，過點(diǎn) A作AGLGHT點(diǎn)G

44、過點(diǎn)M作MH ，GHT點(diǎn)H,如圖1 ./ ADIW / G= / H= 90°tn 、 T7RtAADMfr, cos / MAG 皿” 顏 17 .AM= TiADmd=Va -47aM-A!)2 = 4AD - c=一二.A (-O 1-2 1-2OA= OCZ OAC45.Z GAD= / GAO / OAC45.AD等腰直角三角形 / ADG 45人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊 第二十二章 二次函數(shù)壓軸題綜合培優(yōu)訓(xùn)練（包含答案）Z MDH 180° -/ADG Z ADIM= 45， MD的等腰直角三角形設(shè) AG= DG= t ,則 AD= 6t.MD= 4AD= 4 1DH

45、= MH= 4tx產(chǎn) xx+t +4t =一Ym= 4t t = 3t丁點(diǎn)MB拋物線上1'(一二+5t ) 2 ( +5t )22221解得：tl=0 (舍去)，t2=k一 1.21 8 、，_63一2 10 5' yM 50=3t，點(diǎn)M坐標(biāo)為（(2) EF所在直線的縱坐標(biāo)是定值，理由如下:過點(diǎn)P作PCL EF于點(diǎn)Q如圖2 P (m - 2)在拋物線上ni+bn+c= 2,即 c+2= - n2- bm.EF/ x軸且在點(diǎn) P上方xcc= xp= m,設(shè) yE= yF= yc= n, n>2PC= n - ( - 2) = n+2x2+bx+c = n,整理得 x2+bx

46、+c- n = 0xE+xF= b, xE?xF= c _ n PQ號(hào) / PCF= 90° . / EPF= 90° / EPQ/ FPQ= / FPC+Z PFQ= 90° .Z EPQ= / PFQEP(C0 PFQ,BQ _PQ.一 一PQ= EQ?FQ2. . ( n+2) = ( rrr Xe) (xf- irj)n2+4n+4=m?xF- m2-xE?xF+m?xEn2+4n+4 = m(Xe+Xf) - mi-Xe?Xfn2+4n+4 = - bm- m- (c-n)2n +4n+4= c+2 c+n解得：ni= - 1, n2= - 2 (舍去)

47、EF所在直線的縱坐標(biāo)為-1,是定值.圖113.如圖所示，二次函數(shù) y=ax2+bx+2的圖象經(jīng)過點(diǎn) A (4, 0), B(-4, -4),且與y軸交 于點(diǎn)C.(1)請(qǐng)求出二次函數(shù)的解析式；(2)若點(diǎn)M (m n)在拋物線的對(duì)稱軸上，且 AM平分/ OAC求n的值.(3)若P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與 A、B重合)，過P作PQ/ AC與AB上方的拋物 線交于點(diǎn)Q與x軸交于點(diǎn)H,試問：是否存在這樣的點(diǎn) Q,使PH= 2QH若存在，請(qǐng)直 接出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.t16a-4b+2=-4解：（1）將點(diǎn)A B的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得:故拋物線的表達(dá)式為：y =-工x2+Lx+2 ；42（

48、2）如圖，過點(diǎn) A作/ A的角平分線交y軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GNL AC于點(diǎn)N,二次函數(shù)對(duì)稱軸交 AM x軸于點(diǎn)M H,設(shè)：OG= x=GN 則 AN= OA= 4,AC= 2 匹 OC= 2, CM= 2-x, CN= CA- AN= 2/-4,則由勾股定理得：(2-x) 2=x2+ (2y54) 2,解得：x = 4/-8,. GH/ OM則粵嚕，即： =7， OM AO x 4；貝U n = GH= x=3-/-6;(3)存在，理由：如圖：將點(diǎn)R A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得:直線AB的表達(dá)式為：y=7yx-2，同理直線AC的表達(dá)式為：y= - x+2,.PQ/ AC則設(shè)直線 PQ的表

49、達(dá)式為：y=x c (c>0),聯(lián)立并解得：x=2±2jT* (舍去正值)，故點(diǎn) Q (2 2y心+3, 1 c+/e+3)， PH= 2QHP、Q的縱坐標(biāo)之比也為 2,即一7；c T = ± 2 (- 1 - c+J c+3)，解得：c=3或擊，故點(diǎn) Q( 一或(， j y0 2d14.如圖，拋物線 y=-x2+bx+c 經(jīng)過 A (0, 3), C (2, n)兩點(diǎn)，直線 l： y=x+2 過 C點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)B,拋物線一上有一動(dòng)點(diǎn)E,過點(diǎn)E作直線EF，x軸于點(diǎn)F,交直線BC于點(diǎn)D(1)求拋物線的解析式.BE BF,是否存在點(diǎn) E使(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在直線BC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接直線BC將4BEF的面積分為2: 3兩部分？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在說明理由;(3)如圖2,若點(diǎn)E在y軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，連接 AE當(dāng)/ AE氏/ ABCM,直接寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).解：(1)