第三章截面的幾何性質

1、選擇材料選擇材料與材料的機械性質有關與材料的機械性質有關確定尺寸確定尺寸與截面大小、形狀有關與截面大小、形狀有關拉壓：拉壓：應力均布，僅需滿足應力均布，僅需滿足 ， 不考慮形狀；不考慮形狀；NFA 扭轉：扭轉：應力不均布，出現(xiàn)應力不均布，出現(xiàn) ，APdAI2在面積在面積A相同，但形狀不同的情況下，應相同，但形狀不同的情況下，應力分布不同。力分布不同。一、靜矩一、靜矩oyzAdAyz AydAzS AzdAyS圖形對圖形對y軸的靜矩軸的靜矩圖形對圖形對z軸的靜矩軸的靜矩單位：單位：3m1 1 靜矩與形心位置靜矩與形心位置 討論討論（1）靜矩可）靜矩可 0； 0； 0。（2）若圖形形心）若圖形形心

2、C已知，由靜力學可知：已知，由靜力學可知：oyzACczcyAydAyAcASzAzdAzAcASy（3）求靜矩的另一公式：）求靜矩的另一公式：AySczAzScy（3）若）若yzAC, 0, 0cczy則則. 0, 0yzSSy、z軸稱為形心軸。軸稱為形心軸。若已知若已知, 0, 0yzSS 則可確定則可確定z z軸、軸、y y軸通軸通過截面形心。過截面形心。二、形心：二、形心：(等厚均質板的質心與形心重合。)(:正負面積法公式累加式AAyyAAxxiiiiiixiiyyAyASxAxASdAxyyx等厚均質mmyymmxxmmdd質心：ASAAytAtAytASAAxtAtAxtxAAyA

3、Adddd等于形心坐標xy212121AAAxAxAAxxii3 .2010801101011010357 .341080110101101060y例例1 試確定下圖的形心。解 ： 組合圖形，用正負面積法解之。1.用正面積法求解，圖形分割及坐標如圖(a)801201010 xyC2圖(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)2.用負面積法求解，圖形分割及坐標如圖(b)3 .201107080120)11070(5圖(b)C1（0,0）C2（5,5）212121AAAxAxAAxxiiC2負面積C1xy一、慣性矩一、慣性矩oyzAdAyz AydAzI AzdAyI圖形對圖形對y軸的慣性矩軸的

4、慣性矩圖形對圖形對z軸的慣性矩軸的慣性矩單位：單位：4m2 慣性矩、慣性積、極慣性矩慣性矩、慣性積、極慣性矩 討論討論（1）慣性矩恒）慣性矩恒 0；（2）,2AiIyyAiIzz2所以所以,AIiyyAIizzzyii ,慣性半徑慣性半徑（單位：（單位： ） m二、極慣性矩二、極慣性矩oyzAdAyzAPdAI2圖形對圖形對o點的極慣性矩點的極慣性矩單位：單位：4m 討論討論（1）222yz APdAI2AdAyz)(22AAdAydAz22zyII oyzAdAyzyzzy222yz且且APdAI2AdAyz)(22zyII即即對對o o點極慣性矩點極慣性矩 = =對過對過o o點同一平面內

5、任意一點同一平面內任意一 對相互垂直軸的慣性矩之和對相互垂直軸的慣性矩之和zyII PI所以所以 只與原點只與原點o有關，即有關，即constIIzy（2）0, 0yzII0恒pI三、慣性積三、慣性積AyzyzdAI圖形對圖形對y、z兩軸的慣性積兩軸的慣性積單位：單位：4moyzAdAyz 討論討論（1） 可可 0； 0； 0；yzI（2）若圖形有一對稱軸，則）若圖形有一對稱軸，則0yzIyzIAIIAIIIAIVAIIIAAyzdAyzdAIVIIIAAyzdAyzdAIAyzyzdAIIIAyzdAIVIIIAAyzdAyzdA0（3）若）若, 0yzI則則y、z軸稱為軸稱為主慣性軸（主軸

6、）主慣性軸（主軸）。對稱軸一定是主軸，主軸不一定是對稱軸。對稱軸一定是主軸，主軸不一定是對稱軸。通過形心的主軸稱為形心主慣性軸。通過形心的主軸稱為形心主慣性軸。yzbh例：例：1、矩形。求、矩形。求zyyzyzyziiIIISS,解：解：. 0, 0yzSS（1）（2）dAzIAy2zdz222hhbdzz2233hhzb3121bh同理同理dAyIAz23121hbAIiyyAIizz,63hb63c（3）AyzyzdAI0例：例：2、圓形。、圓形。yzd已知已知APdAI24321d則則pzyIIIzyII 而而所以所以zyII pI214641ddD根據(jù)定義：根據(jù)定義：整個圖形對某一軸的

7、慣矩（靜矩、慣積整個圖形對某一軸的慣矩（靜矩、慣積）等于各個）等于各個分圖形對同一軸的慣矩（靜矩、慣積分圖形對同一軸的慣矩（靜矩、慣積）之和。）之和。IIIIIIyz3 3 組合圖形的幾何性質組合圖形的幾何性質例如例如:IIIIIIAAAA則則dAzIAy2IIIIIIyzdAzdAzdAzIIIIIIAAA222yIIIyIIyIIIImiyiI1同理同理,1mizizII,1mizizSS,1miyiySSmiyziyzII1空心圓空心圓小大PPPIII44321321dD)1 (32144D其中其中Dd小大zzzyIIII)1 (64144DdDyzIIIIIIyz31iyiyIIy1A

8、CyzdAyzo1y1zba1z1y已知已知:,yzyzIII( (y、z軸過形心軸過形心C) )求求1111,zyyzIII及),(11zzyy解：解：,1bzz,1ayy代入定義式：代入定義式：4 慣性矩和慣性積的平行移軸定理慣性矩和慣性積的平行移軸定理ACyzdAyzo1y1zba1z1ydAzIAy211dAbzA2)(dAbdAzbdAzAAA222AbbSIyy22AbIIyy21同理同理AaIIzz21dAzyIAzy1111dAaybzA)(dAabdAbydAazdAyzAAAA00abAIyz平行移軸公式平行移軸公式AbIIyy21AaIIzz21abAIIyzzy11 注意：注意：ACyzdAyzo1y1zba1z1y注意注意: C點必須為形心點必須為形心AbIIxCx2AaIIyCy2abAIIxCyCxyAbaIIC2)( 20cm3173例：例：T字形截面字形截面,求其對形心軸的慣矩。求其對形心軸的慣矩。解解:(1)求形心求形心zyCyczczy任選參考坐標系任選參考坐標系,如如ycSA zIIIIIIyyySSS而而IIIAAAycSzAIIIyyIIISSAA173203)5 . 83(173)5 . 1(203cm1 . 6y