第1章數(shù)字邏輯基礎

1、第第1 1章章 數(shù)字邏輯基礎數(shù)字邏輯基礎1.1 1.1 數(shù)制數(shù)制1.2 1.2 幾種常用的編碼幾種常用的編碼1.3 1.3 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎1.4 1.4 邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的化簡11.1 數(shù)制數(shù)制1.1.1 十進制數(shù)十進制數(shù)1.1.2 二進制數(shù)二進制數(shù)1.1.3 八進制數(shù)和十六進制數(shù)八進制數(shù)和十六進制數(shù)1.1.4 不同數(shù)制間的轉換不同數(shù)制間的轉換21.1.1 十進制數(shù)十進制數(shù) 數(shù)制就是數(shù)制就是人人們計數(shù)的方式們計數(shù)的方式 十進制數(shù)是由十進制數(shù)是由09十個不同的數(shù)碼組成的，所以計數(shù)的基數(shù)數(shù)十個不同的數(shù)碼組成的，所以計數(shù)的基數(shù)數(shù)是是10，超過，超過9的數(shù)必須用多位數(shù)表示，其計數(shù)規(guī)律是

2、的數(shù)必須用多位數(shù)表示，其計數(shù)規(guī)律是“逢十進一逢十進一”。例如，十進制數(shù)例如，十進制數(shù)369.12可以表示為可以表示為 21012369.123 106 109 101 102 10 上式等號的右邊為該數(shù)的按權展開，上式等號的右邊為該數(shù)的按權展開，102、101、100、10-1和和10-2分別分別為百位、十位、個位、十分位和百分位的權，位數(shù)越高權值越大。為百位、十位、個位、十分位和百分位的權，位數(shù)越高權值越大。3任意一個十進制數(shù)，都可按其權位展成多項式的形式。任意一個十進制數(shù)，都可按其權位展成多項式的形式。(N)D=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)D110nmiiiK=Kn-1 10

3、n-1 + +K1101 + K0100 + K-1 10-1 + + K-m 10-m下標下標D表示十進制表示十進制4任意任意R進制進制只由只由0 （R-1）R個數(shù)碼和小數(shù)點組成，個數(shù)碼和小數(shù)點組成，不同數(shù)位上的數(shù)具有不同的權值不同數(shù)位上的數(shù)具有不同的權值Ri，基數(shù)基數(shù)R，逢逢R進一。進一。1nmiiRiK(N)R=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)R=Kn-1 Rn-1 + +K1R1 + K0R0 + K-1 R-1 + + K-m R-m任意一個任意一個R進制數(shù)，都可按其權位展成多項式的形式。進制數(shù)，都可按其權位展成多項式的形式。51.1.2 二進制數(shù)二進制數(shù) 只由只由0、1兩

4、個數(shù)碼和小數(shù)點組成，不同數(shù)位上的數(shù)具有不兩個數(shù)碼和小數(shù)點組成，不同數(shù)位上的數(shù)具有不同的權值同的權值2i?；鶖?shù)基數(shù)2，逢二進一，逢二進一任意一個二進制數(shù)，都可按其權位展成多項式的形式。任意一個二進制數(shù)，都可按其權位展成多項式的形式。12nmiiiK(N)B=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)B=Kn-1 2n-1 + +K121 + K020 + K-1 2-1 + + K-m 2-m下標下標B表示二進制表示二進制61.1.3 八進制數(shù)和十六進制數(shù)八進制數(shù)和十六進制數(shù)1.八進制數(shù)八進制數(shù) 八進制數(shù)中只有八進制數(shù)中只有0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7八個數(shù)碼，進位規(guī)律是八個數(shù)碼

5、，進位規(guī)律是“逢八進一逢八進一”。各位的權都是。各位的權都是8的冪。的冪。1()8niOiimNK一般表達式一般表達式八進制就是以八進制就是以8為基數(shù)的計數(shù)體制。為基數(shù)的計數(shù)體制。式中下標式中下標O表示八進制數(shù)，表示八進制數(shù)，Ki代表第代表第i位的數(shù)碼（位的數(shù)碼（07），），8i表示第表示第i位的權值；位的權值；m和和n為正整數(shù)，分別表示八進制數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分為正整數(shù)，分別表示八進制數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分的位數(shù)。則八進制數(shù)的位數(shù)。則八進制數(shù)5703.6可表示為可表示為32101(5703.6)5 87 80 83 86 8O 7十六進制數(shù)中只有十六進制數(shù)中只有0, 1, 2, 3, 4, 5,

6、6, 7, 8, 9 , A、B、C、D、E、F十六個數(shù)碼，進位規(guī)律是十六個數(shù)碼，進位規(guī)律是“逢十六進一逢十六進一”。各位的權均為。各位的權均為16的冪。的冪。2.十六進制十六進制1()16niHiimNK式中下標式中下標H表示十六進制數(shù)，表示十六進制數(shù)，Ki代表第代表第i位的數(shù)碼（位的數(shù)碼（09和和A、B、C、D、E、F），），16i表示第表示第i位的權值；位的權值；m和和n為正整數(shù)，分別表為正整數(shù)，分別表示十六進制數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分的位數(shù)。則十六進制數(shù)示十六進制數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分的位數(shù)。則十六進制數(shù)FB8.A可可表示為表示為2101(FB8.A)16168 1616HFBA 8常用數(shù)制對照

7、表常用數(shù)制對照表 十進制十進制 二進制二進制 八進制八進制 十六進制十六進制十進制十進制 二進制二進制 八進制八進制 十六進制十六進制012345678910111213141500000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110123456701234567101112131415161789ABCDEF91.1.4 不同數(shù)制間的轉換不同數(shù)制間的轉換一、二進制數(shù)、八進制數(shù)和十六進制數(shù)轉換成十進制數(shù)一、二進制數(shù)、八進制數(shù)和十六進制數(shù)轉換成十進制數(shù)1二進制數(shù)轉換成十進制數(shù)二進制數(shù)轉換成十進制數(shù)利用二進制數(shù)的一般表達式利

8、用二進制數(shù)的一般表達式1()2niBiimNK即可將二進制數(shù)轉換成十進制數(shù)。例如即可將二進制數(shù)轉換成十進制數(shù)。例如321012(1011.11)1 2021 21 21 21 2(11.75)BD 102八進制數(shù)轉換成十進制數(shù)八進制數(shù)轉換成十進制數(shù)利用八進制數(shù)的一般表達式利用八進制數(shù)的一般表達式1()8niOiimNK即可將二進制數(shù)轉換成十進制數(shù)。例如即可將二進制數(shù)轉換成十進制數(shù)。例如32101(5703.6)5 87 80 83 86 8(3011.75)OD 3十六進制數(shù)轉換成十進制數(shù)十六進制數(shù)轉換成十進制數(shù)利用二進制數(shù)的一般表達式利用二進制數(shù)的一般表達式1()16niHiimNK即可將二

9、進制數(shù)轉換成十進制數(shù)。例如即可將二進制數(shù)轉換成十進制數(shù)。例如2101(FB8.A)16168 1616(4024.625)HDFBA 11二、十進制數(shù)轉換成二進制數(shù)二、十進制數(shù)轉換成二進制數(shù)1十進制整數(shù)轉換成二進制數(shù)十進制整數(shù)轉換成二進制數(shù)十進制數(shù)轉換成二進制數(shù)：十進制數(shù)轉換成二進制數(shù)： 整數(shù)部分整數(shù)部分小數(shù)部分小數(shù)部分整數(shù)部分的轉換整數(shù)部分的轉換除除2取余法：用二進制數(shù)的取余法：用二進制數(shù)的基數(shù)基數(shù)2去除去除十進制數(shù)，十進制數(shù)，第一次第一次相除所相除所得余數(shù)為目的數(shù)的得余數(shù)為目的數(shù)的最低位最低位K0，將所得將所得商商再除以再除以基數(shù)基數(shù)，反復執(zhí)行，反復執(zhí)行上述過程，上述過程，直到商為直到商為

10、“0”，所得余數(shù)為目的數(shù)的所得余數(shù)為目的數(shù)的最高位最高位Kn-1。12解：解：根據(jù)上述原理，可將根據(jù)上述原理，可將(173)D按如下的步驟轉換為二進制數(shù)按如下的步驟轉換為二進制數(shù)由上得由上得例例1.1.1 將十進制數(shù)將十進制數(shù)(173)D轉換為二進制數(shù)。轉換為二進制數(shù)。76543210(173)()(10101101)DBBK K K K K K K K13小數(shù)部分的轉換小數(shù)部分的轉換乘乘2取整法取整法：十進制十進制小數(shù)小數(shù)乘以二進制數(shù)的乘以二進制數(shù)的基數(shù)基數(shù)2，第一次第一次相乘結果相乘結果的的整數(shù)整數(shù)部分為目的數(shù)的部分為目的數(shù)的最高位最高位K-1，將其小數(shù)部分再乘基數(shù)依次將其小數(shù)部分再乘基數(shù)

11、依次記下整數(shù)部分，反復進行下去，記下整數(shù)部分，反復進行下去，直到小數(shù)部分為直到小數(shù)部分為“0”，或滿足，或滿足要求的要求的精度精度為止（即根據(jù)設備字長限制，取有限位的近似值）。為止（即根據(jù)設備字長限制，取有限位的近似值）。例例1.1.2 將十進制小數(shù)將十進制小數(shù)0.8125轉換成二進制數(shù)。轉換成二進制數(shù)。解：根據(jù)解：根據(jù)“乘乘2取整法取整法”1234(0.8125)(0.)(0.1101)DBBK K K K143二進制數(shù)與十六進制數(shù)相互轉換二進制數(shù)與十六進制數(shù)相互轉換 從低位到高位將整數(shù)部分每從低位到高位將整數(shù)部分每4 4位二進制數(shù)分為一組并代之以等位二進制數(shù)分為一組并代之以等值的十六進制數(shù)

12、，同時從高位到低位將小數(shù)部分每值的十六進制數(shù)，同時從高位到低位將小數(shù)部分每4 4位數(shù)分為一組位數(shù)分為一組并代之以等值的十六進制數(shù)。若不足并代之以等值的十六進制數(shù)。若不足4 4位時，可在整數(shù)的最高位前位時，可在整數(shù)的最高位前和小數(shù)的最低位后補和小數(shù)的最低位后補0 0構成構成4 4位。即可得到十六進制數(shù)。位。即可得到十六進制數(shù)。例例1.1.3 將二進制數(shù)將二進制數(shù)111110.101011轉換成十六進制數(shù)。轉換成十六進制數(shù)。解：解：(111110.101011)(0011 1110.1010 1100)(3 .)BBHE AC 若將十六進制數(shù)轉換成二進制數(shù)，只需將十六進制數(shù)的每一位若將十六進制數(shù)轉

13、換成二進制數(shù)，只需將十六進制數(shù)的每一位用等值的用等值的4位二進制數(shù)代替即可。位二進制數(shù)代替即可。例例1.1.4 將十六進制數(shù)將十六進制數(shù)FB8.A轉換成二進制數(shù)。轉換成二進制數(shù)。解：解：(FB8.A)(1111 1011 1000.1010)HB154二進制數(shù)與八進制數(shù)相互轉換二進制數(shù)與八進制數(shù)相互轉換將二進制數(shù)轉換成八進制數(shù)，可將二進制數(shù)分為將二進制數(shù)轉換成八進制數(shù)，可將二進制數(shù)分為3位一組，再將位一組，再將每組的每組的3位二進制數(shù)轉換成等值的位二進制數(shù)轉換成等值的1位八進制數(shù)即可。位八進制數(shù)即可。例例1.1.5 將二進制數(shù)將二進制數(shù)11110.10101轉換成八進制數(shù)。轉換成八進制數(shù)。解：

14、解：(11110.10101)(011 110.101 010)(36.52)BBO若將八進制數(shù)轉換成二進制數(shù)，只需將八進制數(shù)的每一位用等值若將八進制數(shù)轉換成二進制數(shù)，只需將八進制數(shù)的每一位用等值的的3位二進制數(shù)代替即可。位二進制數(shù)代替即可。例例1.1.6 將八進制數(shù)將八進制數(shù)703.6轉換成二進制數(shù)。轉換成二進制數(shù)。解：解：O(703.6)(111 000 011.110)B165.十六進制的十六進制的 1）與二進制之間的轉換容易；）與二進制之間的轉換容易； 2）計數(shù)容量較其它進制都大。假如同樣采用四位數(shù)碼，）計數(shù)容量較其它進制都大。假如同樣采用四位數(shù)碼，二進制最多可計至二進制最多可計至(

15、1111)B =( 15)D；八進制可計至八進制可計至 (7777)O = (2800)D；十進制可計至十進制可計至 (9999)D；十六進制可計至十六進制可計至 (FFFF)H = (65535)D，即，即64K。其容量最大。其容量最大。 3）書寫簡潔。）書寫簡潔。171.2 幾種常用的編碼幾種常用的編碼1.2.1 二進制編碼二進制編碼1.2.2 二二十進制編碼（十進制編碼（BCD）1.2.3 其他編碼其他編碼181.2.1 二進制編碼二進制編碼 若所需編碼的信息有若所需編碼的信息有N項，則需要的二進制數(shù)碼的位數(shù)項，則需要的二進制數(shù)碼的位數(shù)n應滿應滿足如下關系足如下關系2nN 例如例如4位二

16、進制碼可以表示位二進制碼可以表示16個不同的數(shù)碼，表是常用的按個不同的數(shù)碼，表是常用的按8421權位排列的權位排列的4位二進制編碼表示的位二進制編碼表示的16個十進制數(shù)。個十進制數(shù)。十進制數(shù)十進制數(shù)二進制碼二進制碼十進制數(shù)十進制數(shù)二進制碼二進制碼00000810001000191001200101010103001111101140100121100501011311016011014111070111151111191.2.2 二二十進制編碼（十進制編碼（BCD） 二二十進制碼就是用十進制碼就是用4位二進制數(shù)來表示位二進制數(shù)來表示1位十進制數(shù)中的位十進制數(shù)中的09這這10個數(shù)碼，簡稱個數(shù)碼，

17、簡稱BCD碼。碼。十進制十進制8421BCD碼碼01234567890 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 12421BCD碼碼5421BCD碼碼余三碼余三碼 8 4 2 1b3 b2 b1 b0權位權位0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 10 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 00 0 1 10

18、1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0 2 4 2 1b3 b2 b1 b0 5 4 2 1b3 b2 b1 b0無權無權20（2）各種編碼的特點）各種編碼的特點 余碼的特點余碼的特點:當兩個十進制的和是當兩個十進制的和是10時，相應的二進制正好時，相應的二進制正好是是16，于是可自動產生進位信號，于是可自動產生進位信號,而不需修正而不需修正.0和和9, 1和和8,.6和和4的余碼互為反碼的余碼互為反碼,這對在求對于這對在求對于10的補碼很方便。的補碼很方便。 有權碼：編碼與所表示的十進制數(shù)之間的轉算容易有權碼

19、：編碼與所表示的十進制數(shù)之間的轉算容易 如如(10010000) 8421BCD=(90)21對于有權對于有權BCD碼，可以根據(jù)位權展開求得所代表的十進制數(shù)。碼，可以根據(jù)位權展開求得所代表的十進制數(shù)。例如：例如：BCD8421 0111()D 7=11214180+= ( )D BCD2421 7112041211101=+= （3）求）求BCD代碼表示的十進制數(shù)代碼表示的十進制數(shù)22 對于一個多位的十進制數(shù)，需要有與十進制位數(shù)相同的幾組對于一個多位的十進制數(shù)，需要有與十進制位數(shù)相同的幾組BCD代碼來表示。例如：代碼來表示。例如： BCD2421 236810 BCD8421 536410 0

20、010 .0011 1100 11102 .8630101 .0011 0110 01005 .463 不能省略！不能省略！不能省略！不能省略?。?）用）用BCD代碼表示十進制數(shù)代碼表示十進制數(shù)231.2.3 其他編碼其他編碼1.格雷碼格雷碼 格雷碼又稱循環(huán)碼。從表格雷碼又稱循環(huán)碼。從表中的中的4位格雷碼編碼表中可以位格雷碼編碼表中可以看出格雷碼的每一位的狀態(tài)變看出格雷碼的每一位的狀態(tài)變化都按一定的順序循環(huán)。如果化都按一定的順序循環(huán)。如果從從0000開始，最右邊一位的狀開始，最右邊一位的狀態(tài)按態(tài)按0110順序循環(huán)變化，右邊順序循環(huán)變化，右邊第二位的狀態(tài)按第二位的狀態(tài)按00111100順序順序循

21、環(huán)變化，右邊第三位按循環(huán)變化，右邊第三位按0000111111110000順序循環(huán)變順序循環(huán)變化。可見，自右向左，每一位化。可見，自右向左，每一位狀態(tài)循環(huán)中連續(xù)的狀態(tài)循環(huán)中連續(xù)的0、1數(shù)目增數(shù)目增加一倍。由于加一倍。由于4位格雷碼只有位格雷碼只有16個，所以最左邊一位的狀態(tài)個，所以最左邊一位的狀態(tài)只有半個循環(huán)，即只有半個循環(huán)，即0000000011111111。二進制碼二進制碼b3b2b1b0格雷碼格雷碼G3G2G1G00000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111000000010011001001100111

22、010101001100110111111110101010111001100024 與普通的二進制代碼相比，格雷碼的最大優(yōu)點就在于當它按與普通的二進制代碼相比，格雷碼的最大優(yōu)點就在于當它按照編碼順序依次變化時，相鄰兩個代碼之間只有一位發(fā)生變化。照編碼順序依次變化時，相鄰兩個代碼之間只有一位發(fā)生變化。這樣在代碼轉換的過程中就不會產生過渡這樣在代碼轉換的過程中就不會產生過渡“噪聲噪聲”。而在普通二。而在普通二進制代碼的轉換過程中，則有時會產生過渡噪聲。例如，二進制進制代碼的轉換過程中，則有時會產生過渡噪聲。例如，二進制代碼代碼0011轉換為轉換為0100過程中，如果最右邊一位的變化比其他兩位過程

23、中，如果最右邊一位的變化比其他兩位的變化慢，就會在一個極短的瞬間出現(xiàn)的變化慢，就會在一個極短的瞬間出現(xiàn)0101狀態(tài)，這個狀態(tài)將成狀態(tài)，這個狀態(tài)將成為轉換過程中出現(xiàn)的噪聲。而格雷碼為轉換過程中出現(xiàn)的噪聲。而格雷碼0010向向0110轉換過程中則不轉換過程中則不會出現(xiàn)過渡噪聲。會出現(xiàn)過渡噪聲。25 2.美國信息交換標準代碼（美國信息交換標準代碼（ASC） 美國信息交換標準代碼（美國信息交換標準代碼（American Standard Code for Information Interchange，簡稱，簡稱ASC碼）是由美國國家標準化碼）是由美國國家標準化協(xié)會（協(xié)會（ANSI）制定的一種信息代碼

24、，廣泛地用于計算機和通信）制定的一種信息代碼，廣泛地用于計算機和通信領域中。領域中。ASC碼巳經由國際標準化組織（碼巳經由國際標準化組織（ISO）認定為國際通）認定為國際通用的標準代碼。用的標準代碼。 ASC碼是一組碼是一組7位二進制代碼（位二進制代碼（b7b6b5b4b3b2b1b0），共），共128個個，其中包括表示，其中包括表示09的十個代碼，表示大、小寫英文字母的的十個代碼，表示大、小寫英文字母的52個個代碼，代碼，32個表示各種符號的代碼以及個表示各種符號的代碼以及34個控制碼。個控制碼。261.3 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎1.3.1 基本邏輯運算基本邏輯運算1.3.2 復合邏輯運算

25、復合邏輯運算1.3.3 邏輯函數(shù)的表達形式邏輯函數(shù)的表達形式1.3.4 邏輯代數(shù)的運算公式和規(guī)則邏輯代數(shù)的運算公式和規(guī)則271.3.1 基本邏輯運算基本邏輯運算（一）邏輯變量（一）邏輯變量 取值：邏輯取值：邏輯0 0、邏輯、邏輯1 1。邏輯。邏輯0 0和邏輯和邏輯1 1不代表不代表數(shù)值數(shù)值大小大小，僅表示相互矛盾、相互對立的僅表示相互矛盾、相互對立的兩種邏輯狀態(tài)兩種邏輯狀態(tài)。（二）基本邏輯運算（二）基本邏輯運算邏輯與邏輯與 邏輯或邏輯或 邏輯非邏輯非 28邏輯符號邏輯符號邏輯表達式邏輯表達式Y =A B = AB與邏輯真值表與邏輯真值表與邏輯關系表與邏輯關系表與邏輯運算與邏輯運算開關開關A 開

26、關開關B燈燈Y斷斷 斷斷斷斷 合合合合 斷斷合合 合合滅滅滅滅滅滅亮亮ABY1 01 10 10 00010ABY 只有決定某一事件的只有決定某一事件的所有條件所有條件全部全部具備，這一事件才能發(fā)生。具備，這一事件才能發(fā)生。UABY 與邏輯運算規(guī)則為與邏輯運算規(guī)則為0 00 0 10 1 00 11129邏輯符號邏輯符號或邏輯真值表或邏輯真值表或邏輯關系表或邏輯關系表或邏輯運算或邏輯運算開關開關A 開關開關B燈燈Y斷斷 斷斷斷斷 合合合合 斷斷合合 合合亮亮亮亮亮亮滅滅ABY1 01 10 10 01110 決定某一事件的條件決定某一事件的條件有一個或一有一個或一個以上個以上具備，這一事件才能

27、發(fā)生。具備，這一事件才能發(fā)生。 邏輯表達式邏輯表達式Y= A + BABYUYAB1 或邏輯運算規(guī)則為或邏輯運算規(guī)則為000 0 11 101 1 11 30非邏輯真值表非邏輯真值表非邏輯關系表非邏輯關系表非邏輯運算非邏輯運算開關開關A 燈燈YAY 當決定某一事件的條件滿足時，事當決定某一事件的條件滿足時，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生。件不發(fā)生；反之事件發(fā)生。邏輯表達式邏輯表達式 Y = AUYAR斷斷 合合亮亮滅滅1001邏輯符號邏輯符號ABY1或邏輯運算規(guī)則為或邏輯運算規(guī)則為01 1031與非邏輯運算與非邏輯運算Y=AB或非邏輯運算或非邏輯運算Y=A+B與或非邏輯運算與或非邏輯運算Y=AB+C

28、DABY ABY1ABYCD1 1.3.2 復合邏輯運算復合邏輯運算32ABY1 01 10 10 01100邏輯表達式邏輯表達式Y=A B=AB+AB ABY=1邏輯符號邏輯符號邏輯表達式邏輯表達式Y=A BABY1 01 10 10 00011 異或運算異或運算 同或運算同或運算“ ”異或邏輯異或邏輯運算符運算符= A B“ ”同或邏輯同或邏輯運算符運算符ABF=1邏輯符號邏輯符號ABY=1331.3.3 邏輯函數(shù)的表達形式 如果以邏輯變量作為輸入，以運算結果作為輸出，那么當輸入變量的取值確定之后，輸出的取值便隨之而定。因此，輸出與輸入之間是一種函數(shù)關系。這種函數(shù)關系稱為邏輯函數(shù)，寫作(

29、, ,)YF A B C一、邏輯真值表 對于邏輯函數(shù)將輸入變量所有的取值下對應的輸出值找出來，列成表格，即為邏輯真值表，簡稱真值表。例1.3.1 用真值表描述三個人表決，原則是少數(shù)服從多數(shù)。解：設三個人為A、B、C，同意為1，反對為0；表決結果為Y，通過為1，否決為0。真值表如表所示。ABCY000001001101111001010111110110002N2N若有若有N N個輸入變量，則應有個輸入變量，則應有個對應狀態(tài)，應有個對應狀態(tài)，應有個輸出狀態(tài)。個輸出狀態(tài)。 34二、邏輯函數(shù)表達式 將輸出與輸入之間的邏輯關系寫成與、或、非等運算的組合式，即邏輯代數(shù)式，就得到了所需的邏輯函數(shù)式。常見的

30、邏輯函數(shù)表達式有與或例如 五種常用表達式五種常用表達式“與與或或”式式)(BACA“或或與與”式式CAAB“與非與非與非與非”式式 BACA“或非或非或非或非”式式BACA“與與或或非非”式式= AB+ AC基本形式基本形式35三、邏輯圖將邏輯函數(shù)式中各變量之間的與、或、非等邏輯關系用圖形符號表示出來，就可以畫出表示函數(shù)關系的邏輯圖，如圖所示。36四、波形圖 如果將邏輯函數(shù)輸人變量每一種可能出現(xiàn)的取值與對應的輸出值按時間順序依次排列起來，就得到了表示該邏輯函數(shù)的波形圖，如圖所示。這種波形圖也稱為時序圖。37五、各種表示方法間的相互轉換五、各種表示方法間的相互轉換1真值表與邏輯函數(shù)式的相互轉換由

31、真值表寫出邏輯函數(shù)式的一般方法： 找出真值表中使邏輯函數(shù)Y = 1的那些輸人變量取值的組合。 每組輸入變量取值的組合對應一個乘積項，其中取值為1的寫為原變量，取值為0的寫為反變量。將這些乘積項相加，即得Y的邏輯函數(shù)式。ABCY0000001001000111 10001011 1101 1110ABCABCABCYABCABCABC38 由邏輯式列出真值表只需將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代人邏輯式求出函數(shù)值，列成表，即可得到真值表。解：先將輸入變量A、B、C取值，然后進行或運算和與運算。真值表如表。例1.3.3 將邏輯表達式()YA BC寫成真值表。ABCY0000001001000110

32、100010111101111139 2邏輯函數(shù)式與邏輯圖的相互轉換邏輯函數(shù)式與邏輯圖的相互轉換 從給定的邏輯函數(shù)式轉換為相應的邏輯圖時，只要用邏輯圖形符號代替邏輯函數(shù)式中的邏輯運算符號并按運算優(yōu)先順序將它們連接起來，就可以得到所求的邏輯圖了。 例1.3.4 已知邏輯函數(shù)為()YA BC，畫出其對應的邏輯圖。 解：將式中所有的與、或、非運算符號用圖形符號代替，并依據(jù)運算優(yōu)先順序將這些圖形符號連接起來，就得到了圖所示的邏輯圖。40 從給定的邏輯圖轉換為對應的邏輯函數(shù)式時，只要從邏輯圖的輸入端到輸出端逐級寫出每個圖形符號的輸出邏輯式，就可以在輸出端得到所求的邏輯函數(shù)式了。 例1.3.5 已知邏輯函

33、數(shù)的邏輯圖如圖所示，試求它的邏輯函數(shù)表達式。 解：根據(jù)圖 (a)所示邏輯圖從輸入到輸出逐級逐個寫出邏輯運算圖形符號的邏輯關系式，如圖 (b)所示，最后可得邏輯函數(shù)表達式YABAB413波形圖與真值表的相互轉換波形圖與真值表的相互轉換 在從已知的邏輯函數(shù)波形圖求對應的真值表時，首先需要從波形圖上找出每個時間段里輸入變量與函數(shù)輸出的取值，然后將這些輸入、輸出取值對應列表，就得到了所求的真值表。 1 0 1 0 1 1 1 0 0 t1 t4 t2 t3 0 1 0 A B Y 真值表真值表ABL000101011110421.3.4 邏輯代數(shù)的運算公式和規(guī)則邏輯代數(shù)的運算公式和規(guī)則一、邏輯代數(shù)基本

34、公式一、邏輯代數(shù)基本公式A+ 0=A A+ 1=1A 0=0 A 1=A A A=0 A+A=1A A=A A+A=AA B = B A A + B = B + A (AB)C = A (BC) (A+B)+C = A+(B+C) A ( B+C ) = A B+ A C A+ B C =( A + B) (A+ C )0-1律律互補律互補律重疊律重疊律交換律交換律結合律結合律分配律分配律43反演律反演律A B= A+B A+ B=AB還原律還原律 A= A吸收律吸收律A+A B=A A (A+B)=AA+ A B =A+B A (A+ B) =A B AB+ A C +BC= AB+ A C

35、(A+B)( A+ C )(B+C)= (A+B)(A +C)44例例1.3.9：證明吸收律：證明吸收律BABAA成立成立BAA)()(AABBBABABABBA)(互補律互補律重疊律重疊律ABABABABABABAB45例：證明反演律例：證明反演律A B= A+B 和和 A+ B=ABA BAB A+ BA BA+B000110111110111010001000由真值表得由真值表得 證：證：利用真值表利用真值表A B= A+B ， A+ B=AB1110111010001000 反演律又稱摩根定律，常反演律又稱摩根定律，常變形為變形為A B= A+B 和和 A+B=AB46例：例： A B

36、= A+BBC替代替代B得得由此反演律能推廣到由此反演律能推廣到n個變量：個變量： n nAAA A AA2121利用反演律利用反演律 n nAAAA AA2121 ABC = A+BC= A+B+C二、代入定理二、代入定理 在任何一個包含變量A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。這就是所謂的代入定理。471.4 邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的化簡1.4.1 代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)1.4.2 卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)1.4.3 具有無關項的邏輯函數(shù)化簡48分配律分配律吸收律吸收律加法律加法律YABCABCABCABCABCABCAB(CC)ABCABCABABCA(BBC)

37、ABCA(BC)ABCABACB(AAC)ACB(AC)ACABACBC吸收律吸收律分配律分配律分配律分配律例1.4.1 將YABCABCABCABC化簡。49函數(shù)化簡的目的函數(shù)化簡的目的 邏輯電路所用門的數(shù)量少邏輯電路所用門的數(shù)量少 每個門的輸入端個數(shù)少每個門的輸入端個數(shù)少 邏輯電路構成級數(shù)少邏輯電路構成級數(shù)少 邏輯電路保證能可靠地工作邏輯電路保證能可靠地工作 降低成本降低成本提高電路的工作提高電路的工作速度和可靠性速度和可靠性50與或表達式最簡的標準與或表達式最簡的標準 與項最少，即表達式中與項最少，即表達式中“+ +”號最少。號最少。 每個與項中變量數(shù)最少，即表達式中每個與項中變量數(shù)最少

38、，即表達式中“ ”號最少。號最少。 實現(xiàn)電路的與門少實現(xiàn)電路的與門少 下級或門輸入端個數(shù)少下級或門輸入端個數(shù)少與門的輸入端個數(shù)少與門的輸入端個數(shù)少1.4.1 代數(shù)法化簡邏輯函數(shù) 代數(shù)法化簡的原理就是反復使用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式消去函數(shù)式中多余的乘積項和多余的因子，以求得函數(shù)式的最簡形式。511AA并項法并項法: : CBA CBAL BA)CC(BA 1 AAABAB吸收法：吸收法： A + AB = A 消去法消去法： BABAA CABAB CAB 配項法配項法： CA=AB BAFEBCDABAL )(CBAAB)( CBCAABL A+AB=A+BCBCAABL CBAACAA

39、B)( CBACABCA=AB )()(BCACACABAB 52()()YAB DDABDABD CCDBADBA=AB )(DDBAAB BAAB BAAB BAAB YABDA B DABDA B CDA BCD例例 已知邏輯函數(shù)表達式為已知邏輯函數(shù)表達式為要求：要求：（1）最簡的與）最簡的與-或邏輯函數(shù)表達式，并畫出相應的邏輯圖；或邏輯函數(shù)表達式，并畫出相應的邏輯圖；（2）僅用與非門畫出最簡表達式的邏輯圖。）僅用與非門畫出最簡表達式的邏輯圖。解：解： B A Y AB BA & & & & & 53CBACBA CBACBA CBACBA B Y

40、 CBA 1 1 1 A C CBA 1 1 1 YABC ABC例例 試對邏輯函數(shù)表達式試對邏輯函數(shù)表達式進行變換，僅用或非門畫出該表達式的邏輯圖。進行變換，僅用或非門畫出該表達式的邏輯圖。解：解： YABCABC541.4.2 卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)1.邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆，化簡過程要求對所邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆，化簡過程要求對所有公式熟練掌握；有公式熟練掌握；2.代數(shù)法化簡無一套完善的方法可循，它依賴于人的經驗代數(shù)法化簡無一套完善的方法可循，它依賴于人的經驗和靈活性；和靈活性；3.用這種化簡方法技巧強，較難掌握。特別是對代數(shù)化簡用這種化簡方法技巧強，較

41、難掌握。特別是對代數(shù)化簡后得到的邏輯表達式是否是最簡式判斷有一定困難。后得到的邏輯表達式是否是最簡式判斷有一定困難?？ㄖZ圖法可以比較簡便地得到最簡的邏輯表達式?？ㄖZ圖法可以比較簡便地得到最簡的邏輯表達式。代數(shù)法化簡在使用中遇到的困難：代數(shù)法化簡在使用中遇到的困難：55一、最小項和邏輯函數(shù)的最小項表達式一、最小項和邏輯函數(shù)的最小項表達式最小項：最小項：n個變量有個變量有2n個最小項，記作個最小項，記作mi。3個變量有個變量有23（8）個最小項。個最小項。CBACBAm0m100000101CBABCACBACBACABABC m2m3m4m5m6m701001110010111011123456

42、7n個變量的邏輯函數(shù)中，包括個變量的邏輯函數(shù)中，包括全部全部n個變量個變量的的乘積項乘積項（每個變量必須而且只能以原變（每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）。量或反變量的形式出現(xiàn)一次）。1. 最小項最小項乘積項乘積項最小項最小項二進制數(shù)二進制數(shù)十進制數(shù)十進制數(shù)編號編號 最小項編號最小項編號i：各輸入各輸入變量取值看成二進制數(shù)，變量取值看成二進制數(shù)，對應十進制數(shù)。對應十進制數(shù)。560 0 1A B C0 0 0m0CBAm1m2m3m4m5m6m7CBACBABCACBACBACAB ABC1 -20niimF1000000001000000110 1 00 1 11 0 01

43、0 11 1 01 1 1000000000000100000010000001000000100000010000001111111三變量的最小項三變量的最小項 最小項的性質：最小項的性質： 同一組變量取值：任意同一組變量取值：任意兩個不同兩個不同最小最小項的項的乘積乘積為為0，即，即mi mj=0 (ij)。 全部全部最小項之最小項之和和為為1，即，即1201niim 任意一組變量取值：任意一組變量取值：只有一個只有一個最小項的最小項的值為值為1，其它最小項的值均為，其它最小項的值均為0。572邏輯函數(shù)的最小項表達式邏輯函數(shù)的最小項表達式 若邏輯函數(shù)的與或表達式中的每一個乘積項均為最小項，

44、則稱這一與或表達式為最小項表達式。例如237( , ,)(2,3,7)Y A B CABCABCABCmmmm( , ,)()()Y A B CAB CCA BB C例例 將將( , ,)Y A B CABAC化成最小項表達式化成最小項表達式ABCABCABCABC= m7m6m3m5 (7, 6 3 5)m, ,58( , ,)()Y A B CABABC AB 例例 將將 化成最小項表達式化成最小項表達式 a.去掉非號去掉非號()()Y A,B,CABABCAB()AB AB CAB()()AB AB CABb.去括號去括號ABCABCAB()ABCABCAB CCABCABCABCABC

45、3576(3,5,6,7)mmmmm59 二、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法二、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法 將變量的全部最小項相應地寫入一個特定的方格圖內，并使具有邏輯相鄰性的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，所得到的方格圖稱為n變量的卡諾圖。二二變變量量K圖圖A B miAABBABBAABABAB1010 m0 m1 m2 m30 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3ABC01000111100001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD三三變

46、變量量K圖圖四四變變量量K圖圖0001111000011110ABCD（1）n個邏輯變量的函數(shù)，個邏輯變量的函數(shù)，卡諾圖有卡諾圖有2n個方格，對應個方格，對應2n個最小項。個最小項。（2）行列兩組變量取值按）行列兩組變量取值按循環(huán)碼規(guī)律排列，相鄰最循環(huán)碼規(guī)律排列，相鄰最小項為邏輯相鄰項。小項為邏輯相鄰項。（3）相鄰有鄰接和對稱兩）相鄰有鄰接和對稱兩種情況。種情況。特點：特點： 圖中圖中一小格一小格對應真值表中的對應真值表中的一一行行，即一個，即一個最小項最小項，又稱真值圖。，又稱真值圖。601. 已知函數(shù)為最小項表達式，存在的最小項對已知函數(shù)為最小項表達式，存在的最小項對應的格填應的格填1，其

47、余格均填，其余格均填0。2. 若已知函數(shù)的真值表，將真值表中使函數(shù)值若已知函數(shù)的真值表，將真值表中使函數(shù)值為為1的那些最小項對應的方格填的那些最小項對應的方格填1，其余格均填，其余格均填0。3. 函數(shù)為一個復雜的運算式，則先將其變成函數(shù)為一個復雜的運算式，則先將其變成與與或式或式，再用直接法填寫。，再用直接法填寫。 用用卡諾圖表示邏輯函數(shù)卡諾圖表示邏輯函數(shù)例：某函數(shù)的真值表如圖所示，用卡諾圖表示例：某函數(shù)的真值表如圖所示，用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。該邏輯函數(shù)。ABCF00000100100100010111110101111110ABC00 0111 100111110000Y= ABC+ABC+ABC+ABC例：用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)例：用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)ABC00 0111 10011000011110111111000061三、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)三、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù) 1合并最小項的原則合并最小項的原則DABDADBA ABCDABCDABDABCDABCDABD m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 ADABDDBA DADDA 若兩個最小項相鄰，則可合并為一項并消去一