積分變換第8講

1、1拉氏變換的應(yīng)用2對(duì)一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行分析和研究, 首先要知道該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型, 也就是要建立該系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式. 所謂線性系統(tǒng), 在許多場(chǎng)合, 它的數(shù)學(xué)模型可以用一個(gè)線性微分方程來描述, 或者說是滿足疊加原理的一類系統(tǒng). 這一類系統(tǒng)無論是在電路理論還是在自動(dòng)控制理論的研究中, 都占有很重要的地位. 本節(jié)將應(yīng)用拉氏變換來解線性微分方程和建立線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的概念.3微分方程的拉氏變換解法首先取拉氏變換將微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程, 解代數(shù)方程求出象函數(shù), 再取逆變換得最后的解. 如下圖所示.象原函數(shù)(微分方程的解)象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程取拉氏逆變換取拉氏變換解代數(shù)方程4例1 求方程

2、y+2y-3y=e-t 滿足初始條件1, 000 ttyy11)(3)(21)(11)(3)0(2)(2)0()0()(22 ssYssYsYsssYyssYysysYs即即 的解. 設(shè)L y(t)=Y(s). 對(duì)方程的兩邊取拉氏變換, 并考慮到初始條件, 則得5由 解出Y(s)11)(3)(21)(2 ssYssYsYs 3121242032)32)(1(2)(12111)()32(11)(3)(21)(2222ssssssssYssssYssssYssYsYs的的解解為為6即Y(s)有三個(gè)單極點(diǎn)為-1,1,-3ttttttty33e81e83e41e1182723e16321e16321)

3、( B(s)=3s2+6s-1, 因此)()(33232322)32)(1(2)(232232sBsAsssssssssssssssY 7例2 求解方程組 txyxyyxxyt222e 0)0()0(0)0()0(xxyy 滿足初始條件的解的解.8對(duì)兩個(gè)方程取拉氏變換, 設(shè)L y(t)=Y(s), L x(t)=X(s), 并考慮到初始條件, 得 txyxyyxxyt222e 222221)()(2)()(2211)()()()(ssXssYsXssYssssYssXsXssYs 整理得整理得 )1(1)()1()(2)1(2)()()1(22sssXsssYsssssXsYs9解此線性方程組

4、122122)1()1(21)1(1)()1()(2)1(2)()()1(2222222 sssssssssssDsssXsssYsssssXsYs10ttYYttyssDDsYssssssssssssssssssssssssssssDee1)(2)1(1)()1(12)1(12)1(1)1)(2(112)1(1)1()1(1)1(2222222222 可可得得由由上上講講例例112222223222322232222222)1(12)()1(12242)1(152)1(4211221)1(112)1(12)1(21 sssDDsXsssssssssssssssssssssssssDsssss

5、ssDYX120,00,22)1()1()1(121, 111, 01)1()1(12)(3222222222 DDBsBBssDsssBsssCssAsssDsCsBsAssssX則則項(xiàng)項(xiàng)系系數(shù)數(shù)得得比比較較則則項(xiàng)項(xiàng)系系數(shù)數(shù)得得比比較較再再通通分分后后得得兩兩邊邊分分子子為為得得后后令令兩兩邊邊乘乘得得后后令令兩兩邊邊乘乘13最后得 tttttttxttytttxssssssXe)(ee1)(e)()1(11)1(12)(2222故故得得14例3 質(zhì)量為m的物體掛在彈簧系數(shù)為k的彈簧一端, 外力為f(t), 物體自平衡位置x=0處開始運(yùn)動(dòng), 求運(yùn)動(dòng)規(guī)律x(t) 根據(jù)牛頓定律有 mx=f(t)

6、-kx 其中kx由虎克定律所得. 初始條件為 x(0)=x(0)=0mxxx=0kxf(t)15物體運(yùn)動(dòng)的微分方程為mx+kx=f(t)且 x(0)=x(0)=0.對(duì)方程兩邊取拉氏變換, 設(shè)L x(t)=X(s),L f(t)=F(s), 并考慮到初始條件, 則得ms2X(s)+kX(s)=F(s)(11)(1)(,20220220sFsmssFmsXmk 有有如如記記16如f(t)具體給出時(shí), 可以直接從解的象函數(shù)X(s)的關(guān)系式中解出x(t)來.d)(sin)(1)(sin1)(,sin1)(11)(00000002021202 ttfmtftmtxtsLsFsmsX 由卷積定理得由卷積定

7、理得因?yàn)橐驗(yàn)?7當(dāng)物體在t=0時(shí)受到?jīng)_擊力為f(t)=Ad d(t), 其中A為常數(shù). 此時(shí), L f(t)=L Ad d (t)=A).(,.sin)(1)(00000202或或稱稱固固有有頻頻率率然然頻頻率率為為該該系系統(tǒng)統(tǒng)的的自自稱稱角角頻頻率率是是振振幅幅是是運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)為為一一正正弦弦振振動(dòng)動(dòng)在在沖沖擊擊力力的的作作用用下下可可見見從從而而所所以以 mAtmAtxsmAsX 18如物體所受作用力為f(t)=A sin t時(shí))sinsin()(sinsin)()(11111)()(L00202000202222022022220222ttmAttmAtxssmAsAsmsXsAtf 從而從

8、而19例4 如圖所示電路, 求開關(guān)閉合后, 回路中電流i(t)及電容器兩端電壓uC(t)tuCtitRiuteuuCRCRdd)(),()( 其其中中由由基基爾爾霍霍夫夫定定律律有有i(t)e(t)KRC20微分方程為)j)(1()(j)(,e,e)(1)()()()()()()(L),()(L)(ddjj sRCsasUsasEraaateRCssEsUsEsUsRCsUsEtesUtuteutuRCCtCCCCCCC則則為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)21 tRCtbtttbtsstbsstCCRCRCababbabbabbsabsabtusbsabsURCb1jjjjeej11)e(ejjejeej

9、e)()j)()(,1 則則令令22 ttRCCmCCmjttRCCeUtuCRCrUeCRCrCRCrRCRCaRCRCatu j1)j(22)j(22j1eej)(,1111j1jj1ej11eej11)(則則令令其其中中23)cos(e)cos()(Im),sin(eeeeej)(1jjj1)j( tUUtutrrUtuCmtRCCmCtttRCCmC輸輸出出就就是是則則的的虛虛部部如如輸輸入入的的是是24例5 如圖所示的RLC電路中串接直流電源E, 求回路中電流i(t)(ddd)(1,dd)(),(0titLuttiCutuCtitRiuEuuuLtCCRLRC 即即其其中中Ei(t)

10、KRCL根據(jù)基爾霍夫定根據(jù)基爾霍夫定律律, 有有25代入上式得如下微分方程0)0()0(,)(dd)(d)(10 iiEtitLtRittiCt)(111/)()()()(12122rsrsLELCsLRsLECRsLsELsRCssEsIsEsLsIsRIsICs 解解得得 設(shè)Li(t)=I(s), 對(duì)微分方程兩邊取拉氏變換,26tLELErrLErrrrLEtirrLCLRLCLRLRrLCLRLRrLCsLRsrrtttttrtrtrtr sinhe2eeeeeee)(,1,2142,14201,2112212122222212212121 則則記記的的根根是是方方程程27ttttLEt

11、isLEsIrrCLRtLEtitttitLEti e)(,)()(,/2sine)(,sinj)sinh(j.,j,),(,sinhe)(221為為重重根根當(dāng)當(dāng)這這時(shí)時(shí)由由是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)可可令令為為虛虛數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)而而當(dāng)當(dāng)直直接接按按上上式式計(jì)計(jì)算算為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)28線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)29線性系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)一個(gè)線性系統(tǒng)可以用一個(gè)常系數(shù)線性微分方程來描述. 例如例4中的RC串聯(lián)電路, 電容器兩端的電壓uC(t)所滿足的關(guān)系式為)(ddteutuRCCC 這是一個(gè)一階常系數(shù)線性微分方程. 通常將外加電動(dòng)勢(shì)e(t)看成是這個(gè)系統(tǒng)的輸入函數(shù), 稱為激勵(lì), 而將uC看成是這個(gè)系統(tǒng)的輸出函數(shù), 稱為響

12、應(yīng).30這樣的RC電路就可以看成是一個(gè)有輸入端和輸出端的線性系統(tǒng), 如下圖所示. 虛線框中的電路結(jié)構(gòu)決定于系統(tǒng)內(nèi)的元件參量的連接方式. 這樣一個(gè)線性系統(tǒng), 在電路理論中又稱為線性網(wǎng)絡(luò)(簡(jiǎn)稱網(wǎng)絡(luò)). 一個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng)是由激勵(lì)函數(shù)與系統(tǒng)本身的特性所決定.RCe(t)uC(t)31對(duì)于不同的線性系統(tǒng), 即使在同一激勵(lì)下, 其響應(yīng)是不同的. 在分析線性系統(tǒng)時(shí), 我們并不關(guān)心系統(tǒng)內(nèi)部的各種不同的結(jié)構(gòu)情況, 而是要研究激勵(lì)和響應(yīng)同系統(tǒng)本身特性之間的聯(lián)系, 可繪出如下圖所示的框圖, 為了描述這種聯(lián)系需要引進(jìn)傳遞函數(shù)的概念.系統(tǒng)特性激勵(lì)響應(yīng)32傳遞函數(shù)的概念假設(shè)有一個(gè)線性系統(tǒng), 在一般情況下, 它的激勵(lì)x(t)

13、與響應(yīng)y(t)可用下列微分方程表示:any(n)+an1y(n1)+.+a1y+a0y=bmx(m)+bm1x(m1)+.+b1x+b0 x(2.22)其中a0,a1,.,an, b0,b1,.,bm均為常數(shù), m,n為正整數(shù), nm.設(shè)L y(t)=Y(s), L x(t)=X(s), 則L aky(k)=akskY(s)aksk1y(0)+.+y(k1)(0)(k=0,1,.,n)L bkx(k)=bkskX(s)bksk1x(0)+.+x(k1)(0)(k=0,1,.,m)33對(duì)(2.22)式兩邊取拉氏變換并通過整理, 可得D(s)Y(s)Mhy(s)=M(s)X(s)Mhx(s)23.

14、2()()()()()()()(sDsMsMsXsDsMsYhxhy即 其中 D(s)=ansn+an1sn1+.+a1s+a0M(s)=bmsm+bm1sm1+.+b1s+b0 Mhy(s)=any(0)sn1+any(0)+an1y(0)sn2+.+any(n1)(0)+.+a2y(0)+a1y(0) Mhx(s)=bmx(0)sm1+bmx(0)+bm1x(0)sm2+ .+bmx(m1)(0)+.+b2x(0)+b1x(0).34稱G(s)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù). 如Gh(s)=0, 則)25. 2()()24. 2()()()()()23. 2()()()()(,)()()(0111011

15、1asasasabsbsbsbsGsGsXsGsYsDsMsMsGsDsMsGnnnnmmmmhhxhyh式中式可寫成則若令)26.2()()()()()()(sXsYsGsXsGsY或35在零初始條件下, 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于其響應(yīng)的拉氏變換與其激勵(lì)的拉氏變換之比. 當(dāng)我們知道了系統(tǒng)的傳遞函數(shù)以后, 就可以由系統(tǒng)的激勵(lì)求出其響應(yīng)的拉氏變換, 再求逆變換可得其響應(yīng)y(t).傳遞函數(shù)G(s)x(t)y(t)X(s)Y(s)傳遞函數(shù)不表明系統(tǒng)的物理性質(zhì), 許多性質(zhì)不同的物理系統(tǒng), 可以有相同的傳遞函數(shù).36脈沖響應(yīng)函數(shù)假設(shè)某個(gè)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為)()()(sXsYsGttxgtxtgty0d)()

16、()()()( 或Y(s)=G(s)X(s) 假設(shè)g(t)=L 1G(s) 則由卷積定理可得即系統(tǒng)的響應(yīng)等于其激勵(lì)與g(t)=L 1G(s)的卷積.37一個(gè)線性系統(tǒng)除用傳遞函數(shù)來表征外, 也可以用傳遞函數(shù)的逆變換g(t)=L 1G(s)來表征.稱g(t)為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù). 它的物理意義可以這樣解釋, 當(dāng)激勵(lì)是一個(gè)單位脈沖函數(shù), 即x(t)=d(t)時(shí), 則在零初始條件下, 有L x(t)=L d(t)=X(s)=1所以 Y(s)=G(s) 即y(t)=g(t)G(s)d(t)g(t)38頻率響應(yīng)在系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中, 令s=j, 則得01110111)(j)(j)(j)(j)(j)(j)()()(aaaabbbbjXjYjGnnnnmmmm 稱它為系統(tǒng)的頻率特性函數(shù), 簡(jiǎn)稱為頻率響應(yīng), 可以證明, 當(dāng)激勵(lì)是角頻率為的虛指數(shù)函數(shù)(也稱為復(fù)正弦函數(shù))x(t)=ejt時(shí), 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是y(t)=G(j)ejt. 因此頻率響應(yīng)在工程技術(shù)中又稱為正弦傳遞函數(shù).39如圖所示電路,