高數(shù)11_3格林公式(黑白)

1、1第三節(jié)第三節(jié)一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的 等價條件等價條件格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用 第十一章第十一章 2LD區(qū)域區(qū)域 D 分類分類單連通區(qū)域單連通區(qū)域 ( 無無“洞洞”區(qū)區(qū)域域 )多連通區(qū)域多連通區(qū)域 ( 有有“洞洞”區(qū)區(qū)域域 )域域 D 邊界邊界L 的的正向正向: 域的內(nèi)部靠左域的內(nèi)部靠左定理定理1. 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線是由分段光滑正向曲線 L 圍成圍成,則有則有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函數(shù)函數(shù)在在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),

2、LDyxyQxPyxQPdddd或或一、一、 格林公式格林公式3證明證明: 1) 若若D 既是既是 X - 型區(qū)域型區(qū)域 , 又是又是 Y - 型區(qū)域型區(qū)域 , 且且bxaxyxD)()(:21dycyxyD)()(:21則則yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcydOdcyxECBAbaD4即即yxxQDddLyyxQd),(同理可證同理可證yxyPDddLxyxPd),(、兩式相加得兩式相加得:LDyQxPyxyPxQdddd5L2) 若若D不滿足以上條件

3、不滿足以上條件, 則可通過加輔助線將其分割則可通過加輔助線將其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd為有限個上述形式的區(qū)域為有限個上述形式的區(qū)域 , 如圖如圖)(的正向邊界表示kkDD證畢證畢yxO6推論推論: 正向閉曲線正向閉曲線 L 所圍區(qū)域所圍區(qū)域 D 的面積的面積LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 橢圓橢圓)20(sincos:byaxL所圍面積所圍面積LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab7例例1. . 設(shè)設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線是一條分段光滑的閉曲線,

4、 證明證明0dd22yxxyxL證證: 令令,22xQyxP則則yPxQ利用格林公式利用格林公式 , 得得yxxyxLdd22022xxDyxdd008例例2. 計算計算,dde2Dyyx其中其中D 是以是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 為頂點的三角形閉域為頂點的三角形閉域 . 解解: 令令, 則則2e, 0yxQPyPxQ利用格林公式利用格林公式 , 有有Dyyxdde2Dyyxde2yxOAyde2yyyde102)e1(2112eyxy yx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BDO9例例3. 計算計算,dd22Lyxxyyx其中其中L為一無重點且不過原點為一無重點

5、且不過原點的分段光滑正向閉曲線的分段光滑正向閉曲線.解解: 令令,022時則當(dāng) yx22222)(yxxyxQ設(shè)設(shè) L 所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為D,)0 , 0(時當(dāng)D由格林公式知由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxLO10dsincos2022222rrr2,)0 , 0(時當(dāng)D在在D 內(nèi)作圓周內(nèi)作圓周,:222ryxl取逆時取逆時針方向針方向,1D, 對區(qū)域?qū)^(qū)域1D應(yīng)用格應(yīng)用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dl記記 L 和和 l 所圍的區(qū)域為所圍的區(qū)域為林公

6、式林公式 , 得得yxO11二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理定理2. 設(shè)設(shè)D 是單連通域是單連通域 ,),(),(yxQyxP在在D 內(nèi)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿沿D 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線 L , 有有.0ddLyQxP(2) 對對D 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在在 D 內(nèi)每一點都有內(nèi)每一點都有.xQyPLyQxPdd與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān)只與起止點有關(guān). 函數(shù)函數(shù)則以下四個條件等價則以下四個條件

7、等價:在在 D 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分,即即 12(1) 沿沿D 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線 L , 有有.0ddLyQxP(2) 對對D 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分曲線積分LyQxPdd與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān)只與起止點有關(guān). 說明說明: 積分與路徑無關(guān)時積分與路徑無關(guān)時, 曲線積分可記為曲線積分可記為 證明證明 (1) (2)設(shè)設(shè)21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP02L2ddLyQxP1ddLyQxP為為D 內(nèi)內(nèi)任意任意兩條由兩條由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向

8、分段光滑曲線線, 則則(根據(jù)條件根據(jù)條件(1)BAyQxPddAByQxPddAB1L13(2) 對對D 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(dLyQxPdd與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān)只與起止點有關(guān). 在在 D 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分,即即 證明證明 (2) (3)在在D內(nèi)取定點內(nèi)取定點),(00yxA因曲線積分因曲線積分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux則則),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxy

9、QxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可證同理可證yu),(yxQ因此有因此有yQxPuddd和任一點和任一點B( x, y ),與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),),(yxxC),(yxB),(00yxA有函數(shù)有函數(shù) 14(4) 在在 D 內(nèi)每一點都有內(nèi)每一點都有.xQyP(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d在在 D 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分,即即 xyuyxu22所以證明證明 (3) (4)設(shè)存在函數(shù)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得使得yQxPuddd則則),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)

10、數(shù),從而在從而在D內(nèi)每一點都有內(nèi)每一點都有xQyPxyuxQyxuyP22,15證明證明 (4) (1)設(shè)設(shè)L為為D中任一分段光滑閉曲線中任一分段光滑閉曲線,DD (如圖如圖) ,上因此在DxQyP利用利用格林公式格林公式 , 得得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為證畢證畢 (1) 沿沿D 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線 L , 有有.0ddLyQxP(4) 在在 D 內(nèi)每一點都有內(nèi)每一點都有.xQyP16說明說明: 根據(jù)定理根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域若在某區(qū)域D內(nèi)內(nèi),xQyP則則2) 求曲線積分時求曲線積分時, 可利用格林公式簡化計算可利用格林公式簡化計算,3

11、) 可用積分法求可用積分法求d u = P dx + Q dy在域在域 D 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù):Dyx),(00及動點及動點,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或或yyyyxQyxu0d),(),(0則原函數(shù)為則原函數(shù)為yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若積分路徑不是閉曲線若積分路徑不是閉曲線, 可可添加輔助線添加輔助線;取定點取定點1) 計算曲線積分時計算曲線積分時, 可選擇方便的積分路徑可選擇方便的積分路徑;yx0y0 xOxy174) 若已知若已知 d u = P dx + Q dy ,則對則對D內(nèi)任一分

12、段光滑曲內(nèi)任一分段光滑曲BAyyxQxyxPd),(d),(ABu)()(AuBu線線 AB ,有有yyxQxyxPABd),(d),(注注: 此式稱為此式稱為曲線積分的基本公式曲線積分的基本公式 (P213定理定理4). babaxFxxf)(dd)(DAB 它類似于微積分基本公式它類似于微積分基本公式: BAud)()(xfxF其中)()()(aFbFxFab18yA xL例例4. 計算計算,d)(d)3(22yxyxyxL其中其中L 為上半為上半24xxy從從 O (0, 0) 到到 A (4, 0).解解: 為了使用格林公式為了使用格林公式, 添加輔助線段添加輔助線段,AOD它與它與L

13、 所圍所圍原式原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圓周圓周區(qū)域為區(qū)域為D , 則則O648319例例5. 驗證驗證yyxxyxdd22是某個函數(shù)的全微分是某個函數(shù)的全微分, 并求并求出這個函數(shù)出這個函數(shù). 證證: 設(shè)設(shè),22yxQyxP則則xQyxyP2由定理由定理2 可知可知, 存在函數(shù)存在函數(shù) u (x , y) 使使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu)0 ,(x 0yyxyd02yyxyd022221yx)0 , 0(),(yx20例例6. 驗證驗證22ddyxxyyx在右半平面在

14、右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函內(nèi)存在原函數(shù)數(shù) , 并求出它并求出它. 證證: 令令2222,yxxQyxyP則則)0()(22222xyQyxxyxP由由定理定理 2 可知存在原函數(shù)可知存在原函數(shù)),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxu 0)0(arctanxxyxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yxO21xy)0 ,(x)0 , 1(),(yxO),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或或), 1 (y)0(arctanxxy22例例7

15、. 設(shè)質(zhì)點在力場設(shè)質(zhì)點在力場作用下沿曲線作用下沿曲線 L :xycos2由由)2, 0(A移動到移動到, )0,2(B求力場所作的功求力場所作的功W解解:)dd(2Lyxxyrk令令,22rxkQrykP則有則有)0()(22422yxryxkyPxQ可見可見, 在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān)在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān). )(22yxr其中),(2xyrkFsFWLdLBAyxO23:AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 積分路徑是否可以取積分路徑是否可以取?OBAO取圓弧取圓弧為什么？為什么？注意：注意

16、：本題只在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑本題只在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān)無關(guān) !LBAyxO24判別判別: P, Q 在某單連通域在某單連通域D內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),xQyPDyx),(為全微分方程為全微分方程 則則求解步驟求解步驟:方法方法1 湊微分法湊微分法;方法方法2 利用積分與路徑無關(guān)的條件利用積分與路徑無關(guān)的條件.1. 求原函數(shù)求原函數(shù) u (x, y)2. 由由 d u = 0 知通解為知通解為 u (x, y) = C .*三、全微分方程三、全微分方程使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d則稱則稱0d),(d),(yyxQ

17、xyxP為為全微分方程全微分方程.25),(yxyxO例例8. 求解求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解: 因為因為yP236yyx ,xQ故這是全微分方程故這是全微分方程. , 0, 000yx取則有則有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解為因此方程的通解為Cyyxyxx332253123)0 ,(x法法1260d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx求解法法2 此全微分方程的通解為此全微分方程的通解為 yu,)(2yy Cyxu),(xu, 則有則有)(d)35(),(324yxyy

18、xxyxu待定，)()(233225yyyxyxx兩邊對兩邊對 y 求導(dǎo)得求導(dǎo)得yu由由得得與與比較得比較得331)(yy 取因此方程的通解為因此方程的通解為Cyyxyxx33225312332435yyxx22233yyxyx)(3322yyxyx27例例9. 求解求解0d1d)(2yxxxyx解解:21xyP 這是一個全微分方程這是一個全微分方程 .用湊微分法求通解用湊微分法求通解. 將方程改寫為將方程改寫為0ddd2xxyyxxx即即, 0d21d2xyx故原方程的通解為故原方程的通解為021d2xyx或或Cxyx221,xQ28思考思考: 如何解方程如何解方程?0dd)(3yxxyx這

19、不是一個全微分方程這不是一個全微分方程 ,12x就化成例就化成例9 的方程的方程 .,0),(yx使使0d),(),(d),(),(yyxQyxxyxPyx為全微分方程為全微分方程,),(yx則稱在簡單情況下在簡單情況下, 可憑觀察和經(jīng)驗根據(jù)微分倒推式得到可憑觀察和經(jīng)驗根據(jù)微分倒推式得到為為原方程的積分因子原方程的積分因子.但若在方程兩邊同乘但若在方程兩邊同乘注注: 若存在連續(xù)可微函數(shù)若存在連續(xù)可微函數(shù) 積分因子積分因子.29內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 格林公式格林公式LyQxPdd2. 等價條件等價條件在在 D 內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān).yPxQ在在 D 內(nèi)有內(nèi)有yQxPudddyxyPxQDdd

20、LyQxPdd對對 D 內(nèi)任意閉曲線內(nèi)任意閉曲線 L 有有0ddLyQxP在在 D 內(nèi)有內(nèi)有設(shè)設(shè) P, Q 在在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有則有為全微分方程為全微分方程0ddyQxP30思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè),4:, 1:222412yxlyxL且都取正向, 問下列計算是否正確 ?Lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Dd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2412提示提示:時022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(LO2y1x2lD312. 設(shè)設(shè), )56,4(),(42234yyxxyxyxug gr ra ad d).,(yxu求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuOyx),(yx)0 ,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0 , 0(yxC作業(yè)作業(yè)P214 2 (1) ; 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ； 6 (2) ,(5) ; *8 (2), (4),