物理學(xué)第三版(劉克哲 張承琚)課后習(xí)題答案第1章到第十章

1、第1章習(xí)題解答1-3 如題1-3圖所示，汽車從A地出發(fā)，向北行駛60 km到達(dá)B地，然后向東行駛60 km到達(dá)c地，最后向東北行駛50km到達(dá)D地。求汽車行駛的總路程和總位移。 解 汽車行駛的總路程為 S=AB十BC十CD(60十60十50)km170 km； 汽車的總位移的大小為r=AB/Cos45°十CD(84.9十50)km135km，位移的方向沿東北方向，與方向一致。1-4 現(xiàn)有一矢量是時(shí)閫t的函數(shù)，問(wèn)在一般情況下是否相等?為什么?解：在一般情況下是不相等的。因?yàn)榍罢呤菍?duì)矢量的絕對(duì)值(大小或長(zhǎng)度)求導(dǎo)，表示矢量的太小隨時(shí)間的變化率；而后者是對(duì)矢量的大小和方向兩者同時(shí)求導(dǎo)，再取

2、絕對(duì)值，表示矢量大小隨時(shí)問(wèn)的變化和矢量方向隨時(shí)同的變化兩部分的絕對(duì)值。如果矢量方向不變，只是大小變化，那么這兩個(gè)表示式是相等的。 1-5 一質(zhì)點(diǎn)沿直線L運(yùn)動(dòng)，其位置與時(shí)間的關(guān)系為r =6t2-2t3，r和t的單位分別是米和秒。求： (1)第二秒內(nèi)的平均速度； (2)第三秒末和第四秒末的速度， (3)第三秒末和第四秒末的加速度。 解：取直線L的正方向?yàn)閤軸，以下所求得的速度和加速度，若為正值，表示該速度或加速度沿x軸的正方向，若為負(fù)值，表示該速度或加速度沿x軸的反方向。 (1)第二秒內(nèi)的平均速度 ； (2)第三秒末的速度 因?yàn)椋瑢=3 s代入，就求得第三秒末的速度為 v3=18m·s

3、-1； 用同樣的方法可以求得第口秒末的速度為 V4=48m s-1； (3)第三秒末的加速度 因?yàn)?，將t=3 s代入，就求得第三秒末的加速度為 a3= -24m·s-2； 用同樣的方法可“求得第四秒末的加速度為 a4= -36m·s-21-6 一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，速度和加速度的大小分別為和，試證明： (1)vdv=ads： (2)當(dāng)a為常量時(shí)，式v2=v02+2a(s-s0)成立。 解 (1) ； (2)對(duì)上式積分，等號(hào)左邊為： 等號(hào)右邊為： 于是得：v2-v02=2a(s-s0)即：v2=v02+2a(s-s0)1-7 質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間t后它離該直線上某定點(diǎn)0的距離s

4、滿足關(guān)系式：s=(t -1)2(t- 2)，s和t的單位分別是米和秒。求 (1)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)的速度和加速度； (2)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的速度為零時(shí)它離開(kāi)O點(diǎn)的距離； (3)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的加速度為零時(shí)它離開(kāi)O點(diǎn)的距離； (4)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的速度為12ms-1時(shí)它的加速度。 解：取質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，取坐標(biāo)原點(diǎn)為定點(diǎn)O。 (1)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)即s=0，由式 (t -1)2(t- 2)=0，可以解得 t=1.0 st=2.0 s當(dāng)t=1 s時(shí)v=ds/dt=2(t-1)(t-2)+(t-1)2=0 ms-1a=dv/dt=4(t-1)+2(t-2)=-2. 0 ms-2當(dāng)t=2 s時(shí)， v=1.0 ms-1, a=4.0

5、ms-2。 (2)質(zhì)點(diǎn)的速度為零，即 V=ds/dt=2(t-1)(t-2)+(t-1)2=0上式可化為 (t -1)(3t- 5)=0，解得: t=1.0 s，t=1.7 s當(dāng)t=1s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)正好處于O點(diǎn)，即離開(kāi)O點(diǎn)的距離為0 m，當(dāng)t=53 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)O點(diǎn)的距離為-0.15m。 (3)質(zhì)點(diǎn)的加速度為零，即 a=dv/dt=4(t-1)+2(t-2)= 0 上式可化為：(3t-4)=0， t=1.3s這時(shí)離開(kāi)O點(diǎn)的距離為-0.074m。4)質(zhì)點(diǎn)的速度為12 ms-1，即2(t-1)(t-2)+(t-1)2=12由此解得：t=3.4 s，t=-0.69 s將t值代入加速度的表示式a=dv/

6、dt=4(t-1)+2(t-2)求得的加速度分別為: a=12.4 ms-2，a=-12.2 m s-2 1-8 一質(zhì)點(diǎn)沿某直線作減速運(yùn)動(dòng)，其加速度為a=-cv2，c是常量。若t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為v0，并處于s0的位置上，求任意時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的速度和位置。 解：以t=0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，取水平線為x軸，質(zhì)點(diǎn)就沿x軸運(yùn)動(dòng)。困為是直線運(yùn)動(dòng)，矢量可以用帶有正負(fù)號(hào)的標(biāo)量來(lái)表示。 于是有兩邊分別積分，得：固為t0=0，所以上式變?yōu)椋荷鲜骄褪侨我鈺r(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度表達(dá)式。 因?yàn)?將式(1)代入上式得：對(duì)式(2)兩邊分別積分，得：于是，任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置表達(dá)式為 1-9 質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，初速度為零初始加速

7、度為a0，質(zhì)點(diǎn)出發(fā)后每經(jīng)過(guò)時(shí)間，加速度均勻增加b。求經(jīng)過(guò)時(shí)間t后質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。 解：可以把質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所沿的直線定為直線L，并設(shè)初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)處于固定點(diǎn)O上。根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加建度應(yīng)該表示為：由速度公式：可以求得經(jīng)過(guò)f時(shí)間質(zhì)點(diǎn)的速度： 另外，根據(jù)位移公式可以求得經(jīng)過(guò)時(shí)間t質(zhì)點(diǎn)的位移為： 1-10 質(zhì)點(diǎn)沿直線y=2x十1運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻位于x1=1.51 m處，經(jīng)過(guò)1.20 s到達(dá)x2=3. 15 m處。求質(zhì)點(diǎn)在此過(guò)程中的平均速度。 解：根據(jù)定義，平均速度應(yīng)表示為： 其中 由已知條件找出x和y，就可以求得平均速度。 x = x2-x1= 3.15m-l.5lm = l.64m根據(jù)直線方程y=2x

8、+l，可求得y1=2x1+l=4.02m，y2=2x2+l=7.31m，所以y= y2-y1= 7.31m-4.02m = 3.28m平均速度為: 也可以用下面的方式表示與z軸的夾角為 1-11 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位置與時(shí)間的關(guān)系為x=5+t2，y=3+5t -t2，z=l+2 t2，求第二秒末質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度，其中長(zhǎng)度和時(shí)間的單位分別是米和秒。 解：已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道的參量方程為質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的速度和加速度分別為 和 質(zhì)點(diǎn)在第二秒末的速度和加速度就是由以上兩式求得的。將t=2 s代人上式，就得到質(zhì)點(diǎn)在第二秒末的速度和加速度，分別為 和 1-12 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的位置與時(shí)間的關(guān)系為x=x(t)，y=y(t)，在

9、計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時(shí)，如果先求出，然后根據(jù)求得結(jié)果。還可以用另一種方法計(jì)算：先算出速度和加速度分量，再合成得到的結(jié)果為，你認(rèn)為那一組結(jié)果正確？為什么？ 解：第二組結(jié)果是正確的。而在一般情況下第一組結(jié)果不正確，這是因?yàn)樵谝话闱闆r下 速度和加速度中的是質(zhì)點(diǎn)的位置矢量，不僅有大小而且有方向微分時(shí)，既要對(duì)大小微分也要對(duì)方向微分。第一組結(jié)果的錯(cuò)誤就在于，只對(duì)位置矢量的大小微分，而沒(méi)有對(duì)位置矢量的方向微分。 1-13 火車以勻加速運(yùn)動(dòng)駛離站臺(tái)。當(dāng)火車剛開(kāi)動(dòng)時(shí)，站在第一節(jié)車廂前端相對(duì)應(yīng)的站臺(tái)位置上的靜止觀察者發(fā)現(xiàn)第一節(jié)車廂從其身邊駛過(guò)的時(shí)間是5.0s。問(wèn)第九節(jié)車廂駛過(guò)此觀察者身邊需要多少時(shí)間? 解：設(shè)火

10、車的加速度為a，每節(jié)車廂的長(zhǎng)度為l，第一節(jié)車廂從觀察者身邊通過(guò)所需時(shí)間為t1，t1滿足 (1)前八節(jié)車廂通過(guò)觀察者身邊所需時(shí)間為t2，前九節(jié)車廂通過(guò)觀察者身邊所需時(shí)問(wèn)為t3，并可列出下面兩個(gè)方程式： (2) (3)由(1)得： 將上式代入式(2)和式(3)，分別得到第九節(jié)車廂通過(guò)觀察者身邊所需時(shí)間為：t=t3-t2=15.00s-14.41s=0.86s 物理學(xué)2章習(xí)題解答2-1 處于一斜面上的物體，在沿斜面方向的力f作用下，向上滑動(dòng)。已知斜面長(zhǎng)為5.6 m，頂端的高度為3.2 m，f的大小為100 n，物體的質(zhì)量為12 kg，物體沿斜面向上滑動(dòng)的距離為4.0 m，物體與斜面之間的摩擦系數(shù)為0

11、.24。求物體在滑動(dòng)過(guò)程中，力f、摩擦力、重力和斜面對(duì)物體支撐力各作了多少功？這些力的合力作了多少功？將這些力所作功的代數(shù)和與這些力的合力所作的功進(jìn)行比較，可以得到什么結(jié)論？圖2-3解 物體受力情形如圖2-3所示。力f所作的功  ；摩擦力   ,摩擦力所作的功 ；重力所作的功;支撐力n與物體的位移相垂直，不作功，即；這些功的代數(shù)和為 .物體所受合力為  ,合力的功為.這表明，物體所受諸力的合力所作的功必定等于各分力所作功的代數(shù)和。2-3 物體在一機(jī)械手的推動(dòng)下沿水平地面作勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為0.49 m×s-2 。若動(dòng)力機(jī)械的功率有5

12、0%用于克服摩擦力，有50%用于增加速度，求物體與地面的摩擦系數(shù)。解 設(shè)機(jī)械手的推力為f沿水平方向，地面對(duì)物體的摩擦力為f，在這些力的作用下物體的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律，在水平方向上可以列出下面的方程式 ,在上式兩邊同乘以v，得 ,上式左邊第一項(xiàng)是推力的功率()。按題意，推力的功率p是摩擦力功率fv的二倍，于是有 .由上式得,又有 ,故可解得 .2-4 有一斜面長(zhǎng)5.0 m、頂端高3.0 m，今有一機(jī)械手將一個(gè)質(zhì)量為1000 kg的物體以勻速?gòu)男泵娴撞客频巾敳?，如果機(jī)械手推動(dòng)物體的方向與斜面成30°，斜面與物體的摩擦系數(shù)為0.2

13、0，求機(jī)械手的推力和它對(duì)物體所作的功。解 物體受力情況如圖2-4所示。取x軸沿斜面向上，y軸垂直于斜面向上。可以列出下面的方程,(1),(2). (3)圖2-4根據(jù)已知條件,  .由式(2)得.將上式代入式(3)，得 .將上式代入式(1)得 ,由此解得 .推力f所作的功為.圖2-52-5 有心力是力的方向指向某固定點(diǎn)(稱為力心)、力的大小只決定于受力物體到力心的距離的一種力，萬(wàn)有引力就是一種有心力?，F(xiàn)有一物體受到有心力 的作用(其中m和 a都是大于零的常量)，從rp 到達(dá)rq，求此有心力所作的功，其中rp和rq是以力心為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)物體的位置矢量。解 根據(jù)

14、題意，畫出物體在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的示意圖，即圖2-5，物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的任意點(diǎn)c處，在有心力f的作用下作位移元dl，力所作的元功為, 所以，在物體從點(diǎn)p (位置矢量為rp)到達(dá)點(diǎn)q (位置矢量為rq)的過(guò)程中，f所作的總功為 . 2-6 馬拉著質(zhì)量為100 kg的雪撬以2.0 m×s-1 的勻速率上山，山的坡度為0.05(即每100 m升高5 m)，雪撬與雪地之間的摩擦系數(shù)為0.10。求馬拉雪撬的功率。解 設(shè)山坡的傾角為a，則 .可列出下面的方程式 , , .式中m、f、f和n分別是雪橇的質(zhì)量、馬的拉力、地面對(duì)雪橇的摩擦力和地面對(duì)雪橇的

15、支撐力。從以上方程式可解得, , .于是可以求得馬拉雪橇的功率為 .2-7 機(jī)車的功率為2.0´106 w，在滿功率運(yùn)行的情況下，在100 s內(nèi)將列車由靜止加速到20 m×s-1 。若忽略摩擦力，試求：(1)列車的質(zhì)量；(2)列車的速率與時(shí)間的關(guān)系；(3)機(jī)車的拉力與時(shí)間的關(guān)系；(4)列車所經(jīng)過(guò)的路程。解 (1)將牛頓第二定律寫為下面的形式,  (1)用速度v點(diǎn)乘上式兩邊，得.式中fv = p，是機(jī)車的功率，為一定值。對(duì)上式積分 ,即可得 ,將已知數(shù)據(jù)代入上式，可求得列車的質(zhì)量，為 .(2)利用上面所得到

16、的方程式 ,就可以求得速度與時(shí)間的關(guān)系，為 . (2)(3)由式(2)得 ,將上式代入式(1)，得 ,由上式可以得到機(jī)車的拉力與時(shí)間的關(guān)系.(4)列車在這100秒內(nèi)作復(fù)雜運(yùn)動(dòng)，因?yàn)榧铀俣纫苍陔S時(shí)間變化。列車所經(jīng)過(guò)的路程可以用第一章的位移公式(1-11)來(lái)求解。對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)，上式可化為標(biāo)量式，故有.2-8 質(zhì)量為m的固體球在空氣中運(yùn)動(dòng)將受到空氣對(duì)它的黏性阻力f的作用，黏性阻力的大小與球相對(duì)于空氣的運(yùn)動(dòng)速率成正比，黏性阻力的方向與球的運(yùn)動(dòng)方向相反，即可表示為f = -b v，其中b是常量。已知球被約束在水平方向上，在空氣的黏性阻力作用下作減速運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)刻t

17、0 ，球的速度為v0 ，試求：(1)  t時(shí)刻球的運(yùn)動(dòng)速度v；(2)在從t0 到t的時(shí)間內(nèi)，黏性阻力所作的功a。解 (1)根據(jù)已知條件，可以作下面的運(yùn)算,式中 .于是可以得到下面的關(guān)系,對(duì)上式積分可得. (1)當(dāng)t = t0時(shí)，v = v0，代入上式可得.將上式代入式(1)，得. (2)(2)在從t0 到t的時(shí)間內(nèi)，黏性阻力所作的功可以由下面的運(yùn)算中得出 .2-9 一個(gè)質(zhì)量為30 g的子彈以500 m×s-1 的速率沿水平方向射入沙袋內(nèi)，并到達(dá)深度為20 cm處，求沙袋對(duì)子彈的平均阻力。解 根據(jù)動(dòng)能定理，平均阻力所作的功應(yīng)等于子彈動(dòng)能的增量，即,所以.2

18、-10 以200 N的水平推力推一個(gè)原來(lái)靜止的小車，使它沿水平路面行駛了5.0 m。若小車的質(zhì)量為100 kg，小車運(yùn)動(dòng)時(shí)的摩擦系數(shù)為0.10，試用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和動(dòng)能定理兩種方法求小車的末速。解 設(shè)水平推力為f，摩擦力為f，行駛距離為s，小車的末速為v。(1)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求小車的末速v：列出下面的方程式, .兩式聯(lián)立求解，解得,將已知數(shù)值代入上式，得到小車的末速為.(2)用動(dòng)能定理求小車的末速v：根據(jù)動(dòng)能定理可以列出下面的方程式,其中摩擦力可以表示為 .由以上兩式可解得,將已知數(shù)值代入上式，得小車的末速為.2-11 質(zhì)量m = 100 g的小球被系在長(zhǎng)度l = 50.0

19、cm繩子的一端，繩子的另一端固定在點(diǎn)o，如圖2-6所示。若將小球拉到p處，繩子正好呈水平狀，然后將小球釋放。求小球運(yùn)動(dòng)到繩子與水平方向成q = 60° 的點(diǎn)q時(shí)，小球的速率v、繩子的張力t和小球從p到q的過(guò)程中重力所作的功a。解 取q點(diǎn)的勢(shì)能為零，則有圖2-6,即,于是求得小球到達(dá)q點(diǎn)時(shí)的速率為.設(shè)小球到達(dá)q點(diǎn)時(shí)繩子的張力為t，則沿軌道法向可以列出下面的方程式,由此可解的.在小球從p到q的過(guò)程中的任意一點(diǎn)上，沿軌道切向作位移元ds，重力所作元功可表示為,式中q是沿軌道切向所作位移元ds與豎直方向的夾角。小球從p到q的過(guò)程中重力所作的總功可以由對(duì)上式的積分求得.2-12 一輛重量為19

20、.6´103 n的汽車，由靜止開(kāi)始向山上行駛，山的坡度為0.20，汽車開(kāi)出100 m后的速率達(dá)到36 km×h-1 ，如果摩擦系數(shù)為0.10，求汽車牽引力所作的功。解 設(shè)汽車的牽引力為f，沿山坡向上，摩擦力為f，山坡的傾角為a。將汽車自身看為一個(gè)系統(tǒng)，根據(jù)功能原理可以列出下面的方程式 , (1) ,.根據(jù)已知條件，可以得出 ， ，汽車的質(zhì)量 以及 。從方程(1)可以解得 .汽車牽引力所作的功為 ,將數(shù)值代入，得.2-13 質(zhì)量為1000 kg的汽車以36 km×h-1 的速率勻速行駛，摩擦系數(shù)為0.10。求在下面三種情況下發(fā)

21、動(dòng)機(jī)的功率：(1)在水平路面上行駛；(2)沿坡度為0.20的路面向上行駛；(3)沿坡度為0.20的路面向下行駛。解 (1)設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)的牽引力為f1 ，路面的摩擦力為f。因?yàn)槠囋谒铰访嫔闲旭?，故可列出下面的方程? .解得 .所以發(fā)動(dòng)機(jī)的功率為.(2)設(shè)汽車沿斜面向上行駛時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)的牽引力為f2，可列出下面的方程式 , .解得.發(fā)動(dòng)機(jī)的功率為.(3)汽車沿斜面向下行駛時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)的牽引力為f3，其方向與汽車行駛的方向相反。所列的運(yùn)動(dòng)方程為,所以,這時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)的功率為 .2-14 一個(gè)物體先沿著與水平方向成15°角的斜面由靜止下滑，然后繼續(xù)在水

22、平面上滑動(dòng)。如果物體在水平面上滑行的距離與在斜面上滑行的距離相等，試求物體與路面之間的摩擦系數(shù)。解 設(shè)物體在水平面上滑行的距離和在斜面上滑行的距離都是l，斜面的傾角a = 15°，物體與地球組成的系統(tǒng)是我們研究的對(duì)象。物體所受重力是保守內(nèi)力，支撐力n不作功，物體所受摩擦力是非保守內(nèi)力，作負(fù)功。以平面為零勢(shì)能面，根據(jù)功能原理可以列出下面的方程式,其中 , , 將它們代入上式，可得,所以.圖2-72-15 有一個(gè)勁度系數(shù)為1200 n×m-1 的彈簧被外力壓縮了5.6 cm，當(dāng)外力撤除時(shí)將一個(gè)質(zhì)量為0.42 kg的物體彈出，使物體沿光滑的曲面上滑，如圖2-7所示。求物體所能到達(dá)

23、的最大高度h。解 將物體、彈簧和地球劃歸一個(gè)系統(tǒng)，并作為我們的研究對(duì)象。這個(gè)系統(tǒng)沒(méi)有外力的作用，同時(shí)由于曲面光滑，物體運(yùn)動(dòng)也沒(méi)有摩擦力，即沒(méi)有非保守內(nèi)力的作用，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。彈簧被壓縮狀態(tài)的彈力勢(shì)能應(yīng)等于物體達(dá)到最大高度h時(shí)的重力勢(shì)能，即,.2-16 如圖2-8所示，一個(gè)質(zhì)量為m = 1.0 kg的木塊，在水平桌面上以v = 3.0 m×s-1 的速率與一個(gè)輕彈簧相碰，并將彈簧從平衡位置壓縮了x = 50 cm。如果木塊與桌面之間的摩擦系數(shù)為m = 0.25，求彈簧的勁度系數(shù)k。圖2-8解 以木塊和彈簧作為研究對(duì)象，在木塊壓縮彈簧的過(guò)程中，系統(tǒng)所受外力中有重力和摩擦力，重力不作

24、功，只有摩擦力作功。根據(jù)功能原理，可列出下面的方程 ,其中 , 代入上式，并解出彈簧的勁度系數(shù)，得.2-17 一個(gè)勁度系數(shù)為k的輕彈簧一端固定，另一端懸掛一個(gè)質(zhì)量為m的小球，這時(shí)平衡位置在點(diǎn)a，如圖2-1所示?，F(xiàn)用手把小球沿豎直方向拉伸dx并達(dá)到點(diǎn)b的位置，由靜止釋放后小球向上運(yùn)動(dòng)，試求小球第一次經(jīng)過(guò)點(diǎn)a時(shí)的速率。圖 2-1OABx0x解 此題的解答和相應(yīng)的圖2-1，見(jiàn)前面例題分析中的例題2-1。若把小球、彈簧、地球看作一個(gè)系統(tǒng)，則小球所受彈性力和重力都是保守力。系統(tǒng)不受任何外力作用，也不存在非保守內(nèi)力，所以在小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒。另外，可以把小球處于點(diǎn)B時(shí)的位置取作系統(tǒng)重力勢(shì)

25、能零點(diǎn)，而系統(tǒng)的彈性勢(shì)能零點(diǎn)應(yīng)取在彈簧未發(fā)生形變時(shí)的狀態(tài)，即圖中所畫的點(diǎn)O。設(shè)由于小球受重力的作用，彈簧伸長(zhǎng)了x0，而到達(dá)了點(diǎn)A。則根據(jù)狀態(tài)B和狀態(tài)A的機(jī)械能守恒，應(yīng)有：式中v是小球到達(dá)點(diǎn)A時(shí)的速率。因?yàn)樾∏蛱幱邳c(diǎn)A時(shí)所受的重力mg和彈性力k(x0)相平衡，故有 mg= k(x0) (2)將式(2)代入式(1)，即可求得小球到達(dá)點(diǎn)A時(shí)的速率 有的讀者認(rèn)為既然勢(shì)能零點(diǎn)可以任意選擇，那么彈力勢(shì)能的零點(diǎn)若選在點(diǎn)A不是更簡(jiǎn)便嗎? 如果將彈力勢(shì)能零點(diǎn)選擇在點(diǎn)A，則式(1)成為下面的形式： 由此可以解得 這顯然與上面的結(jié)果不一致。哪個(gè)結(jié)果正確呢?難道彈力勢(shì)能零點(diǎn)不能任意選擇嗎?勢(shì)能零點(diǎn)的確是可以任意選擇的

26、，并且如若不指明勢(shì)能零點(diǎn)，勢(shì)能的值就沒(méi)有意義。讀者一定還記得，我們?cè)谟懻搹椓?shì)能時(shí)，得到彈力勢(shì)能表達(dá)式EP=kx2/2的前提是選擇物體處于平衡位置(即彈簧無(wú)形變)時(shí)系統(tǒng)的彈力勢(shì)能為零。這就是說(shuō)，在使用公式EP=kx2/2時(shí)，勢(shì)能零點(diǎn)就已經(jīng)選定在平衡位置O點(diǎn)了。若再選擇A點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，豈不是在一個(gè)問(wèn)題中同時(shí)選擇了兩個(gè)彈力勢(shì)能零點(diǎn)了嗎?這顯然是不能允許的。所以，在這里讀者必須注意，在使用公式EP=kx2/2時(shí)，勢(shì)能零點(diǎn)必須選在彈簧無(wú)形變時(shí)的平衡位置。 讀者一定會(huì)想到既然公式EP=kx2/2是在選擇了彈簧無(wú)形變狀態(tài)為勢(shì)能零點(diǎn)的情況下得到的，那么公式EP=mgh是否也是在選擇了某點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)的情況下得

27、到的?顯然是這樣的，把質(zhì)量為m的物體處于高度為h處的勢(shì)能寫為EP=mgh，實(shí)際上已經(jīng)選定了勢(shì)能零點(diǎn)在h=0處。那么。在我們的問(wèn)題中h=0的位置在什么地方呢?顯然，我們可以把B點(diǎn)認(rèn)為是h=O的位置，這時(shí)A點(diǎn)的高度就是h=z(在上面的求解過(guò)程中正是這樣選擇的)，也可以把A點(diǎn)認(rèn)為是h=0的位置，這時(shí)B點(diǎn)的高度就是h=-x。這兩種選擇都滿足：當(dāng)h=0時(shí)，EP=0。由上面的分析可以看到，公式EP=kx2/2和公式EP=mgh中的x和h具有不同的含義。H是物體所處的高度，只有相對(duì)意義，而x代表彈簧的形變，具有絕對(duì)意義。2-18 一個(gè)物體從半徑為r的固定不動(dòng)的光滑球體的頂點(diǎn)滑下，問(wèn)物體離開(kāi)球面時(shí)它下落的豎直

28、距離為多大？圖2-9 解 設(shè)物體的質(zhì)量為m，離開(kāi)球面時(shí)速度為v，此時(shí)它下落的豎直距離為h。對(duì)于由物體、球體和地球所組成的系統(tǒng)，沒(méi)有外力和非保守內(nèi)力的作用，機(jī)械能守恒，故有.  (1)在物體離開(kāi)球體之前，物體在球面上的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，應(yīng)滿足下面的關(guān)系, (2)式中n是球面對(duì)物體的支撐力，q是物體所處位置到球體中心連線與豎直方向的夾角。在物體離開(kāi)球體的瞬間，由圖2-9可見(jiàn),并且這時(shí)應(yīng)有 ，于是式(2)成為,即.將上式代入式(1)，得 . 圖2-102-19 已知質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)處于某力場(chǎng)中位置矢量為r的地方，其勢(shì)能可以表示為，其中k為常量。(1)畫出勢(shì)能曲線；(2)求質(zhì)點(diǎn)所受力的形式

29、；(3)證明此力是保守力。解 (1)勢(shì)能曲線如圖2-10所示。(2)質(zhì)點(diǎn)所受力的形式可如下求得.可見(jiàn)，質(zhì)點(diǎn)所受的力是與它到力心的距離r的n+1次方成反比的斥力。(3)在這樣的力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)沿任意路徑從點(diǎn)p移到點(diǎn)q，它們的位置矢量分別為rp和rq，該力所作的功為.這表明，該力所作的功只決定于質(zhì)點(diǎn)的始末位置，而與中間路徑無(wú)關(guān)，所以此力是保守力。2-20 已知雙原子分子中兩原子的相互作用的勢(shì)能函數(shù)可近似表示為 ,其中m和n都是大于零的常量，r是兩原子中心的距離。試求：(1)  r為何值時(shí)ep(r)等于零？r為何值時(shí)ep(r)為極小值？(2)原子之間的相互作用形式；(3)兩原子相互作

30、用為零時(shí)其中心的距離(即平衡位置)。解 圖2-11(1)  , 即,由此解得 .ep 為極小值，要求當(dāng) 時(shí),   ,即,由此可解得.(2)原子之間相互作用力的形式為 .(3)在平衡位置處應(yīng)有,.圖2-11(a)和(b)分別畫出了雙原子分子中兩原子的相互作用的勢(shì)能函數(shù)和作用力的函數(shù)的示意圖。物理學(xué)3章習(xí)題解答3-1 用榔頭擊釘子，如果榔頭的質(zhì)量為500 g，擊釘子時(shí)的速率為8.0 m×s-1，作用時(shí)間為2.0´10-3 s，求釘子所受的沖量和榔頭對(duì)釘子的平均打擊力。解 對(duì)于榔頭：,式中i1是榔頭所受的沖量， 是榔頭所受釘子的平

31、均打擊力；對(duì)于釘子：,式中i2是釘子受到的沖量， 是釘子所受的平均打擊力，顯然 = - 。題目所要求的是i2和 ： ,i2的方向與榔頭運(yùn)動(dòng)方向一致。,的方向與榔頭運(yùn)動(dòng)方向一致。3-2 質(zhì)量為10 g的子彈以500 m×s-1 的速度沿與板面垂直的方向射向木板，穿過(guò)木板，速度降為400 m×s-1 。如果子彈穿過(guò)木板所需時(shí)間為1.00´10-5 s，試分別利用動(dòng)能定理和動(dòng)量定理求木板對(duì)子彈的平均阻力。解 (1)用動(dòng)能定理求解：, (1)其中 是木板對(duì)子彈的平均阻力，d為穿過(guò)木板的厚度，它可用下面的關(guān)系求得： ,  (2). (3)由式(

32、2)和式(3)聯(lián)立所求得的木板厚度為&nb .根據(jù)式(1)，木板對(duì)子彈的平均阻力為.(2)用動(dòng)量定理求解： ,.與上面的結(jié)果一致。由求解過(guò)程可見(jiàn)，利用動(dòng)量定理求解要簡(jiǎn)便得多。3-4 質(zhì)量為m的小球與桌面相碰撞，碰撞前、后小球的速率都是v，入射方向和出射方向與桌面法線的夾角都是a，如圖3-3所示。若小球與桌面作用的時(shí)間為dt，求小球?qū)ψ烂娴钠骄鶝_力。圖3-3解 設(shè)桌面對(duì)小球的平均沖力為f，并建立如圖所示的坐標(biāo)系，根據(jù)動(dòng)量定理，對(duì)于小球可列出,.由第一個(gè)方程式可以求得,由第二個(gè)方程式可以求得 .根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)ψ烂娴钠骄鶝_力為,負(fù)號(hào)表示小球?qū)ψ烂娴钠骄鶝_力沿y軸

33、的負(fù)方向。圖3-43-5 如圖3-4所示，一個(gè)質(zhì)量為m的剛性小球在光滑的水平桌面上以速度v1 運(yùn)動(dòng)，v1 與x軸的負(fù)方向成a角。當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到o點(diǎn)時(shí)，受到一個(gè)沿y方向的沖力作用，使小球運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向都發(fā)生了變化。已知變化后速度的方向與x軸成b角。如果沖力與小球作用的時(shí)間為dt，求小球所受的平均沖力和運(yùn)動(dòng)速率。解 設(shè)小球受到的平均沖力為f，根據(jù)題意，它是沿y方向的，小球受到撞擊后，運(yùn)動(dòng)速率為v2。根據(jù)動(dòng)量定理，在y方向上可以列出下面的方程式,由此得到. (1)小球在x軸方向上不受力的作用，動(dòng)量是守恒的。故有 ,由此求得小球受到撞擊后的運(yùn)動(dòng)速率為. (2)將式(2)代入式(1)，即可

34、求得小球所受的平均沖力.3-7 求一個(gè)半徑為r的半圓形均勻薄板的質(zhì)心。圖3-5解 將坐標(biāo)原點(diǎn)取在半圓形薄板的圓心上，并建立如圖3-5所示的坐標(biāo)系。在這種情況下，質(zhì)心c必定處于y軸上，即,.質(zhì)量元是取在y處的長(zhǎng)條，如圖所示。長(zhǎng)條的寬度為dy，長(zhǎng)度為2x。根據(jù)圓方程,故有.如果薄板的質(zhì)量密度為s，則有.令 , 則 ，對(duì)上式作變量變換，并積分，得 .3-8 有一厚度和密度都均勻的扇形薄板，其半徑為r，頂角為2a，求質(zhì)心的位置。解 以扇形的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)、以頂角的平分線為y軸，建立如圖3-6所示的坐標(biāo)系。在這種情況下，質(zhì)心c必定處于y軸上，即圖3-6,.質(zhì)量元可表示為,式中s為扇形薄板的質(zhì)量

35、密度，ds為圖中黑色方塊所示的扇形薄板面元。整個(gè)扇形薄板的質(zhì)量為,于是.將 代入上式，得.3-9 一個(gè)水銀球豎直地落在水平桌面上，并分成三個(gè)質(zhì)量相等的小水銀球。其中兩個(gè)以30 cm×s-1 的速率沿相互垂直的方向運(yùn)動(dòng)，如圖3-7中的1、2兩球。求第三個(gè)小水銀球的速率和運(yùn)動(dòng)方向 (即與1球運(yùn)動(dòng)方向的夾角a )。圖3-8圖3-7解 建立如圖3-8所示的坐標(biāo)系。在水平方向上，水銀求不受力的作用，所以動(dòng)量守恒，故可列出下面的兩個(gè)方程式,.式中v是1、2兩球的運(yùn)動(dòng)速率，v3是第三個(gè)水銀小球的運(yùn)動(dòng)速率。由上兩方程式可解的,.圖3-93-10 如圖3-9所示，一個(gè)質(zhì)量為1.240 kg的木塊與一個(gè)

36、處于平衡位置的輕彈簧的一端相接觸，它們靜止地處于光滑的水平桌面上。一個(gè)質(zhì)量為10.0 g的子彈沿水平方向飛行并射進(jìn)木塊，受到子彈撞擊的木塊將彈簧壓縮了2.0 cm。如果輕彈簧的勁度系數(shù)為2000 n×m-1 ，求子彈撞擊木塊的速率。解 設(shè)木塊的質(zhì)量為m；子彈的質(zhì)量為m，速度為v；碰撞后的共同速度為v。此類問(wèn)題一般分兩步處理：第一步是子彈與木塊作完全非彈性碰撞，第二步是子彈在木塊內(nèi)以共同的速度壓縮彈簧。第一步遵從動(dòng)量守恒，故有. (1)第二步是動(dòng)能與彈力勢(shì)能之間的轉(zhuǎn)換，遵從機(jī)械能守恒，于是有 . (2)有式(2)解得.將v值代入式(1)，就可求得子彈撞擊木塊的速率，為

37、0;.3-11 質(zhì)量為5.0 g的子彈以500 m×s-1 的速率沿水平方向射入靜止放置在水平桌面上的質(zhì)量為1245 g 的木塊內(nèi)。木塊受沖擊后沿桌面滑動(dòng)了510 cm。求木塊與桌面之間的摩擦系數(shù)。解 這個(gè)問(wèn)題也應(yīng)分兩步處理：第一步是子彈與木塊作完全非彈性碰撞過(guò)程，第二步是子彈處于木塊內(nèi)一起滑動(dòng)而克服桌面的摩擦力作功的過(guò)程。第一步遵從動(dòng)量守恒，有.式中v是木塊受沖擊后沿桌面滑動(dòng)的速度。第二步遵從功能原理，可列出下面的方程式 .由以上兩式可解得3-12 一個(gè)中子撞擊一個(gè)靜止的碳原子核，如果碰撞是完全彈性正碰，求碰撞后中子動(dòng)能減少的百分?jǐn)?shù)。已知中子與碳原子核的質(zhì)量之比為1:12

38、。解 設(shè)中子的質(zhì)量為m，與碳核碰撞前、后的速度分別為v1和v2；碳核的質(zhì)量為m，碰撞前、后的速度分別為0和v。因?yàn)槭钦觯詖1、v2和v必定處于同一條直線上。完全彈性碰撞，動(dòng)量守恒，故有, (1)總動(dòng)能不變，即(2)以上兩式可分別化為,(3). (4)式(4)除以式(3)，得. (5)由式(1)和式(5)解得 .于是，可以算得中子動(dòng)能的減少 ,因?yàn)閙 = 12m，所以 .3-13 質(zhì)量為m1的中子分別與質(zhì)量為m2的鉛原子核(質(zhì)量m2 = 206 m1 )和質(zhì)量為m3的氫原子核(質(zhì)量m3 = m1 )發(fā)生完全彈性正碰。分別求出中子在碰撞后動(dòng)能減少的百分?jǐn)?shù)，并說(shuō)明

39、其物理意義。解 求解此題可以利用上題的結(jié)果：.對(duì)于中子與鉛核作完全彈性正碰的情形：.鉛核的質(zhì)量比中子的質(zhì)量大得多，當(dāng)它們發(fā)生完全彈性正碰時(shí)，鉛核幾乎保持靜止，而中子則以與碰前相近的速率被反彈回去，所以動(dòng)能損失極少。對(duì)于中子與氫核作完全彈性正碰的情形：.氫核就是質(zhì)子，與中子質(zhì)量相等，當(dāng)它們發(fā)生完全彈性正碰時(shí)，將交換速度，所以碰撞后，中子靜止不動(dòng)了，而將自身的全部動(dòng)能交給了氫核。3-14 如圖3-10所示，用長(zhǎng)度為l的細(xì)線將一個(gè)質(zhì)量為m的小球懸掛于o點(diǎn)。手拿小球?qū)⒓?xì)線拉到水平位置，然后釋放。當(dāng)小球擺動(dòng)到細(xì)線豎直的位置時(shí)，正好與一個(gè)靜止放置在水平桌面上的質(zhì)量為m的物體作完全彈性碰撞。求碰撞后小球達(dá)到

40、的最高位置所對(duì)應(yīng)的細(xì)線張角a。圖3-10解 小球與物體相碰撞的速度v1可由下式求得. (1)小球與物體相碰撞，在水平方向上滿足動(dòng)量守恒，碰撞后小球的速度變?yōu)関2，物體的速度為v，在水平方向上應(yīng)有. (2)完全彈性碰撞，動(dòng)能不變，即.  (3)碰撞后，小球在到達(dá)張角a的位置的過(guò)程中滿足機(jī)械能守恒，應(yīng)有. (4)由以上四式可解得.將上式代入式(4)，得,.物理學(xué)5章習(xí)題解答5-1 作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上各點(diǎn)的法向加速度，既可寫為an = v2 /r，這表示法向加速度的大小與剛體上各點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離r成反比；也可以寫為an = w2 r，這表示法向加速度的大小與剛體上各點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離r成正比。這

41、兩者是否有矛盾？為什么？解 沒(méi)有矛盾。根據(jù)公式 ，說(shuō)法向加速度的大小與剛體上各點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離r成反比，是有條件的，這個(gè)條件就是保持v不變；根據(jù)公式 ，說(shuō)法向加速度的大小與剛體上各點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離r成正比，也是有條件的，條件就是保持w不變。5-2一個(gè)圓盤繞通過(guò)其中心并與盤面相垂直的軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)圓盤分別在恒定角速度和恒定角加速度兩種情況下轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圓盤邊緣上的點(diǎn)是否都具有法向加速度和切向加速度？數(shù)值是恒定的還是變化的？解 (1)當(dāng)角速度w一定時(shí)，切向速度 也是一定的，所以切向加速度,即不具有切向加速度。而此時(shí)法向加速度 ,可見(jiàn)是恒定的。(2)當(dāng)角加速度一定時(shí)，即 恒定，于是可以得到,這表

42、示角速度是隨時(shí)間變化的。由此可得.切向加速度為,這表示切向加速度是恒定的。法向加速度為,顯然是時(shí)間的函數(shù)。5-3 原來(lái)靜止的電機(jī)皮帶輪在接通電源后作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，30 s后轉(zhuǎn)速達(dá)到152 rad×s-1 。求：(1)在這30 s內(nèi)電機(jī)皮帶輪轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)；(2)接通電源后20 s時(shí)皮帶輪的角速度；(3)接通電源后20 s時(shí)皮帶輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度，已知皮帶輪的半徑為5.0 cm。解 (1)根據(jù)題意，皮帶輪是在作勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)，角加速度為.在30 s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角位移為 .在30 s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)為.(2)在t = 20 s時(shí)其角速度為.(3)在t = 20 s時(shí)，

43、在皮帶輪邊緣上 r = 5.0 cm處的線速度為,切向加速度為,法向加速度為.5-4 一飛輪的轉(zhuǎn)速為250 rad×s-1 ，開(kāi)始制動(dòng)后作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)90 s停止。求開(kāi)始制動(dòng)后轉(zhuǎn)過(guò)3.14´103 rad時(shí)的角速度。解 飛輪作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)， ，經(jīng)過(guò)90 s， ，所以角加速度為.從制動(dòng)到轉(zhuǎn)過(guò) ，角速度由w0變?yōu)閣，w應(yīng)滿足.所以 .5-5 分別求出質(zhì)量為m = 0.50 kg、半徑為r = 36 cm的金屬細(xì)圓環(huán)和薄圓盤相對(duì)于通過(guò)其中心并垂直于環(huán)面和盤面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；如果它們的轉(zhuǎn)速都是105 rad×s-1 ，它們的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能各為多大？解 (1)細(xì)圓環(huán)：

44、相對(duì)于通過(guò)其中心并垂直于環(huán)面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為.(2)相對(duì)于通過(guò)其中心并垂直于盤面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為.5-7 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為20 kg×m2 、直徑為50 cm的飛輪以105 rad×s-1 的角速度旋轉(zhuǎn)?，F(xiàn)用閘瓦將其制動(dòng)，閘瓦對(duì)飛輪的正壓力為400 n，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)為0.50。求：(1)閘瓦作用于飛輪的摩擦力矩；(2)從開(kāi)始制動(dòng)到停止，飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)和經(jīng)歷的時(shí)間；(3)摩擦力矩所作的功。解 (1)閘瓦作用于飛輪的摩擦力矩的大小為.(2)從開(kāi)始制動(dòng)到停止，飛輪的角加速度a可由轉(zhuǎn)動(dòng)定理求得,根據(jù) ,所以飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度為,飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)為.

45、因?yàn)?所以飛輪從開(kāi)始制動(dòng)到停止所經(jīng)歷的時(shí)間為 .(3)摩擦力矩所作的功為.5-8 輕繩跨過(guò)一個(gè)質(zhì)量為m的圓盤狀定滑輪，其一端懸掛一質(zhì)量為m的物體，另一端施加一豎直向下的拉力f，使定滑輪按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，如圖5-7所示。如果滑輪的半徑為r，求物體與滑輪之間的繩子張力和物體上升的加速度。圖5-7解 取定滑輪的轉(zhuǎn)軸為z軸，z軸的方向垂直與紙面并指向讀者。根據(jù)牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定理可以列出下面的方程組 ,.其中 ，于是可以解得 , .5-10 一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒，在豎直平面內(nèi)繞通過(guò)其一端并與棒垂直的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖5-8所示?，F(xiàn)使棒從水平位置自由下擺

46、，求：圖5-8(1)開(kāi)始擺動(dòng)時(shí)的角加速度；(2)擺到豎直位置時(shí)的角速度。解 (1)開(kāi)始擺動(dòng)時(shí)的角加速度：此時(shí)細(xì)棒處于水平位置，所受重力矩的大小為,相對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,于是，由轉(zhuǎn)動(dòng)定理可以求得.(2)設(shè)擺動(dòng)到豎直位置時(shí)的角速度為w，根據(jù)機(jī)械能守恒，有,由此得 .5-13 如果由于溫室效應(yīng)，地球大氣變暖，致使兩極冰山熔化，對(duì)地球自轉(zhuǎn)有何影響？為什么？解 地球自轉(zhuǎn)變慢。這是因?yàn)楸饺诨?，水向赤道聚集，地球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增大，地球的自轉(zhuǎn)角動(dòng)量守恒，即j w = 恒量 .所以角速度變小了。5-15 一水平放置的圓盤繞豎直軸旋轉(zhuǎn)，角速度為w1 ，它相對(duì)于此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為j1 ?，F(xiàn)在它的正上方有一個(gè)

47、以角速度為w2 轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤，這個(gè)圓盤相對(duì)于其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為j2。兩圓盤相平行，圓心在同一條豎直線上。上盤的底面有銷釘，如果上盤落下，銷釘將嵌入下盤，使兩盤合成一體。(1)求兩盤合成一體后的角速度；(2)求上盤落下后兩盤總動(dòng)能的改變量；(3)解釋動(dòng)能改變的原因。解 (1)將兩個(gè)圓盤看為一個(gè)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)不受外力矩的作用，總角動(dòng)量守恒，即,所以合成一體后的角速度為.(2)上盤落下后兩盤總動(dòng)能的改變量為.(3)動(dòng)能減少是由于兩盤合成一體時(shí)劇烈摩擦，致使一部分動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮堋?-16 一均勻木棒質(zhì)量為m1 = 1.0 kg、長(zhǎng)為l = 40 cm，可繞通過(guò)其中心并與棒垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為m2=

48、10 g的子彈以v = 200 m×s-1 的速率射向棒端，并嵌入棒內(nèi)。設(shè)子彈的運(yùn)動(dòng)方向與棒和轉(zhuǎn)軸相垂直，求棒受子彈撞擊后的角速度。解 將木棒和子彈看為一個(gè)系統(tǒng)，該系統(tǒng)不受外力矩的作用，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，即, (1)其中j1是木棒相對(duì)于通過(guò)其中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，j2是子彈相對(duì)于同一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，它們分別為,  . (2)將式(2)代入式(1)，得.5-17 有一質(zhì)量為m且分布均勻的飛輪，半徑為r，正在以角速度w旋轉(zhuǎn)著，突然有一質(zhì)量為m的小碎塊從飛輪邊緣飛出，方向正好豎直向上。試求：(1)小碎塊上升的高度；(2)余下部分的角速度、角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 (忽略重力矩的

49、影響)。解 (1)小碎塊離開(kāi)飛輪時(shí)的初速為,于是它上升的高度為 .(2)小碎塊離開(kāi)飛輪前、后系統(tǒng)不受外力矩的作用，所以總角動(dòng)量守恒。小碎塊離開(kāi)飛輪前，飛輪的角動(dòng)量就是系統(tǒng)的總角動(dòng)量，為；飛輪破裂后，小碎塊相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,角動(dòng)量為.碎輪的角動(dòng)量為 ,式中w2是碎輪的角速度?？偨莿?dòng)量守恒，l = l1 + l2 ，即,整理后為,所以.這表明飛輪破碎后其角速度不變。碎輪的角動(dòng)量為 .碎輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為.物理學(xué)6章習(xí)題解答圖5-96-1 有一個(gè)長(zhǎng)方體形的水庫(kù)，長(zhǎng)200 m，寬150 m，水深10 m，求水對(duì)水庫(kù)底面和側(cè)面的壓力。解 水對(duì)水庫(kù)底面的壓力為側(cè)面的壓力應(yīng)如

50、下求得：在側(cè)面上建立如圖5-9所示的坐標(biāo)系，在y處取側(cè)面窄條dy，此側(cè)面窄條所受的壓力為,整個(gè)側(cè)面所受的壓力可以表示為.對(duì)于h = 10 m、l = 200 m的側(cè)面：.對(duì)于h = 10 m、l = 150 m的側(cè)面：.側(cè)面的總壓力為.6-3 在5.0´103 s的時(shí)間內(nèi)通過(guò)管子截面的二氧化碳?xì)怏w(看作為理想流體)的質(zhì)量為0.51 kg。已知該氣體的密度為7.5 kg×m-3 ，管子的直徑為2.0 cm，求二氧化碳?xì)怏w在管子里的平均流速。解 單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)管子截面的二氧化碳?xì)怏w的體積，即流量為,平均流速為.圖5-106-4 當(dāng)水從水籠頭緩慢流出而自由下落時(shí)，水流隨位置的下降

51、而變細(xì)，何故？如果水籠頭管口的內(nèi)直徑為d，水流出的速率為v0 ，求在水籠頭出口以下h處水流的直徑。解 當(dāng)水從水籠頭緩慢流出時(shí)，可以認(rèn)為是定常流動(dòng)，遵從連續(xù)性方程，即流速與流管的截面積成反比，所以水流隨位置的下降而變細(xì)，如圖5-10所示?？梢哉J(rèn)為水從籠頭流出后各處都是大氣壓，伯努利方程可以寫為 ,改寫為, (1)  .這表示水流隨位置的下降，流速逐漸增大。整個(gè)水流可以認(rèn)為是一個(gè)大流管，h1處的流量應(yīng)等于h2處的流量，即. (2) 由于,所以必定有,這表示水流隨位置的下降而變細(xì)。根據(jù)題意， ， ，h2處的流速為v2，代入式(1)，得,即.(3)將式(3)代入式(2)，得,式中d

52、1 = d，d2就是在水籠頭出口以下h處水流的直徑。上式可化為 .從上式可解得.圖5-116-6 文丘里流量計(jì)是由一根粗細(xì)不均勻的管子做成的，粗部和細(xì)部分別接有一根豎直的細(xì)管，如圖5-11所示。在測(cè)量時(shí)，將它水平地接在管道上。當(dāng)管中有液體流動(dòng)時(shí)，兩豎直管中的液體會(huì)出現(xiàn)高度差h。如果粗部和細(xì)部的橫截面積分別為sa和sb，試計(jì)算流量和粗、細(xì)兩處的流速。解 取沿管軸的水平流線ab(如圖5-11中虛線所示)，并且a、b兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)兩豎直管的水平位置，可以列出下面的伯努利方程,改寫為,即.(1)另有連續(xù)性方程. (2)以上兩式聯(lián)立，可解得,流量為.圖5-126-7 利用壓縮空氣將水從一個(gè)密封容

53、器內(nèi)通過(guò)管子壓出，如圖5-12所示。如果管口高出容器內(nèi)液面0.65 m，并要求管口的流速為1.5 m×s-1 。求容器內(nèi)空氣的壓強(qiáng)。解 取如圖5-12中虛線ab所示的流線，并運(yùn)用伯努利方程,可以認(rèn)為,所以.6-9 用圖5-5所示的虹吸管將容器中的水吸出。如果管內(nèi)液體作定常流動(dòng)，求：(1)虹吸管內(nèi)液體的流速；(2)虹吸管最高點(diǎn)b的壓強(qiáng)；(3)  b點(diǎn)距離液面的最大高度。解 此題的解答見(jiàn)上面例題分析中的例題5-4。6-12 從油槽經(jīng)過(guò)1.2 km長(zhǎng)的鋼管將油輸送到儲(chǔ)油罐中，已知鋼管的內(nèi)直徑為12 cm， 油的黏度系數(shù)為 0.32 pa×s，密度為 0.91 g

54、5;cm-3，如果要維持 5.2´10-2 m3 ×s-1 的流量，試問(wèn)油泵的功率應(yīng)為多大？解 首先根據(jù)泊肅葉公式求出油被輸送到1.2 km處所需要的壓強(qiáng)差.為保持一定的流量，油泵的功率為.物理學(xué)7章習(xí)題解答7-2 一個(gè)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系為 m ,其中x的單位是m，t的單位是s。試求：(1)周期、角頻率、頻率、振幅和初相位；(2)  t = 2 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度和加速度。解 (1)將位移與時(shí)間的關(guān)系與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的一般形式相比較，可以得到角頻率 s-1, 頻率 , 周期 , 振幅 ,初相位 .(2)  t = 2 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移.t =

55、 2 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度 .t = 2 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度.7-3 一個(gè)質(zhì)量為2.5 kg的物體系于水平放置的輕彈簧的一端，彈簧的另一端被固定。若彈簧受10 n的拉力，其伸長(zhǎng)量為5.0 cm，求物體的振動(dòng)周期。解 根據(jù)已知條件可以求得彈簧的勁度系數(shù) ,于是，振動(dòng)系統(tǒng)的角頻率為.所以，物體的振動(dòng)周期為.7-4 求圖7-5所示振動(dòng)裝置的振動(dòng)頻率，已知物體的質(zhì)量為m，兩個(gè)輕彈簧的勁度系數(shù)分別為k1 和k2。解 以平衡位置o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖7-5所示的坐標(biāo)系。若物體向右移動(dòng)了x，則它所受的力為圖7-5.根據(jù)牛頓第二定律，應(yīng)有,改寫為.所以 , .圖7-67-5 求圖7-6所示振動(dòng)裝置的振動(dòng)頻率，已知物體的質(zhì)量為m，兩個(gè)輕彈簧的勁度系數(shù)分別為k1 和k2。解 以平衡位置o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖7-6所示的坐標(biāo)系。當(dāng)物體由原點(diǎn)o向右移動(dòng)x時(shí)，彈簧1伸長(zhǎng)了x1 ，彈簧2伸長(zhǎng)了x2 ，并有 .物體所受的力為,式中k是兩個(gè)彈簧串聯(lián)后