傳染病模型SISIRSIS

1、數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)一實(shí)驗(yàn)報(bào)告10學(xué)院：專業(yè)：姓名：學(xué)號(hào)：實(shí)驗(yàn)時(shí)間：實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)：、實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目：傳染病模型求解、實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮鸵骯. 求解微分方程的解析解b. 求解微分方程的數(shù)值解三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容問(wèn)題的描述各種傳染病給人類帶來(lái)的巨大的災(zāi)難，長(zhǎng)期以來(lái)，建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述傳染病的的傳播過(guò)程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國(guó)有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題。不同類型傳染病有各自不同的特點(diǎn)，在此以一般的傳播機(jī)理建立幾種 3模型。分別對(duì)3種建立成功的模型進(jìn)行模型分析，便可以了解到該傳染病在人類間傳播的大概情況。模型一（模型）：(1) 模型假設(shè)1. 在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，人群

2、分為健康人和病人，時(shí)刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例為s( t )和i (t )。2. 每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)a, a成為日接觸率，當(dāng)病人與健康者有效接觸時(shí)，可使其患病。(2) 建立模型根據(jù)假設(shè)，每個(gè)病人每天可使(t)個(gè)健康人變成病人，t時(shí)刻病人數(shù)為(t)，所以每天共有(t)i ( t) 個(gè)健康者被感染，即病人的增加率為：又因?yàn)閟( t)(t) =1再記時(shí)刻0時(shí)病人的比例為i0則建立好的模型為：diai (1-i)dti(0)0(3) 模型求解(代碼、計(jì)算結(jié)果或輸出結(jié)果)a i t i0 % a:日接觸率，i :病人比例，s :健康人比例，i0 :病人比例在0時(shí)的值('*i

3、*(1)','i(0)0','t');(i,0,0.3,0.02);(y，0,100)2(i)；0:0.01:1;0.3*i.*(1);()e AUST IL itu iriEcn jjdim LLtsKtcipILitapwfl-S-L'PAG呂1 1百B Q0.9o.a070.60.50.40.30.2O'001020304090B0706090-01模型的曲線模型的曲線（4）結(jié)果分析由上圖可知，在0:1內(nèi)，總是增大的，且在 0.5時(shí)，取到最大值，即在 時(shí)，所有人都將患病。模型上述模型顯然不符合實(shí)際，為修正上述結(jié)果，我們重新考慮模型假

4、設(shè)，建立模型二（模型）（1）(2)假設(shè)條件1.2與模型相同;3. 每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù) 健康者。顯然u,成為日治愈率，病人治愈后成為仍可被感染的 是平均傳染期。(2)模型建立病人的增加率:且 i (t)(t)=1 ；則有:(1)模型假設(shè)在此定義，可知k是整個(gè)傳染傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)，成為接觸數(shù)。則建立好的模型為：di匸_1/k)i(0)0；(3)(4)模型求解(代碼、計(jì)算結(jié)果或輸出結(jié)果)>> a i u t i0 % a:日接觸率，i :病人比例，u :日治愈率，i0:病人比例在0時(shí)的值>> ('*i*(1)*i',&#

5、39;i(0)0','t')%求用u表示的i t解析式>> k% k:接觸數(shù)>> ；>> ('*i*i*(1-1)','i(0)0','t')%求用k表示的i t解析式% 給 k、a、i0指定特殊值,作出相關(guān)圖像>> (i,0,2,0.3,0.02);%k>1的情況，以2為例>> (y,0,100)>> %作it圖，分析隨時(shí)間t的增加,i的變化>> ('1')>>('k>1 本例中 2'

6、;)>>>> 2(i);>> 0:0.01:1;>> 0.3*i.*1/2;>> ()%作一i的圖像>> ('1-1, 在此圖中為0.5')>> (i,0,0.8,0.3,0.02);k<1的情況，以0.8為例>> (y,o,ioo)%作i t圖，分析隨時(shí)間t增加，i的變化>> ('k<1 本例中 0.8')>>>> 2(i);>> 0:0.01:1;>> 0.3*i.*(1-1/0.8);>

7、;> ()作一i的圖像>> ('0.8')>> ('k<=1 時(shí)的情況)模型的一i曲線（k>1）模型的i 一t曲線（k>1）模型的一i曲線(k<1)模型的i t曲線(k<1)(4)結(jié)果分析不難看出，接觸數(shù)1是一個(gè)閾值，當(dāng)k>1時(shí)，i (t )的增減性取決于i0的大小，但其極限值0,這是由于傳染期i( a)=1-1隨k的增加而增加；當(dāng) k<=1時(shí)，病人比例i (t )越來(lái)越小，最終趨于內(nèi)經(jīng)有效解除從而使健康者變?yōu)榈牟∪藬?shù)不超過(guò)原來(lái)病人數(shù)的緣故。模型三.模型(1) 模型假設(shè)1.2.總?cè)藬?shù)N不變，人群分為

8、健康者、病人和病愈免疫的移出者三類，稱模型。時(shí)刻t三類人在總?cè)藬?shù) N中占得比例分別記作s(t)，唯)和r(t)。3.4.病人的日接觸率為1，日治愈率為(與模型相同)，傳染期接觸數(shù)為(2) 模型建立由假設(shè)1顯然有s(t) i(t) r(t) =1(1)對(duì)于病愈免疫的移出者而言應(yīng)有dt再記初始時(shí)刻的健康者和病人的比例分別是s0(s0>0)和i0(i0>0)(不妨設(shè)移出者的初始值 r0=0 ),則模型的方程可以寫作 = Ksi Pi,i(O) =t0 dtds .(3)'si, s(0) = so dt(3) 模型求解我們無(wú)法求出解析解，先做數(shù)值計(jì)算:",0.3,i(0

9、) =0.02,s(0)=0.98，用軟件編程:(t，x)10.3;a*x(1)*x (2)*x(1), *x(1)*x(2)'0:50;x0=0.02,0.98;45('i11'0);(:,1)(:,2)(x(:,2)(:,1)表1i(t),s(t)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果2345678i(t)°.°2°°0.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.60270.54380.39950.28390.2027t91015202530

10、354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398i(t),s(t)的圖形s圖形(相軌線)(4) 結(jié)果分析i(t)，s(t)的圖形見(jiàn)左圖，is的圖形見(jiàn)右圖，稱為相軌線，隨著t的增加，(s，i)沿軌線自右向左運(yùn)動(dòng)。 由上圖結(jié)合表1可知，i(t)由初值增長(zhǎng)至約t=7時(shí)達(dá)到最大值，然后減少，：=，t ' °s(t)則單調(diào)減少 t ，s ' O.0398。進(jìn)行相軌線分析，可得：si平面稱為相平面

11、，相軌線在相平面上的定義域(s,i) D為D =( s,t) | s _°,i _°,s i 汨在方程(3)中消去dt，并注意到二的定義，可得di 1,1 .dt 兀，i|sn°_i0( 4)容易求出它的解為i =(s° i°) -s 丄 In 主°( 5)在定義域D內(nèi)，上式表示的曲線即為相軌線1.不論初始條件So,io如何，病人終將消失，即(6)i ： - 0空0蟲(chóng)0其證明如下，首先，由（3），dt 而s（t）K0故存在；由（2），dt ，而r（t）蘭1，故G存在,再由（1），對(duì)于充分大的t有dt 2，這將導(dǎo)致，與 G存在相矛盾。2

12、.最終未被感染的健康者的比例是S：，在（5）式中令i 得到，是方程S0 i° s： 2|n 乞=0口S0（ 7）在（0,1/匚）內(nèi)的根。在圖形上，S：:是相軌線與s軸在（0,1/匚）內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。3.若$ /二，則i（t）先增加，當(dāng)s=1/二時(shí)，i（t）達(dá)到最大值1i ：- f i°（1 l n y）a（ 8）然后i（t）減小且趨近于0，s（t）則單調(diào)減小至S：:。4.若色咗1/二，則i（t）單調(diào)減少至0，s（t）單調(diào)減少至s：:。如果僅當(dāng)病人比例i（t）有一段增長(zhǎng)的時(shí)期才 認(rèn)為傳染病在蔓延，那么“二是一個(gè)閾值，當(dāng)（即匚1/s0）時(shí)傳染病就會(huì)蔓延。而減小傳染期接觸數(shù)即提高閾值12，使得s0蘭（即° -1/s0），傳染病就不會(huì)蔓延（健康者比例的 初始值s。是一定的，通?？烧J(rèn)為 s。接近1）。并且，即使s。1/CF，從（7），（ 8）式可以看出，b減少時(shí)，H增加（通過(guò)作圖分析），im降低，也 控制了蔓延的程度，我們注意到，在二二'/ A中，人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率越??；醫(yī)療水平越高，日治愈率 "越大，于是二越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延。從另一方面看，二s = '