二次方程根的分布與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值歸納

1、二次方程根的分布與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值歸納1、一元二次方程根的分布情況設(shè)方程的不等兩根為且，相應(yīng)的二次函數(shù)為，方程的根即為二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)，它們的分布情況見(jiàn)下面各表（每種情況對(duì)應(yīng)的均是充要條件）表一：（兩根與0的大小比較即根的正負(fù)情況）分布情況兩個(gè)負(fù)根即兩根都小于0兩個(gè)正根即兩根都大于0一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于0，一個(gè)大于0大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論）表二：（兩根與的大小比較）分布情況兩根都小于即兩根都大于即一個(gè)根小于，一個(gè)大于即大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論）表三：（根在區(qū)間上的分布）分布情況兩根都在內(nèi)兩根有且僅有一根

2、在內(nèi)（圖象有兩種情況，只畫(huà)了一種）一根在內(nèi)，另一根在內(nèi)，大致圖象（）得出的結(jié)論或大致圖象（）得出的結(jié)論或綜合結(jié)論（不討論）根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間外，即在區(qū)間兩側(cè)，（圖形分別如下）需滿足的條件是 （1）時(shí)，； （2）時(shí)，對(duì)以上的根的分布表中一些特殊情況作說(shuō)明：（1）兩根有且僅有一根在內(nèi)有以下特殊情況： 若或，則此時(shí)不成立，但對(duì)于這種情況是知道了方程有一根為或，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值。如方程在區(qū)間上有一根，因?yàn)椋?，另一根為，由得即為所求?方程有且只有一根，且這個(gè)根在區(qū)間內(nèi)，即，此時(shí)由可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，

3、求出相應(yīng)的根，檢驗(yàn)根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù)。如方程有且一根在區(qū)間內(nèi)，求的取值范圍。分析：由即得出；由即得出或，當(dāng)時(shí)，根，即滿足題意；當(dāng)時(shí)，根，故不滿足題意；綜上分析，得出或根的分布練習(xí)題例1、已知二次方程有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由 即 ，從而得即為所求的范圍。例2、已知方程有兩個(gè)不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由 或即為所求的范圍。例3、已知二次函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由 即 即為所求的范圍。例4、已知二次方程只有一個(gè)正根且這個(gè)根小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題意有方程在區(qū)間上只有一個(gè)正根，則 即為所求范圍。（

4、注：本題對(duì)于可能出現(xiàn)的特殊情況方程有且只有一根且這個(gè)根在內(nèi)，由計(jì)算檢驗(yàn)，均不復(fù)合題意，計(jì)算量稍大）2、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大、最小值問(wèn)題探討設(shè)，則二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大、最小值有如下的分布情況：即圖象最大、最小值對(duì)于開(kāi)口向下的情況，討論類似。其實(shí)無(wú)論開(kāi)口向上還是向下，都只有以下兩種結(jié)論：（1）若，則，；（2）若，則，另外，當(dāng)二次函數(shù)開(kāi)口向上時(shí)，自變量的取值離開(kāi)對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大；反過(guò)來(lái)，當(dāng)二次函數(shù)開(kāi)口向下時(shí)，自變量的取值離開(kāi)對(duì)稱軸軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小。二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值練習(xí)二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值，討論的情況無(wú)非就是從三個(gè)方面入手：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸以及閉區(qū)間，以下三

5、個(gè)例題各代表一種情況。例1、函數(shù)在上有最大值5和最小值2，求的值。解：對(duì)稱軸，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)。（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故 ；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故 例2、求函數(shù)的最小值。解：對(duì)稱軸（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，改：1本題若修改為求函數(shù)的最大值，過(guò)程又如何？解：（1）當(dāng)時(shí)，； （2）當(dāng)時(shí)，。 2本題若修改為求函數(shù)的最值，討論又該怎樣進(jìn)行？ 解：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)， ，；（3）當(dāng)時(shí)，；（4）當(dāng)時(shí)， ，。 例3、求函數(shù)在區(qū)間上的最小值。解：對(duì)稱軸（1）當(dāng)即時(shí)，；（2）當(dāng)即時(shí)，；（3）當(dāng)即時(shí)，例4、討論函數(shù)的最小值。解：，這個(gè)函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，由于上下兩段上的對(duì)稱軸分別為直線，當(dāng)，時(shí)