拋物線及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)大全和經(jīng)典例題及解析

1、拋物線及其性質(zhì)【考綱說明】1、掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)解決與拋物線有關(guān)問題。2、通過類比，找出拋物線與橢圓，雙曲線的性質(zhì)之間的區(qū)別與聯(lián)系?！局R(shí)梳理】1.拋物線定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線.2 .拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì):圖形1市參數(shù)p幾何意義參數(shù)p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p越大，開口越闊.開口方向右左上下標(biāo)準(zhǔn)方程2-y2px(po)2-，一、y2PMp0)2-x2py(p0)2一，一、x2py(p0)焦點(diǎn)位置X正X負(fù)丫正Y負(fù)焦點(diǎn)坐標(biāo)p（2。p（）p(0,7)2p(0,7)2準(zhǔn)線方程xR2x衛(wèi)2ypyi范圍x0,yRx0,yRy0,xRy0,

2、xR對(duì)稱軸X軸X軸Y軸Y軸頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)離心率e1通徑2p焦半徑A(Xi，Yi)AFx12AFx12AFy1pAFy,p焦點(diǎn)弦長(zhǎng)AB|(XiX2)p(X1X2)p(yy2)p(y1y2)p焦點(diǎn)弦長(zhǎng)AB|的補(bǔ)充A(x1,y。B(x2,y2)以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切若AB的傾斜角為，1ABi1sin2若AB的傾斜角為，則AB-2-cos2p2X1X2YiY2p411AFBFAB2AFBFAF?BFAF?BFp3 .拋物線y22Px(p0)的幾何性質(zhì):(1)范圍因?yàn)閜>0,由方程可知x>0,所以拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)X的值增大時(shí)，|y|也增大，說明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸

3、.(2)對(duì)稱性：對(duì)稱軸要看一次項(xiàng)，符號(hào)決定開口方向.頂點(diǎn)(0,0),離心率：e 1,焦點(diǎn)F,0),準(zhǔn)線x p,焦準(zhǔn)距p .2(4)焦點(diǎn)弦：拋物線 y2 2px(p 0)的焦點(diǎn)弦 AB, A(Xi,yi),B(X2,y2),則 | AB | x1X2P-弦長(zhǎng)|AB|=x i+X2+p,當(dāng)xi=X2時(shí)，通徑最短為 2P 。4.焦點(diǎn)弦的相關(guān)性質(zhì):焦點(diǎn)弦AB, A(X1, y1)，B(X2, y2),焦點(diǎn) FCpQ)(2)若AB是拋物線y22pX：p0)的焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)，且A%), B(X2,y2),則:XX22% y1y2若AB是拋物線y22pX：p0)的焦點(diǎn)弦，且直線 AB的傾斜角為“，則A

4、B2 一一、.已知直線AB是過拋物線y 2px(p 0)焦點(diǎn)F ,11 AF BF2 P2 sinABAF BF AF?BF AF ?BF p-可編輯修改-(4)焦點(diǎn)弦中通徑最短長(zhǎng)為2p。通徑：過焦點(diǎn)垂直于焦點(diǎn)所在的軸的焦點(diǎn)弦叫做通徑.(5)兩個(gè)相切：。多拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。5.弦長(zhǎng)公式：A(Xi,yi),B(X2,y2)是拋物線上兩點(diǎn)，則ab j（x X2）2（yiy2y1 k2 | X1X2|, 1 k21y1丫2 |【經(jīng)典例題】(1)拋物線一一二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種

5、：到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的所有點(diǎn)的集合.其離心率e=1,這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由于這個(gè)美好的1,既使它享盡和諧之美,又生出多少華麗的篇章【例1】P為拋物線y2 2px上任一點(diǎn),F為焦點(diǎn)，則以PF為直徑的圓與丫軸( )A.相交B.相切C.相離D.位置由P確定【解析】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為F -,02PH，l于H ,交y軸于Q ,那么PFPH且QHOF中位線,MNp心 二.作 MN21OFPF為直徑的圓與y軸相切,±y軸于N則MN是梯形PQOF的PQ選B.1一 PH21一 PF .故以2【評(píng)注】相似的問題對(duì)于橢圓和雙曲線來(lái)說，其結(jié)論則分別是相離或相

6、交的(2)焦點(diǎn)弦一一?？汲Ｐ碌牧咙c(diǎn)弦有關(guān)拋物線的試題，許多都與它的焦點(diǎn)弦有關(guān).理解并掌握這個(gè)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，對(duì)破解這些試題是大有幫助的【例2】過拋物線y22 Pxp0的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A x1,y1 , B x2, y2 兩點(diǎn)，求證:(1) AB x1 x2 p(2)AF【證明】(1)如圖設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l ,作AA l A,BB l于Bi,則 AF AA| xi pBF BB1 x2.兩式相加即得：AB x1 x2 p(2)當(dāng)ABx軸時(shí)，有AF BF p,1 _1AF BF一成立;p當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)焦點(diǎn)弦 AB的方程為:y k x E .代入拋物線方程:22k2 x2Px.化簡(jiǎn)彳

7、導(dǎo):k2x2 p k2 2 x匕k2方程(1)之二根為 x1 , x2, .x1 x21111AF| |bf| iAAj 畫x1 x2 px1x2p又2x1x2x1x2xx22p4一x1x2p2故不論弦AB與x軸是否垂直，恒有1AF1BF2成立. p(3)切線一一拋物線與函數(shù)有緣有關(guān)拋物線的許多試題，又與它的切線有關(guān)理解并掌握拋物線的切線方程，是解題者不可或缺的基本功2【例3】證明：過拋物線y2Px上一點(diǎn)M(x°,y°)的切線方程是：yoy=p(x+x0)2 _一一衛(wèi).切線的斜率 yQ y2(4)x x E.由點(diǎn)斜式方程：yy0y02px0,代入()i 即得：y0y=p定點(diǎn)

8、與定值一一拋物線埋在深處的寶藏Px x0 y(x+x 0)2px px。 yO拋物線中存在許多不不易發(fā)現(xiàn)，卻容易為人疏忽的定點(diǎn)和定值.掌握它們，在解題中常會(huì)有意想不到的收獲.一 一一 2一 .例如：i .一動(dòng)圓的圓心在拋物線y 8x上且動(dòng)圓恒與直線x 2 0相切，則此動(dòng)圓必過定點(diǎn)A 4,0B. 2,0C. 0,2D. 0, 2顯然.本題是例1的翻版，該圓必過拋物線的焦點(diǎn)，選B.2.拋物線y22 px的通徑長(zhǎng)為2 P ;【證明】對(duì)萬(wàn)程y2px兩邊取導(dǎo)數(shù)：2yy2p,y23 .設(shè)拋物線y2Px過焦點(diǎn)的弦兩端分別為Axi,yi,Bx2,y2,那么：yiy2以下再舉一例2【例4】設(shè)拋物線y2Px的焦點(diǎn)

9、弦AB在其準(zhǔn)線上的射影是AiBi,證明：以AiBi為直徑的圓必過一定點(diǎn)【分析】假定這條焦點(diǎn)弦就是拋物線的通徑，那么AiBi=AB=2p,而AiBi與AB的距離為p,可知該圓必過拋物線的焦點(diǎn)曲此我們猜想：一切這樣的圓都過拋物線的焦點(diǎn).以下我們對(duì)AB的一般情形給于證明【證明】如圖設(shè)焦點(diǎn)兩端分別為Axi,yi,Bx2,y2CAl|CBi|yiy2設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交x軸于C,那么CFAFBCF2 CA CBi > AiFBiP.90 .這就說明：以 AiBi為直徑的圓必過該拋物線的焦點(diǎn)通法特法妙法（1 ）解析法一一為對(duì)稱問題解困排難解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易解決的

10、幾何問題（如對(duì)稱問題等）【例5】（10.四川文科卷.10題）已知拋物線y=-x 2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A、B,則 |AB| 等于（）A.3B.4C.3 . 2D.4 2【分析】直線AB必與直線x+y=0垂直，且線段AB的中點(diǎn)必在直線 x+y=0上，因得解法如下.【解析】二點(diǎn)A、B關(guān)于直線x+y=0 對(duì)稱，設(shè)直線AB的方程為y x myx2 3x2 x m 3 0設(shè)方程（1）之兩根為x1，x2,則x1x21.x1x21111設(shè)AB的中點(diǎn)為M(xo,yo),則x0-.代入x+y=0:yo=.故有M,一22222從而m y x 1 .直線AB的方程為：y2x 1.萬(wàn)程（1）成為

11、：x x 2 0 .解得:x 2,1 ,從而y1,2,故得：A(-2,-1),B(1,2).AB3后，選C.（2）幾何法一一為解析法添彩揚(yáng)威雖然解析法使幾何學(xué)得到長(zhǎng)足的發(fā)展，但伴之而來(lái)的卻是難以避免的繁雜計(jì)算，這又使得許多考生對(duì)解析幾何習(xí)題望而生畏針對(duì)這種現(xiàn)狀，人們研究出多種使計(jì)算量大幅度減少的優(yōu)秀方法，其中最有成效的就是幾何法【例6】（11.全國(guó)1卷.11題）拋物線y24x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,經(jīng)過F且斜率為J3的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A,AKH,垂足為K,則zAKF的面積（A.4B.3石C.4百【解析】如圖直線AF的斜率為J3時(shí)/AFX=60;MFK為正三角形.設(shè)準(zhǔn)線l交x軸

12、于M,則FMp2,且ZKFM=60,.KF4,Sakf-424也選C.4【評(píng)注】（1）平面幾何知識(shí)：邊長(zhǎng)為a的正三角形的一e、，,32面積用公式S二一a2計(jì)算.4（2）本題如果用解析法，需先列方程組求點(diǎn)A的坐標(biāo)，再計(jì)算正三角形的邊長(zhǎng)和面積.雖不是很難，但決沒有如上的幾何法簡(jiǎn)單（3）定義法一一追本求真的簡(jiǎn)單一著許多解析幾何習(xí)題咋看起來(lái)很難.但如果返樸歸真，用最原始的定義去做，反而特別簡(jiǎn)單【例7】（07.湖北卷.7題）雙曲線22C1:二41（a0,b0）的左準(zhǔn)線為l,左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為F1和F2;拋物線C2的線為l,焦點(diǎn)為abF1F2IMF1MF2A. 1B. 11C. 一2D.F2；Ci與C2

13、的一個(gè)交點(diǎn)為M,則一1MFj【分析】這道題如果用解析法去做，計(jì)算會(huì)特別繁雜，而平面幾何知識(shí)又一時(shí)用不上，那么就從最原始的定義方面去尋找出路吧如圖，我們先做必要的準(zhǔn)備工作：設(shè)雙曲線的半焦距c,離心率為e,作MHl于H,令MFJri,MF2Ia.點(diǎn)M在拋物線上，.MF1IMF1rMHMF25故111-1e,|MHI|MF2|r2|MF1I這就是說：J一U的實(shí)質(zhì)是離心率e.IMF2I其次，LFFJ與離心率e有什么關(guān)系？注意到:|MFi|F1F22ce2aehb彳1彳e1-e1.這樣，最后的答案就自然浮出水面了：由于IF1F2 I IMF1 I| MF1 | |MF2 |e 1 e 1.選 A.MF1

14、riririe8x的(4)三角法本身也是一種解析三角學(xué)蘊(yùn)藏著豐富的解題資源.利用三角手段，可以比較容易地將異名異角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名同角的三角函數(shù)，然后根據(jù)各種三角關(guān)系實(shí)施“九九歸一”一一達(dá)到解題目的因此，在解析幾何解題中，恰當(dāng)?shù)匾肴琴Y源，?？梢詳[脫困境，簡(jiǎn)化計(jì)算【例8】(09.重慶文科.21題)如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)。(I)求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程；(n)若a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P,證明|FP|-|FP|cos2a為定值,并求此定值?！窘馕觥?I)焦點(diǎn)F(2,0),準(zhǔn)線|;x2.（n）直線AB：ytanx21.2y2

15、.x一代入（1）,整理得：ytan8y16tan0288設(shè)方程（2）之二根為yi,y2,則'22tanyiy2164cot tan22 4cot22yyiy2設(shè)AB中點(diǎn)為M%）0,則y02xocotyoAB的垂直平分線方程是：y 4cot2cot x 4cot 26, 0令y=0,貝Ux4cot26,有P4cot221 4cos22故FPOPOF4cot2624cot22_ , 2_,.,4csc 2sin 8,故為定值一一2_于是|FP|-|FP|cos2a=4csc1cos2(5)消去法一一合理減負(fù)的常用方法.避免解析幾何中的繁雜運(yùn)算，是革新、創(chuàng)新的永恒課題.其中最值得推薦的優(yōu)秀方

16、法之一便是設(shè)而不求，它類似兵法上所說的“不戰(zhàn)而屈人之兵”.【例9】是否存在同時(shí)滿足下列兩條件的直線l:(1)l與拋物線y28x有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B;(2)線段AB被直線11:x+5y-5=0垂直平分.若不存在，說明理由，若存在，求出直線l的方程.【解析】假定在拋物線y28x上存在這樣的兩點(diǎn)A%,y1,Bx2,y2.則有：2y18%Vi丫282cy1y2y1y28x1x2kABy28x2x1x2V1y21r8線段AB被直線I1：x+5y-5=0垂直平分，且凡kAB5,即55y1y28Vly2.5設(shè)線段AB的中點(diǎn)為MXo,y0,則yoy1y24-.代入x+5y-5=0得x=1.于是:254AB中點(diǎn)為M1,4.故存在符合題設(shè)條件的直線,5其方程為:4_y-5x1,即:25x5y210(6)探索法一一奔向數(shù)學(xué)方法的高深層次有一些解析幾何習(xí)題，初看起來(lái)好似“樹高蔭深，叫樵夫難以下手”.這時(shí)就得冷靜分析，探索規(guī)律，不斷地猜想一一證明一一再猜想一一再證明.終于發(fā)現(xiàn)“無(wú)限風(fēng)光在險(xiǎn)峰”【例10】(10.安徽卷.14題)如圖，拋物線y=-x2+1與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,將線段OA的n等分點(diǎn)從左至右依次記為P1,P2,Pn-1,過這些分點(diǎn)分別作x軸的垂線，與拋物線的交點(diǎn)依次為Q1,