我的《“雞兔同籠”問(wèn)題》1

1、嘗試·反思·改進(jìn)我的雞兔同籠教學(xué)【摘要】八天前本人接到優(yōu)秀教師考核的第二輪借班上課的通知，從接到通知的當(dāng)天開(kāi)始就反復(fù)經(jīng)歷了“嘗試反思改進(jìn)”的課堂教學(xué)行動(dòng)研究過(guò)程。先后進(jìn)行了三次教學(xué)，形成了三個(gè)不同層次的教案?，F(xiàn)在細(xì)細(xì)體味，覺(jué)得只有當(dāng)教師成為研究者，能夠批判地考察自己的教學(xué)實(shí)踐，能夠理解并改善自己的教學(xué)行為，才能真正把某些激動(dòng)人心的口號(hào)轉(zhuǎn)化為實(shí)實(shí)在在的行動(dòng)。無(wú)獨(dú)有偶，本人的教學(xué)設(shè)計(jì)最終也是讓學(xué)生用“嘗試(假設(shè))反思(算一算)改進(jìn)(調(diào)整)”的方式進(jìn)行學(xué)習(xí),看來(lái)這樣的工作(學(xué)習(xí))方式對(duì)教師和學(xué)生都有借鑒的價(jià)值?！娟P(guān)鍵詞】行動(dòng)研究 反思 改進(jìn)一、“雞兔同籠”問(wèn)題簡(jiǎn)析大約在1500年

2、前，孫子算經(jīng)中就記載了這個(gè)有趣的問(wèn)題。書(shū)中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？”解答這道題的方法主要是“砍足法”(即砍去雞和兔的腿各一半) 它是一個(gè)“ 曾在幾個(gè)世紀(jì)里引起過(guò)人們興趣”的數(shù)學(xué)名題，古今中外許許多多知名數(shù)學(xué)家都研究過(guò)它。至今，這道題的新的解法還在不斷地發(fā)現(xiàn)。“雞兔同籠”問(wèn)題在各個(gè)學(xué)段中都有,教學(xué)的目標(biāo)也各不相同。初中（七年級(jí)）主要是培養(yǎng)學(xué)生用方程解題的能力；小學(xué)高段以培養(yǎng)學(xué)生從不同角度分析問(wèn)題、解決問(wèn)題及一題多解的能力為目的；小學(xué)中段則以培養(yǎng)學(xué)生的想象能力和創(chuàng)新能力為目的。那么小學(xué)低段（二年級(jí)）該怎樣來(lái)定位教學(xué)目標(biāo)呢？二年級(jí)的學(xué)生以具體形象思維為

3、主，如果要學(xué)生去掌握各種算術(shù)解法顯然是不符合學(xué)生的思維實(shí)際的。為此，在筆者的幾次嘗試中對(duì)教學(xué)目標(biāo)作了幾次定位，最終定位為：畫(huà)算結(jié)合，通過(guò)假設(shè)驗(yàn)證調(diào)整的方法得到正確答案，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力。 二、“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)研究學(xué)生：二年級(jí)課文例題：籠里（出示一個(gè)籠子）有松鼠和小鳥(niǎo)的頭共7個(gè)，腿22條。松鼠有（ ）只，小鳥(niǎo)有（ ）只。方法一：畫(huà)圖解題方法二：列表解題鳥(niǎo)頭松鼠頭腿總條數(shù)相差條數(shù)初次試教引入數(shù)學(xué)畫(huà)用數(shù)學(xué)畫(huà)解決問(wèn)題 鞏固技能一、 創(chuàng)設(shè)情境：(略)二、 探索：1、 理清題意：讀題后問(wèn)，“松鼠和小鳥(niǎo)關(guān)在同一個(gè)籠子里”什么意思？“數(shù)它們的頭共有7個(gè)” 什么意思？“數(shù)它們的腿共有22條” 什么意

4、思？問(wèn)題是什么？2、 一只鳥(niǎo)有幾個(gè)頭，有幾條腿？一只松鼠有幾個(gè)頭和幾條腿？猜一猜，你覺(jué)得可能是幾只鳥(niǎo)，幾只松鼠？根據(jù)學(xué)生的回答板書(shū)： 鳥(niǎo) 松鼠3 42 5 1 64 35 26 13、 教學(xué)生畫(huà)數(shù)學(xué)畫(huà)。數(shù)學(xué)畫(huà)就是用非常簡(jiǎn)單的圖形或符號(hào)來(lái)表示松鼠和小鳥(niǎo)。誰(shuí)來(lái)畫(huà)一個(gè)圖形表示他們的頭？（圓,師生共畫(huà)5個(gè)圓）用簡(jiǎn)單的圖形表示它們的腿，（一豎）得出：小鳥(niǎo) 松鼠 。4、 一共要畫(huà)幾條腿？學(xué)生動(dòng)手畫(huà)。5、 校對(duì)數(shù)學(xué)畫(huà)，想不想看看到底是幾只松鼠幾只小鳥(niǎo)？（看籠里的結(jié)果）6、 有沒(méi)有想過(guò)全部畫(huà)成小鳥(niǎo)，多少條腿？14條，比22條少8條怎么辦？有沒(méi)有想過(guò)全部畫(huà)成松鼠，多少條腿？28條，比22條多6條怎么辦？（教師演

5、示）三、 鞏固練習(xí)(略)四、 小結(jié)(略)【反思】從教學(xué)的效果來(lái)看，學(xué)生能正確地用畫(huà)數(shù)學(xué)畫(huà)的方法解決“雞兔同籠”問(wèn)題，但是細(xì)細(xì)體味，卻發(fā)現(xiàn)：1、教學(xué)沒(méi)有創(chuàng)新。本次試教的思路完全來(lái)自特級(jí)教師徐斌的雞兔同籠教學(xué)，只是在題目上改了一下。著名的國(guó)畫(huà)大師齊白石有句話：“學(xué)我者死，似我者生！”雖然只有短短的八個(gè)字，適用的范圍卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超出了繪畫(huà)領(lǐng)域，我們的教學(xué)藝術(shù)也是如此，如此的照搬模仿只有倒退沒(méi)有前進(jìn)。2、學(xué)生的這種解決問(wèn)題的“工具”是老師給的，就象師傅交給徒弟一把扳手，徒弟試著擰一下；師傅交給徒弟一把鉗子，徒弟試著鉗一鉗。充其量學(xué)生只是一個(gè)忠實(shí)的執(zhí)行者，一旦學(xué)生沒(méi)了這樣“工具”，就會(huì)對(duì)這類(lèi)雞兔同籠問(wèn)題無(wú)從

6、入手?！靖倪M(jìn)策略】1、跳出原有的教學(xué)思路，取其精華棄其糟粕，有必要展示學(xué)生的思維；2、關(guān)注學(xué)生的現(xiàn)有知識(shí)、方法基礎(chǔ)，從中找到畫(huà)圖解題和列表解題的新起點(diǎn)；3、適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想，適當(dāng)傳遞數(shù)學(xué)文化。第二次試教嘗試解決問(wèn)題列表法畫(huà)圖法鞏固技能 鞏固技能一、 創(chuàng)設(shè)情境：（略） 二、 探索：1、 理清題意：這里的“5個(gè)”是什么？這里的“16條”是什么？問(wèn)題是什么？2、 大家試著在白紙上做做看？（學(xué)生做，教師巡視）3、 展示幾位學(xué)生的“繪畫(huà)解題”（畫(huà)得比較繁瑣）A、能看出來(lái)是幾只雞幾只兔嗎？凡是畫(huà)成2只雞3只兔的小朋友都很棒。其實(shí)，數(shù)學(xué)課上的畫(huà)和美術(shù)課上的畫(huà)不一樣，數(shù)學(xué)課上，只要用簡(jiǎn)單的圖形或符號(hào)來(lái)表示一下

7、就好了。（教師示范）B、一個(gè)外國(guó)的老師在教小朋友的時(shí)候，他讓兔子站起來(lái)，大家想站起來(lái)后兔子用了幾條腿?教師畫(huà),一共幾條腿?比16少了幾條?怎么辦?C、可否先把它全部看成兔子，教師畫(huà),一共幾條腿?20比16多了幾?怎么辦?4、展示幾位學(xué)生的“算式解題”A、投影學(xué)生的做法，請(qǐng)他講講每一步的意思。板書(shū)：雞 2兔 3 16B、你剛開(kāi)始是怎么做的？“少2”你想到了什么？繼續(xù)板書(shū)：雞 2 3兔 3 2 16 14 少2C、如果這樣試下去，一共會(huì)有幾種不同的情況？繼續(xù)板書(shū)：雞 1 2 3 4兔 4 3 2 1 18 16 14 12 多2 少2 少4D、凡是最后得到是2只雞3只兔的都很好。比較一下，你認(rèn)為哪

8、種做法比較方便？三、 鞏固練習(xí)（略）四、小結(jié)：（略）【反思】這次試教還是被原來(lái)的教學(xué)思路所左右，從學(xué)生的反饋情況來(lái)看是不成功的。主要有這樣幾點(diǎn)：1、引入不能夠吸引學(xué)生的注意力。2、部分學(xué)生不知道到底該怎么來(lái)解這道題，兩種解題方法在學(xué)生的眼里似乎是截然不同的。3、教師該關(guān)注學(xué)生的各種思路，但教師卻錯(cuò)誤地在關(guān)注畫(huà)圖的多樣性上?！靖倪M(jìn)策略】1、如何把繪畫(huà)解題和列表解題進(jìn)行有機(jī)的融合，成為同一種方法的兩種手段；2、如何在學(xué)生盲目無(wú)序的湊數(shù)中，形成有序（方法），如何把這些方法進(jìn)行優(yōu)化；最終定教假設(shè)（獨(dú)立猜一個(gè)答案）正確驗(yàn)證（畫(huà)一畫(huà)、算一算） 調(diào)整（多了減、少了加） 驗(yàn)證 正確一、創(chuàng)設(shè)情境： 森林里要開(kāi)動(dòng)

9、物運(yùn)動(dòng)會(huì)，小兔子和小公雞因?yàn)榉噶艘稽c(diǎn)小錯(cuò)誤被關(guān)在了籠子里。請(qǐng)小朋友幫忙做出籠子前面的一道題目，讓小兔子和小公雞從籠子放出來(lái)。二、探索：1、請(qǐng)學(xué)生讀題，了解題意?；\里有雞和兔的頭共5個(gè)，腿16條，雞有（ ）只，兔有（ ）只。問(wèn)你什么，你已經(jīng)知道了什么？2、學(xué)生試著在紙上做一做。（學(xué)生做，教師巡視）3、展示學(xué)生的思維，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)，教師進(jìn)行適當(dāng)板書(shū)。 雞 兔 2 3 2×2=4（條）4×3=12（條）4+12=16（條）4、請(qǐng)學(xué)生回憶一下，剛開(kāi)始是怎么想的，有沒(méi)有剛開(kāi)始不是這個(gè)答案，是后來(lái)經(jīng)過(guò)調(diào)整后得到的？教師進(jìn)行適當(dāng)板書(shū)：雞 兔1 4 1×2=2（條）4×

10、4=16（條）2+16=18（條）多22 3 2×2=4（條）4×3=12（條）4+12=16（條）3 2 2×3=6（條）4×2=8（條）6+8=14（條）少25、總結(jié)這兩種做法的共同點(diǎn)：（板書(shū)）假設(shè)、算一算、調(diào)整6、還有沒(méi)有其他同學(xué)也是經(jīng)過(guò)調(diào)整后得到正確答案的？請(qǐng)學(xué)生把調(diào)整過(guò)程完整地說(shuō)一說(shuō)。（板書(shū)）雞 兔4 1 2×4=8（條）1×4=4（條）8+4=12（條）少47、一個(gè)外國(guó)的老師在教小朋友的時(shí)候，他讓兔子站起來(lái)，大家想站起來(lái)后兔子變成幾條腿了? 也就是全部看成雞，一共幾條腿?比16少了幾條?怎么辦?請(qǐng)學(xué)生把過(guò)程完整地說(shuō)一說(shuō)。8

11、、如果我們?nèi)堪阉闯赏?，一共幾條腿?20比16多了幾?怎么辦? 請(qǐng)學(xué)生把過(guò)程完整地說(shuō)一說(shuō)。9、比較一下，你最喜歡哪一種做法？為什么？三、鞏固練習(xí)（略）四、小結(jié)：（略） 三、反思與體會(huì)思索這一教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)雖然只經(jīng)歷了短短的八天，但給我的體會(huì)實(shí)在是太多了?！皣L試反思改進(jìn)”的過(guò)程，其實(shí)就是一個(gè)行動(dòng)研究的過(guò)程。從一開(kāi)始備課到最后的借班上課，我在整個(gè)過(guò)程（八天）中，持續(xù)處于一種思考狀態(tài)，思考如何解決問(wèn)題，想象學(xué)生可能出現(xiàn)的反應(yīng)，反思自己在這一過(guò)程中的地位與作用，盡可能地使教學(xué)順利等等，而不是機(jī)械麻木地套用現(xiàn)成教案；甚至對(duì)教材的內(nèi)容、教材的呈現(xiàn)順序也進(jìn)行了調(diào)整。我想，如果我能在每次教學(xué)中持續(xù)使用這種方

12、法，進(jìn)而在生活中形成反思的習(xí)慣，那么，我的教學(xué)質(zhì)量肯定會(huì)有較大的提高，因?yàn)檫@次行動(dòng)研究的過(guò)程從本質(zhì)上說(shuō)是為自己的研究，它既是一種研究方式，更應(yīng)成為我的一種生活方式，一種職業(yè)生活方式。在這樣的生活方式中，我再也不會(huì)去盲目地照搬別人的經(jīng)驗(yàn)（教案）。1、嘗試，是對(duì)研究結(jié)果的驗(yàn)證，也是新研究的起點(diǎn)。“嘗試”兩字似乎是很普通的字眼，但它所蘊(yùn)含的內(nèi)涵和價(jià)值，恰是博大精深、不可估量的。嘗試，促進(jìn)了人類(lèi)的發(fā)展，推動(dòng)了社會(huì)的進(jìn)步。從人類(lèi)的發(fā)展史上看，類(lèi)人猿為了生存，嘗試站立起來(lái)，這是其進(jìn)化成人的關(guān)鍵一步，遠(yuǎn)古人通過(guò)不斷嘗試逐漸學(xué)會(huì)鉆木取火，打獵捕魚(yú)，制造工具，使人類(lèi)本身獲得了發(fā)展。 由于人類(lèi)不斷嘗試，才有千千萬(wàn)

13、萬(wàn)的創(chuàng)造發(fā)明，造就了豐富多彩的現(xiàn)代文明。嘗試是創(chuàng)造的前提，嘗試是成功的階梯。 、對(duì)教師而言，嘗試，是對(duì)研究結(jié)果的驗(yàn)證，也是新研究的起點(diǎn)。本文的每一次嘗試都是對(duì)原由的預(yù)設(shè)的驗(yàn)證，通過(guò)嘗試知道了預(yù)設(shè)的方案中哪部分是成功的，哪部分是有問(wèn)題的。例如通過(guò)第一次試教得到了這樣一些信息：從教學(xué)的效果來(lái)看，學(xué)生能正確地用畫(huà)數(shù)學(xué)畫(huà)的方法解決“雞兔同籠”問(wèn)題。但1、教學(xué)沒(méi)有創(chuàng)新；2、學(xué)生的這種解決問(wèn)題的“工具”是老師給的，自身并沒(méi)有經(jīng)歷摸索總結(jié)的過(guò)程。反饋的信息是本人繼續(xù)開(kāi)展行動(dòng)研究的新起點(diǎn)，例如針對(duì)第二次嘗試的結(jié)果，提出了這樣的改進(jìn)策略：1、如何把繪畫(huà)解題和列表解題進(jìn)行有機(jī)的融合，成為同一種方法的兩種手段；2、

14、如何在學(xué)生盲目無(wú)序的湊數(shù)中，形成有序（方法），如何把這些方法進(jìn)行優(yōu)化；、對(duì)學(xué)生而言，嘗試同樣是新研究的起點(diǎn)。本課的最終定教中有這樣一個(gè)環(huán)節(jié)：教師請(qǐng)學(xué)生用畫(huà)一畫(huà)或者算一算的方式嘗試解決雞兔同籠問(wèn)題。學(xué)生中凡是去大膽嘗試的最終都獲得了成功，有的一次成功（少數(shù)），有的改進(jìn)后成功（多數(shù)）。大多學(xué)生雖然心存顧慮，但嘗試后都有自己切身的體會(huì)，這種體會(huì)正是新研究的起點(diǎn)。2、反思，是對(duì)教學(xué)優(yōu)缺點(diǎn)的分析，也是新研究的核心。專(zhuān)家講：一個(gè)教師的成長(zhǎng)=經(jīng)驗(yàn)+反思一個(gè)人或許工作20年，如果沒(méi)有反思，也只是一年經(jīng)驗(yàn)的20次重復(fù)。教學(xué)反思就是教師自覺(jué)地把自己的課堂教學(xué)實(shí)踐，作為認(rèn)識(shí)對(duì)象而進(jìn)行全面而深入的冷靜思考和總結(jié)，從而

15、進(jìn)入更優(yōu)化的教學(xué)狀態(tài)，使學(xué)生得到更充分的發(fā)展。、對(duì)教師而言，反思，是對(duì)教學(xué)優(yōu)缺點(diǎn)的分析，也是新研究的核心。如果說(shuō)備課、上課等基本教學(xué)實(shí)踐是元研究的話，那么教學(xué)反思就是次研究，其目的在于超越。反思是一種手段，反思后則奮進(jìn)。存在問(wèn)題就整改，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題則深思，找到經(jīng)驗(yàn)就升華。每次反思都是一次新的超越，超越自我，不斷地向高層次邁進(jìn)。、對(duì)學(xué)生而言，反思，也是對(duì)嘗試結(jié)果的分析，是解決問(wèn)題的核心。最終定教中教師化大量的時(shí)間請(qǐng)學(xué)生回憶原來(lái)是怎樣做的，后來(lái)是怎樣調(diào)整的，其目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)反思，在反思中找到解決問(wèn)題的方法。3、改進(jìn)，是在原有基礎(chǔ)上的否定之否定。否定之否定規(guī)律揭示了矛盾運(yùn)動(dòng)過(guò)程具有的特點(diǎn)，它告訴人們，

16、矛盾運(yùn)動(dòng)是生命力的表現(xiàn)，其特點(diǎn)是自我否定、向?qū)α⒚孓D(zhuǎn)化。、對(duì)教師而言，改進(jìn)，是在原有基礎(chǔ)上的否定之否定，例如，本課中滲透的假設(shè)法。其實(shí)作為學(xué)科的數(shù)學(xué)是有別于作為科學(xué)的數(shù)學(xué)的。張奠宙教授指出：能否用不甚嚴(yán)格的方法，即非形式化的方法講數(shù)學(xué)？他說(shuō)“非形式化的數(shù)學(xué)處理著重在介紹數(shù)學(xué)觀念、基本想法和實(shí)用方法，不講究嚴(yán)格的邏輯處理，只要符合認(rèn)識(shí)規(guī)律，能為學(xué)生理解即可?！北救苏窃谶@種思想的指導(dǎo)下，對(duì)最初的正規(guī)假設(shè)法進(jìn)行揚(yáng)棄，讓學(xué)生接受數(shù)學(xué)畫(huà)，后來(lái)經(jīng)過(guò)多次反思又回到了“假設(shè)算一算調(diào)整”的方法上來(lái)。、對(duì)學(xué)生而言，改進(jìn)，同樣是在原有基礎(chǔ)上的否定之否定。學(xué)生最初只是猜了一個(gè)答案，進(jìn)行畫(huà)一畫(huà)、算一算等驗(yàn)證活動(dòng)，通過(guò)

17、畫(huà)數(shù)學(xué)畫(huà)、算一算等活動(dòng)學(xué)生馬上對(duì)原有的答案進(jìn)行否定，但本課中的關(guān)鍵是讓學(xué)生在否定原有答案的基礎(chǔ)上進(jìn)行調(diào)整。例如，學(xué)生發(fā)現(xiàn) “多了2條腿”，怎么辦？調(diào)整，“把一只兔換成一只雞”。 最后，我想從心理學(xué)的角度，對(duì)三次教學(xué)作些比較：第一次教學(xué)是一種有意義的接受學(xué)習(xí)（當(dāng)然，并不是說(shuō)這種學(xué)習(xí)方法就不好）；第二次教學(xué)想從接受學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化成探究性學(xué)習(xí)，但沒(méi)有對(duì)學(xué)生進(jìn)行正確的引導(dǎo)，導(dǎo)致失?。坏谌谓虒W(xué)，筆者認(rèn)為是上出了探究性學(xué)習(xí)的特點(diǎn)（關(guān)注探究方法）。四、建議1、低段學(xué)生的探究意識(shí)和探究能力也應(yīng)得到關(guān)注。我們不僅應(yīng)該為提高低段學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)而教，而且還要為培養(yǎng)低段學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力而教。許多老師擔(dān)心低段學(xué)生掌握的知識(shí)少，不會(huì)進(jìn)行探究，其實(shí)學(xué)生的探究意識(shí)在他的生活中已經(jīng)存在，我們所要做的是對(duì)學(xué)生的探究意識(shí)和探究能力進(jìn)行關(guān)注。2、 低段學(xué)生獨(dú)立思維方式的多樣性也應(yīng)得到激勵(lì)和尊重。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中有他們自己的思維特點(diǎn)，我們的數(shù)學(xué)