平方差公式與完全平方公式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、乘法公式的復(fù)習(xí)一、平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式：位置變化，xyyx2x2y2符號(hào)變化，xyxy2 2 2x y x y指數(shù)變化，2x2y22x2y24x4y4系數(shù)變化，2ab2ab4a2b2換式變化，xyzmxyzm2xyzm222x2y2zmzm22x2y22 z2zm zm m22x2y22 z2zm m2增項(xiàng)變化，xyzxyzx2 y2 zxyxy2 z2 2 2 x xy xy y z2 2 2x 2xy y z 連用公式變化，22x y x y x y2 2 2 2 x y x y44x4 y4xyzxyzxyzxyz2x2y 2

2、z4xy4xz完全平方公式活用:把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過(guò)變形或重新組合，可得如下幾個(gè)比較有用的派生公式： 逆用公式變化，xyzxyz2221. ab 22aba2b22222. ab2aba2b23. a b a b 2 a2 b2224. a b a b 4ab靈活運(yùn)用這些公式， 往往可以處理一些特殊的計(jì)算問(wèn)題， 培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。例 1已知ab 2， ab1，求a2b2的值。例 2已知ab 8 ， ab2，求 (ab)2 的值。解： (ab)2a2 2abb2(ab)2 a2 2ab b2(ab)2(a b) 24ab(ab)2 4ab=(a b)

3、22a b 8， ab 2 (a b) 2 82 4 2 56例 3 已知 a b 4，ab 5，求 a2 b2 的值。解： a2 b2 a b 2 2ab 42 2 5 26三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問(wèn)題(一) 、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”例 1 計(jì)算 (-2 x2-5)(2 x2-5)分析：本題兩個(gè)因式中 “-5”相同，“2x2”符號(hào)相反，因而“-5 ” 是公式( a+b)( a- b)= a2- b2中的 a，而“ 2x2”則是公式中的 b例 2 計(jì)算(- a2+4b)2分析：運(yùn)用公式 ( a+b) 2=a2+2ab+b2時(shí)，“ - a2”就是公式中的 a， “4b”就是公式

4、中的 b；若將題目變形為 (4 b- a2) 2時(shí)，則“ 4b”是公 式中的 a，而“ a2”就是公式中的 b(解略)(二) 、注意為使用公式創(chuàng)造條件例 3 計(jì)算 (2 x+y- z+5)(2 x- y+z+5) 分析：粗看不能運(yùn)用公式計(jì)算， 但注意觀察，兩個(gè)因式中的“2x”、 “5”兩項(xiàng)同號(hào)，“ y”、“ z”兩項(xiàng)異號(hào)，因而，可運(yùn)用添括號(hào)的技 巧使原式變形為符合平方差公式的形式例 5 計(jì)算 (2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1) 分析：此題乍看無(wú)公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項(xiàng)( 2-1 )，則可運(yùn)用公式，使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)(三) 、注意公式的推廣計(jì)算多項(xiàng)式的平方，由 (a+b

5、) 2=a2+2ab+b2，可推廣得到：2 2 2 2( a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可敘述為：多項(xiàng)式的平方， 等于各項(xiàng)的平方和， 加上每?jī)身?xiàng)乘積 的 2 倍例 6 計(jì)算(2 x+y-3) 2解：原式 =(2x) 2+y2+(-3) 2+2·2x·y+2·2x(-3)+2 ·y(-3)22 =4x2+y2+9+4xy-12x-6y(四) 、注意公式的變換，靈活運(yùn)用變形公式例 7 已知： x+2y=7，xy=6，求(x-2y) 2的值例10 計(jì)算(2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5b) 2

6、分析：此題可以利用乘法公式和多項(xiàng)式的乘法展開(kāi)后計(jì)算， 但逆 用完全平方公式，則運(yùn)算更為簡(jiǎn)便四、怎樣熟練運(yùn)用公式：熟悉常見(jiàn)的幾種變化 有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計(jì) 算，此時(shí)要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點(diǎn)常見(jiàn)的幾種變化是：1、位置變化 如（3x+5y）（5y3x）交換 3x和 5y的位置后即 可用平方差公式計(jì)算了2、符號(hào)變化 如（ 2m7n）（2m 7n）變?yōu)椋?2m+7n）（2m 7n）后就可用平方差公式求解了 （思考：不變或不這樣變， 可以嗎？）3、數(shù)字變化 如 98×102，992，912等分別變?yōu)椋?002）（100+2）， （1001）

7、2，（90+1）2后就能夠用乘法公式加以解答了4、系數(shù)變化 如（4m+n）（2mn ）變?yōu)?2（2m+n）（2mn ）2 4 4 4 后即可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算了（四）、注意公式的靈活運(yùn)用 有些題目往往可用不同的公式來(lái)解， 此時(shí)要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭?使計(jì)算更簡(jiǎn)便如計(jì)算（ a2+1）2·（a21）2，若分別展開(kāi)后再相乘， 則比較繁瑣， 若逆用積的乘方法則后再進(jìn)一步計(jì)算， 則非常簡(jiǎn)便 即 原式=（a2+1）（a21） 2=（a41）2=a82a4+1對(duì)數(shù)學(xué)公式只會(huì)順向 （從左到右） 運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的， 還要注意 逆向（從右到左）運(yùn)用如計(jì)算（ 1 212 ）（1 312 ）（1 412 ）

8、（ 12 3 4 12 ）（ 1 12 ），若分別算出各因式的值后再行相乘， 不僅計(jì)算繁難，9 10 而且容易出錯(cuò)若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公 式，則可巧解本題即原式=（1 1 ）（1+1 ）（1 1 ）（1+ 1 ）××（ 1 1 ）（1+1 ）2 2 3 3 10 10 =1×3×2×4×× 9 ×11 = 1×11=112 2 3 3 10 10 2 10 20 有時(shí)有些問(wèn)題不能直接用乘法公式解決， 而要用到乘法公式的變 式，乘法公式的變式主要有： a2+b2=（a+b）2 2ab，

9、a2+b2=（a b）2+2ab 用這些變式解有關(guān)問(wèn)題常能收到事半功倍之效 如已知 m+n=7，mn=18，求 m2+n2，m2mn+ n2 的值面對(duì)這樣的問(wèn)題就可用上述變式來(lái)解，即 m2+n2=（ m+n）22mn=722×（ 18） =49+36=85， m2mn+ n2= （m+n）23mn=723×（ 18） =103下列各題，難不倒你吧？！1、若 a+ 1 =5，求（ 1）a2+ 12 ，（2）（a 1）2的值a a a2、求（ 2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（ 216+1）（232+1）（264+1）+1的末位數(shù)字答案： 1. （1）23；（2）2

10、12. 6 ）五、乘法公式應(yīng)用的五個(gè)層次乘法公式： （a b）（a b）=a2b2，（a ±b）=a2±2abb2，（a ± b）（a 2±abb2）=a 3±b3第一層次正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進(jìn)行直接、簡(jiǎn)單的套用 例 1 計(jì)算（ 2xy）（2x y） 第二層次逆用，即將這些公式反過(guò)來(lái)進(jìn)行逆向使用例 2 計(jì)算第三層次活用 ：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù) 使用乘法公式；有時(shí)根據(jù)需要?jiǎng)?chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式例 3 化簡(jiǎn)： （2 1）（2 21）（2 41）（2 81） 1分析直接計(jì)算繁瑣易錯(cuò)， 注意到這四個(gè)因式很有規(guī)律， 如果再

11、增 添一個(gè)因式“ 21”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問(wèn)題迎刃而解解原式 =（2 1）（2 1）（2 21）（2 41）（2 81） 1=（221）（2 21）（2 41）（2 81） 1=216第四層次變用 ：解某些問(wèn)題時(shí)，若能熟練地掌握乘法公式 的一些恒等變形式，如 a2b2=（ab）22ab，a3b3=（ab） 33ab（a b）等，則求解十分簡(jiǎn)單、明快例 5 已知 ab=9，ab=14，求 2a22b2 的值解：ab=9，ab=14，2a22b2=2（a b） 22ab=2（9 22·14）=106，第五層次綜合后用 ：將 （a b） 2=a2 2ab b2和（a b） 2=a

12、2 2ab b 綜合，2 2 2 2 2 2可得 (a b) (ab) =2(a b)；(ab) (ab) =4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問(wèn)題顯得新穎、簡(jiǎn)捷例 6 計(jì)算： (2x yz5)(2x yz5) 解：原式=1 (2x+y-z+5)+(2x-y+z+5) 2- 1 (2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)244=(2x 5) 2(y z)2=4x220x25y22yzz2乘法公式的使用技巧： 提出負(fù)號(hào)：對(duì)于含負(fù)號(hào)較多的因式，通常先提出負(fù)號(hào)，以避免 負(fù)號(hào)多帶來(lái)的麻煩。例1、 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：2( 1)(-1+3x)(-1-3x) ； (2) (-2m-1) 2 改變順序：運(yùn)

13、用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項(xiàng)的排 列順序，可以使公式的特征更加明顯 .例2、運(yùn)用乘法公式計(jì)算：1 1 1 a 2(1)(3a-4b )(- 4b - 3 );(2)(x-1/2)(x 2+1/4)(x+1/2) 逆用公式 將冪的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得 a2-b 2 = (a+b)(a-b) ，逆用積的乘方公式，得 anbn=(ab) n, 等等，在解 題時(shí)常會(huì)收到事半功倍的效果。例3、計(jì)算：2 2 2 2 2(1)(x/2+5) 2-(x/2-5) 2 ;( 2)(a-1/2) 2(a2+1/4) 2(a+1/2) 合理分組：對(duì)于只有符號(hào)不同的兩個(gè)三項(xiàng)式相乘

14、，一般先將完 全相同的項(xiàng)調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號(hào)相反的項(xiàng)放在后面， 視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算：(1)(x+y+1)(1-x-y);( 2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).先提公因式，再用公式例 2. 計(jì)算： 8x y 4x y24 簡(jiǎn)析：通過(guò)觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)多項(xiàng)式中的 x 的系數(shù)成 倍數(shù)， y 的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系，若將第一個(gè)多 項(xiàng)式中各項(xiàng)提公因數(shù) 2 出來(lái)，變?yōu)?2 4x y ，則可利用乘法公式。4三. 先分項(xiàng)，再用公式例 3. 計(jì)算： 2x 3y 2 2x 3y 6簡(jiǎn)析：兩個(gè)多項(xiàng)中似乎沒(méi)多大聯(lián)系， 但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著 手觀察，不難發(fā)現(xiàn)， x 的系數(shù)相同， y 的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法 公式。進(jìn)而分析如何將常數(shù)進(jìn)行變化。若將 2 分解成 4 與 2 的和， 將 6 分解成 4 與 2 的