第八章第五節(jié)直線、圓的位置關(guān)系

1、第八章第五節(jié)直線、圓的位置關(guān)系井艸課節(jié)柞業(yè)題組一直線與圓的位置關(guān)系1直線x+ ,'3y= 0繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30。所得直線與圓x2+ y2 4X+ 1 = 0的位置關(guān)玄阜系疋A .直線與圓相切B.直線與圓相交但不過(guò)圓心C.直線與圓相離D .直線過(guò)圓心解析：直線x+3y= 0的傾斜角為150°，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后為120° 方程為y= 3x. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 2)2+ y2 = 3.又圓心(2,0)到直線y= . 3x的距離 d=兮=3= r,直線與圓相切.答案：A2. (2010西安模擬)直線x+ y = 1與圓x2 + y2 2ay= 0(a&

2、gt;O)沒(méi)有公共點(diǎn)，貝V a的取值范圍是()A . (0,.2 1)B . ( .2 1,2 + 1)C. ( 2 1,2 + 1)D . (0, .2+ 1)解析：圓心(0, a),半徑r = a.|a 1|迄 >a, 0<a<寸2- 1.答案：A題組二圓與圓的位置關(guān)系3.已知半徑為1的動(dòng)圓與定圓(x 5)2+ (y+ 7)2= 16相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是()A . (x 5)2 + (y+ 7)2= 25B. (x 5)2+ (y + 7)2= 3或(x 5)2+ (y+ 7)2= 15C. (x 5)2+ (y + 7)2= 9D. (x 5)2 + (y+ 7

3、)2= 25 或(x 5)2 + (y+ 7)2= 9解析：當(dāng)動(dòng)圓圓心在定圓外時(shí)，動(dòng)圓圓心(x, y)到(5, 7)的距離為5,(X 5)2+ (y+ 7)2= 25,當(dāng)動(dòng)圓圓心在定圓內(nèi)時(shí)，動(dòng)圓圓心(x, y)到(5, 7)的距離為3,- (x 5)2+ (y+ 7)2= 9.答案：D4.已知 Ov rv ,2+ 1 則圓 x2+ y2= r2與(x 1)2+ (y+ 1)2= 2 的位置關(guān)系是 ()A 外切B 內(nèi)含C.相交D 相離解析：兩圓連心線長(zhǎng)|OiO2|=2,ri+ r2= r + .2, |ri r2|= | 2 r|,因?yàn)?0vrv ,2+ 1,所以.2v r + 2v 2 2 +

4、 1, ,2v r . 2v 1,所以| 2 r|v |0102|v r + 2,所以兩圓相交.答案：C題組三有關(guān)圓的切線問(wèn)題5由直線y= x+ 1上的一點(diǎn)向圓(x 3)2 + y2 = 1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為()A . 1B . 2 .2C. .7D . 3解析：設(shè)P(xo, yo)為直線y= x+ 1上一點(diǎn)，圓心 C(3,0倒P點(diǎn)的距離為d,切線長(zhǎng)為I,則I =” d2 1,當(dāng)d最小時(shí)I最小，當(dāng)PC垂直直線y= x+ 1時(shí)，d最小，此時(shí)d = 2 2, Imin =二_；： (2. 2)2 1 =答案：C6. (2010棗莊質(zhì)檢)將圓x2+ y2= 1沿x軸正方向平移1個(gè)單位后得圓C

5、,若過(guò)點(diǎn)(3,0)的直 線I和圓C相切，則直線I的斜率為()A. 3B .土, 3C.-D. ±33解析：圓C的方程為(x 1)2+ y2= 1，設(shè)直線I的斜率為k,方程為y= k(x 3),則 嚴(yán)一 + k2=1, k= ±于.答案：D題組四有關(guān)圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問(wèn)題7.直線2x y= 0與圓C : (x 2)2+ (y+ 1)2= 9相交于A, B兩點(diǎn)，則 ABC(C為圓心)的面積等于C. 4 ,'3D . 4 .'5A . 2 ,'5B . 2_；3解析：由已知，C（2, - 1）,5點(diǎn)C到直線2x- y = 0的距離d=-，= ' 5,

6、75由題意知，（AB¥+ d2= 9,1 |AB|= 4,x 4 x 5= 2 ；5.答案：A& （2009全國(guó)卷n ）已知AC、BD為圓O: x2 + y2 = 4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1 ,>/2），則四邊形ABCD的面積的最大值為.解析：設(shè)圓心O到AC、BD的距離為di、d2,垂足分別為E、F，則四邊形OEMF為2 2矩形，則有di + d2 = 3.由平面幾何知識(shí)知AC|= 2 .4 d2 , |BD|= 2 , 4 d；,1- S四邊形abcd =2 4 d1 4 d? w (4 d1 ) + (4 d2),2,2=8 (d1 + d2) = 5,即四

7、邊形ABCD的面積的最大值為 5.答案：5題組五直線、圓的位置關(guān)系綜合問(wèn)題9.已知 m R,直線 I: mx(m2+ 1)y = 4m 和圓 C： x2 + y2 8x+ 4y+ 16 = 0.(1)求直線I斜率的取值范圍；1直線i能否將圓c分割成弧長(zhǎng)的比值為2的兩段圓?。繛槭裁?解：證明：（1）直線I的方程可化為y=m4m齊x齊，直線I的斜率k=mm2 + 11因?yàn)?|mS 2(m2 + 1),所以|川=嚴(yán)匚w1，當(dāng)且僅當(dāng)|m|= 1時(shí)等號(hào)成立.m2+ 121 1所以斜率k的取值范圍是2, 1.不能.1由(1)知I的方程為y= k(x 4),其中|k|w2.圓C的圓心為C(4, 2)，半徑r

8、 = 2.2 圓心C到直線I的距離d =.1 + k214r由|k|w，得d(5> 1,即d >2.從而，若I與圓C相交，2 n則圓c截直線i所得的弦所對(duì)的圓心角小于等1所以I不能將圓c分割成弧長(zhǎng)的比值為2的兩段弧.10 .圓01的方程為x2+ (y+ 1)2= 4，圓02的圓心02(2，1).(1) 若圓02與圓01外切，求圓02的方程，并求內(nèi)公切線方程；(2) 若圓02與圓01交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|= 2, 2 求圓。2的方程.解：(1)由兩圓外切，|01。2|=門(mén) + r2， r2 = |0102| r1 = 2(2 1)，故圓 02 的方程是：(x 2)2+ (y 1)

9、2= 4C.2 1)2，兩圓的方程相減，即得兩圓內(nèi)公切線的方程x+ y+ 1 2.2= 0.設(shè)圓02的方程為：(x 2)2+ (y 1)2 = r2，AB所在直線T圓01的方程為：x2 + (y+ 1)2= 4,此兩圓的方程相減，即得兩圓公共弦的方程：24x+ 4y+2 8= 0.1作 0舊丄AB，則 |AH|= 2AB|= .2, 0舊=2,由圓心(0, - 1)到直線的距離得上121 = 2,W2小22得 r2 = 4 或 r2 = 20 ,故圓02的方程為：(x 2)2+ (y 1)2 = 4 或(x 2)2+ (y- 1)2 = 20.11 . (2010 蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào))已知圓 x2+

10、 y2+ 2ax 2ay+ 2a2 4a= 0(0 v a< 4)的圓心為 C,直 線 l: y= x+ m.(1)若m = 4，求直線l被圓C所截得弦長(zhǎng)的最大值；若直線I是圓心C下方的切線，當(dāng)a在(0,4上變化時(shí)，求 m的取值范圍.解：(1) / x2 + y2+ 2ax 2ay+ 2a2 4a = 0, (x + a)2+ (y a)2 = 4a,圓心為C( a, a),半徑為r = 2 a,設(shè)直線I被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2t，圓心C到直線I的距離為d,m= 4 時(shí)，直線 I: x y + 4 = 0,圓心C到直線I的距離d =| a a + 4|.2=2a2|,t2= (2 a)2 2(a 2)2= 2a2 + 12a 8=2(a 3)2+ 10,又 0 v a&