信號與系統(tǒng)奧本海默第二版第章(1)

1、整理ppt信號與系統(tǒng)(Signals and Systems)整理ppt第第10章章 Z-變換變換The Z-Transform整理ppt本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容1. 雙邊雙邊Z變換及其收斂域變換及其收斂域ROC。2. ROC的特征，各類信號的的特征，各類信號的ROC，零極點圖。，零極點圖。3. Z反變換，利用部分分式展開進行反變換。反變換，利用部分分式展開進行反變換。5. 常用信號的常用信號的Z變換，變換，Z變換的性質(zhì)。變換的性質(zhì)。6. 用用Z變換表征變換表征LTI系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)，系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)，LTI系統(tǒng)系統(tǒng) 的的Z變換分析法，系統(tǒng)的級聯(lián)與并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。變換分析法，系統(tǒng)的級聯(lián)與并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。

2、4. 由零極點圖分析系統(tǒng)的特性。由零極點圖分析系統(tǒng)的特性。7. 單邊單邊Z變換，增量線性系統(tǒng)的分析。變換，增量線性系統(tǒng)的分析。整理ppt Z 變換與拉氏變換相對應(yīng)，是離散時間傅變換與拉氏變換相對應(yīng)，是離散時間傅立葉變換的推廣。立葉變換的推廣。 Z 變換的基本思想、許多變換的基本思想、許多性質(zhì)及其分析方法都與拉氏變換有相似之處。性質(zhì)及其分析方法都與拉氏變換有相似之處。當然，當然，Z 變換與拉氏變換也存在著一些重要變換與拉氏變換也存在著一些重要的差異。的差異。10.0 引言引言 (Introduction)整理pptxk=2kuk的離散時間Fourier變換 DTFT)?不存在不存在!kkkkkk

3、rrkuj0e22DTFTjerz 令kkkz201211z若|z| 2kkkr)e(2j0整理ppt推廣到一般情況kkkkrkxrkxjeDTFTz=rej)(zXzkxkkkkzkxzX)(zzzXkxkcd)(j211C為X(z) 的收斂域(ROC )中的一閉合曲線雙邊雙邊z變換變換整理pptzzzXkxkcd)(j211正變換：X(z)=Zxk反變換： xk =Z1X(z)(zXkxz或整理ppt10.1 雙邊雙邊 Z 變換變換 當當 時，時， 即為離散時間傅立葉變換。即為離散時間傅立葉變換。這表明：這表明：DTFT就是在單位圓上進行的就是在單位圓上進行的Z變換。變換。1r jze()

4、( ) ( )jnj nnnX rex n r ex n rF( )( )nnX zx n zjzre其中其中 是一個復數(shù)。是一個復數(shù)。一一. .雙邊雙邊Z變換的定義變換的定義:The z-Transform可見：對可見：對 做做 Z 變換就等于對變換就等于對 做做DTFT。 因此，因此，Z 變換是對變換是對DTFT的推廣的推廣。( )x n( )nx n r整理ppt二二. Z變換的變換的收斂域（收斂域（ROC）：）：Z變換與變換與DTFT一樣存在著收斂的問題。一樣存在著收斂的問題。1. 并非任何信號的并非任何信號的Z變換都存在。變換都存在。2. 并非并非Z平面上的任何復數(shù)都能使平面上的任何

5、復數(shù)都能使 收斂。收斂。 Z平面上那些能使平面上那些能使 收斂的點的集合，就構(gòu)收斂的點的集合，就構(gòu)成了成了 的的收斂域收斂域（ROC）。）。 X(z)存在或級數(shù)收斂的充分條件是存在或級數(shù)收斂的充分條件是 ( )X z( )X z( )X z nnx n z 整理ppt例例1.( )( )nx na u n11( )1nnnX za zaz時收斂時收斂za當當 時，時， ROC包括了單位圓。包括了單位圓。1a 1()1jjX eaeza單位圓單位圓1 1ImReZ平面平面a a此時，此時， 的的DTFT存在。存在。( )x n( )|()jjz eX zX e顯然有顯然有整理ppt例例2.( )

6、( )x nu n101( )1nnX zzz1z 此時，此時，ROC不包括單位圓，所以不包括單位圓，所以不能不能簡單地簡單地從從 通過將通過將 得到得到 。( )X zzje()jX eImReZ平面平面1 1（例（例2的的ROC）1()(2)1jjkX eke 整理ppt例例3.( )(1)nx na un 11( )nnnnnnX za za z111111a za zaz a a 1 1ReZ平面平面單位圓單位圓ImzaROC:例6.1和例6.3的結(jié)論是應(yīng)該熟記的，在以后的學習將經(jīng)常用到。整理ppt例例4.1( )( )( )2(1)2nnx nu nun 10111( )( )221

7、111 212nnnnnnX zzzzz1ROC:22z 一般情況下，一般情況下， 的的ROC是是 Z 平面上一個平面上一個以以原點為中心的圓環(huán)。原點為中心的圓環(huán)。( )X z2 21/21/2Z平面平面ImRe單位圓單位圓整理ppt結(jié)結(jié) 論：論：1）Z變換存在著收斂問題，不是任何信號都存變換存在著收斂問題，不是任何信號都存在在Z變換，也不是任何復數(shù)變換，也不是任何復數(shù)Z都能使都能使 收斂。收斂。( )X z( )X z( )X z( )x n2）僅僅由）僅僅由 的表達式不能唯一地確定一個信的表達式不能唯一地確定一個信號，只有號，只有 連同相應(yīng)的連同相應(yīng)的ROC一道，才能與信一道，才能與信號號

8、 建立一一對應(yīng)的關(guān)系。建立一一對應(yīng)的關(guān)系。3）Z變換的變換的ROC，一般是，一般是Z平面上以原點為中平面上以原點為中心的環(huán)形區(qū)域。且心的環(huán)形區(qū)域。且ROC內(nèi)不包含任何極點。內(nèi)不包含任何極點。整理ppt4）如果）如果 ，則其，則其ROC是各個是各個 的的ROC的公共部分。若沒有公共區(qū)域則表明的公共部分。若沒有公共區(qū)域則表明 的的Z變換不存在。變換不存在。( )( )iix nx n( )ix n( )x n( )X z( )X z5）當）當 是有理函數(shù)時，其是有理函數(shù)時，其ROC的邊界總是的邊界總是由由 的極點所在的圓周界定的。的極點所在的圓周界定的。6）若）若 的的ROC包括單位圓，則有包括單

9、位圓，則有( )X z()( )|jjz eX eX z整理ppt三三. . 的幾何表示的幾何表示零極點圖：零極點圖：( )X z()( )( )( )()iippzzN zX zMD zzz( )X z 如果如果 是有理函數(shù)，將其分子多項式與分是有理函數(shù)，將其分子多項式與分母多項式分別因式分解可以得到：母多項式分別因式分解可以得到： 由其全部的零、極點即可確定出由其全部的零、極點即可確定出 ，最多，最多相差一個常數(shù)因子相差一個常數(shù)因子 。( )X zM整理ppt 如果在零極點圖上同時標出如果在零極點圖上同時標出ROC，則由該，則由該零極點圖可以零極點圖可以唯一地唯一地確定一個信號。確定一個信

10、號。 因此，若在因此，若在 Z 平面上表示出平面上表示出 的的全部零、全部零、極點，即構(gòu)成極點，即構(gòu)成 的幾何表示的幾何表示零極點圖。零極點圖。( )X z( )X z 零極點圖對描述零極點圖對描述LTI系統(tǒng)和分析系統(tǒng)和分析LTI系統(tǒng)的特系統(tǒng)的特性，具有重要的用途。性，具有重要的用途。整理ppt1. 的的ROC是是Z平面上以原點為中心的環(huán)形平面上以原點為中心的環(huán)形區(qū)域。區(qū)域。( )X z10.2 Z 變換的變換的ROCThe Region of Convergence for the z-TransformROC的特征：的特征：0z z 3. 有限長序列的有限長序列的ROC是整個有限是整個有限

11、Z平面（可平面（可能不包括能不包括 ，或，或 ）。）。( )X z2. 在在ROC內(nèi)，內(nèi)， 無極點。無極點。整理ppt4. 右邊序列的右邊序列的ROC是某個圓的外部，但可能是某個圓的外部，但可能不包括不包括 。那么。那么 的全部有限值都在的全部有限值都在這個這個ROC內(nèi)。內(nèi)。z 0rz 5. 左邊序列的左邊序列的ROC是某個圓的內(nèi)部，但可能不是某個圓的內(nèi)部，但可能不包括包括 。那么滿足。那么滿足 的全部值都一定在的全部值都一定在這個這個ROC內(nèi)。內(nèi)。0z 00rz 6. 雙邊序列的雙邊序列的Z變換如果存在，則變換如果存在，則ROC必是一必是一個環(huán)形區(qū)域。個環(huán)形區(qū)域。整理ppt7.7.如果如果x

12、nxn的的 變換變換X(z)X(z)是有理的，而且若是是有理的，而且若是xnxn右邊序列，那么右邊序列，那么ROCROC就位于就位于 平面內(nèi)最外層極平面內(nèi)最外層極點的外邊；也就是半徑等于極點中最大模值的圓的點的外邊；也就是半徑等于極點中最大模值的圓的外邊。而且若外邊。而且若xnxn是因果序列（即為是因果序列（即為xnxn等于等于0 0的右的右邊序列），那么也包括邊序列），那么也包括z=z=。8.8.如果如果xnxn的變換的變換X(z)X(z)是有理的，而且若是是有理的，而且若是xnxn左左邊序列，那么邊序列，那么ROCROC就位于就位于 平面內(nèi)最里層的非零平面內(nèi)最里層的非零點的里邊；也就是半徑

13、等于點的里邊；也就是半徑等于X(z)X(z)中除去中除去z=0z=0的極點中的極點中最小模值的圓的里邊，并且向圓內(nèi)延伸到可能包括最小模值的圓的里邊，并且向圓內(nèi)延伸到可能包括z=0z=0。特別是若是反因果序列。特別是若是反因果序列( (即即xnxn為等于為等于0 0的左邊的左邊序列序列) )，ROCROC那么也包括那么也包括z=0z=0。00rz 0rz 整理ppt11101( )1()NNNNNnnNna zzaX za zazzza極點：極點：za（一階）（一階）0z （N1階）階）零點：零點：2jkNzae(0,11)kN jIm z Re z(8)N aa0 0(1)N ROC:0z 在

14、在 處，零極點抵消，使有限處，零極點抵消，使有限 Z平面內(nèi)平面內(nèi)無極點。無極點。za例例1.( )x n ,01,nanN0a 0,其他其他n整理ppt例例2.( ),0nx nbb( )( )(1)nnx nb u nb un 11( ),1nb u nzbbz1111(1),1nb unzbb z 在在 時，兩部分的收斂域無公共部分，時，兩部分的收斂域無公共部分，表明此時表明此時 不存在。不存在。1b ( )X zb b1/b1/bZ平面平面ImRe01b時，時，ROC為為1/bzb整理ppt例例3.111( )1(1)(1 2)3X zzz1/32ReIm0 0(2)在有限在有限Z平面上

15、極點平面上極點總數(shù)與零點總數(shù)相同總數(shù)與零點總數(shù)相同零點：零點：121,23zz0z （二階）（二階）極點：極點：若其若其ROC為：為：12z 則則 為右邊序列，且是因果的，為右邊序列，且是因果的，但其傅立葉變換不存在。但其傅立葉變換不存在。( )x n整理ppt時時 是左邊序列，且是反因果的，是左邊序列，且是反因果的，其傅立葉變換不存在。其傅立葉變換不存在。213z ( )x n 時時 是雙邊序列，其傅立葉變是雙邊序列，其傅立葉變換存在。換存在。3123z( )x nROC是否包括是否包括 ，是，是 是否反因果的標志。是否反因果的標志。0z ( )x nz ( )x nROC是否包括是否包括

16、，是，是 是否因果的標志。是否因果的標志。整理ppt10.3 Z-反變換反變換()( )jnj nnX rex n r e21( )()2njj nx n rX reed21( )()2jnj nx nX rer ed令令 ，則，則jzrejdzjre djzd一一. .Z-反變換：反變換：The Inverse Z-Transform整理ppt 當當 從從 時，時，Z沿著沿著ROC內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為 r 的圓的圓變化一周。變化一周。0211( )( )2ncx nX z zdzj其中其中 C 是是 ROC 中逆時針方向的中逆時針方向的圓周。圓周。整理ppt步驟步驟 ：1. 求出求出 的所有極點

17、的所有極點 ； 2. 將將 展開為部分分式；展開為部分分式；( )X zia( )X z3. 根據(jù)總的根據(jù)總的ROC，確定每一項的，確定每一項的ROC；4. 利用常用變換對和利用常用變換對和Z變換變換性質(zhì)求出每一性質(zhì)求出每一項的反變換。項的反變換。 1. 部分分式展開法：部分分式展開法：1( )1iiiAX za z二二. . 反變換的求?。悍醋儞Q的求取：( )X z當當 是有理函數(shù)時，可將其展開為是有理函數(shù)時，可將其展開為部分分式部分分式整理ppt11( )( )( )2( )(1)43nnx nu nun 1112( )111143X zzz1ROC2ROC1ROC :| 1/4z 2RO

18、C :| 1/3z 例：例：111536( )11(1)(1)43zX zzz1143z將將 展開為部分分式有：展開為部分分式有：( )X z整理ppt2. 冪級數(shù)展開法冪級數(shù)展開法: :（長除法）（長除法）由由 的定義，將其展開為冪級數(shù)，有的定義，將其展開為冪級數(shù)，有 ( )X z( )()( 1)nX zxn zxz12(0)(1)2)(nx n zxxzxz 展開式中展開式中 項的系數(shù)即為項的系數(shù)即為 。當。當 是是有理函數(shù)時，可以通過長除的方法將其展開為有理函數(shù)時，可以通過長除的方法將其展開為冪級數(shù)。冪級數(shù)。nz( )x n( )X zv 由于由于右邊序列右邊序列的展開式中應(yīng)包含無數(shù)多

19、個的展開式中應(yīng)包含無數(shù)多個Z的負冪項，所以要的負冪項，所以要按降冪長除。按降冪長除。整理pptv 由于由于左邊序列左邊序列的展開式中應(yīng)包含無數(shù)多個的展開式中應(yīng)包含無數(shù)多個Z的的正冪項，所以要正冪項，所以要按升冪長除。按升冪長除。v 對對雙邊序列，先要將其分成對應(yīng)信號的右邊雙邊序列，先要將其分成對應(yīng)信號的右邊和左邊的兩部分，再分別按上述原則長除。和左邊的兩部分，再分別按上述原則長除。13( )124X zzz 1,02,1 4,30,nnx nnn其它例如：，可得。整理ppt例：例： 111536( )11(1)(1)43zX zzz1143z 冪級數(shù)展開法的缺點是當冪級數(shù)展開法的缺點是當 較復

20、雜（含較復雜（含多個極點時）難以得出多個極點時）難以得出 的閉式。的閉式。( )X z( )x n1112( )111143X zzz1ROC2ROC1ROC :| 1/4z 2ROC :| 1/3z 所以所以前一項按降冪長除，后一項按升冪長除前一項按降冪長除，后一項按升冪長除。 冪級數(shù)展開法適合用來求解非有理函數(shù)形冪級數(shù)展開法適合用來求解非有理函數(shù)形式式 的反變換。的反變換。( )X z整理ppt3. 留數(shù)法：留數(shù)法：111( )( )Res( ),2nnicix nX z zdzX z zzj是是C內(nèi)的極點。內(nèi)的極點。iz1( )Res( ), niix nX z zz 是是C外的極點。外

21、的極點。iz0n 時，時，1( )Res( ), niix nX z zz是是C內(nèi)的極點內(nèi)的極點。iz0n 時，時，對有理函數(shù)的對有理函數(shù)的 由留數(shù)定理有：由留數(shù)定理有：( )X z整理ppt 當當ROC包括包括 時，時，Z 變換在單位圓上的情變換在單位圓上的情況就是況就是 ，因此也可以利用零極點圖對其，因此也可以利用零極點圖對其進行幾何求值。進行幾何求值。1z ()jX e10.4. 由零極點圖對離散時間傅立葉由零極點圖對離散時間傅立葉變換幾何求值變換幾何求值Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Pl

22、ot 其方法與拉氏變換時完全類似：其方法與拉氏變換時完全類似：整理ppt 考查動點在單位圓上移動一周時，各極點矢考查動點在單位圓上移動一周時，各極點矢量和零點矢量的長度與幅角變化的情況，即可量和零點矢量的長度與幅角變化的情況，即可反映系統(tǒng)的頻率特性。反映系統(tǒng)的頻率特性。例例1. 一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)( )(1)( )y nay nx n( )( )nh na u n11( ),1H zzaaz當當 時，時，ROC包括單位圓。包括單位圓。1a 1()1jjH eae整理ppt12()/jH eVV 顯然，顯然， 取決于取決于 的變化。的變化。11,V ()jH e2V v當當 時，時，01a()jH

23、 e當當 時，時， 有最小值。有最小值。隨隨 呈單調(diào)變化。呈單調(diào)變化。()jH e0()jH e在在 處，處， 有最大值。有最大值。a a1V2V jeRe zjIm z1 1整理ppt0.95a 相頻特性相頻特性一階系統(tǒng)的頻率特性：一階系統(tǒng)的頻率特性：01a幅頻特性幅頻特性整理pptv當當 時，時，10a a a1V2V jeRe zjIm z1 120.5a0.95a相頻特性相頻特性幅頻特性幅頻特性整理ppt 越小，極點靠原點越近，系統(tǒng)的頻率響越小，極點靠原點越近，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)越平緩，系統(tǒng)的帶寬越寬；此時應(yīng)越平緩，系統(tǒng)的帶寬越寬；此時 衰減衰減越快，越快， 上升越快。上升越快。a( )h

24、 n( )s n 越大，極點靠單位圓越近，系統(tǒng)頻響越越大，極點靠單位圓越近，系統(tǒng)頻響越尖銳，頻響的極大值越大，系統(tǒng)帶寬越窄，尖銳，頻響的極大值越大，系統(tǒng)帶寬越窄，相位的非線性程度越厲害。相位的非線性程度越厲害。a可以看出：可以看出：整理ppt例例2. 二階系統(tǒng)：二階系統(tǒng)：sin(1)( )( )sinnnh nru n01,0r（系統(tǒng)欠阻尼）（系統(tǒng)欠阻尼）2( )2 cos(1)(2)( )y nry nr y nx n1221( )1 2 cosH zrzr z極點：極點：1,2jzre零點：零點：0z （二階）（二階）整理ppt 考查動點在單位圓上移動一周時，各極點矢考查動點在單位圓上移動

25、一周時，各極點矢量和零點矢量的長度與幅角的變化情況，即可量和零點矢量的長度與幅角的變化情況，即可得到二階系統(tǒng)的頻率特性。得到二階系統(tǒng)的頻率特性。1V2V jejIm z1 13V Re z整理ppt 當當 從從 時，在靠近時，在靠近 處頻率響處頻率響應(yīng)會出現(xiàn)極大值。應(yīng)會出現(xiàn)極大值。0 若若r越接近于越接近于1， 的峰值越尖銳。由于的峰值越尖銳。由于極點遠離原點，極點遠離原點， 和和 的變化速率越慢。的變化速率越慢。()jH e( )h n( )s n 隨著隨著r減小，極點逐步靠近原點，頻率響應(yīng)趨減小，極點逐步靠近原點，頻率響應(yīng)趨于平坦，而于平坦，而 和和 的變化速率會加快。的變化速率會加快。(

26、 )h n( )s n整理ppt幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性二階系統(tǒng)的頻率特性：二階系統(tǒng)的頻率特性：01,0r整理ppt 當極點很靠近單位圓當極點很靠近單位圓時，也可以從零極點圖時，也可以從零極點圖粗略確定系統(tǒng)的帶寬。粗略確定系統(tǒng)的帶寬。4 更一般的情況，二階系統(tǒng)也可能更一般的情況，二階系統(tǒng)也可能 有兩個實數(shù)極點，此時系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)。有兩個實數(shù)極點，此時系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)。其特性相當于兩個一階系統(tǒng)級聯(lián)的結(jié)果。其特性相當于兩個一階系統(tǒng)級聯(lián)的結(jié)果。（二階系統(tǒng)具有重階實數(shù)極點的情況）（二階系統(tǒng)具有重階實數(shù)極點的情況）整理ppt Z變換的許多性質(zhì)與變換的許多性質(zhì)與DTFT的性質(zhì)相似，其推的性質(zhì)

27、相似，其推 論方法也相同。這里主要討論其論方法也相同。這里主要討論其ROC的變化。的變化。11( )( )x nXz1ROC:R22( )( )x nXz2ROC: R則則1212( )( )( )( )ax nbx naX zbXzROC：包括：包括12RR10.5 Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)1. 線性：線性：Properties of the Z-transform整理pptv 如果在線性組合過程中出現(xiàn)零極點相抵消，如果在線性組合過程中出現(xiàn)零極點相抵消，則則ROC可能會擴大?？赡軙U大。2. 時移時移(右移右移)：但在但在 和和 可能會有增刪?？赡軙性鰟h。ROC:R0z z v 由于信號時移

28、可能會改變其因果性，故會由于信號時移可能會改變其因果性，故會使使ROC 在在 ， 有可能改變。有可能改變。0z z ( )( )x nX zROC:R若若00()( )nx nnX z z則則整理ppt3. Z域尺度變換：域尺度變換：( )( )x nX zROC:R若若00( )( /)nz x nX z z0ROC: z R則則zR時時 收斂，故收斂，故 時，時， 收斂。收斂。 ( )X z0| /|z zR0( /)X z z0zz R當當 時，即為時，即為移頻特性移頻特性。00jze 若若 是一般復數(shù)是一般復數(shù) ，則，則 的零的零極點不僅要將極點不僅要將 的零極點逆時針旋轉(zhuǎn)一個角的零極

29、點逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度度 ，而且在徑向有，而且在徑向有 倍的尺度變化。倍的尺度變化。0z000jzr e0( /)X z z( )X z00r整理ppt1/21/202r 014. 時域反轉(zhuǎn)：時域反轉(zhuǎn)：( )( )x nX zROC:R若若1()()xnX zROC:1/ R( (收斂域邊界倒置收斂域邊界倒置) )則則v 信號在時域反轉(zhuǎn)，會引起信號在時域反轉(zhuǎn)，會引起 的零、極點的零、極點分布按倒量對稱發(fā)生改變。分布按倒量對稱發(fā)生改變。( )X z整理ppt即：即： 與與 的的零極點呈共軛倒量對稱零極點呈共軛倒量對稱。( )X z1()X zv 如果如果 是是 的零的零/ /極點極點, ,則則 就

30、是就是 的零的零/ /極點。由于極點。由于 也是也是 的零的零/ /極點，因此極點，因此iz1/iz1()X z( )X ziz( )X z1/iz也是也是 的零的零/ /極點。極點。1()X z則則 的的ROC為為1()X z223zizizRe0 0jIm*1/iz1/iz例：例：( )X z的的ROC為為1322z若若整理ppt5. 時域內(nèi)插時域內(nèi)插:( )( )x nX zROC:R 若若( )kx n ( / )x n k0n為為 的整數(shù)倍的整數(shù)倍k其它其它n則則( )()kkx nX z1ROC:kR( )( )( )()nrkkkk nnrXzxzx r zX z證明：證明：整理

31、ppt6. 共軛對稱性：共軛對稱性：v當當 是實信號時，是實信號時， ，于是有，于是有( )x n*( )( )x nx n*( )()X zXz表明表明如果如果 有復數(shù)零極點，必共軛成對出現(xiàn)。有復數(shù)零極點，必共軛成對出現(xiàn)。( )X z( )( )x nX zROC:R若若*( )()x nXzROC:R則則整理ppt12RRROC包括包括 如果在相乘時出現(xiàn)零極點抵消的情況則如果在相乘時出現(xiàn)零極點抵消的情況則ROC可能會擴大。可能會擴大。1212( )()( )( )mnnx nxm x nnm zx 1212( )( )( )( )mmx m Xz zXz Xz該性質(zhì)是該性質(zhì)是LTI系統(tǒng)系統(tǒng)

32、Z變換分析法的理論基礎(chǔ)。變換分析法的理論基礎(chǔ)。22( )( )xnXz2ROC : R1212( )( )( )( )x nx nXz Xz則則11( )( )x nXz1ROC : R若若7. 卷積性質(zhì)：卷積性質(zhì)：整理ppt8. Z域微分：域微分： 利用該性質(zhì)可以方便地求出某些非有理函利用該性質(zhì)可以方便地求出某些非有理函數(shù)數(shù) 的反變換，或具有高階極點的的反變換，或具有高階極點的 的的反變換。反變換。( )X z( )X z( )( )x nX zROC:R若若( )( )dX znx nzdz ROC:R則則整理ppt111( )()(1)( )1ndX zazzaau nnx ndzaz1

33、1( )()(1)()(1)nnax nau nau nnn 21( )1dX zazdzaz例例1. 1( )ln(1)X zazza整理ppt例例2：11 2( )(1)azX zazza11( )1na u nazza211 21()1(1)dazdzazaz 11 2( )(1)dX zazzdzaz( )( )nx nna u n整理ppt9. 初值定理：初值定理：則則(0)lim( )zxX z( )x n( )( )x nX z若若 是因果信號，且是因果信號，且 12( )(0)(1)(2)X zxxzxz( )nx n zzlim( )(0)zX zx時有時有顯然當顯然當證明：

34、證明：將將 按定義式展開有：按定義式展開有：( )X z整理ppt10. 終值定理終值定理 ： 若若 是因果信號，且是因果信號，且 ， 除了在除了在 可以有一階極點外，其它極點均可以有一階極點外，其它極點均在單位圓內(nèi)，則在單位圓內(nèi)，則 ( )x n( )( )x nX z( )X z1z1(1)( )limzzX z( )limnx n證明：證明：(1)( )zX z在單位圓上無極點在單位圓上無極點( )0,x n 0,n ( )X z 除了在除了在 可以有可以有 單階極點外，其它極點均在單位圓內(nèi)，單階極點外，其它極點均在單位圓內(nèi)， 1z 整理ppt1111(1)( ) (1)( )limli

35、m (1)( )limzzmnnmnzX zx nx n zx nx n(1)(1)( (0)( 1)lim(0)mxxx mxxmx(1)( )limlimmnx mx n 這其實表明：如果這其實表明：如果 有終值存在，則其終有終值存在，則其終值等于值等于 在在 處的留數(shù)。處的留數(shù)。( )x n( )X z1z 1(1)( )Res( ),1limzzX zX z整理ppt信號的極點的位置與信號終值之間關(guān)系示意圖信號的極點的位置與信號終值之間關(guān)系示意圖整理ppt10.6 常用信號的常用信號的Z變換對變換對Some Common Z-Transform Pairs整理ppt10.7 利用利用Z

36、變換分析與表征變換分析與表征LTI系統(tǒng)系統(tǒng) 一一. .系統(tǒng)特性與系統(tǒng)特性與 的關(guān)系的關(guān)系: :( )H zAnalysis and Characterization of LTI Systems Using Z-Transforms( )H z( )h n()jH e LTI系統(tǒng)的特性可以由系統(tǒng)的特性可以由 或或 描述，因描述，因而也可以由而也可以由 連同連同ROC來表征。來表征。 稱為稱為系統(tǒng)函數(shù)。系統(tǒng)函數(shù)。系統(tǒng)的特性應(yīng)該在系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的特性應(yīng)該在系統(tǒng)函數(shù)中有所表現(xiàn)。根據(jù)卷積性質(zhì)中有所表現(xiàn)。根據(jù)卷積性質(zhì)只要單位圓是在只要單位圓是在 的的ROCROC內(nèi)，將內(nèi)，將 在單位圓上在單位圓上求值（即求

37、值（即 ），）， 就變成系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。就變成系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。( )H z)()()(zXzHzY)(zH)(zHjze)(zH整理pptH(z)hk)(khZzH)(1zHZkh1)(zskhZkhZkZkyZzHkh整理ppthkH(z)xkyzs k = xk*hkX(z)Yzs(z) = X(z)H(z)整理pptH(z) 由系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)求解：H(z)=Zhk 由系統(tǒng)的差分方程寫出H(z)(zskxZkyZzH 由定義式整理ppt( )H zz 1. 因果性：因果性：如果如果LTI系統(tǒng)是因果的，則系統(tǒng)是因果的，則 時時 有有 所以所以 , 的的ROC是最外部極點的是最外部極點的外

38、部，外部， 并且包括并且包括 。 ( )0,h n 0n 2. 穩(wěn)定性：穩(wěn)定性：若若LTI系統(tǒng)穩(wěn)定，則系統(tǒng)穩(wěn)定，則 ， 即即 的的DTFT存在，表明單位圓在存在，表明單位圓在 的的ROC內(nèi)。內(nèi)。( )nh n ( )h n( )H z( )H z即即 的的ROC必包括單位圓。必包括單位圓。 因此，因此，因果穩(wěn)定的因果穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)其系統(tǒng)其 的全部極的全部極點必須位于單位圓內(nèi)，反之亦然。點必須位于單位圓內(nèi)，反之亦然。當當 是關(guān)是關(guān)于于 Z 的有理函數(shù)時，因果性要求的有理函數(shù)時，因果性要求 的分子階的分子階數(shù)不能高于分母階數(shù)。數(shù)不能高于分母階數(shù)。( )H z( )H z( )H z整理ppt例：

39、例：求單位延時器yk=xk1的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。)(zXkxz)( 11zXzkxz11zs)()()()()(zzXzXzzXzYzH利用z變換的位移特性，有根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義，可得即單位延時器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) 為z1 。整理ppt例：例： 一LTI離散系統(tǒng)，其初始狀態(tài)為y1=8，y2=2, 當輸入xk= (0.5)kuk時，輸出響應(yīng)為 yk= 4(0.5)kuk 0.5k(0.5)k1 uk1(0.5)kuk 求系統(tǒng)函數(shù)H(z)。)5 . 0()5 . 0)(1()5 . 0(5kukukkukykkk12115 . 011)5 . 01 (15 . 015)(zzzzY)5 . 01

40、()5 . 01 (5 . 15 . 0312121zzzz整理ppt對于初始狀態(tài)為y1=8, y2=2的一般二階系統(tǒng)2211122122112211018281)()(zazazaaazazazbzbbzXzY22125. 015 . 025. 15 . 2)(zzzzH)5 . 01 ()5 . 01 (5 . 15 . 0312121zzzzH(z)整理ppt241 121nxnynyny21nunxnny例 已知一因果LTI系統(tǒng)的差分方程為試確定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。若，用z變換確定上述系統(tǒng)的輸出)()(41)(21)(21zXzYzzYzzY112143411434111)41211 (1

41、)()()(zjzjzzzXzYzH4341j214341jz極點為，收斂域為21,21 11)(1zzzX整理ppt1111111( )( )( )1113311144442111331113311144244Y zX z H zjjzzzjjjjzzz1113311 443344212sin1 233nnnnjjy nju nju nu nnu n 整理ppt二二. LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的Z變換分析法：變換分析法：1） 由由 求得求得 及其及其 。 2） 由系統(tǒng)的描述求得由系統(tǒng)的描述求得 及其及其 。( )x n1ROC:R( )H z2ROC: R( )X z分析步驟：分析步驟：3） 由由

42、得出得出 并確定它并確定它 的的ROC包括包括 。4） 對對 做反變換得到做反變換得到 。( )( )( )Y zX z H z12RR( )y n( )Y z( )Y z整理ppt三三. 由由LCCDE描述的描述的LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的 :( )H z00()()NNkkkka y nkb x nk對方程兩邊做對方程兩邊做Z變換可得：變換可得：由差分方程描述的由差分方程描述的LTI系統(tǒng)，其方程為系統(tǒng)，其方程為00( )( )NNkkkkkka z Y zb zX z00( )NkkkNkkkb zH za z是一個有理函數(shù)。是一個有理函數(shù)。整理ppt( )H z的的ROC需要通過其它條件確定，如

43、：需要通過其它條件確定，如：1.系統(tǒng)的因果性或穩(wěn)定性。系統(tǒng)的因果性或穩(wěn)定性。 2.系統(tǒng)是否具有零初始條件等。系統(tǒng)是否具有零初始條件等。整理ppt1 nx nu n1（ ）6 10 nny nau n11（ ）（ ）23例：若系統(tǒng)的輸入是，那么輸出是。其中a是實數(shù)。61,6111)(11zzzX11111110101( ),1111211112323aazaY zzzzzz（5 ）3若 ,那么輸出是 。nnx12求該系統(tǒng)的差分方程。nny1472整理ppt1111113112116113510)()()(zzzzaazXzYzH3423673510) 1(47aaH解得：9a， 11113112

44、1161121)(zzzzzH212161651316131)(zzzzzH231 1613261 165nxnxnxnynyny整理ppt例：例：由下列差分方程做出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并求其系由下列差分方程做出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并求其系統(tǒng)函數(shù)統(tǒng)函數(shù) H(z) 和單位脈沖響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng) h(n)。)3(8) 1(5)()() 1 (nxnxnxny解：由方程可得解：由方程可得)()851 ()(31zXzzzY31851)(zzzH)3(8) 1(5)()(nnnnhFIR)(nx1z1z1z158)(ny整理ppt)() 3() 2(3) 1(3)() 2(nxnynynyny)()()331 (321z

45、XzYzzz31)1 (1)(zzH)()2)(1(21)(nunnnh解：由方程可得解：由方程可得利用利用Z變換的性質(zhì)可得變換的性質(zhì)可得IIR)(nx1z1z1z)(ny331整理ppt)()()()()()()(2121nmzzzzzzrzrzrzKzDzNzH0(2)(3)0.510.50.5j0.5j1jjRe(z)Im(z) 5 . 0 j5 . 0)(5 . 0 j5 . 0() 1)(5 . 0() j1)(j1()(23zzzzzzzzH系統(tǒng)函數(shù)可以表達為零極點增益形式，即D(z)=0的根是H(z)的極點，在z平面用 表示。N(z)=0的根是H(z)的零點，在z平面用 表示。例

46、如整理ppt)()()()()(2121nmzzzzzzrzrzrzKzHniiizzk1 1)()(111kuzkzHZkhkinii由系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零極點分布，可將H(z)展開成部分分式，對每個部分分式取z反變換可得hk。如H(z)為單極點時，有整理pptH(z)hkkkkk)Re(zkkkk)Im(z11jj|rk整理ppt離散LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是khk H(z)的收斂域包含單位圓則系統(tǒng)穩(wěn)定。因果系統(tǒng)的極點全在單位圓內(nèi)則該系統(tǒng)穩(wěn)定。由H(z)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：整理ppt試判斷下面因果LTI離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性該因果系統(tǒng)的收斂域為|z|1.5收斂域不包含單位圓，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。)5 .

47、 11)(5 . 01 (1)(11zzzH 從收斂域看系統(tǒng)的極點為z1=0.5, z2=1.5 極點z2=1.5在單位圓外，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。 從極點看整理ppt一因果離散系統(tǒng)如圖所示， 求 a) H(z) b)系統(tǒng)穩(wěn)定時k的范圍。 )()() 3/()(1zXzGkzzG)()4/()()(1zGzkzGzY11)3/(1)4/(1)(zkzkzH系統(tǒng)穩(wěn)定3k整理ppt由于由于系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定時，系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含單位圓，因此時，系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含單位圓，因此系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ej )可由可由H(z)求出。求出。單位圓D1D2N1N2z1z2p2p1112Re(z)Im(z)

48、ejniimjjpzzzKzH11)()()(jezniimjjpzKH1j1jj)e ()e ()e (jjjNzjje)e (iDpijije)e ()()( j2121j2121e)e (nmnmDDDNNNKH用用z平面平面pi和和zj點指向點指向單位圓上單位圓上ej 點的向點的向量表示量表示 )e (jH)(整理ppt已知某因果離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)1,112)1 ()(11zzzH試用向量法定性畫出該系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)。 0NDRe(z)Im(z)1ej當當 =0時時 2N1D121)e (0 jDNH0) 0 () 0 () 0 (當當 = 時時 0N1D021)e (0

49、 jDNH22)()()(當當0 0整理ppt0, 1) 1zkZazzakuaZk111)2011)31zzkuZ0e11e)41jj00zzkuZk整理ppt 只要所涉及的信號是因果信號，只要所涉及的信號是因果信號，單邊單邊Z變換變換除了時移特性與雙邊除了時移特性與雙邊Z變換略顯不同外，其它變換略顯不同外，其它性質(zhì)與雙邊性質(zhì)與雙邊Z變換的情況是一致的。變換的情況是一致的。二二. 單邊單邊Z變換的性質(zhì)：變換的性質(zhì)：整理ppt四、單邊四、單邊z變換的主要性質(zhì)變換的主要性質(zhì)111),(xzRzzXkx222),(xzRzzXkx1.1.線性特性線性特性)()(2121zbXzaXkbxkaxz)

50、,max(21xxRRz xzRzzXkx),(整理ppt求sin(0k)uk 和cos(0k)uk 的z變換及 收斂域利用線性特性，可得|z|01jj00e11ezkuZk201100cos21cos1)cos(zzzkuk201100cos21sin)sin(zzzkuk|z|0|z|0201101000cos21sinjcos1)sin(j)cos(zzzzkukkZ將上式改寫，可得整理ppt)(10nkknzkxzXzkunkxZ)(1nkknzkxzXzkunkxZxk n uk n znX(z) |z| Rx|z| Rx|z| Rx整理ppt)(1nkknzkxzXzkunkxZ

51、1)( 11xzXzkukxZ2 121xkukxZzkukxZ2 1)(12xxzzXz依此類推依此類推 可證上式成立可證上式成立)(zXz整理ppt求RNk=ukukN的z變換及收斂域利用因果序列的位移特性和線性特性，可得11111)(zzzzXN111zzN1,111zzkuZ由于RNk為有限長序列，故其收斂域為|z|0ROC擴大線性加權(quán)后序列z變換的ROC可能比原序列z變換的ROC大整理ppt)(azXkxaZkxRaROC整理ppt例：例：求ksin(0k) uk 的z變換及收斂域利用z變換的指數(shù)加權(quán)特性，可得1z201100cos21sin)sin(zzzkukz201100)/(

52、cos)/(21)/(sin)sin(zzzkukk201210cos2sinzzzaz 整理pptzzXzkkxd)(dxRROC整理ppt例：例：求xk=(k+1)akuk的z變換及收斂域利用z域微分特性，可得azazkuaZk,111kukaZkzazzd11d1azaz,)1 (121Zkkuak) 1(azazaz,)1 (211利用z變換的線性特性，可得整理ppt)()(2121zXzXkxkxROC 包含Rx1Rx22121nkxnxZkxkxZn證：21nkxZnxnnnznxzX)(12)()(21zXzX整理ppt利用z變換的卷積特性，以及1,111zzkuz0nxZkn*

53、0kukxnxkn0kuZkxZnxZkn11)(zzX可得xzRzzXkx),(設(shè)), 1max(xRz 整理ppt初值與終值初值與終值定理定理)(lim0zXxz)() 1(lim1zXzxz若(z1)X(z)的收斂域包含單位圓，則整理pptX(z) = 1/(1a z1) |z| a| 求x0， x1和 x 。)(lim0zXxz111limazz1limazzz根據(jù)位移特性有 0)( 1xzXzkukxz對上式應(yīng)用初值定理，即得 0)(lim 1 xzXzxzaazazzlim當a|1時，(z1)X(z)的收斂域包含單位圓，由終值定理，有 )() 1(lim1zXzxz0) 1(lim

54、1azzzz整理ppt求以下單邊周期序列單邊周期序列的單邊z變換。, 2, 1, 0, 12, 0, 2, 1, 0,2, 1nnknnkkx)1(0ikxkykii( (1) )( (2) )kukxN10lNkxl 若計算出x1k的z變換X1(z)，利用因果序列的和，則可求得其單邊的z變換為NllNzzXkukxZ)(10NzzX1)(11z分析：分析：周期為N的單邊周期序列xNkuk可以表示為第一個周期序列x1k及其位移x1klN的線性組合，即整理ppt求以下的單邊z變換。, 2, 1, 0, 12, 0, 2, 1, 0,2, 1nnknnkkx)1(0ikxkykii( (1) )(

55、 (2) )(1) xk可表示為 42kkkkx利用k的Z變換及因果序列的位移特性，可得242111)(zzzzX1z(2) 將yk改寫為 *) 1() 1(0kxkuikxkykkii由(1)題的結(jié)果及卷積特性，可得 )1)(1 (1)(21zzzY1z整理ppt 單邊單邊Z變換在將變換在將LCCDE變換為代數(shù)方程時，變換為代數(shù)方程時，可以自動將方程的初始條件引入，因而在解決可以自動將方程的初始條件引入，因而在解決增量線性系統(tǒng)問題時特別有用。增量線性系統(tǒng)問題時特別有用。三三. 利用單邊利用單邊Z變換分析增量線性系統(tǒng)：變換分析增量線性系統(tǒng)：( )3 (1)( ),y ny nx n( )( )

56、,x nu n( 1)1y 則則111( )3( )( 1)( )1Y zz Y zyzz11( )1 3H zz整理ppt11111( ) ( )313( )33( ) ( )131313Y zzzzH zzzzz 零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)111/49/411 3zz191( )( 3) ( )1 9( 3) ( )444nny nu nu n211 ( 3) ( )4 nu n強迫響應(yīng)強迫響應(yīng)自然響應(yīng)自然響應(yīng)整理pptzzzXkxkcd)(j211C為X(z) 的ROC中的一閉合曲線。 計算方法： 冪級數(shù)展開和長除法 部分分式展開 留數(shù)計算法整理pptnnmmzazazbzbbzAz

57、BzX111101)()()(1. mn，分母多項式無重根111)(zprzXiini各部分分式的系數(shù)為ipziizXzpr)()1 (1整理pptnnmmzazazbzbbzAzBzX111101)()()(2. mn，分母多項式在z=u處有l(wèi)階重極點ililiiilniuzqzprzX)1 (1)(110111, 0,)()1 ()(dd!)(111lizXuzziuquzliiii整理pptnnmmzazazbzbbzAzBzX111101)()()(3. mn)()()(1111zAzBzkzXiinmi按(1)(2)情況展開多項式整理ppt2115 . 05 . 015 . 02)(zzzzX, 15 .05 .05 .02)(:22kxzzzzzzX求例115 . 011zBzA將X(z)化為z的負冪，可得15 . 015