數(shù)學(xué)建模(飛行管理問(wèn)題)

1、飛行管理問(wèn)題摘要 讓飛機(jī)在某正方形區(qū)域內(nèi)安全飛行，便于進(jìn)行飛行管理，所以在飛機(jī)飛行過(guò)程 中，要適當(dāng)調(diào)整各架飛機(jī)的方向角（調(diào)整幅度盡量?。员苊獍l(fā)生碰撞。本文通過(guò)對(duì) 兩兩飛機(jī)飛行過(guò)程最小臨界距離大于 8km為入手點(diǎn)，以t時(shí)刻后飛機(jī)所處狀態(tài)為研究對(duì) 象。通過(guò)點(diǎn)的向量平移，找出臨界距離（8km視為界點(diǎn)，再通過(guò)兩點(diǎn)距離公式列出一 元二次不等式，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的情況，判斷 t的取值。當(dāng)AV0時(shí)，說(shuō)明方程無(wú)實(shí)數(shù)解，即該兩飛機(jī)不會(huì)碰撞。當(dāng) = >0時(shí)，說(shuō)明方程有實(shí) 數(shù)解，且可以求出對(duì)應(yīng)的t值，看t是否在規(guī)定區(qū)域范圍內(nèi)（OW t < 0.283h）。若t不在 范圍內(nèi)，說(shuō)明兩飛機(jī)在規(guī)定區(qū)域不

2、會(huì)發(fā)生碰撞， 而在區(qū)域范圍外會(huì)發(fā)生碰撞（不在我們 考慮范圍內(nèi)）若t在所規(guī)定范圍，說(shuō)明兩飛機(jī)會(huì)在區(qū)域范圍內(nèi)發(fā)生碰撞，此時(shí)應(yīng)調(diào)整各 架飛機(jī)的方向角。方向角的調(diào)整雖然在 30°內(nèi)有足夠空間（相應(yīng)的可行解就很多），但 又要求所調(diào)整的幅度盡可能?。ň鸵笪覀兦蟪鱿鄳?yīng)的最優(yōu)解），故當(dāng)調(diào)整一架飛機(jī)方向角后，應(yīng)該對(duì)應(yīng)判斷該飛機(jī)與其余各飛機(jī)是否會(huì)發(fā)生碰撞。最后，我們對(duì)模型的優(yōu)缺點(diǎn)和改進(jìn)方向作了分析。關(guān)鍵詞向量平移最短臨界距離方向角 調(diào)整幅度12一、問(wèn)題重述（略）二、模型假設(shè)：（1）不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于 8km（2）飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過(guò) 30°（3）所有飛機(jī)飛行速度

3、均為每小時(shí) 800km（4） 進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)該區(qū)域邊緣時(shí)，與區(qū)域內(nèi)的距離應(yīng)在60k m以上（5）最多需要考慮6架飛機(jī)（6）不必考慮飛機(jī)離開(kāi)此區(qū)域后的狀況（7）飛機(jī)調(diào)整方向角后，不受偏轉(zhuǎn)弧度的影響（8）每架飛機(jī)在調(diào)整角度后都沿調(diào)整后的方向角飛出區(qū)域外（9）新進(jìn)入的飛機(jī)在進(jìn)入?yún)^(qū)域的瞬間，不考慮計(jì)算機(jī)記錄時(shí)的時(shí)間間隔飛機(jī)所飛 行的距離（即該時(shí)間間隔忽略不計(jì)）（10）每架飛機(jī)都視為質(zhì)點(diǎn)三、符號(hào)說(shuō)明:i, j表示飛機(jī)編號(hào)（i,j =123,4,5,6）Xi表示第i架飛機(jī)所處位置的橫坐標(biāo)yi表示第j架飛機(jī)所處位置的縱坐標(biāo)表示第i架飛機(jī)的初始方向角 表示第i架飛機(jī)所調(diào)整的方向角t表示各架飛機(jī)飛行過(guò)程

4、達(dá)到最短臨界距離所用時(shí)間Sij 表示t時(shí)刻后第i架飛機(jī)與第j架飛機(jī)的距離（i工j ）A表示第i架飛機(jī)初始記錄的點(diǎn)的坐標(biāo)Bi表示第i架飛機(jī)經(jīng)t時(shí)刻后的點(diǎn)的坐標(biāo)a表示第Ai點(diǎn)經(jīng)過(guò)t時(shí)刻后所平移的向量四、模型建立與求解由假設(shè)（1）,我們簡(jiǎn)單分析兩架飛機(jī)的情形，最終直接運(yùn)用于多架飛機(jī)的情形，題 目要求飛機(jī)間兩兩不碰撞。首先我們?cè)诓徽{(diào)整各架飛機(jī)方向角時(shí)， 按各飛機(jī)初始位點(diǎn)來(lái) 判斷各飛機(jī)的碰撞情況，從圖（一）中可以大致估算兩兩飛機(jī)在區(qū)域范圍內(nèi)的飛行情況， 從而可以初步預(yù)測(cè)和排除部分飛機(jī)的碰撞情況。每架飛機(jī)在區(qū)域范圍內(nèi)飛行的時(shí)間范圍為 0, 0.283h，即從原點(diǎn)沿正方形區(qū)域?qū)?角線飛出的飛機(jī)所用時(shí)間最大為

5、0.283h。平移向量為 ai= (vtcos ",vtsin “)，A=(Xi ,y J,B i =(Xi+vtcos E,yi+vtsin »)我們建立初始模型:mi nSjj8，或 mi n© )2 _ 64(i,j=1,2,3,4,5,6 i工 j)0< t < 0.283h問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：min(Sj )2 =(債-Xj) + vt(cosq -cos®)2 +(厲一比)+ vt(sin_sin6j)2>640< t < 0.283h用上述不等式判斷初始時(shí)刻兩兩飛機(jī)的碰撞情況，mind)2 =(-150 800t(co

6、s52o -cos220.5o)2 (-155 800t(sin52o -sin220.5o)2>64 即(-150 1100.8t)2 (-155 1149.6t)2 >64進(jìn)而有：2253334082 -686616t46461 > 0因?yàn)檑?gt;0,所以可以求出一元二次方程22533340.8t2 -686616t 46461=0 的兩個(gè)根 t,=0.13h, t2=0.14hX、t 0，0.283，可知 6、3 飛機(jī)會(huì)在0.13，0.14時(shí)間范圍內(nèi)發(fā)生碰撞。min( S43)2 =(145 - 150) 800t(cos 159 0 - cos 220 .5

7、6;)2(50 -155)800t(si n 159° - s in 220 .5°)2 > 64即(-5 1392t)2(-105 805.6t)2>6422586655.4t-155256t10986>0因?yàn)?iv0,所以一元二次方程2586655.4t2 -155256t10986= 0無(wú)實(shí)數(shù)解，即4、3飛機(jī)不會(huì)發(fā)生碰撞。同理，可以判斷，其余各架飛機(jī)按初始方向角飛行的碰撞情況如表(一)所示： (T表 示會(huì)發(fā)生碰撞，F(xiàn)表示不會(huì)發(fā)生碰撞)飛機(jī)編號(hào)1234561FFFFF2FFFFF3FFFFT4FFFFF5FFFFT6FFTFT表(一)從圖(一)初位點(diǎn)可

8、以直觀看出，當(dāng)厶二6增大時(shí)，它與原來(lái)不發(fā)生碰撞的飛機(jī) 1、2仍 保持不碰撞，又厶機(jī)的可調(diào)范圍為30o內(nèi)，此時(shí)以厶6=30。，其余飛機(jī)保持原來(lái)的方向角不調(diào)整進(jìn)行計(jì)算，可使得每架飛機(jī)都不發(fā)生碰撞。但要使方向角的調(diào)整幅度盡量小， 應(yīng)該盡量讓每架飛機(jī)都進(jìn)行稍微的調(diào)整。下面我們給定:-6=5.00 0并判斷出6與3、5飛機(jī)不發(fā)生碰撞，但此時(shí)6與4會(huì)發(fā)生碰撞，則我們只需對(duì)應(yīng)給厶4=5.00 0就可保證6 與4不發(fā)生碰撞。從而有表(二)調(diào)整方式：飛機(jī)編號(hào)(i)123456日i0005.0005.00表(二)最終模型：2 2min( Sij) =(Xi _Xj) vt(cos(十：刁)_cos(6)-yj) vt(si nU；i)-si n()2> 64(i, j = 1,2,3,4,5,6 i = j)0< t < 0.283hX ,Tj < 30oV=800km/h五、模型的優(yōu)缺點(diǎn)與分析優(yōu)點(diǎn)：在調(diào)整各飛機(jī)偏轉(zhuǎn)的方向角時(shí)，我們只調(diào)整少數(shù)飛機(jī)，能把問(wèn)題的計(jì)算簡(jiǎn)單 化，而且借助各架飛機(jī)初始位點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線，更直觀地初步判斷各飛機(jī)于某時(shí)刻的基本碰撞情況。缺點(diǎn)：調(diào)整各飛機(jī)方向角時(shí)，只調(diào)整少數(shù)飛機(jī)，使得要調(diào)整的方向角幅度較大，所 以找到的角度不能達(dá)到最優(yōu)，只是可行解。假設(shè)(9)中過(guò)于理想化，與實(shí)際的情況還 有一定差距，比如，在飛機(jī)的飛行過(guò)程中