數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模第七次作業(yè)數(shù)理統(tǒng)計實驗

1、數(shù)學(xué)模型第七次作業(yè) 數(shù)理統(tǒng)計實驗71實驗?zāi)康呐c要求學(xué)會對數(shù)據(jù)的參數(shù)進行估計和作相應(yīng)的假設(shè)檢驗學(xué)會對分布進行檢驗和數(shù)據(jù)的秩檢驗建立相應(yīng)的統(tǒng)計模型，并用R軟件求解7.2基本實驗 1.區(qū)間估計已知某種燈泡壽命服從正態(tài)分布，在某星期所生產(chǎn)的該燈泡屮隨機抽 取10只，測得其壽命(單位：小時)為1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948(1) 試問這批燈泡中大約95%的燈泡至少使用多少小時;(2) 求這批燈泡能夠使用1000小時以上的概率。解：(1)根據(jù)題意，使用R軟件求解，編輯程序如下：> X<-c(l 067,919,1196,785,1126,

2、936,918,1156,920,948)> ttest(X,al=" g)得到如下結(jié)果:One Sanp let-testdata: Xt = 23.9693, df=9, p-value = 9.148e-10alternative hypothesis true mean is greater than 095 pei'cent confidence inteival920.8443 Infsample estimatesmean of x997 1由此知道這批燈泡中大約95%的燈泡至少使用920.8443小時。> x<-c(l 067,919,119

3、6,785,1126.936,918,1156,920,948)>x1 1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948> pnoiTn(l 000>mean(x),sd(x)1 0 5087941由此知道求這批燈泡能夠使用1000小時以上的概率為50.87941%假設(shè)檢驗I正常男子血小板計數(shù)均值為225x109/L,今測得20名男性油漆作業(yè)工人的血小板計數(shù)值(單位:10九)220188162230145160238188247113126245164231256183190158224175問油漆工人的血小板計數(shù)與正常成年男子有無差異，

4、并說明油漆作業(yè) 對人體血小板計數(shù)是否有影響。解:根據(jù)題意，設(shè)原假設(shè)為H0:與正常男子血小板計數(shù)無差異，對立假設(shè)H1:與正常男子血小板計數(shù)有差異?？梢允褂肦軟件求解此問題，>x<-c(220, 188,162, 230, 145, 160, 238, 188, 247, 113,126, 245, 164, 231, 256, 183, 190, 158,224,175)> t test(x>mu=225,alternative less11)得到如下結(jié)果：One Sample t-testdata: xt =3 4783, df= 19, p-value = 0 001

5、258alteinaUve hypothesis true mean is less tlian 22595 percent confidence inteival-Inf 208.4806sample estimates:mean of x19115做出原假設(shè)：油漆工人的血小板計數(shù)與正常成年男子無差異；做出備 擇假設(shè)：油漆工人的血小板計數(shù)與正常成年男子有差異。此時的P值為0.002516小于0.05,拒絕原假設(shè)，因此認(rèn)為油漆工人的 血小板計數(shù)與正常成年男子有差異。3假設(shè)檢驗II為研究國產(chǎn)四類新藥阿卡波糖膠囊效果，某醫(yī)院用40名II型糖尿病病人進行同期隨機對照試驗。試驗者將這些病人隨機等分到試

6、驗 組(阿卡波糖膠囊組)和對照組(拜唐蘋膠囊)，分別測得試驗開始前和8 周后的空腹血糖，算得空腹血糖下降值如表下：試驗組-0.70-5.60 2.002.800.703.50 4.005.807.10-0.502.50 -1.601.703.000.404.504.602.506.00-1.40對照組3.706.505.005.200.800.200.603.406.60-1.106.003.802.001.602.002.201.203.101.70-2.00(1) 假設(shè)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，試用t檢驗(討論方差相同和方差不同兩 種情況)和成對t檢驗來判斷：國產(chǎn)四類新藥阿卡波糖膠囊拜唐蘋膠 囊對

7、空腹血糖的降糖效果是否相同？并分析三種檢驗方法各自的優(yōu) 越性。(2) 檢驗試驗組和對照組的數(shù)據(jù)的方差是否相同？解：(1)根據(jù)題總：建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)：H0： ,11=)12即阿卡波 糖膠囊組與拜糖平膠囊組空腹血糖下降值總體均數(shù)相等；H1： 口工 2即阿卡波糖膠囊組與拜糖平膠囊組空腹血糖下降值總體均數(shù)不相 等；ol=0.05。使用t檢驗，若兩組數(shù)據(jù)方差相同時，編輯R軟件程序如下：>x<-c(-060,250,4 00,5.«,7 10,-0 50,2.50,-1 60,1 70,3 00,0 40,4.50,4 60,2.50,6 00,-1 40)>y<

8、;-c(3.70>6 50,5 00,5.20,0 80,0.20,0 60,3 40,6 60,-1 10;6 00 80,2 00,1 60 00,2.20,1 20,3 10,1 70,-2.00)> t test(x,y,var equal=TRUE)得到如下結(jié)果：Two Sample t-testdata: x and yt = -0.6419r df = 38, p-vaiue = 0.5248alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 095 percent confidence i

9、nterval:-2.3261791.206179sample estimates:mean of x mean of y2.0652.625分析結(jié)果，p-value=0.5248>0.05,所以接受原假設(shè)HO,即試驗組與對照組沒有顯著差異。根據(jù)題意，若兩組數(shù)據(jù)方差不同時，利用R軟件進行t檢驗：> ttest(x,y)得到如下結(jié)果Welch Two Sample t-testdata: x and yt = -0.6419, df = 36.086, p-value = 0.525alternative hypothesis: true difference in means is

10、 not equal to 095 percent confidence interval:-2.329261.20926sample estimates:mean of x mean of y2.0652.625因此試驗組與對照組的沒有顯著差異。進行成對t檢驗：> t test(xypaired=TRUE)得到如卜結(jié)果：Paired t-testdata: x and yt = -0.6464f df = 19r p-vaiue = 0.5257alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 095 pe

11、rcent confidence interval:-2.3731461.253146sample estimates:mean of the differences-0.56即試驗組與對照組的結(jié)果也沒有顯著差異。故三中檢驗的結(jié)果都顯示兩組數(shù)據(jù)均值無差異。對比三種檢驗方式，如果兩個樣本是成對的，應(yīng)該使用成對的t檢驗，如果不使用成對t檢驗，t值會變小，p值會變大，準(zhǔn)確性差了很多。(2)方差檢驗：> var test(x,y)得到如下結(jié)果：F test to compare two variancesdata: x and yF = 1.5984, num df = 19r denom df

12、 = 19, p-value = 0.3153 alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 55 percent confidence interval:0.6326505 4.0381795sample estimates:ratio of variances1.598361故兩組數(shù)據(jù)方差相同。某醫(yī)院研究乳腺癌家族史對于乳腺癌發(fā)病率的影響。假設(shè)調(diào)查了 10000名50-54歲的婦女，她們的母親曾患有乳腺癌。發(fā)現(xiàn)她們在那 個生存期的某個時刻有400例乳腺癌，而全國在該年齡段的婦女乳腺 癌的患病率為2%,這組

13、數(shù)據(jù)能否說明乳腺癌的患病率與家族遺傳有 關(guān)。解:根據(jù)題意提出假設(shè)：建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)：H0：円0=2%即 患病率相符；Hl： pHpO即患病率不符；a=0.05o使用R軟件進行校驗：> binom. test (400, 10000, p=0. 002)得到如下結(jié)果：Exact binomial testdata:400 and 10000number of successes = 400, number of trials = 10000r p-value <2.2e-16alternative hypothesis: true probability of succes

14、s is not equal to0.00295 percent confidence interval:0.03624378 0.04402702sample estimates:probability of success0.04檢驗岀P值<0.05,因此不符合原假設(shè)，即這組數(shù)據(jù)不能說明乳腺癌的患病 率與家族遺傳有關(guān)。5.分布檢驗IMendel用豌豆的兩對相對性狀進行朵交實驗，黃色圓滑種子與綠色皺 縮種子的豌豆雜交后，第二代根據(jù)自由組合規(guī)律，理論分離比為黃圓: 黃皺：綠圓：綠皺秒圧：£。實際實驗值為潢圓315粒，黃皺101 16 16 16 16粒，綠圓108粒，綠皺32粒

15、，共556粒，問此結(jié)果是否符合自由組合規(guī) 律？解：根據(jù)題意提岀假設(shè)：建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)：H0：結(jié)果符合自由組合規(guī)律；H1：結(jié)果不符合自由組合規(guī)律；a=0.05o使用R軟件進行校驗，利用pearson卡方檢驗是否符合特定分布：> chisq. test (c (315, 101, 108, 32), p=c (9, 3, 3, 1)/16)得到如下結(jié)果：Chi-squared test for given probabilitiesdata: c(315, 101, 108, 32)X-squared = 0.47r df = 3r p-value = 0.9254分析結(jié)果結(jié)果p值

16、為0.9254>0.05,所以接受原假設(shè)，即此結(jié)果符合自由組合規(guī)律。6.分布檢驗II觀察每分鐘進入某商店的人數(shù)X,任取200分鐘，所得數(shù)據(jù)表7.1所 示。試分析，能否認(rèn)為每分鐘顧客數(shù)X服從Poisson分布(a=0.1).表7.1數(shù)據(jù)表顧客人數(shù)012345頻數(shù)9268281110解：根據(jù)題總提出假設(shè)：建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)：H0：每分 鐘顧客數(shù)X服從Poisson分布；H1：每分鐘顧客數(shù)X不服從Poisson分布; oc=0.1。使用R軟件進行校驗：首先利用peaison卡方檢驗是否符合泊松分布：> X<-0:5;Y<-c (92, 68,28, 11, 1, 0)

17、> q<-ppois (X, mean (rep (X, Y);> n<length(Y)> p<numeric (n);> pl<ql；> pn<-l-qn-l;> for (i in 2： (nl)+ pi<-qi-qi-l> chisq. test (Y, p=p)得到如下結(jié)果：Chi-squared test for given probabilitiesdata: YX-squared = 2.1596, df = 5, p-value = D.8267警告信息：In chisq .test (Yz p =

18、 p) : Chi-squared近似算法有可能不準(zhǔn)得到警告，因為PeaisonX2檢驗要求在分組后，至少要人于等于5,而后兩組中出現(xiàn)的顧客數(shù)是1, 0,均小于5,重新分組，合并頻數(shù)小 于5的組：> Z<-c (92, 68, 28, 12)> n<"length(Z); p<n)l：n*l ; pn<*l*qn*l> chisq test(Z, p=p)得到如下結(jié)果：Chi-squared test for given probabilitiesdata: ZX-squared = 0.5113r df = 3, p-value = D.8

19、227分析結(jié)果，p值為0.8227>0.1,因此接受原假設(shè)，即每分鐘顧客數(shù)X服從Poisson分布。7.分布檢驗III一般認(rèn)為長途電話通過電話總機的過程是一個隨機過程，其間打進電 話的時間間隔服從指數(shù)分布，某個星期下午1： 00以后最先打進的10 個電話的時間為1:06 1:08 1:16 1:22 1:23 1:34 1:44 1:47 1:51 1:57試用Kolmogorov-Sniimov檢驗分析打進電話的時間間隔是否服從指 數(shù)分布。解：根據(jù)打進的電話時間算出時間間隔:1:001:061:081:161:221:231:341:441:471:511:57628611110346

20、建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)：H0：打進電話的時間間隔服從指數(shù) 分布；H1：打進電話的時間間隔不服從指數(shù)分布；a=0.05o假設(shè)指 數(shù)分布的參數(shù)入為Ao.l,利用R軟件進行檢驗：10x<-c (6, 2, 8, 6, 1,11, 10, 3, 4, 6)ks test (x. "pexp", 0 1)得到如下結(jié)果：One-sample Kolmogorov-Smirnov testdata: xD = 0.3329 r p-value = 0.2178alternative hypothesis: two-sided因此P值為0.2178>0.05,因此接受原假設(shè)

21、，即打進電話的時間間隔是否服從指數(shù)分布。8列聯(lián)表檢驗I向120名女性和120名男性做調(diào)查，了解他們關(guān)于給誰買節(jié)日禮物最難 的看法，調(diào)查結(jié)果如表7.2所示。試分析:女性和男性在關(guān)于給誰買節(jié) H禮物最難的看法上有沒有顯著差界。表72關(guān)于給誰買節(jié)日禮物最難的看法性別給i隹買節(jié)H禮物最難配偶父僚了女兄弟姐妹姻親其他親屬女性283423一1315男性423191120解：根據(jù)題意，利用R軟件輸入數(shù)據(jù)，使用cliisq.testO作檢驗。> compare<matr ix (c (28, 42, 34, 31, 23, 9, 7, 11, 13, 7, 15, 20), nr =2, dimn

22、ames=list (c (“ 女性"，"男性")，C (配偶","父母，"子女"，兄弟姐妹"，"姻親"，"其他親屬")> chisqtest(compare, correct二TRUE)得到如下結(jié)果：Pearson fs Chi-squared testdata: compareX-squared = 12.4666f df = 5 r p-value = 0.02892由于p值為0.02892<0.05,因此拒絕原假設(shè)，認(rèn)為女性和男性在關(guān)于 給誰買節(jié)日禮物最難

23、的看法上是有顯著差異的。9 列聯(lián)表檢驗II為研究人腦的左右半球惡性腫瘤的發(fā)病率是否有顯著差界，對人腦惡 性腫瘤和良性腫瘤的發(fā)病情況做了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表7.3所示.試進 行分析。表7.3人腦左右半球惡性腫瘤和良性腫瘤的發(fā)病情況良性惡性合計左半球9312右半球134合計10616解:根據(jù)題意，其所給數(shù)據(jù)不滿足x 2檢驗條件，固使用Fisher精確檢驗。> x<-matrix(c (9, 1, 3, 3), nc=2)> fisher test (x)得到如下結(jié)果：Fisher fs Exact Test for Count Datadata: xp-value = 0.1181

24、alte匸native hypothesis: true odds ratio is not equal to 155 percent confidence interval:0.4313171 521.0928115sample estimates:odds ratio7.63506由此計算出的p 值=0.1181>0.05,并且區(qū)間估計得到的區(qū)間包含有1,因此說明兩個變量是獨立的，即認(rèn)為左右半球惡性腫瘤的發(fā)病率并無顯著差異。10. Wilcoxon秩和檢驗I(1) 為了了解新的數(shù)學(xué)教學(xué)方法的效果是否比原來方法的效果有所提 高，從水平相當(dāng)?shù)?0名學(xué)生中隨機地各選5名接受新方法和原方法的

25、 教學(xué)試驗。專家對10名學(xué)生的數(shù)學(xué)能力予以綜合評估，并按其數(shù)學(xué)能 力由弱到強排序如下新方法357910原方法 12468對(尸0.05,檢驗新方法是否比原方法顯著地提高了教學(xué)效果。(2) 若新方法與原方法得到排序結(jié)果改為新方法467910原方法 12358能否說明新方法比原方法顯著提高了教學(xué)效果？解：(1)因為WUCOXOI1秩和檢驗本質(zhì)只需排出樣本的秩次，而且題冃中的數(shù) 據(jù)本身就是一個排序，因此可直接使用，編寫R程序如下：> X<-C (3, 5, 7, 9, 10)> y<-c (1, 2, 4, 6, 8)> wilcox test (x, y, alter

26、native二"greater")得到如下結(jié)果：Wilcoxon rank sum testdata: x and yW = 19, p-value = 0.1111alternative hypothesis: true location shift is greater than 0 得到的p 值為0.1111>0.05,因此接受原假設(shè)，即并不能認(rèn)為新的教學(xué)效 果顯著優(yōu)于原方法。同第一問，編寫R程序如卜：> X<-C (4, 6, 7, 9, 10)> y<c (1, 2, 3, 5, 8)> wilcox test (x, y, a

27、lternative二"greater")得到如下結(jié)果：Wilcoxon rank sum testdata: x and yW = 21, p-value = 0.04762alternative hypothesis: true location shift is greater than 0得到的p值為0.0.04762<0.05,因此拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為新方法比原方 法顯著提高了教學(xué)效果。11. Wilcoxon秩和檢驗II為比較一種新療法對某種疾病的治療效果，將40名患者隨機地分為兩 組，每組20人，一組采用新療法，另一組用原標(biāo)準(zhǔn)療法.經(jīng)過一段時 間的治療后，

28、對每個患者的療效作仔細(xì)的評估，并劃分為差、較差、 一般、較好和好五個等級.兩組中處于不同等級的患者人數(shù)如表7.4 所示。試分析，由此結(jié)果能否認(rèn)為新方法的療效顯著地優(yōu)于原療法(a =0.05)o表7.4不同方法治療后的結(jié)果等級差較差一般較好好新療法組01973原療法組221141解：根據(jù)題意，可以將不同方法治療后的結(jié)果用5個不同的值表示，1表示 最差，5表示最好，這樣就可以為這些病人排序，因此，可用Wilcoxon 秩和檢驗來分析問題。編寫R程序：> x<rep (1:5, c (0, 1, 9, 7, 3)> y<"rep (1:5, c (2, 2, 11,

29、 4, 1)> wilcox test (x, y, exact二F)得到如下結(jié)果：Wilcoxon rank sum test with continuity correctiondata: x and yW = 266, p-value = 0.05509alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0由計算結(jié)果知道p的值為0.05509人于0.05,不能拒絕原假設(shè)，尚不能 認(rèn)為新方法的療效顯著優(yōu)于原療法。7.3加分實驗(產(chǎn)品裝箱問題)A廠把加工好的螺母封裝成盒，標(biāo)準(zhǔn)為200個/盒。封裝好的產(chǎn)品賣 給用戶。如果

30、盒屮的螺母個數(shù)少于200,會造成用戶的生產(chǎn)線停頓， 用戶會因此向該廠索賠。(1)封裝生產(chǎn)線采用稱重計數(shù)的方式。已知螺母的重量XN(100,4)(單 位：克)，封裝時電腦自動稱量盒中螺母的重量，并由此估計螺母的 個數(shù)，顯示在屏幕上。控制人員通過終端設(shè)定每盒屮應(yīng)該裝填的螺母 數(shù)，就可以開動由電腦控制的封裝線了。為了盡量避免出現(xiàn)不足的情 況，控制人員設(shè)定的裝填個數(shù)一般比200大一些。假定盒了及其誤差 可以忽略不計，電子稱稱量重量為卩克的物體所得讀數(shù)服從均值為卩, 標(biāo)準(zhǔn)差為3的正態(tài)分布。(1) 試問：設(shè)定的個數(shù)至少為多少時，才能保證盒中實際螺母數(shù)少于200 的概率不大于0.0001?(ii)設(shè)每個螺母

31、成本為1元錢，用戶每天需要200盒螺母，用戶的生產(chǎn) 線每停頓一次損失5000元，這些損失全部由A廠承擔(dān)。問設(shè)置數(shù)為多 少時該廠的平均損失最少？(2) 若螺母重量分布的方差未知，采用下列方法：開始時放5個在盒中 并從控制終端輸入盒中個數(shù)為5,如此直至盒中有20個。在此過程中， 電腦會自動稱量盒中螺母并記錄下每5個螺母的重量。然后，可以開 始上述的封裝過程。此時，試回答上述兩個問題。解：(1)使用Matlab和R軟件兩種方法求解(兩種思路)第一問使用兩種方法求解(Matlab和R軟件)使用Matlab求解：對題目意思的理解說明：1) 題目中的正態(tài)分布N(100,4)中的4看做標(biāo)準(zhǔn)差，若為方差，可以

32、 在程序中將sigma改為2即可。2) 電腦根據(jù)稱重情況T判斷是否符合設(shè)定個數(shù)n的原則： rowid(T/100)=ii就表示滿足要求。應(yīng)用MC方法對系統(tǒng)進行模擬，系統(tǒng)模擬封裝100萬盒螺母，源程序 如下：»function y=test2(n)%該程序計算一直終端控制個數(shù)時，求P(m<200),即實際個數(shù)小于200的個數(shù)%采用MC算法%輸入?yún)?shù)：n表示終端控制個數(shù)，輸出為概率ymax=210;mu=100;sigma=4;T=0;ail=1000000;out=0;D=tril (ones (max,max) , 0) ; % F三角矩陣for t=l:allif mod(t

33、rall/100)=0disp (正在計算次數(shù)，,num2str (t)剩余次數(shù),numZstr (all-t) , *請等待.)；endTO = normrnd (mur sigmarmaxr 1) ; % 生成一扌比螺母T0=D*T0； %累加螺母重量T=nonnrnd(T0,3);場機器稱重T=round (T/1UU);彳機器估算個數(shù)if find (T=n) <200%實際個數(shù)小于200就計數(shù)out = out +1;endend h for t y=out/all;end得到設(shè)定202個可以滿足要求。具體結(jié)果如下衣所示:設(shè)定個數(shù)實際個數(shù)少于Z00個的概率2000.176720

34、10.00362025.00E-062030使用R軟件求解：若使用R軟件進行求解，可套用現(xiàn)成的函數(shù)，題目可以理解為當(dāng)測 量總重量W>= N*100的時候裝盒結(jié)束，N為電腦設(shè)置的。盒了中實 際的螺母數(shù)量是隨機的，可能比N大也可能比N小。冃的是當(dāng)W剛 好大于NFOO的時候，實際螺母數(shù)量<=199的概率小于O.OOOlo 這個條件可以認(rèn)為等價于裝到199個的時候，總重量W199 >= N*100的概率小于O.OOOloW_199等于199個螺母重量加上秤的誤差，所以分布為N(199*100, sqit( 199*4A2+3A2)從N=200開始增加，直到P(W_199>=N*100)小于0.0001編程如卜：> sim <