數(shù)學(xué)物理方程第一章基礎(chǔ)概念

1、第一章典型的推導(dǎo)即皋本概念本章討論偏微分方程及此定解問(wèn)題冇關(guān)的茲本概念和物理模熨，討論某些一般性的原 理、方法。這樣，對(duì)從總體上了解課程的特點(diǎn)、內(nèi)容、方法有重要的作用由于我們耍討論 的這些偏微分方程都來(lái)自物理問(wèn)題，因此我們先研究如何推導(dǎo)出這些方程，并給出相應(yīng)的定 解條件?；蠛?jiǎn)單地介紹一卜二階線性偏微分方程的分類。1.1弦振動(dòng)方程與定解條件數(shù)學(xué)物理方程中研究的問(wèn)題-般JI仃卜両兩個(gè)：一方而是描述某種物理過(guò)程的微分方 程：另一方而是表示一個(gè)特定的物理現(xiàn)象的具體的表達(dá)式。我們通過(guò)推S弦振動(dòng)方程引入這 些概念。1.1.1方程的導(dǎo)出設(shè)冇一根理想化的眩，ft橫截面的直徑與弦的長(zhǎng)度相比非常小，整個(gè)弦可以任

2、意變形, 其內(nèi)部的張力總是沿著切線方向。設(shè)其線密度為p ,長(zhǎng)度為Z,平衡時(shí)沿點(diǎn)線拉緊，除受不隨時(shí)間變換的張力作用及弦本身的朿力外，不受外力的影響。卜面研究弦作微小橫向振動(dòng)的規(guī)律。建立坐標(biāo)系如圖11, 所謂橫向，是指運(yùn)動(dòng)全部在某一包含X軸的、卜面內(nèi)進(jìn)行，H在振動(dòng)過(guò)程中，弦上各點(diǎn)在X 軸方向上的位移比在u軸方向上的位移小得多，前者町以忽略不計(jì)。因此用時(shí)刻£、弦上的 橫坐標(biāo)為x的點(diǎn)在"軸方向上的位移u(x9t)來(lái)描述弦的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。所謂“微小”，不僅指振動(dòng)的幅度u(x,t)很小，同時(shí)認(rèn)為切線的傾角也很小，即F時(shí)刻，任選一段眩，其每一點(diǎn)的位置如圖11所示。其中u(x,f) = |MN

3、|，且弧 M'M = ds現(xiàn)在建立位移滿足的方程。首先，我們將弦段上的運(yùn)動(dòng)，近似認(rèn)為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，我們得到在X軸方向，弦段阿受力總和為Fx = -T cosa+ T'cosa因?yàn)橄抑蛔鳈M向振動(dòng)，在x軸方向沒(méi)仃位移，因此合力為0,即一 Tcosa+ 7rcosa= 0由J是微小振動(dòng)因此go；近似為0【大I此由泰勒公式x? x4COSX = 1+ + 2!4!cosa« cosar«1當(dāng)略去打階無(wú)窮小時(shí)，有代入(1.1.1)可以得到T=Tf在以軸方向上，弦段受力的總和為F“ = - Tsin a+ T9sin a 一 pgdssin a &#

4、171; tan a =dz(x/)sin a « tan a =dii(x + dx.t)由=卜(警與dx z弧段陋岡在r時(shí)刻，沿丸方向運(yùn)動(dòng)的加速度近似為丁),三為弧段陋昭的質(zhì)心。所-Tsnia+ rsina-pgdx = pdx-Pg舐 Q pdx。1笄)由微分中值定理可得九(x + &dxj) IJ J d2u(x,t)一總一杵卡d"w令dVTO,得到d2u(x,t)d2u(x,t)丁飛廠卡十Wdt2T d2u(x.t) _ d2u(x,t)丄 c *»>+ gp dr通常情況卜，張力較人時(shí)弦振動(dòng)速度變化很快，即孚比g人很多，所以g可以略去。令

5、 arT=-得到(1.1.2)2 d2u(x,t) _ d2u(x,t)忒dr稱式(i.i.2)為振動(dòng)方程,未知函數(shù)u只含有兩個(gè)變量斗,其中r表示時(shí)間,x表示空間 位宣，因此該方程又叫i維波動(dòng)方程。在振動(dòng)過(guò)程屮，如果弦上還受到一個(gè)與振動(dòng)方向平行的外力，r時(shí)刻弦上x(chóng)點(diǎn)處的外力密度為利用上述推導(dǎo)過(guò)程得到dzu(x.t)&2dzu(x.t)dt2(1.1.3)式«|«/(x,O = -F(x,0 ,表示r時(shí)刻單位質(zhì)量的弦在x點(diǎn)處所受的外力，與函數(shù)u(x9t)無(wú) P關(guān)的項(xiàng)/(x,f) 乂稱為自由項(xiàng)。含右非零項(xiàng)的方式(1.1.2)稱為齊次一維波動(dòng)方程程為非齊次力程，若/(xJ

6、)=O則稱為齊次方程。式(1.1.3)稱為罪齊次一維波動(dòng)方程。1.1.2定解條件一般弦線的特定振動(dòng)狀態(tài)還依賴r初始時(shí)刻弦的狀態(tài)和通過(guò)弦線兩端所受外界的影響。 為了確迄一個(gè)幾體的弦振動(dòng)的規(guī)律，除了列出方程外，還盂要寫(xiě)出它滿足的初始條件和邊界 條件，我們稱之為定解條件。初始條件，即初始時(shí)刻£ = 0時(shí).弦上各點(diǎn)的位移和速度。(1.1.4)(1.1.5)u(x,0|r=o = (p (0 <x <l)比=0(x) (0<x</)式中，e(x)"(x)為已知函數(shù)，當(dāng)0(x) = p(x) = O時(shí)，稱Z為初始條件。對(duì)r變帚X,為了確定弦的振動(dòng)還需給出邊界條件

7、.由物理學(xué)可知，弦在振動(dòng)時(shí)，梵端 點(diǎn)(以x = l表示這個(gè)端點(diǎn))所受的約束情況通常有以卜三種。固定端。即弦在振動(dòng)過(guò)程中，該端點(diǎn)始終周定不動(dòng)，位移是0。對(duì)J這種狀態(tài)的邊界條 件為u(x,Q = 口 = 0或 u(l,t) = 0口由端。即弦的這個(gè)端點(diǎn)町以在垂直J：x的軌道上口由滑動(dòng)，不受垂直方向的外力，從 而該端點(diǎn)在位移方向上的張力為零。對(duì)此種狀態(tài)的邊界條件為dit介avdie彈性支撐端。即弦的一個(gè)端點(diǎn)固定在彈性支撐上，彈性支撐伸縮符合胡克定律如果彈 性支撐原來(lái)的位移為u = 0,則M y表示彈性支擰在該心的伸匕 此時(shí)弦燉支擰的拉力，在垂貢方向的分磧?yōu)閼?yīng)該等于創(chuàng)M ,即或式屮，(y = k!T.

8、k為彈性支撐的倔強(qiáng)系數(shù)。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，歸納為更一般的請(qǐng)形。 若在邊界r上直接給出未知函數(shù)比的數(shù)值，即ur = /i(0這種情形的邊界條件稱為第一類邊界條件。若在邊界F上直接給出未知兩數(shù)m沿的外法線方向的方向?qū)?shù)，即同樣，稱若£（0 = 0（2 123）為寒，則稱為齊次邊界條件，否則稱之為非齊次邊界條件。如果我們考慮一塊平面薄膜的微小振動(dòng)，則會(huì)得到二維波動(dòng)方程 d2u ? d2u-T7r="（V7r+Tr）同理,我們可以得到三維波動(dòng)方程1.2熱傳導(dǎo)方程和運(yùn)解條件眾所周知，如果空間某物體G內(nèi)并點(diǎn)處的溫度不同，則熱帚就會(huì)從溫度較高的點(diǎn)向溫 較低的點(diǎn)流動(dòng)，這種現(xiàn)彖就叫熱傳導(dǎo)。我

9、們用俶x,y,二/）農(nóng)爪物體內(nèi)部在£時(shí)刻的溫度。卜而我們推溫度換數(shù)"滿足的方程。我們首先考慮一個(gè)含冇點(diǎn)（x,y,二）的小區(qū)域的溫度，然 后再設(shè)法過(guò)渡到點(diǎn)（x,兒二）的湍度。1.2.1方程的導(dǎo)出熱的傳播滿足傅立葉實(shí)驗(yàn)定律:物體在無(wú)窮小時(shí)段曲內(nèi),流過(guò)一個(gè)無(wú)窮小面積曲的熱 就dg與時(shí)間&、曲而的而積dS以及物體的溫度m沿曲面dS的法線方向的方向?qū)?shù)色三 dn 者成正比，即(1.2.1)dg=-Ardfi式中，七=任（心兒二）稱為物體在點(diǎn)（心兒二）點(diǎn)的熱傳導(dǎo)系數(shù)。由J：熱杲的流向與溫度的梯度 方向相反，所以上式中何了一個(gè)負(fù)號(hào)。在物體G內(nèi)部任取一閉曲而工，它所包用的區(qū)域記為G

10、,則從®到乙，經(jīng)過(guò)曲面工 流入G的熱看為(1.2.2)流入的熱帚使G內(nèi)部的溫度發(fā)牛了變化，在時(shí)間間隔©吐J中區(qū)域內(nèi)部各點(diǎn)的溫度M(X,y,二山)變化到"(X,二厶)，這-過(guò)程所需要的熱磺為Q. = jjjcpu(x,y,r,)-u(x,y,s,f2)dr(1.2.3)Q 式中，C為物體的比熱，。為物體的密度。址=JJJcpu(x,兒二,tj-iz(x,y,二2)d7(1.2.4)如果物體內(nèi)部沒(méi)冇熱源.則由熱斎守恒可得q = a 則假設(shè)因數(shù)比關(guān)J：4兒二八有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，關(guān)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則利用Gauss公式右d + dz購(gòu)J：凱北J：是得到心：即d-±d

11、tdv氐丿± J;A與區(qū)域G是任恿選的，且被積函數(shù)是連續(xù)的,dudii_AdtOz dz(1.2.5)若物體是均勻的則gp均為常數(shù)，記lc/cp = a則(1.26)diid2u d2u d2ujdtdx2dz2若物體內(nèi)部自熱源，其密度為F(xyyt)則相應(yīng)的熱傳導(dǎo)方程為dudtd2u d2u d?-+dF +(1.2.7)式中我們稱（1.2.6）式為齊次熱傳導(dǎo)方程.而式（1.27）為非齊次熱傳導(dǎo)方程。當(dāng)我們考慮 的対象是一根均勻的細(xì)桿時(shí)，它的側(cè)面絕熱，IL在同一橫截面上的溫度分布是相同的，則桿 上的溫度M只與X/有關(guān)，這樣可以得到一維熱傳導(dǎo)方程dudtd2u(1.2.8)同樣，若考

12、慮個(gè)薄片的熱傳導(dǎo)，則得到二維熱傳導(dǎo)方程(1.2.9)dti d2u d2uhdt 腫加在我們研究氣體的擴(kuò)散.液體的滲透，半導(dǎo)體材料中雜質(zhì)擴(kuò)散等物理過(guò)程中,若用#表 示擴(kuò)散物質(zhì)的濃度，則濃度"滿足的方程在形式上與熱傳導(dǎo)方程一樣。這樣，我們也把這類 方程叫做擴(kuò)散方程。1.2.2定解條件対一個(gè)特定的熱傳導(dǎo)過(guò)程，僅知道溫度"所滿足的方程是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需知道初始 條件和邊界條件。初始條件為u（x,y,z，0|z=o = 0（心兒二）（1-2.10）式屮，g（x,y,二）為已知兩數(shù)，衣爪t = 0時(shí)刻物體內(nèi)部物體的分布。邊界條件仃三種基本類型。設(shè)所考遐的物體G的邊界曲而為II已知物體

13、表而的溫 度為則式中，久（忑兒二0為定義在上的已知兩數(shù)稱這種邊界為第一類邊界條件。若已知物體農(nóng)而上齊點(diǎn)的熱IRQ,也就是說(shuō)物體表而上，單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)E位而積的熱帚是已知的.則則由傅立葉實(shí)驗(yàn)定律可得diidfi= Z(xj口)(1.2.12)式中，/；（x,y,z,0 =-魚(yú)為定義在F上的已知函數(shù)。k特別的，若物體衣面上各點(diǎn)熱流彊為0,則稱Z為絕熱性邊界條件，即OUdn|r = 0若物體置一介質(zhì)中，我們只能測(cè)得與物體相接觸的介質(zhì)溫度匕。一般情況2由(1.2.13)與物體表面的溫度比不相同，因此物體內(nèi)部和周的的介質(zhì)通過(guò)曲面F有熱量交換。由熱傳導(dǎo) 中的牛頓實(shí)驗(yàn)定律可知，dQ= (u -uJdSdt式

14、中，處圧兩種介質(zhì)z間的熱交換系數(shù)。在物體內(nèi)部無(wú)限接近衣而r處，作-閉曲面工，111r在r內(nèi)側(cè)熱帚不能枳累，因此在曲面工上的熱流靈燉等j：邊界曲面r上的熱流帚，流過(guò)去潮的熱呈符合規(guī)律QUdO = kdSdf7 dn流過(guò)邊界曲面F的熱杲符合規(guī)律dg= (u-uJdSd所以有關(guān)系式即(&L(、F Cdl p = CQL.(12 <14 )6 r 1 r這種邊界條件可改寫(xiě)為 +aiir =人匕兒二/)(1.2.15)3)式中，/3(x,y,s,0為定義在上的已知聞數(shù)，q為已知正數(shù)。這種類型的邊界條件稱為第三類邊界條件。當(dāng)/(x,y,2,0 = 0(/= 1,2,3)時(shí)，相應(yīng)的邊界條件為齊

15、次邊界條件，否則稱為非齊次邊界條件。1.3拉普拉斯方程與定解條件設(shè)空間有一電荷分布，其密度為°(心兒二)，E表示電場(chǎng)強(qiáng)度。在國(guó)際單位制卜，靜電場(chǎng)的方程組為(1.3.1)(13.2)P0E) = pVx£= 0式中，£是介電常數(shù)。山J：靜電場(chǎng)無(wú)旋性，因此電勢(shì)“（兀兒二）與場(chǎng)強(qiáng)E（x,兒二）Z間的關(guān)系式E = -Vu將式(1.3.3)代入(1.3.1)得-刃 (Vu) = p即人1Z =p£在直角坐標(biāo)系卜，表示為d2u d2u d2u 1 "Zr+"77= _ Pdr Or dr 9r(1.3.3)(1.3.4)(1.3.5)稱式（1.3

16、.5）為三維泊松方程。若電荷密度p=O,則方程為(1.3.6)d2u du d2u 八+ + = 0 &2 加 &F該方程稱為三維拉普拉斯方程。在上節(jié)中，我們建工熱傳導(dǎo)方程。若導(dǎo)熱物體內(nèi)熱源的分布和邊界情況不隨時(shí)間變化, 則經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間后，物體內(nèi)部的溫度將達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，不再隨時(shí)間變化，因而熱傳導(dǎo)方程中的=o, T是（126）和（1.2.7）變?yōu)閐t(1.3.7)d2u d2u d2udzu dzud"(1.3.8)這樣，我們又得到了拉普拉斯方程和柏松方程。在這里，由不同的物理過(guò)程得到相同的泛定 方程。対r拉普拉斯方程和柏松方程所描述的其體的物理現(xiàn)象，也盂耍附加一定的

17、條件。由 它們描述卮定或平衡的現(xiàn)彖，農(nóng)不該過(guò)程的物理吊柑時(shí)間無(wú)關(guān)，故運(yùn)解條件只仃邊界條件而 無(wú)初始條件。和前而一樣，邊界也分三類。第一類邊界條件：在邊界上給出未知函數(shù)"的值第二類邊界條件：在邊界上給定未知函數(shù)法向?qū)?shù)的值。第三類邊界條件：在邊界上給定未知函數(shù)和它的法向?qū)?shù)的某種線性組介的值。1.4基本概念與疊加原理我們從-些幾體的物理現(xiàn)彖出發(fā)，推出了三類典型的數(shù)學(xué)物理方程。卜-而我們介紹些 基本概念。1.4.1定解問(wèn)題及泄解的適泄前ihi我們介紹了初始條件與邊界條件稱為定解條件。把某個(gè)偏微分方程與相戒的定解條 件結(jié)介起來(lái)，就構(gòu)成了數(shù)學(xué)物理屮定解問(wèn)題。山J淀解條件的不同，定解問(wèn)題又可以

18、分為以 下三種：只有初始條件，沒(méi)有邊界條件的定解問(wèn)題稱為初值問(wèn)題或柯西問(wèn)題；只有邊界條件，沒(méi)有初始條件的定解問(wèn)題稱為邊值問(wèn)題；既有初始條件，又有邊界條件的定解問(wèn)題稱為混合問(wèn)題。我們研究數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題的H的在解釋、發(fā)現(xiàn)和探索客觀物質(zhì)世界運(yùn)動(dòng)的規(guī) 律，【大I此建工的數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題符介玄觀實(shí)際是非常匝要的。在分析物理過(guò)程、推導(dǎo) 泛泄方程時(shí)，我們對(duì)物理模型作了一些理想化的假設(shè)，忽略了一些我們認(rèn)為不晅耍的物理彊。 這樣得到的定解問(wèn)題，是否真實(shí)反映了客觀實(shí)際呢？當(dāng)然，理論是需耍通過(guò)實(shí)踐來(lái)檢臉的， 從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，我們可以通過(guò)卜述三個(gè)方面來(lái)檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模熨的優(yōu)劣。1. 解的存在性，我們得到的定無(wú)問(wèn)

19、題是否有解。2. 解的唯一性，定解問(wèn)題存在的解是否只有一個(gè)。研究解的存在性和唯-性，不但是驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型正確性的必備于段：同時(shí)也啟發(fā)了科研 工作者改進(jìn)數(shù)學(xué)模型，使定解問(wèn)題介理地反映自然規(guī)律。3. 解的穩(wěn)定性，或稱Z為解對(duì)定解條件或自由項(xiàng)的連續(xù)依賴性問(wèn)題。當(dāng)定解條件或自 由項(xiàng)有微小變化時(shí)，解是否相應(yīng)地出現(xiàn)微小的變動(dòng)。如果確實(shí)如此，此解便稱為穩(wěn)定的，否 則所得到的解就沒(méi)有實(shí)用價(jià)值。定解問(wèn)題的存在性、唯一性、穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問(wèn)題的適定性。如果一個(gè)定解問(wèn)題存在 唯一且穩(wěn)定的解，則稱為定解問(wèn)題是適定的。燉J：確定性的現(xiàn)彖來(lái)說(shuō)，個(gè)皋本上正確（但經(jīng)常是近似地）描述所考察的物理模型的 定解問(wèn)題是適定的。在以后的

20、討論中，我們著眼定解問(wèn)題的具體求解，不去探討適定性。 這是I対為討論定解問(wèn)題的適定性往往十分閑難，而本書(shū)中所探索的定無(wú)問(wèn)題的適定性是經(jīng)過(guò) 證明了的。但也必須指出，有時(shí)一個(gè)定解問(wèn)題盡管不滿足適定性的要求，但在實(shí)際中有著廣 泛的應(yīng)用，因此仍須加以研究，但它超出了本站的范lit 興趣的讀者町以查閱相關(guān)的書(shū)籍。1.4.2偏微分方程的一些基本概念在高等數(shù)學(xué)這門課程中，我們研究了常微分方程，它有階、通解、線性等概念。在偏微 分方程的理論屮，首先介紹的，也是這些基本概念。偏微分方程屮所倉(cāng)仃的未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為偏微分方程的階。偏微分方程dudtd2u_ du _ + b(t9x) + u +(

21、1.4.1)是二階偏微分方程。du Ou+di 彷=0(1.4.2)dzu是一階偏微分方程。(1.4.3)是三階偏微分方程。若偏微分方程中的每一項(xiàng)關(guān)未知曲數(shù)及其所仃偏導(dǎo)數(shù)的次數(shù)都為0次或則1次，則稱 該方程為線性偏微分方程.否則就稱Z為非線性偏微分方程。式(1.4.1).式(142)、式(1.4.3)都是線性的，而卜述兩個(gè)方程+ U = 0 (沖擊波方程)(144)dt dva/空 += 0 (Ard?方程)(1.4.5)dt de 去是非線性偏微分方程。一個(gè)偏微分方程中含有不含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)(稱為口由項(xiàng))，則方程稱為非齊 次備微分方程，否則就稱為齊次偏微分方程。式(1.4.1)中冇自

22、由項(xiàng)/(X，0 :式(1.4.3) 中有自由項(xiàng)xy,所以這兩個(gè)非齊次偏微分方程。其余的都是齊次的。設(shè)兩數(shù)“在區(qū)域G中具有苴到方程的階數(shù)的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，把m代入方程中能得到怛等 式，稱“為區(qū)域G內(nèi)的一個(gè)解。這種解又稱為古典意義卜的古典解。由J；某些原因，又足 我們得不到某種定解問(wèn)題的古典解，而定解問(wèn)題反映的客觀觀律是存在的，因此需要推廣夠 的概念，探索更廣泛意義卜的廣義解。這些內(nèi)容，在以后的章節(jié)中會(huì)陸續(xù)介紹。一般情況卜，區(qū)域G內(nèi)存在方程的許多解，很自然的想法耍研究一卜方程的全部解， 即是否能求出方程的通解，并進(jìn)一步求出所滿足的特解。例1求解偏微分方程)=0dx解這是 個(gè)最簡(jiǎn)單的偏微分方程，它含仃2

23、個(gè)口變彊，H方程是階線性偏微分方程。 顯然，"(X)關(guān)是常數(shù)，即不含有另一方面，對(duì)于任意的一階連續(xù)可微仁u = /Xy),其中/是任意的階連續(xù)町微換數(shù)。例2求解偏微分方程篇解 這是二階線性方程。山例1的分析，我們將方程化為得到式中，是任意函數(shù)。兩側(cè)同時(shí)對(duì)y枳分，則得到諷 x，y) = J /O)dy + G(X)= F09 + G(x)式中，G是任意兩數(shù)。只耍任意函數(shù)F,G是二階連續(xù)町微的，則求得的u(x,y)就是所給的偏微分方程的通解。在實(shí)際工作屮，像例1、2這樣能找到通解的偏微分方程非常少，所以我們就只能去求 方程的某些特解,并要求這些解滿足附加的定解條件,進(jìn)而川納出一些規(guī)律性的

24、原則。在下 章中，我們將通過(guò)対具體數(shù)學(xué)物理方程的分析來(lái)探索如何達(dá)到我們的冃的。1.4.3疊加原理許多物理現(xiàn)彖都II勺迭加性：幾種不同元素同時(shí)所廣L的綜合效果，等J：各個(gè)因索單獨(dú) 出現(xiàn)時(shí)所產(chǎn)生的效呆的累加。例如，多個(gè)點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的總電荷，等J：各個(gè)電荷單獨(dú)產(chǎn)生的 電荷的喬加。它反映到數(shù)學(xué)物理模型中來(lái)，就是描述這種H有檯加杵的定解問(wèn)題，不僅泛定 方程是線性的，而且定解條件也是線性的。為了容易理解，我們以二尤函數(shù)"(x,y)所滿足的二階線性偏微分方程為例來(lái)解釋疊加 原理(1.4.6)d2u 宀 d2u d2u , du , du寸 + 2n12 -+an + bL + b2 + cu =

25、Z 0 = 1,2 ) ov*dy at drr式中，訂心人都是某區(qū)域上關(guān)的已知換數(shù)。獨(dú)加原理1：設(shè)色0 = 12/)滿足線性方程式(1.4.6),則它們的線性組介必満足方程(1.4.7)d2u c d2u d2u .dii .Oil乙/+ a” + b. + b* + cu = &2 u1 de0臺(tái)八疊加原理2：設(shè)坷(2 12/)滿足線性方程式(1.4.6), HjqH有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則級(jí)數(shù)O'11 .dll . di總獷 /( a 、it(1.4.8)斎Zgb迢乜電£ (2)的解。特別是，若Z = 0.則級(jí)數(shù)n1=1是齊次方程d2u r d2ud2u .dii

26、.Oil八ci. i + + u. + + cu 011 &C21-比內(nèi)“ A-21-決的解。上述疊加原理的證明是顯然的，我們以后經(jīng)常利用疊加原理，把一個(gè)復(fù)朵的定解問(wèn)題分 解成若干個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的定解問(wèn)題，從而使問(wèn)題變得容易處理。1.5二階偏微分方程的分類Amjifti的內(nèi)容中，我們從不同的物理現(xiàn)象導(dǎo)出了 3類典型方程：波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程 和拉普拉斯方程。為了進(jìn)一步從數(shù)學(xué)上分出它們Z間的基異，我們需要探討一下二階線性偏 微分方程的分類。我們主要討論有兩個(gè)自變杲的情況.這樣的二階線性偏微分方程的一般形式為(1.5.1)d2u宀d2ud2u,dii,du“八an + 加12 壬介 + an+

27、 bl + b2 + cu + f = Q 式中，悉數(shù)以及/都是自變最心y的實(shí)函數(shù)。在解析幾何屮，二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)型仃雙曲線、橢圓、拋物線。我們采用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換, 可將一般意義的二次曲線anx2 + 2aiZxy + ay1 + btx + b2y + c = 0轉(zhuǎn)化為三種標(biāo)準(zhǔn)熨之一，并且通過(guò)系數(shù)”2衛(wèi)耳可以直接判定二次曲線的類熨。這促使我們這樣考慮：能否尋找一個(gè)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,使式（1.5.1）的形式變得簡(jiǎn)單一些；同時(shí), 我們能否根據(jù)自身的信息來(lái)判斷其所屬類型。為此作變量替換(1.5.2)W=g,y)=0(x,y)并假設(shè)在我們考慮的平面區(qū)域內(nèi),雅可比行列式°（7）久 即變換是可逆的

28、。丁是利用變換式（1.5.2）,可將（1.5.1）化為關(guān)丁門變靈：的二階偏微分方程(1.5.3)式中a = all(p； + 2all(px(pv+an；« 0 = 5嘰+%(0札七纟0J +如%必? = 50； + 細(xì)0、+50；(1.5.4)而是劃匕，知的線性函數(shù)?，F(xiàn)在，耍選取適為的變換式（1.5.2）,使式（1.5.1）的二階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)化為最簡(jiǎn)單的形式。由式（1.5.4）以看出,第一行和第三行的形式是完全一樣的.只是00的不同。若耍選擇到方程5(*) + 勿2 * 介)°OX&令加F<F的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解v(x,y) = g (x)，v(x,y) = 4 (

29、x9y)則取此時(shí)，式（1.5.3）中的系數(shù)就變?yōu)?。J：是，我們得到了一個(gè)在形式上比式（1.5.1） 要簡(jiǎn)單的多式（1.5.3）。卜面我們不加證明地給出一個(gè)重要結(jié)論，不妨設(shè)4】工0,考慮一階偏微分方程5 （忘）+如忘忘+二喬）=°W(1.5.5)的符號(hào)，對(duì)式（1.5.1）進(jìn)行分類。的符號(hào)，對(duì)式（1.5.1）進(jìn)行分類。的求解。定理：如果v（x）是式（1.5.5）的一個(gè)解.貝'Jv（x,y） = c是常微分方程dv一如去+仏=0(1.5.6)的符號(hào)，對(duì)式（1.5.1）進(jìn)行分類。的符號(hào)，對(duì)式（1.5.1）進(jìn)行分類。得通解；反之亦然。山泄理可知，為了尋找使a = 0,/=0fi/變彊

30、代換，石要求解常微分方程式（1.5.6）,為此稱為二階線性偏微分方程式（15.1）的待征方程°特征方程的通解叫做式（1.5.1）的特 征線。特征方程式（15.6）可以改寫(xiě)為的符號(hào)，對(duì)式（1.5.1）進(jìn)行分類。的符號(hào)，對(duì)式（1.5.1）進(jìn)行分類。類似平面次曲線的分類.根據(jù)判別式當(dāng)4 （x.y） > 0時(shí)，則稱式（151）為雙曲方程：當(dāng)4 （x）v 0時(shí)，則稱式（151）為的符號(hào)，對(duì)式（1.5.1）進(jìn)行分類。#6圓方程;SA（x,y） = 0時(shí),則稱式（1.5.1）為拋物型方程.由上述定義，顯然，眩振動(dòng)方程是雙曲熨的，一維熱傳導(dǎo)方程是拋物熨的，二維拉普拉 斯方程和泊松方程部是橢圓型

31、的。由于弦振動(dòng)方程描述的是波的傳播現(xiàn)象，它對(duì)時(shí)間是 可逆的性質(zhì)：熱傳導(dǎo)方程反映了熱的傳導(dǎo)、物質(zhì)的擴(kuò)散現(xiàn)彖，這些現(xiàn)象總是由高到低、由密 到加的，因何是不可逆的：而拉氏方程所描述的是穩(wěn)定和平衡狀態(tài)。這三種方程所描述的口 然現(xiàn)象的本質(zhì)完全不同，同樣的，它們?cè)跀?shù)學(xué)上所屬的類型也不樣，這衣明，不同類型的 數(shù)學(xué)物理方程反映了不同的物理特性。二階線性偏微分方程的分類問(wèn)題解決了。我們島耍考老，式（1.5.1）經(jīng)過(guò)變戢替換式 （1.5.2）,轉(zhuǎn)化為新的式（1.5.3）后,方程類型是否發(fā)生了改變。由式（1.5.4）易得（?,） = 3 - ay =（砧- a皿）（®g 一 00）=心刃（叱-纟0）2由此

32、可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)變翁替換式（1.5.2）后，方程的類型式保持不變的。 面，我們就三種類型的方程，分別討論一下標(biāo)準(zhǔn)型的問(wèn)題.1雙曲型方程由J沁-5如1 >0.求解特征方程式（1.5.6）得到兩族實(shí)特征線<f（x,y） = cl和 ip（x,y） = c2,其中 爐，©都是實(shí)函數(shù)，令W =傾 3）4=0（3）則式（1.5.3）中的a = 0, /= 0 ,由p- - a/ > 0可知0工0,此時(shí)式（1.5. 3 ） 化為若在式（1.5.7）中再利用變鼠變換f =扣_ “）則式（1.5.7 ）變?yōu)? - 知 + ：=0 （也=4 i ）（1.5.8）式（1.5.7 ）和式（1.

33、5.8）均稱為雙曲型方程的標(biāo)準(zhǔn)型.例3試將方程y 2空-x，空 =0化為標(biāo)準(zhǔn)形式.解 = a；2-alla22=0-y2（-x2） = x2y2 > 0 （x 工 O.y 豐 0）當(dāng)（xH0,yH0）時(shí)，方程為雙曲熨，其特征方程為(1.5.9)(1.5.9)dydr從而有xdvxrJ' dxy積分'得到兩族積分曲線護(hù)-討f 訂+討7,作變換(1.5.9)(1.5.9)代入原方程，整理得“n% =； 5； u的2（曠-丁）'2（曠-）2 橢圓型方程由ra；2-ana22 <0,因此解特征方程式（1 5. 6 ）的通解只能是復(fù)函數(shù),（pxyy） = c1, （p

34、 （x,y） = c2，其屮0 0為共軌復(fù)兩數(shù)，此時(shí)方程（1.5.1）不存在實(shí)的特征線，設(shè)您刀=0 （x.y） +1 ?。▁）=5為特征方程的解，H©, %不同時(shí)為零，這里5、條是實(shí)函數(shù)，為了避免引入復(fù)數(shù)，我 們作變換? = Re（p（x.y） = ® （x,y） > r） = In】*）=%g）由g+l滿足式（1. 5. 5）,代入后將實(shí)部及虛部分開(kāi)，則得+ any = 5幾 + 2a“gy +。耳點(diǎn)億+血（©,，+久）+如©久=0 因此,式（1.5.1 ）可化成標(biāo)準(zhǔn)形式%+% +烏=°（廠4J例4 考察特里科米（Tricomi）方程(

35、1.5.9)解 三-y,當(dāng)y>0時(shí)，方程是橢圜型的，當(dāng)yvO時(shí)，方程是雙曲型的，其特征方程為®y > 0時(shí)，它變?yōu)閞是有y2(dy)2-(dx)2=0則原方程化為一U3y>0時(shí).特征方程為dx± J-ydy = 0r是有2 -x±§( - J=c令2 2 2 -§ = x_3(_y)2, 7 = x + -(-y):則原方程化為U/rt =(II. 一 11“)s 6()7"3.拋物熨方程)只能得到一族實(shí)特征線/* 0,作代換由于兀一 6衛(wèi)22 =0，因此解特征方程式(1.56 0(工)=c ,任取一個(gè)與(p(x.y)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)p(x,y),片 0(x,y)=P(XJ)所以由式(1.5.4)« = 50； + 如嘰 +a12(p； = 0及q； -ana12 = 0,可得+體烏=°所以有卩=5嘰 + Jdd (卩匕,+(Py0J + %(Py纟 =(城®+応纟)(AT#+応竹)=° 于是，式(15. 1 )可化為 u + 4 = 0(4 = )(1.5.1 0 )/式(1. 5. 1 0)稱為拋物熨方程的標(biāo)準(zhǔn)型.