全品原創(chuàng)月考試題四（A)課標(biāo)數(shù)學(xué)

1、試卷類型：A2014屆高三全品原創(chuàng)月考試題四數(shù)學(xué)適用地區(qū)：新課標(biāo)地區(qū) 考查范圍：集合、邏輯、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角、向量、數(shù)列、不等式、立體幾何、解析幾何、統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例、計(jì)數(shù)原理（僅理科有），概率、隨機(jī)變量及其分布（僅理科有）建議使用時(shí)間：2013年11月底本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分.考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上.在本試卷上答題無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它

2、答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 2013·天津卷 已知集合AxR|x|2，BxR|x1，則AB()A(，2 B1，2C2，2 D2，1【答案】D解析 ABxR|2x2xR|x1xR|2x12.（2012年4月9日大連沈陽聯(lián)合考試數(shù)學(xué)文理）下面的莖葉圖表示的是某城市一臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)的銷售額情況(單位：元)，

3、圖中的數(shù)字表示的意義是這臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)的銷售額為( )A.元 B.元 C.元 D.元【答案】C【解析】樹干表示的是十位數(shù)字，故7表示為27.3.（理）（2012屆北京東城二模理）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】展開式中的通項(xiàng)為，令，得.所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.（文）2013·重慶卷 若abc，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內(nèi) B(，a)和(a，b)內(nèi)C(b，c)和(c，)內(nèi) D(，a)和(c，)內(nèi)6A解析 因?yàn)閒(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(

4、c)(ca)(cb)0，所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，所以函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在(a，b)和(b，c)內(nèi)，故選A.4.（東北三省四市教研協(xié)作體等值診斷聯(lián)合考試（2012長春三模）數(shù)學(xué)文）對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)比較，正確的是（ ）相關(guān)系數(shù)為 相關(guān)系數(shù)為相關(guān)系數(shù)為 相關(guān)系數(shù)為A.B.C.D.【答案】A【解析】由相關(guān)系數(shù)的定義以及散點(diǎn)圖所表達(dá)的含義可知.5. 2013·江西卷 等比數(shù)列x，3x3，6x6，的第四項(xiàng)等于()A24 B0C12 D24【答案】A解析 (3x3)2x(6x6)得x1或x3.當(dāng)x1時(shí)，x，3x3，6x6分別為1，0，0，則不能

5、構(gòu)成等比數(shù)列，所以舍去；當(dāng)x3時(shí)，x，3x3，6x6分別為3，6，12，且構(gòu)成等比數(shù)列，則可求出第四個(gè)數(shù)為24.6.(河北省石家莊市2012屆高中畢業(yè)班第二次模擬考試數(shù)學(xué)文理)從某高中隨機(jī)選取5名高三男生，其身高和體重的數(shù)據(jù)如下表所示：根據(jù)上表可得回歸直線方程，據(jù)此模型預(yù)報(bào)身高為172 cm的高三男生的體重為（ ）A.70.09 B.70.12 C.70.55 D.71.05【答案】B【解析】，.因?yàn)榛貧w直線過點(diǎn)，所以將點(diǎn)(170,69)代入回歸直線方程，得，故回歸方程為.代入cm，得其體重為70.12kg.7. 2013·浙江卷 已知函數(shù)f(x)Acos(x)(A>0，>

6、;0，R)，則“f(x)是奇函數(shù)”是“”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】B解析 f(x)Acos(x)是奇函數(shù)的充要條件是f(0)0，即cos 0，k，kZ，所以“f(x)是奇函數(shù)”是“”的必要不充分條件，故選擇B.8.（理）(河北省石家莊市2012屆高中畢業(yè)班第二次模擬考試數(shù)學(xué)理) 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）A.-60 B.-50 C.50 D.60【答案】D【解析】展開式的通項(xiàng)為，令,解得.故常數(shù)項(xiàng)為.（文）（2012年4月9日大連沈陽聯(lián)合考試數(shù)學(xué)文）若利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間上產(chǎn)生兩個(gè)不等的隨機(jī)數(shù)和，則方程有不等實(shí)數(shù)根的概率為（ ）A. B.

7、 C. D.【答案】B【解析】方程可化為，因其有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，所以，以為橫軸，為縱軸，建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，區(qū)域即為陰影區(qū)域.故由幾何概型得，所求事件的概率為.OabABC9. 2013·湖北卷 將函數(shù)ycos xsin x(xR)的圖像向左平移m(m>0)個(gè)單位長度后，所得到的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小值是()A. B. C. D.【答案】B解析 結(jié)合選項(xiàng)，將函數(shù)ycos xsin x2sin的圖像向左平移個(gè)單位得到y(tǒng)2sin2cos x，它的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，選B.10. 2013·湖南卷 若變量x，y滿足結(jié)束條件則x2y的最大值是()A B0 C.

8、D.【答案】C解析 根據(jù)題意，畫出x，y滿足的可行域，如圖，可知在點(diǎn)C處x2y取最大值為.11. 2013·四川卷 節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2秒的概率是()A. B.C. D.【答案】C解析 設(shè)第一串彩燈在通電后第x秒閃亮，第二串彩燈在通電后第y秒閃亮，由題意滿足條件的關(guān)系式為2xy2.根據(jù)幾何概型可知，事件全體的測(cè)度(面積)為16平方單位，而滿足條件的事件測(cè)度(陰影部分面積)為12平方單位，故概率為.12.（

9、2012屆北京東城二模文）設(shè)為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若以為圓心，為半徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相交，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】若以為圓心，為半徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相交，則.根據(jù)拋物線的定義知,點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離大于4，即，所以.第卷二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卷相應(yīng)位置上.13. (寧夏銀川一中2012屆高三年級(jí)第三次月考數(shù)學(xué)文)已知(2,3),=(-1,5)，則=_.【答案】 【解析】.14.2013·遼寧卷 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_圖13【答案】1616解析 由三視圖可以得到原幾何體是一個(gè)圓

10、柱里面挖去了一個(gè)長方體，所以該幾何體的體積為V4×4161616.15.（2012屆北京東城二模文）將容量為的樣本中的數(shù)據(jù)分成組，若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于，則的值為 .【答案】 【解析】根據(jù)已知條件知，所以.16. 2013·福建卷 橢圓：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y(xc)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率等于_【答案】1解析 如圖，MF1F2中，MF1F260°，MF2F130°，F(xiàn)1MF290°，又|F1F2|2c，|MF1|c

11、，|MF2|c，2a|MF1|MF2|cc，得e1.三、解答題：本大題共6小題，滿分70分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.17.（本小題滿分10分）2013·遼寧卷 設(shè)向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)a·b，求f(x)的最大值【解】 (1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x.|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x，從而sin x，所以x.(2)f(x)a·bsin x·cos xsin2xsin 2

12、xcos 2xsin.當(dāng)x時(shí)，sin取最大值1.所以f(x)的最大值為.18.（本小題滿分12分）2013·江西卷 正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)令bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對(duì)于任意的nN*，都有Tn<.【解】(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn>0，Snn2n.于是a1S12，n2時(shí)，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.綜上，數(shù)列an的通項(xiàng)為an2n.(2)證明：由于an2n，bn，則bn.Tn<.19.（本小題

13、滿分12分）(理)2013·湖北卷 假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800，502)的隨機(jī)變量，記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為P0.(1)求P0的值；(參考數(shù)據(jù)：若XN(，2)，有P(<X)0.682 6，P(2<X2)0.954 4，P(3<X3)0.997 4)(2)某客運(yùn)公司用A，B兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車每天往返一次，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運(yùn)成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛公司擬組建一個(gè)不超過21輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求B型車不多于A型車7輛若每天

14、要以不小于P0的概率運(yùn)完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運(yùn)成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？【解】(1)由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(800，502)，故有800，50，P(700<X900)0.954 4.由正態(tài)分布的對(duì)稱性，可得P0P(X900)P(X800)P(800<X900)P(700<X900)0.977 2.(2)設(shè)A型、B型車輛的數(shù)量分別為x，y輛，則相應(yīng)的營運(yùn)成本為1 600x2 400y，依題意，x，y還需滿足：xy21，yx7，P(X36x60y)P0.由(1)知，P0P(X900)，故P(X36x60y)P0等價(jià)于36x60y90

15、0，于是問題等價(jià)于求滿足約束條件且使目標(biāo)函數(shù)z1 600x2 400y達(dá)到最小的x，y值作可行域如圖所示，可行域的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)由圖可知，當(dāng)直線z1 600x2 400y經(jīng)過可行域的點(diǎn)P時(shí)，直線z1 600x2 400y在y軸上截距最小，即z取得最小值，故應(yīng)配備A型車5輛，B型車12輛(文) 2013·北京卷 下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天圖16(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的

16、概率；(2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明)【解】設(shè)Ai表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”(i1，2，13)根據(jù)題意，P(Ai)，且AiAj(ij)(1)設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則BA5A8.所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8).(2)由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2，且P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)，P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)，P(X0)1P(X1)P(X2

17、).所以X的分布列為X012P故X的期望E(X)0×1×2×.(3)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大20.（本小題滿分12分）（理）2013·新課標(biāo)全國卷 如圖13所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1ACCBAB.(1)證明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值圖13【解】(1)證明：聯(lián)結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)又D是AB中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DF，則BC1DF.因?yàn)镈F平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)由ACCBAB得，ACBC.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤

18、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.設(shè)CA2，則D(1，1，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，(1，1，0)，(0，2，1)，(2，0，2)設(shè)n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，則即可取n(1，1，1)同理，設(shè)m為平面A1CE的法向量，則可取m(2，1，2)從而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值為.（文）2013·北京卷 如圖15，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.圖15

19、證明：(1)因?yàn)槠矫鍼AD底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA底面ABCD.(2)因?yàn)锳BCD，CD2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以ABDE，且ABDE，所以ABED為平行四邊形，所以BEAD.又因?yàn)锽E平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因?yàn)锳BAD，而且ABED為平行四邊形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.又因?yàn)锳DPAA，所以CD平面PAD，所以CDPD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PDEF，所以CDEF，所以CD平面BEF，所以平面BEF平面PCD.21.（本小題滿分12分）2013·新課標(biāo)全國卷

20、已知函數(shù)f(x)exln(xm)(1)設(shè)x0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)m2時(shí)，證明f(x)0.【解】(1)f(x)ex.由x0是f(x)的極值點(diǎn)得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定義域?yàn)?1，)，f(x)ex.函數(shù)f(x)ex在(1，)單調(diào)遞增，且f(0)0，因此當(dāng)x(1，0)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>0.所以f(x)在(1，0)單調(diào)遞減，在(0，)單調(diào)遞增(2)證明：當(dāng)m2，x(m，)時(shí)，ln(xm)ln(x2)，故只需證明當(dāng)m2時(shí)，f(x)>0.當(dāng)m2時(shí)，函數(shù)f(x)ex在(2，)單調(diào)遞增又f(1)&l

21、t;0，f(0)>0，故f(x)0在(2，)有唯一實(shí)根x0，且x0(1，0)當(dāng)x(2，x0)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，f(x)>0，從而當(dāng)xx0時(shí)，f(x)取得最小值由f(x0)0得ex0，ln(x02)x0，故f(x)f(x0)x0>0.綜上，當(dāng)m2時(shí)，f(x)>0.22.（本小題滿分12分）（理）【2012高考真題廣東理20】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率e，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最大值為3.（1）求橢圓C的方程；（2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M(m，n)，使得直線l：mxny1與圓O：x2y21相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解】（1）因?yàn)閑，所以a23b2，即橢圓C的方程可寫為1.設(shè)P(x，y)為橢圓C上任意給定的一點(diǎn)，|PQ|2x2(y2)22(y1)263b263b2，yb，b.由題設(shè)存在點(diǎn)P1滿足|P1Q|3，則9|P1Q|263b2，所以b1.當(dāng)b1時(shí)，由于y1b，b，此時(shí)|PQ|2取得最大值63b2.所以63b29b21，a23.故所求橢圓C的方程為y21.（2）存在點(diǎn)M滿足要求，使OAB的