完全信息動(dòng)態(tài)博弈_海盜分金博弈問題

1、 完全信息完全信息動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)博弈博弈 -海海盜盜分金博弈分金博弈問問題題組員：組員： 有有5 5個(gè)亡命之徒在海上搶到個(gè)亡命之徒在海上搶到100100枚金幣枚金幣, ,他們決定通他們決定通過一種民主的方式來分配這筆財(cái)富。投票規(guī)則如過一種民主的方式來分配這筆財(cái)富。投票規(guī)則如下：下：5 5個(gè)海盜通過抽簽決定每個(gè)人提出分配方案的個(gè)海盜通過抽簽決定每個(gè)人提出分配方案的順序，由排序最靠前的海盜提出一個(gè)分配方案，順序，由排序最靠前的海盜提出一個(gè)分配方案，如果有半數(shù)或半數(shù)以上的人贊成，那么就按照這如果有半數(shù)或半數(shù)以上的人贊成，那么就按照這個(gè)海盜提出的分配方案分配金幣，否則提出這個(gè)個(gè)海盜提出的分配方案分配金幣，否

2、則提出這個(gè)分配方案的海盜就要被扔到海里；再由下一個(gè)海分配方案的海盜就要被扔到海里；再由下一個(gè)海盜提出分配方案，如果有半數(shù)或半數(shù)以上的人贊盜提出分配方案，如果有半數(shù)或半數(shù)以上的人贊成，那么就按照他提出的分配方案分配金幣，否成，那么就按照他提出的分配方案分配金幣，否則他也要被扔到海里；以此類推。則他也要被扔到海里；以此類推。海盜分金博弈問題海盜分金博弈問題引入問題： 每個(gè)海盜都非常聰明并且知道其他人的兇每個(gè)海盜都非常聰明并且知道其他人的兇殘。對于海盜而言，他們希望自己獲得盡可能殘。對于海盜而言，他們希望自己獲得盡可能多的金幣，但是丟到海里就意味著喂魚，因此多的金幣，但是丟到海里就意味著喂魚，因此他

3、們都不愿意丟掉性命。他們都不愿意丟掉性命。海盜分金博弈問題海盜分金博弈問題 意意思是每一個(gè)海盜都想在保全自己生命安思是每一個(gè)海盜都想在保全自己生命安全的前提下獲取自己的最大利益，試問在這種全的前提下獲取自己的最大利益，試問在這種規(guī)則下最后的分配結(jié)果是什么？規(guī)則下最后的分配結(jié)果是什么？海盜分金博弈問題海盜分金博弈問題 從視覺上看，最先提出分配方案的海盜所處的從視覺上看，最先提出分配方案的海盜所處的位置最不利，因?yàn)槠渌暮１I可能通過將其扔進(jìn)位置最不利，因?yàn)槠渌暮１I可能通過將其扔進(jìn)海里減少分配金幣的人數(shù)，從而使自己獲得更多海里減少分配金幣的人數(shù)，從而使自己獲得更多的金幣。但是，如果將的金幣。但是，

4、如果將“海盜分金海盜分金”問題當(dāng)成一問題當(dāng)成一個(gè)完全信息動(dòng)態(tài)博弈來分析，所得的結(jié)論將會(huì)與個(gè)完全信息動(dòng)態(tài)博弈來分析，所得的結(jié)論將會(huì)與我們的直覺完全不同。我們的直覺完全不同。 顯然，顯然，“海盜分金海盜分金”問題可以看成有限的完全信息問題可以看成有限的完全信息動(dòng)態(tài)博弈，所以可以采用逆向歸納法進(jìn)行求解。不妨動(dòng)態(tài)博弈，所以可以采用逆向歸納法進(jìn)行求解。不妨將將i(i=1,2,.,5)i(i=1,2,.,5)個(gè)提出分配方案的海盜成為海盜個(gè)提出分配方案的海盜成為海盜i i，用用 表示海盜表示海盜i i提出的分配方案，其中提出的分配方案，其中 （j=1,2,.,5j=1,2,.,5表示海盜表示海盜i i愿意付

5、給海盜愿意付給海盜j j的金幣的金幣數(shù)數(shù)。顯然，顯然， 下圖是海盜分金問下圖是海盜分金問題的示意圖。題的示意圖。).,.,i(xji521100s1j ),x,x,x,x(xsiiiiii54321 jix海盜分金博弈問題海盜分金博弈問題海盜分金博弈問題海盜分金博弈問題根據(jù)逆向歸納法，首先考察到海盜根據(jù)逆向歸納法，首先考察到海盜5 5提出分配提出分配方案時(shí)的情況。方案時(shí)的情況。 輪到海盜輪到海盜5 5提出方案時(shí)，前提出方案時(shí)，前4 4個(gè)海盜個(gè)海盜肯定已經(jīng)被丟到大海喂魚了，這個(gè)時(shí)肯定已經(jīng)被丟到大海喂魚了，這個(gè)時(shí)候只有他自己留在船上，無論他提出候只有他自己留在船上，無論他提出怎樣的分配方案，最后都

6、會(huì)被實(shí)施。怎樣的分配方案，最后都會(huì)被實(shí)施。為了盡可能多獲得金幣，海盜為了盡可能多獲得金幣，海盜5 5會(huì)選會(huì)選擇擇 ).,()x,x,x,x,x(s*100000055453525155 海盜分金博弈問題海盜分金博弈問題 向前遞推一次，當(dāng)輪到海盜向前遞推一次，當(dāng)輪到海盜4 4 提出方案時(shí)提出方案時(shí)，前，前3 3個(gè)海盜肯定已經(jīng)被丟到大海喂魚了，個(gè)海盜肯定已經(jīng)被丟到大海喂魚了，這個(gè)時(shí)候只有海盜這個(gè)時(shí)候只有海盜4 4和海盜和海盜5 5留在船上。無留在船上。無論海盜論海盜5 5贊成與否，集體投票贊成的票數(shù)都贊成與否，集體投票贊成的票數(shù)都會(huì)達(dá)到半數(shù)，海盜會(huì)達(dá)到半數(shù)，海盜4 4提出的分配方案最終將提出的分配

7、方案最終將被實(shí)施，因此海盜被實(shí)施，因此海盜4 4會(huì)提出分配方案會(huì)提出分配方案).0 ,100, 0 , 0 , 0(),(5444342414*4xxxxxs海盜分金博弈問題海盜分金博弈問題 順次向前推一步，如果輪到海盜順次向前推一步，如果輪到海盜3 3做決定，他做決定，他會(huì)提出怎樣的分配方案？當(dāng)輪到海盜會(huì)提出怎樣的分配方案？當(dāng)輪到海盜3 3提出方提出方案時(shí)，前案時(shí)，前2 2個(gè)海盜肯定已經(jīng)被丟到大海喂魚了個(gè)海盜肯定已經(jīng)被丟到大海喂魚了，這個(gè)時(shí)候只有海盜，這個(gè)時(shí)候只有海盜3 3、海盜、海盜4 4和海盜和海盜5 5留在船留在船上。海盜上。海盜3 3知道如果他的方案被否決，海盜知道如果他的方案被否決

8、，海盜4 4 將會(huì)提出分配方案將會(huì)提出分配方案 , ,那么海盜那么海盜5 5將什么也得將什么也得不到不到 現(xiàn)在只要他給海盜現(xiàn)在只要他給海盜5 5一個(gè)單位的一個(gè)單位的金幣金幣 海盜海盜5 5將贊成這個(gè)方案。這樣將贊成這個(gè)方案。這樣一來，集體投票的贊成票數(shù)將會(huì)就會(huì)大于半數(shù)一來，集體投票的贊成票數(shù)將會(huì)就會(huì)大于半數(shù)，因此海盜，因此海盜3 3就會(huì)選擇分配方案就會(huì)選擇分配方案 .x054 ,xx015453 ).,()x,x,x,x,x(s*10990053433323133 *4s海盜分金博弈問題海盜分金博弈問題 繼續(xù)向前遞推，輪到海盜繼續(xù)向前遞推，輪到海盜2 2做決定的時(shí)候，做決定的時(shí)候，海盜海盜1

9、1已經(jīng)被丟進(jìn)大海，留在船上的還有海盜已經(jīng)被丟進(jìn)大海，留在船上的還有海盜2 2、海盜海盜3 3、海盜、海盜4 4和海盜和海盜5 5。海盜。海盜2 2知道如果自己的方知道如果自己的方案被反對，海盜案被反對，海盜3 3會(huì)提出方案會(huì)提出方案 這時(shí)海盜這時(shí)海盜4 4什么什么也得不到也得不到 于是只有他提出的方案滿足于是只有他提出的方案滿足 海盜海盜4 4就贊成該方案，這樣一來，集體就贊成該方案，這樣一來，集體投票的贊成票數(shù)將會(huì)就會(huì)達(dá)到半數(shù)，因此海盜投票的贊成票數(shù)將會(huì)就會(huì)達(dá)到半數(shù)，因此海盜2 2就會(huì)選擇分配方案就會(huì)選擇分配方案 ).x(043 ,s*3,xx4342 )0 , 1 , 0 ,99, 0()

10、,(5242322212*2xxxxxs).x(043 ,xx4342 )0 , 1 , 0 ,99, 0(),(5242322212*2xxxxxs).x(043 ,xx4342 ).x(043 ,xx4342 )0 , 1 , 0 ,99, 0(),(5242322212*2xxxxxs).x(043 ,xx4342 ,s*3).x(043 ,xx4342 ,s*3).x(043 )0 , 1 , 0 ,99, 0(),(5242322212*2xxxxxs,xx4342 ,s*3).x(043 )0 , 1 , 0 ,99, 0(),(5242322212*2xxxxxs,xx4342

11、).x(043 )0 , 1 , 0 ,99, 0(),(5242322212*2xxxxxs,xx4342 ,s*3).x(043 )0 , 1 , 0 ,99, 0(),(5242322212*2xxxxxs,xx4342 海盜分金博弈問題海盜分金博弈問題 最后，考察分贓之初海盜最后，考察分贓之初海盜1 1是如何決定的。是如何決定的。當(dāng)輪到海盜當(dāng)輪到海盜1 1提出分配方案的時(shí)候，所有的提出分配方案的時(shí)候，所有的海盜都在船上。他知道一旦他的方案被反海盜都在船上。他知道一旦他的方案被反對，海盜對，海盜2 2將提出方案將提出方案 那么海盜那么海盜3 3和海和海盜盜5 5將什么也得不到將什么也得不

12、到 于是只要他提出方案滿足于是只要他提出方案滿足 海盜海盜3 3和海盜和海盜5 5就會(huì)贊成該方案，那么集體就會(huì)贊成該方案，那么集體投票的贊成票數(shù)就會(huì)超過半數(shù)，因此海盜投票的贊成票數(shù)就會(huì)超過半數(shù)，因此海盜1 1就會(huì)選擇分配方案就會(huì)選擇分配方案,s*2),x,x(005232 ,xx,xx52513231 ).,() ,x,x,x,x,x(s*10109851413121111 海盜分金博弈問題海盜分金博弈問題綜合以上分析，可以看出：綜合以上分析，可以看出：海盜海盜1 1提出的分配方案提出的分配方案該方案即被多數(shù)人接受，博弈結(jié)該方案即被多數(shù)人接受，博弈結(jié)束。束。 在在“海盜分金海盜分金”中，任何中

13、，任何“分配者分配者”想讓自己的想讓自己的方方案獲得通案獲得通過的關(guān)鍵是：事先考慮清楚過的關(guān)鍵是：事先考慮清楚“挑挑戰(zhàn)者戰(zhàn)者”的分配方案是什么，并用的分配方案是什么，并用最小的代價(jià)獲取最大的收益，拉最小的代價(jià)獲取最大的收益，拉攏攏“挑戰(zhàn)者挑戰(zhàn)者”分配方案中最不得分配方案中最不得意的人。意的人。).1 , 0 , 1 , 0 ,98() ,(5141312111*1xxxxxs海盜分金博弈問題海盜分金博弈問題1s*2(0,99,0,1,0)s *1(99,0,1,0,1)s *3(0,0,99,0,1)s *4(0,0,0,100,0)s *5(0,0,0,0,100)s 2s3s4s5s博弈樹

14、博弈樹 值得注意的是,本來海盜1看似最不容易被丟進(jìn)海里喂魚，但是他牢牢把握住了先發(fā)制人的優(yōu)勢，結(jié)果不但沒有丟掉性命，還獲得了最多的金幣；而海盜5貌似最安全，沒有死亡威脅，甚至還能通過向海盜1發(fā)出死亡威脅，坐收漁人之利，但卻由于其威脅“不可置信”（not credible），而不得不看人臉色行事。海盜分金博弈問題海盜分金博弈問題 利用“海盜分金”的例子可以解釋很多社會(huì)現(xiàn)象。例如，為什么企業(yè)中的一把手，在搞內(nèi)部人控制時(shí)，經(jīng)常是拋開二號(hào)人物，而會(huì)計(jì)和出納們打得火熱？這正是因?yàn)楣纠锏男∪宋锖檬召I，而二號(hào)人物卻總是野心勃勃地想取而代之。海盜分金博弈問題海盜分金博弈問題完全信息動(dòng)態(tài)博弈蜈蚣博弈 在一個(gè)T

15、階段博弈中，在每一個(gè)階段參與人1先選擇是否終止博弈；如果參與人1選擇博弈繼續(xù)進(jìn)行，則輪到參與人2選擇是否終止博弈；如果參與人2繼續(xù)選擇進(jìn)行，則博弈進(jìn)入下一階段。 在任一階段，參與人1認(rèn)為自己終止博弈的結(jié)果優(yōu)于參與人2終止博弈的結(jié)果，但不如博弈進(jìn)入下一階段；參與人2認(rèn)為自己終止博弈的結(jié)果優(yōu)于參與人1在下一階段終止博弈的結(jié)果，但不如自己在下一階段終止博弈，當(dāng)給出T=100時(shí)，博弈的拓展式描述為：蜈蚣博弈1,11112220,32,2、100,10099,102101,101進(jìn)入終止完全信息動(dòng)態(tài)博弈完全信息動(dòng)態(tài)博弈重復(fù)博弈重復(fù)博弈 重復(fù)博弈是指同樣結(jié)構(gòu)的博弈重復(fù)許多次，其中的每次博弈稱為“階段博弈”。重復(fù)博弈是動(dòng)態(tài)博弈中的重要內(nèi)容，它可以是完全信息的重復(fù)博弈，也可以是不