高數(shù)09第九章多元函數(shù)的積分學(xué)ppt課件

1、第九章多元函數(shù)積分學(xué)第九章多元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)第一節(jié) 二重積分二重積分 第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法 第三節(jié)第三節(jié) 二重積分運(yùn)用舉例二重積分運(yùn)用舉例 例例 1 1 （曲頂柱體的體積）（曲頂柱體的體積）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( , )zf x y在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且上連續(xù)，且( , )0f x y .以函數(shù)以函數(shù)( , )zf x y所表示的曲面為頂，所表示的曲面為頂，以區(qū)域以區(qū)域D為底，且以為底，且以D的邊界曲的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱軸的柱面為面為側(cè)面的立體叫做曲頂柱體側(cè)面的立體叫做曲頂柱體（圖（圖 9-1）.現(xiàn)在我們討論如何計(jì)現(xiàn)在我們討

2、論如何計(jì)算它的體積算它的體積 V. O yx z ) , ( y x f z Ds d 圖圖9-1 9-1 由由于于柱柱體體的的高高( , )f x y是是變變動(dòng)動(dòng)的的， 且且在在區(qū)區(qū)域域D上上是是連連續(xù)續(xù)的的，所所以以在在小小范范圍圍內(nèi)內(nèi)它它的的變變動(dòng)動(dòng)不不大大，可可以以近近似似地地看看成成不不變變.依依此此，就就可可用用類類似似于于求求曲曲邊邊梯梯形形面面積積的的方方法法，即即采采取取分分割割、取取近近似似、求求和和、取取極極限限的的方方法法（以以后后簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱四四步步求求積積法法）來(lái)來(lái)求求的的曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積 V. 為為此此，我我們們用用一一組組曲曲線線網(wǎng)網(wǎng)把把D分分割割成成

3、n 個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)域域12,(1,2,)niinssss同同時(shí)時(shí)又又表表示示它它們們的的面面積積.以以每每個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)域域is為為底底作作 n 個(gè)個(gè)母母線線平平行行于于 z 軸軸的的小小柱柱體體，又又在在小小區(qū)區(qū)域域is上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)( ,)(1,2, )iiin ，以以( ,)iif 為為高高，is為為底底的的小小平平頂頂柱柱體體體體積積( ,)iiif s作作為為相相應(yīng)應(yīng)小小曲曲頂頂柱柱體體體體積積的的近近似似值值， 于是于是n個(gè)平頂柱體的體積的和個(gè)平頂柱體的體積的和 1( ,)niiiif s 就是所求曲頂柱體體積的一個(gè)近似值， 令就是所求曲頂柱體體積的一個(gè)近似值， 令 n 個(gè)小閉區(qū)

4、個(gè)小閉區(qū)域域is的直徑（一個(gè)閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域是任意兩的直徑（一個(gè)閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域是任意兩點(diǎn)間距離的最大者）中的最大值（記作點(diǎn)間距離的最大者）中的最大值（記作 ）趨于零，）趨于零， 取上述和式的極限便得所求曲頂柱體的體積，即取上述和式的極限便得所求曲頂柱體的體積，即 01lim( ,)niiiiVf s 定義定義 設(shè)設(shè)( , )f x y在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D 上有定義且有界，上有定義且有界，將將D任 意 地 分 割 為任 意 地 分 割 為n個(gè) 小 閉 區(qū) 域個(gè) 小 閉 區(qū) 域(1,2, ,)iiinss同時(shí)又表示其面積.在每個(gè)小區(qū)域在每個(gè)小區(qū)域is上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)( ,)i

5、i ，作和式，作和式1( ,)niiiif s.若當(dāng)各若當(dāng)各is的直徑中的最大值的直徑中的最大值趨于零時(shí)， 這個(gè)和式的極限存在， 則趨于零時(shí)， 這個(gè)和式的極限存在， 則稱為函數(shù)稱為函數(shù)( , )f x y在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D 上的上的二重積分二重積分，記作，記作( , )dDf x ys，即，即 01( , )dlim( ,)niiiiDf x yfs s， (1) 其中其中( , )f x y稱為稱為被積函數(shù)被積函數(shù)，( , )df x ys稱為稱為被積表達(dá)被積表達(dá)式式，ds稱為稱為面積元素面積元素，x和和y稱為稱為積分變量積分變量，D 稱為稱為積積分區(qū)域分區(qū)域，1( ,)niiiif s稱

6、為稱為積分和式積分和式. 應(yīng)當(dāng)指出， （應(yīng)當(dāng)指出， （1）的極限存在時(shí)，二重積分才）的極限存在時(shí)，二重積分才存在，存在，這時(shí)也稱這時(shí)也稱( , )f x y在在 D 上是可積的上是可積的.與定積分的存在定理與定積分的存在定理類似， 可以證明： 當(dāng)被積函數(shù)類似， 可以證明： 當(dāng)被積函數(shù)( , )f x y在區(qū)域在區(qū)域 D 上連續(xù)時(shí)，上連續(xù)時(shí)，（1）的極限必存在，即在區(qū)域）的極限必存在，即在區(qū)域 D 上連續(xù)的函數(shù)是可積上連續(xù)的函數(shù)是可積的的.當(dāng)然，這個(gè)極限的存在與區(qū)域當(dāng)然，這個(gè)極限的存在與區(qū)域 D 的分割方法以及點(diǎn)的分割方法以及點(diǎn)( ,)ii 的取法無(wú)關(guān)的取法無(wú)關(guān). 性性質(zhì)質(zhì) 4 4 如如果果在在

7、區(qū)區(qū)域域D上上,( , )1f x y ,則則二二重重積積分分在在數(shù)數(shù)值值上上等等于于區(qū)區(qū)域域D面面積積的的值值,即即 ( , )d1 dDDf x ysss, 其其中中s為為區(qū)區(qū)域域D的的面面積積. 這這一一性性質(zhì)質(zhì)的的幾幾何何意意義義是是很很明明顯顯的的，因因?yàn)闉楦吒邽闉?1 的的平平頂頂柱柱體體的的體體積積的的值值等等于于柱柱體體的的底底面面積積乘乘以以 1. 性質(zhì)性質(zhì) 如果將積分區(qū)域如果將積分區(qū)域 D 分為兩個(gè)區(qū)域分為兩個(gè)區(qū)域 1D和和 2D,則在則在 D 上的二重積分等在上的二重積分等在 1D和和 2D上二重積分的和上二重積分的和,即即 12( , )d( , )d( , )dDDD

8、f x yf x yf x ysss. 這一性質(zhì)表示二重積分對(duì)于積分區(qū)域的這一性質(zhì)表示二重積分對(duì)于積分區(qū)域的可加性可加性. 性性質(zhì)質(zhì) 7 7 （二二重重積積分分的的中中值值定定理理） 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)( , )f x y在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域 D 上上連連續(xù)續(xù)，s是是 D 的的面面積積，則則在在 D 上上至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)( , ) ，使使得得 ( , )d( , )Df x yfs s. 性性質(zhì)質(zhì) 5 5 在在區(qū)區(qū)域域D上上，如如果果( , )( , )f x yg x y，則則有有不不等等式式 ( , )d( , )dDDf x yg x yss 性性質(zhì)質(zhì) 6 6 設(shè)設(shè)M，m分分別別是

9、是( , )f x y在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域D上上的的最最大大值值和和最最小小值值，則則有有不不等等式式 ( , )dDmf x yMsss，其其中中 s為為區(qū)區(qū)域域D的的面面積積. 證證 顯然顯然0s，把性質(zhì)，把性質(zhì) 6 中不等式各除以中不等式各除以 s，有，有 1( , )dDmf x yMss， 這就是說(shuō)，確定的數(shù)值這就是說(shuō)，確定的數(shù)值1( , )dDf x yss是介于函數(shù)是介于函數(shù)( , )f x y的最大值的最大值M與最小值與最小值m之間的之間的.根據(jù)在有界閉區(qū)域上根據(jù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值連續(xù)函數(shù)的介值定理，在定理，在 D 上至少存在一點(diǎn)上至少存在一點(diǎn)( , ) ，使得函

10、，使得函數(shù)在該點(diǎn)的值與這個(gè)確定的數(shù)值相等，即數(shù)在該點(diǎn)的值與這個(gè)確定的數(shù)值相等，即 1( , )d( , )Df x yfs s. 上式兩端乘以上式兩端乘以，就是所需證明的公式，就是所需證明的公式. 例例 2 2 比比較較二二重重積積分分ln()dDxys與與2ln() dDxys的的 大大 小小 ， 其其 中中D是是 三三 角角 形形 閉閉 區(qū)區(qū) 域域 ， 三三 頂頂 點(diǎn)點(diǎn) 分分 別別 為為(1,0),(1,1),(2,0). 解解 如圖如圖92在在D上上12xy則則 0ln()ln2lne1xy.所以所以 2ln()ln()xyxy 由性質(zhì)由性質(zhì) 5 得得 2ln()dln() dDDxyx

11、yss. 12yx12O圖圖9-2設(shè) 函 數(shù)設(shè) 函 數(shù)( , )zf x y在 有 界 閉 區(qū) 域在 有 界 閉 區(qū) 域 D 上 連 續(xù) 且上 連 續(xù) 且( , )0f x y ，并設(shè)積分區(qū)域，并設(shè)積分區(qū)域 D 可用不等式可用不等式 12( )( ),xyx axb 來(lái)表示來(lái)表示(93)圖，其中函數(shù)，其中函數(shù)21( ),( )xx區(qū)間區(qū)間, a b上連續(xù)，這上連續(xù)，這樣的區(qū)域稱為樣的區(qū)域稱為 X-型區(qū)域，其特點(diǎn)是：穿過(guò)內(nèi)部型區(qū)域，其特點(diǎn)是：穿過(guò)內(nèi)部 D 且平行且平行 y軸的直線與軸的直線與 D 的邊界相交不多于兩點(diǎn)的邊界相交不多于兩點(diǎn). 在在實(shí)實(shí)際際應(yīng)應(yīng)用用中中，直直接接通通過(guò)過(guò)二二重重積積分

12、分的的定定義義與與性性質(zhì)質(zhì)來(lái)來(lái)計(jì)計(jì)算算二二重重積積分分一一般般是是困困難難的的.下下面面， 我我們們從從計(jì)計(jì)算算曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積出出發(fā)發(fā)來(lái)來(lái)給給出出二二重重積積分分的的計(jì)計(jì)算算方方法法.這這種種方方法法是是把把二二重重積積分分化化為為二二次次積積分分來(lái)來(lái)計(jì)計(jì)算算. (a) 1( )yx 2( )yx a b x y O D (b) 2( )yx 1( )yx a b y O D x 圖圖 9-39-3x b z ( , )z f xy 0 x 2( )yx 1( )yx O a y 圖圖 94先求截面面積先求截面面積( )S x， 為此， 在區(qū)間， 為此， 在區(qū)間, a b上任意選

13、定一點(diǎn)上任意選定一點(diǎn)0 x，過(guò)這點(diǎn)作垂直于，過(guò)這點(diǎn)作垂直于 x 軸的平面軸的平面0 xx.此平面截曲頂柱體所此平面截曲頂柱體所得截面是一個(gè)以區(qū)間得截面是一個(gè)以區(qū)間1020(),()xx為底， 以曲線為底， 以曲線0(, )zf xy為曲邊的曲邊梯形為曲邊的曲邊梯形(圖9-4).由定積分的幾何意義知其面積由定積分的幾何意義知其面積2010()00()()(, )dxxS xf xyy，對(duì)于區(qū)間，對(duì)于區(qū)間, a b上的任何點(diǎn)上的任何點(diǎn) x，對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)的截面面積為的截面面積為 21( )( )( )( , )dxxS xf x yy 于是得曲頂柱體的體積于是得曲頂柱體的體積 V 為為 21( )(

14、)( )d( , )ddbbxaaxVS xxf x yyx 從從而而有有21( )( )( , )d( , )ddbxaxDf x yf x yyxs (1) 或或?qū)憣懗沙?1( )( )( , )dd( , )dbxaxDf x yxf x yys (1) 這這個(gè)個(gè)公公式式表表明明，二二重重積積分分可可以以化化為為先先對(duì)對(duì) y，后后對(duì)對(duì) x 的的二二次次積積分分來(lái)來(lái)計(jì)計(jì)算算.先先對(duì)對(duì) y 積積分分時(shí)時(shí)，應(yīng)應(yīng)把把( , )f x y中中的的 x 看看作作常常數(shù)數(shù)，只只看看作作 y 的的函函數(shù)數(shù)，計(jì)計(jì)算算從從1( )x到到2( )x的的定定積積分分.然然后后把把算算得得的的結(jié)結(jié)果果（不不含含

15、y 是是 x 的的函函數(shù)數(shù)）再再對(duì)對(duì) x 計(jì)計(jì)算算從從 a 到到 b的的定定積積分分. 1( )xy 2( )xy D O c d y x (a) 2( )xy 1( )xy x y O c d D (b) 圖圖 9-5 在在推推導(dǎo)導(dǎo)中中，借借助助幾幾何何直直觀觀，設(shè)設(shè)( , )0f x y ，事事實(shí)實(shí)上上，這這個(gè)個(gè)公公式式的的成成立立并并不不受受此此條條件件限限制制.類類似似地地，如如果果積積分分區(qū)區(qū)域域 D可可用用不不等等式式 12( )( ),yxy cyd 表表示示（圖9-5），其其中中12( ),( )yy在在區(qū)區(qū)間間, c d上上連連續(xù)續(xù)，這這樣樣的的區(qū)區(qū)域域稱稱為為 Y-型型區(qū)區(qū)

16、域域， 其其特特點(diǎn)點(diǎn)是是：穿穿過(guò)過(guò) D 內(nèi)內(nèi)部部且且平平行行 x 軸軸的的直直線線與與 D 的的邊邊界界相相交交不不多多于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)，則則有有 2121( )( )( )( )( , )d( , )d dd( , )dDdycydycyf x yf x yx yyf x yxs (2) 公公式式(2)是是把把二二重重積積分分化化為為先先對(duì)對(duì) x， 后后對(duì)對(duì) y 的的二二重重積積分分來(lái)來(lái)計(jì)計(jì)算算. 2211( )( )( )( )d( , )dd( , )dbxdyaxcyxf x yyyf x yx (3) 公公式式(3)常常用用來(lái)來(lái)交交換換二二重重積積分分的的積積分分次次序序. 如果所給積分

17、區(qū)域如果所給積分區(qū)域D既既是是X 型的，可用不等式型的，可用不等式12( )( ),xyx axb表表示，又是示，又是Y 型的，可用不等型的，可用不等式式12( )( ),yxy cyd表示表示(96)圖，由公式，由公式(1)和和(2)就有就有 O a d c b y D 圖圖 9-6 二重積分化為二次積分計(jì)算二重積分化為二次積分計(jì)算 時(shí)，確定二次積分的積分限是一時(shí)，確定二次積分的積分限是一 個(gè)關(guān)鍵個(gè)關(guān)鍵.為此，應(yīng)先畫出積分區(qū)域?yàn)榇耍瑧?yīng)先畫出積分區(qū)域 圖，如果區(qū)域是圖，如果區(qū)域是 X-型區(qū)域型區(qū)域(97)圖, 在區(qū)間在區(qū)間, a b上任意取定一點(diǎn)上任意取定一點(diǎn) x，并，并 過(guò)此點(diǎn)作一條平行于過(guò)

18、此點(diǎn)作一條平行于 y 軸的直線，軸的直線， 順著順著 y 軸正向看去，點(diǎn)軸正向看去，點(diǎn) A 是這條直是這條直 線穿入?yún)^(qū)域線穿入?yún)^(qū)域 D 的點(diǎn)，這點(diǎn)的縱坐標(biāo)的點(diǎn)，這點(diǎn)的縱坐標(biāo) 1( )x就是積分的下限；點(diǎn)就是積分的下限；點(diǎn)B 是穿出區(qū)域是穿出區(qū)域 D 的點(diǎn)，它的縱坐標(biāo)的點(diǎn)，它的縱坐標(biāo) 2( )x是積分是積分的上限，把計(jì)的上限，把計(jì)算的結(jié)果（是算的結(jié)果（是 x 的函數(shù)）再對(duì)的函數(shù)）再對(duì) x 在其變化區(qū)間在其變化區(qū)間, a b上作定積分上作定積分.同理可得同理可得 Y-型區(qū)域的定限方法型區(qū)域的定限方法. x A B O a b y D 圖圖 9-79-7 1D 2D 3D x y 圖圖98例例 1

19、1 計(jì)計(jì)算算2d dDxyx y， 其其中中 D 是是由由直直線線0,1,xx1y 和和2y 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. 解解 方法一方法一 首先畫出積分區(qū)域首先畫出積分區(qū)域 D(99)圖圖. D是矩形區(qū)是矩形區(qū)域，化成二次積分時(shí)，積分的上下限均為常數(shù)域，化成二次積分時(shí)，積分的上下限均為常數(shù).若先對(duì)若先對(duì) y積積分，把分，把x暫定為常數(shù)，暫定為常數(shù)，y的變化范圍由的變化范圍由 1 到到 2，然后再對(duì)，然后再對(duì) x從從0 到到 1 積分，于是得積分，于是得 231211220100177d ddddd336Dyxyx yxxyyxxx x 方法二方法二 如圖如圖99，若先對(duì)，若先對(duì) x積積分

20、，后對(duì)分，后對(duì)y積分，則得積分，則得 212210d dddDxyx yyxyx122210d2xyy 2211d2yy231123y76 yD21Ox圖 99例例 2 2 計(jì)計(jì)算算二二重重積積分分223dDx ys，其其中中 D 是是由由 x 軸軸，y軸軸和和拋拋物物線線21yx 所所圍圍成成的的在在第第一一象象限限內(nèi)內(nèi)的的閉閉區(qū)區(qū)域域. 1Oyxx121yx y = 011Ox = 01xyxy(a)(b)圖圖 910解解 畫出積分區(qū)域畫出積分區(qū)域 D (9 10)圖 D既是既是X 型，又是型，又是Y 型區(qū)域，若用公式型區(qū)域，若用公式(1)，有，有 22112222001112322300

21、03dd3d16d(1) d315xDxx yxx yyxyxxxxs 若用公式若用公式(2)，有，有 111122222300003dd3ddyyDx yyx yxyxys 31220(1)dyyy 這個(gè)積分計(jì)算比較麻煩，說(shuō)明此利用公式這個(gè)積分計(jì)算比較麻煩，說(shuō)明此利用公式(1)比用公式比用公式(2)計(jì)算較為方便計(jì)算較為方便. 例例3 3 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分dDxys， 其中， 其中D是由拋物線是由拋物線 2yx及直線及直線2yx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. 解解 畫 出 區(qū) 域畫 出 區(qū) 域D(9 11)圖.先求交點(diǎn)，先求交點(diǎn)，解 方 程 組解 方 程 組2,2,yxyx 得得交點(diǎn)坐

22、標(biāo)為交點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 1)及及(4,2)D既是既是X 型，又型，又是是Y 型區(qū)域型區(qū)域. 圖圖 9 - 11D(4,2)(1,-1)xy2yO-12xy2xy若按若按Y 型區(qū)域計(jì)算，用公式型區(qū)域計(jì)算，用公式(2)，有，有 222221212251dddd21(2)d2yyyyDyxxyyxy xyyyyyys 2463211422436yyyy 558 若若按按 x-型型區(qū)區(qū)域域計(jì)計(jì)算算，用用公公式式（1） ，則則由由于于 下下 方方 邊邊 界界 曲曲 線線1( )yx在在區(qū)區(qū)間間0,1及及1,4上上的的表表達(dá)達(dá)方方式式不不一一致致，所所以以要要用用經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)交交點(diǎn)點(diǎn)(1, 1)且且平平行行于于

23、y軸軸的的直直線線1x 把把區(qū)區(qū)域域D分分成成兩兩部部分分（圖圖 9-12）. x4x圖圖 9 - 12(4,2)(1,-1)y1O2yx2D1Dyxyx x其其中中 1( , ),01Dx yxyxx 2( , )2,14Dx y xyxx 利利用用二二重重積積分分的的性性質(zhì)質(zhì) 3，就就有有 12140122214012ddddddddd22xxxxDDDxxxxxyxyxyxxy yxxy yyyxxxxsss 241(2)50d5228xxxx 由由此此可可見見，這這里里用用公公式式(1)來(lái)來(lái)計(jì)計(jì)算算比比較較麻麻煩煩. 從從例例 2，例例 3 可可見見，積積分分次次序序選選擇擇不不同同，

24、二二重重積積分分計(jì)計(jì)算算的的難難易易程程度度也也不不同同，如如何何選選擇擇積積分分次次序序呢呢，除除與與積積分分區(qū)區(qū)域域形形狀狀有有關(guān)關(guān)，還還與與被被積積分分函函數(shù)數(shù)的的特特性性有有關(guān)關(guān). 解解 畫 出 積 分 區(qū) 域畫 出 積 分 區(qū) 域D(9 13)圖 若用公式若用公式(1)，就要，就要先計(jì)算定積分先計(jì)算定積分sindxxyyy， 由于， 由于sin yy的的原函數(shù)不是初等函數(shù)，原函數(shù)不是初等函數(shù)，因而積分因而積分sindxxyyy無(wú)無(wú)法用牛頓法用牛頓萊布尼茨公萊布尼茨公式算出式算出. DyOx圖圖 9- 132yxyx2112001100sinsinsind ddd()d(1)sin d

25、(1)d(cos )yyDyyyx yyxyyyyyyyy yyy 1100(1)coscos dyyy y 1 sin1 . 此此例例表表明明，選選擇擇怎怎樣樣的的二二次次積積分分次次序序有有時(shí)時(shí)直直接接關(guān)關(guān)系系到到能能否否算算得得二二重重積積分分的的結(jié)結(jié)果果. 若若按按Y 型型區(qū)區(qū)域域，用用公公式式(2),則則有有 例例 5 5 交交換換二二次次積積分分1220010d( , )dd( , )dxxxf x yyxf x yy的的積積分分次次序序. 解解 這 個(gè)積 分可以看作區(qū)域這 個(gè)積 分可以看作區(qū)域12DDD上的一個(gè)二重積分，其中上的一個(gè)二重積分，其中1D由直線由直線0,1yyx x所

26、圍成，所圍成，2D由 直 線由 直 線0,2,1yyx x所 圍 成所 圍 成(9 14)圖現(xiàn)將它化成先對(duì)現(xiàn)將它化成先對(duì)x后對(duì)后對(duì)y的二的二次積分， 此時(shí)次積分， 此時(shí):01,2Dyyxy，于是有于是有 21(1,1)yxO圖圖 9- 141D2D1221200100d( , )dd( , )dd( , )dxxyyxf x yyxf x yxyf x yx例例 6 6 通過(guò)交換積分次序計(jì)算二次積分通過(guò)交換積分次序計(jì)算二次積分2110dedyxxy. 圖圖 9- 152121DyxO(1,1)于于是是2222111100001100deddeded111e(1)22eyyyyxyxyyxyy

27、由例由例 6 可見，若不交換積分次序，由于可見，若不交換積分次序，由于2ey的原函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，就無(wú)法算得二次積分的結(jié)果不是初等函數(shù)，就無(wú)法算得二次積分的結(jié)果. 作業(yè)：作業(yè)：習(xí)題習(xí)題92(1)2(2,4)3(1,3)4(1,3) 在在具具體體計(jì)計(jì)算算二二重重積積分分時(shí)時(shí)，根根據(jù)據(jù)被被積積函函數(shù)數(shù)的的特特點(diǎn)點(diǎn)和和積積分分區(qū)區(qū)域域的的形形狀狀，選選擇擇適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡淖鴺?biāo)標(biāo)，會(huì)會(huì)使使計(jì)計(jì)算算變變得得簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單.下下面面介介紹紹利利用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)計(jì)計(jì)算算二二重重積積分分的的方方法法. 用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)計(jì)計(jì)算算二二重重積積分分時(shí)時(shí)，積積分分區(qū)區(qū)域域 D 及及被被積積函函數(shù)數(shù)( , )f x y

28、都都應(yīng)應(yīng)不不難難用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示，而而面面積積元元素素怎怎樣樣用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示呢呢？ 按按二二重重積積分分的的定定義義 01( , )dlim( ,)niiiiDf x yfs s 可可知知，01lim( ,)niiiif s的的值值與與is的的分分法法無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)， 與與點(diǎn)點(diǎn)( ,)ii 的的取取法法無(wú)無(wú)關(guān)關(guān). 從從而而在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下，我我們們選選擇擇了了is的的一一種種特特殊殊分分法法，取取分分別別平平行行于于x軸軸及及y軸軸的的兩兩族族直直線線，即即x 常常數(shù)數(shù)，y 常常數(shù)數(shù)，把把區(qū)區(qū)域域D分分成成 n 個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)域域is，設(shè)設(shè)長(zhǎng)長(zhǎng)為為ix，寬寬為為ky，則則

29、iiixys ，從從而而面面積積dd dx ys. 在極坐標(biāo)下，假設(shè)從極點(diǎn)在極坐標(biāo)下，假設(shè)從極點(diǎn) O 出發(fā)穿過(guò)積分區(qū)域出發(fā)穿過(guò)積分區(qū)域 D 內(nèi)內(nèi)部的射線與部的射線與 D 的邊界曲線相交不多于兩點(diǎn)的邊界曲線相交不多于兩點(diǎn).我們用極坐標(biāo)我們用極坐標(biāo)系中的曲線網(wǎng)系中的曲線網(wǎng)r 常數(shù)（是以極點(diǎn)為中心的一族同心圓）常數(shù)（是以極點(diǎn)為中心的一族同心圓）和和 常數(shù)（是自極點(diǎn)出發(fā)的一族射線） ，將區(qū)域常數(shù)（是自極點(diǎn)出發(fā)的一族射線） ，將區(qū)域 D 分成分成n 個(gè)小閉區(qū)域（圖個(gè)小閉區(qū)域（圖 916）. xOddrdr圖圖 9- 16這 些 小 閉 區(qū) 域 的 面 積這 些 小 閉 區(qū) 域 的 面 積(1,2, )i

30、ins當(dāng)作是兩個(gè)圓扇形的當(dāng)作是兩個(gè)圓扇形的面積之差，除了包含邊界點(diǎn)的一些小面積之差，除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外（當(dāng)取極限時(shí)，這一些小閉閉區(qū)域外（當(dāng)取極限時(shí)，這一些小閉區(qū)域?qū)?yīng)項(xiàng)的和的極區(qū)域?qū)?yīng)項(xiàng)的和的極限限趨于零，因此趨于零，因此這些小區(qū)域可以忽略不這些小區(qū)域可以忽略不計(jì)計(jì)）.于是得于是得 2211()22iiiiiirrrs 21()2iiiiiiiir rrr r （略去高階無(wú)窮?。匀ジ唠A無(wú)窮小21()2iir） ，） ，于是就得到極坐標(biāo)下的面積元素于是就得到極坐標(biāo)下的面積元素dd dr rs. 對(duì)直角坐標(biāo)系下的二重積分對(duì)直角坐標(biāo)系下的二重積分( , )dDf x ys，可用下面的，

31、可用下面的方法將它變換成極坐標(biāo)下的二重積分：方法將它變換成極坐標(biāo)下的二重積分： （1） 通過(guò)變換通過(guò)變換cos ,sinxryr，將被積函數(shù)，將被積函數(shù)( , )f x y化為化為, r的函數(shù)，即的函數(shù)，即 ( , )( cos , sin )( , )f x yf rrF r； （2） 將積分區(qū)域?qū)⒎e分區(qū)域 D 的邊界曲線用極坐標(biāo)方程的邊界曲線用極坐標(biāo)方程( )rr來(lái)表示；來(lái)表示； （3） 將面積元素將面積元素ds表示成極坐標(biāo)下的面積元素表示成極坐標(biāo)下的面積元素d dr r.于是就得到二重積分的極坐標(biāo)表示式于是就得到二重積分的極坐標(biāo)表示式 ( , )d( cos , sin ) d dDDf

32、 x yf rrr rs. （4） 這時(shí)區(qū)域這時(shí)區(qū)域D在兩條射線在兩條射線, 之間，這兩條射線和之間，這兩條射線和D的邊界的交點(diǎn)把區(qū)域邊界分為兩部分：的邊界的交點(diǎn)把區(qū)域邊界分為兩部分：12( ),( )rrrr.此時(shí)此時(shí)積分區(qū)域積分區(qū)域D可以用不等式可以用不等式 12( )( ),rrr 來(lái)表示來(lái)表示.在區(qū)間在區(qū)間, 上任意取一個(gè)上任意取一個(gè) 值， 對(duì)應(yīng)這個(gè)值， 對(duì)應(yīng)這個(gè) 值作射線值作射線 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分，同樣是把二重積分化為分，同樣是把二重積分化為二次積分，這里我們只介紹二次積分，這里我們只介紹先先r后后的積分次序的積分次序.如何確如何確定兩次積分的上下限，要根定

33、兩次積分的上下限，要根據(jù)極點(diǎn)與區(qū)域據(jù)極點(diǎn)與區(qū)域D的位置而定，的位置而定，現(xiàn)分三種情形加以討論：現(xiàn)分三種情形加以討論： （1） 極點(diǎn)在區(qū)域極點(diǎn)在區(qū)域 D 的的外面（圖外面（圖 917） x 2( )rr 1( )rr B D A 圖 9-17 (2) 極點(diǎn)在區(qū)域極點(diǎn)在區(qū)域 D 的的邊界上邊界上(圖圖 9-18) 設(shè)積分區(qū)域設(shè)積分區(qū)域 D 可以用可以用不等式不等式 0( ),rr 來(lái)表示來(lái)表示.這可看成（這可看成（1）當(dāng)）當(dāng)12( )0,( )( )rrr的 特的 特例，故有例，故有 xOD圖圖918OAB. A 是是穿穿入入 D 的的點(diǎn)點(diǎn), B 是是穿穿出出 D 的的點(diǎn)點(diǎn),故故極極徑徑 r 從從

34、 1( )r變變到到2( )r.將將計(jì)計(jì)算算的的結(jié)結(jié)果果（是是的的函函數(shù)數(shù)）再再在在區(qū)區(qū)間間, 上上的的積積分分,即即 21( )( )( cos , sin ) d dd( cos , sin ) drrDf rrr rf rrr r （5） （3） 極點(diǎn)在區(qū)域極點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部（圖的內(nèi)部（圖 9-19） 設(shè)積分區(qū)域設(shè)積分區(qū)域 D 可可以用不等式以用不等式 0( ),02rr 來(lái)表示來(lái)表示.這可看成這可看成(2)當(dāng)當(dāng)0,2的 特 例的 特 例 ,故有故有 2r( )00( cos , sin) d dd( cos , sin) dDf rrr rf rrr r. (7) Ox圖9-19特特別

35、別地地，當(dāng)當(dāng)( cos , sin )1f rr時(shí)時(shí)，二二重重積積分分的的值值等等于于區(qū)區(qū)域域 D 的的面面積積s，即即 d dDr rs21( )( )ddrrr r22211( )( ) d2rr. . 當(dāng)當(dāng)12( )0,( )( )rrr時(shí)時(shí)，21( )d2rs， 這這就就是是在在定定積積分分應(yīng)應(yīng)用用中中極極坐坐標(biāo)標(biāo)情情形形下下的的曲曲邊邊扇扇形形的的面面積積公公式式. . 通通常常當(dāng)當(dāng)積積分分區(qū)區(qū)域域的的邊邊界界由由圓圓弧弧、射射線線組組成成且且被被積積函函數(shù)數(shù)含含有有22,yxyx等等形形式式時(shí)時(shí)，用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)計(jì)計(jì)算算較較為為簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單. . 例例 7 7 求求222dDIaxys

36、,其其中中 D 是是圓圓域域22xyax. 解解 因積分區(qū)域因積分區(qū)域 D 是圓域是圓域22xyax（圖（圖 9-20）.它的邊它的邊界曲線方程是界曲線方程是cosra.當(dāng)當(dāng) 固定時(shí)，固定時(shí)，r從從0到到cosa，而，而 的變化范圍是區(qū)間的變化范圍是區(qū)間 ,2 2 y x a O cosra r 圖圖 9-20 于于是是得得 22cos22202d dddDaIar r rar r r cos32222203320331()d32(1 sin)d322()(34)3239aaraaa 例例 8 8 計(jì)算計(jì)算22ed dxyDx y，其中，其中D是由圓是由圓222xya所圍所圍成的閉區(qū)域成的閉區(qū)

37、域. 解解 因積分區(qū)域是圓域因積分區(qū)域是圓域（圖（圖 9-21） ，它的邊界曲線） ，它的邊界曲線的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為ra.由變由變換公式（換公式（4）及計(jì)算公式（）及計(jì)算公式（7）得得 2222200ed ded ddedaxyrrDDx yr rr r2222200011ed(1 e)d(1 e)22araayaxO圖圖9-21作業(yè)：作業(yè)： 習(xí)題習(xí)題9-2(2) 2，3(1,2)，4(2,3)，5(2)xO(b)xry1D22yrx圖圖9-22y(a)rxzrO一一 、體體積積 我們?cè)诒菊碌谝还?jié)中已經(jīng)知道，若我們?cè)诒菊碌谝还?jié)中已經(jīng)知道，若( , )zf x y在有界閉區(qū)在有界閉區(qū)域

38、域D上連續(xù)，且上連續(xù)，且( , )0f x y ，則二重積分，則二重積分 ( , )dDf x ys 在幾何上解釋為以在幾何上解釋為以( , )zf x y為曲頂柱體的體積為曲頂柱體的體積. 例例 1 1 求求兩兩個(gè)個(gè)底底圓圓半半徑徑相相等等的的直直交交圓圓柱柱所所圍圍立立體體的的體體積積. 2222222222100003222300dddd2()d33rxrrxrDrrVrxxrxyrxyxxrxxr xrs 故故 311683VVr 解解 設(shè)設(shè)圓圓柱柱底底圓圓半半徑徑為為 r，兩兩個(gè)個(gè)圓圓柱柱面面方方程程分分別別為為222xyr及及222xzr.由由立立體體對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)面面的的對(duì)對(duì)稱稱性

39、性，所所求求體體積積是是它它位位于于第第一一卦卦限限那那部部分分（圖圖 9-22（a） ）的的體體積積 1V的的 8倍倍.立立體體在在第第一一卦卦限限部部分分的的積積分分區(qū)區(qū)域域 1D為為0 xr，220yrx（圖圖 9-22（b） ）, 它它的的曲曲頂頂為為22zrx，于于是是 例例 2 2 求求 球球 體體2222xyza含含 在在 柱柱 面面22xyax (0)a 內(nèi)內(nèi)的的那那部部分分立立體體的的體體積積. azyxDO(a)圖9-23 (b)2aOaxycosracos222222100dddaDVaxyar r rs333202(1 sin)d()3323aas31424()323a

40、VV故故 在第六章討論定積分的作用時(shí)，將許多求總量的問(wèn)在第六章討論定積分的作用時(shí)，將許多求總量的問(wèn)題歸結(jié)為用定積分的元素法來(lái)建立所求量題歸結(jié)為用定積分的元素法來(lái)建立所求量U的定積分表的定積分表達(dá)式，現(xiàn)在我們把元素法推廣到二重積分應(yīng)用中達(dá)式，現(xiàn)在我們把元素法推廣到二重積分應(yīng)用中.設(shè)所求設(shè)所求量量 U 對(duì)區(qū)域?qū)^(qū)域 D 具有可加性，且在區(qū)域具有可加性，且在區(qū)域 D 中任取一個(gè)小中任取一個(gè)小區(qū)域區(qū)域ds時(shí)，相應(yīng)的部分量時(shí)，相應(yīng)的部分量U可以近似地表示為可以近似地表示為( , )df x ys，稱，稱d( , )dUf x ys為所求量為所求量 U 的的積分元素積分元素，以它作為被積表達(dá)式，在有界閉區(qū)

41、域以它作為被積表達(dá)式，在有界閉區(qū)域 D 上，積分上，積分 ( , )dDUf x ys 就是所求量的就是所求量的積分表達(dá)式積分表達(dá)式. 二、二、 曲面的面積曲面的面積 例例如如，設(shè)設(shè)有有界界曲曲面面 S 由由顯顯示示方方程程( , )zf x y給給出出，xyD是是曲曲面面 S 在在xOy面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域，函函數(shù)數(shù)( , )f x y在在xyD上上有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).曲曲面面 S 的的面面積積 A. 由由元元素素法法，在在區(qū)區(qū)域域xyD內(nèi)內(nèi)任任取取一一個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)域域 ds，同同時(shí)時(shí) ds也也表表示示這這個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)域域的的面面積積 .在在 ds內(nèi)內(nèi)任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)(

42、 , )P x y，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng) 地地在在曲曲面面 S 上上有有一一點(diǎn)點(diǎn), ,( , )M x y f x y，設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn) M 處處的的切切平平面面為為 （圖圖 9-24）.以以小小區(qū)區(qū)域域 ds的的邊邊界界曲曲線線為為準(zhǔn)準(zhǔn)線線， 平平行行于于 z 軸軸的的直直線線作作為為母母線線作作柱柱面面， 此此柱柱面面在在曲曲面面 S 上上截截下下一一小小塊塊曲曲面面，由由于于 ds很很小小，故故可可用用在在切切平平面面上上截截下下的的一一小小塊塊面面積積 dA作作為為 A的的近近似似值值，有有 ddcosAs 其中其中 r 為點(diǎn)為點(diǎn) M 處的法線處的法線 z 軸的夾角（即切平面與軸的夾角（即切平面與xOy面

43、的夾角）面的夾角）.因?yàn)橐驗(yàn)?221cos1( , )( , )xyrfx yfx y 故故 22d1( , )( , )dxyAfx yfx ys 圖 9 -24 dd p dA M s O y z x 這就是曲面面積元素，于是有這就是曲面面積元素，于是有 221( , )( , )dxyDAfx yfx ys， （1） 故故 221d dxyDzzAx yxy. 若曲面的方程為若曲面的方程為( , )xy z或或( , )yz x，同理可得，同理可得 221d dyzDxxAy zyz， （2） 或或221d dzxDyyAyz xzx （3） 解解 由對(duì)稱性，球面在第一卦限部分的面積的由

44、對(duì)稱性，球面在第一卦限部分的面積的 8 倍即倍即為所求的表面積為所求的表面積 A. 在第一卦限內(nèi)球面方程為在第一卦限內(nèi)球面方程為222zRxy，投影區(qū)域，投影區(qū)域D：222,0,0 xyRxy， 又又222222,zxzyxyRxyRxy，于是所求的，于是所求的表面積表面積 2281dDzzAxys=222D8d dRx yRxy 2222220008dd44RRRr rRRrRRr 解解 由對(duì)稱性知， 所求面積由對(duì)稱性知， 所求面積 S 是它在第一卦限內(nèi)是它在第一卦限內(nèi)面積的面積的 4 倍（圖倍（圖 9-23） ，在第一卦限內(nèi)球面方程為） ，在第一卦限內(nèi)球面方程為 222zaxy 由由 22

45、2,zxxaxy 222zyyaxy， 故得故得 22222D41d d=4d dDzzSx yxyax yaxy 利利用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)，得得 coscos2222220000d44daaar rS =dq= a- a -ra -r 2204cos2(2).a aaa 三三、質(zhì)質(zhì)量量與與重重心心 由由力力學(xué)學(xué)知知道道，n個(gè)個(gè)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的質(zhì)質(zhì)心心坐坐標(biāo)標(biāo)為為 1111,nniiiiyixinniiiim xm yMMxymmmm 其其中中im第第 i 個(gè)個(gè)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的質(zhì)質(zhì)量量， 1111,nniiiiyixinniiiim xm yMMxymmmm分分別別是是質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)系系對(duì)對(duì) x 軸軸和和 y 軸軸的的靜靜力力矩矩，1niimm是是質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)系系的的總總質(zhì)質(zhì)量量. 設(shè)有一平面薄片，它位于設(shè)有一平面薄片，它位于xOy面內(nèi)區(qū)域面內(nèi)區(qū)域 D 上，在上，在點(diǎn)點(diǎn)( , )x y處的面密度為區(qū)域處的面密度為區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)xy（ ， ），現(xiàn)，現(xiàn)求它的質(zhì)量和質(zhì)心坐標(biāo)求它