4絕對(duì)值與相反數(shù)知識(shí)講解及其練習(xí)

1、絕對(duì)值與相反數(shù)根底【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 借助數(shù)軸理解絕對(duì)值和相反數(shù)的概念；2. 知道|a的絕對(duì)值的含義以及互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系；3. 會(huì)求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值和相反數(shù)，并會(huì)用絕對(duì)值比擬兩個(gè)負(fù)有理數(shù)的大??；4. 通過應(yīng)用絕對(duì)值解決實(shí)際問題，體會(huì)絕對(duì)值的意義和作用 .【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相反數(shù)1. 定義： 如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么稱英中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù) . 特別地， 0 的相反數(shù)是0.要點(diǎn)詮釋：1“只字是說僅僅是符號(hào)不同，其它局部完全相同 .2“0的相反數(shù)是 0是相反數(shù)泄義的一局部，不能漏掉 .3相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能說是相反數(shù) .4求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添

2、上 "- 號(hào)即可 .2. 性質(zhì)：1 互為相反數(shù)的兩數(shù)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的兩旁，且與原點(diǎn)的距離相等這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì) 稱 .2互為相反數(shù)的兩數(shù)和為 0.要點(diǎn)二、多重符號(hào)的化簡(jiǎn)多重符號(hào)的化簡(jiǎn)，由數(shù)字前面"-號(hào)的個(gè)數(shù)來確定，假設(shè)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為正，如卜-4 =4 : 假設(shè)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為負(fù)，如 -+- -4 二-4 .要點(diǎn)詮釋：1在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“ + ，仍然與原數(shù)相同，如 + 5 = 5, + -5 =一 5.2在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“一，就成為原數(shù)的相反數(shù) . 如一一 3就是一 3的相 反 數(shù)，因此，一一 3 =3.要點(diǎn)三、絕對(duì)值1.定義： 在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所

3、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，例如+2 的絕對(duì) 值等于 2,記作 1+2 =2： -3 的絕對(duì)值等于 3,記作 1-3 二 3.要點(diǎn)詮釋：1絕對(duì)值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身：一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)：0 的絕對(duì)值是 0. 即對(duì)于任何有理數(shù) a 都有：a (a > 0)I a I = < 0 (a = 0) -a (a < 0)2絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，離原點(diǎn)的距 離越 遠(yuǎn)，絕對(duì)值越大：離原點(diǎn)的距離越近，絕對(duì)值越小 .3個(gè)有理數(shù)是由符號(hào)和絕對(duì)值兩個(gè)方而來確定的 .2.性質(zhì)：1 0除外，絕對(duì)值為一正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們

4、互為相反數(shù).2互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)0除外的絕對(duì)值相等.3絕對(duì)值具有非負(fù)性，即任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值總是正數(shù)或0.要點(diǎn)四、有理數(shù)的大小比擬1. 數(shù)軸法：在數(shù)軸上表示出這兩個(gè)有理數(shù)，左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小.如：a與b在數(shù)軸上的位置如下圖，那么aVb.、2. 法那么比擬法：b兩個(gè)數(shù)比擬大小，按數(shù)的性質(zhì)符號(hào)分類，情況如下 ：兩數(shù)同號(hào)同為正號(hào)：絕對(duì)值大的數(shù)大同為負(fù)號(hào)：絕對(duì)值大的反而小兩數(shù)異號(hào)正數(shù)大于負(fù)數(shù)一數(shù)為0正數(shù)與0：正數(shù)大于0負(fù)數(shù)與0：負(fù)數(shù)小于0要點(diǎn)詮釋：利用絕對(duì)值比擬兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小的步驟：1分別訃算兩數(shù)的絕對(duì)值；2比擬絕對(duì)值 的大?。?判定兩數(shù)的大小.3. 作差法：設(shè)a、b為任意數(shù)，假設(shè)a-b>0

5、,那么a>b；假設(shè)a-b = 0,那么a=b；假設(shè)a-b<0, a <b：反之成立.4. 求商法：設(shè)a、b為任意正數(shù)，假設(shè)->1,那么a>b；假設(shè)-二1,那么a=b；假設(shè)-<1,那么bhbavb：反之也成立.假設(shè)a、b為任意負(fù)數(shù)，那么與上述結(jié)論相反.5. 倒數(shù)比擬法：如果兩個(gè)數(shù)都大于零，那么倒數(shù)大的反而小.【典型例題】 類型一、相反數(shù)的概念 C1. ?益陽-的相反數(shù)是2021)A. 2021 B. - 2021 C. -A 2021【思路點(diǎn)撥】解決這類問題的關(guān)鍵是抓住互為相2021反數(shù)的特征“只有符號(hào)不同，所以只要將原數(shù)的符號(hào)變?yōu)橄喾吹姆?hào)，即可求出其相反數(shù)

6、【解析】解:只有符號(hào)不同?2021 2021-的相反數(shù)是磊2021應(yīng)選：C.【總結(jié)升華】求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只改變這個(gè)數(shù)的符號(hào)，其他局部都不變舉一反三：【變式】？天水假設(shè)a與1互為相反數(shù)，貝等于A.-lB. 0 C. 1 D. 2【答案】B 類型二、多重符號(hào)的化簡(jiǎn) 尸2.(秋?本溪校級(jí)月考)化簡(jiǎn):(1) - +- (+3)(-3 ) .【答案與解析】解：原式二-+ - 3 = - - 3 =3:(2) 原式二-(-3) =- +3 二- - 3)=3.【總結(jié)升華】運(yùn)用多重符號(hào)化簡(jiǎn)的規(guī)律解決這類問題較為簡(jiǎn)單.即數(shù)一下數(shù)字前而有多少個(gè) 負(fù)號(hào).假設(shè) 有偶數(shù)個(gè)，那么結(jié)果為正：假設(shè)有奇數(shù)個(gè)，那么結(jié)果為負(fù).

7、122)【思路點(diǎn)撥】1丄，-03 0, - -3丄在數(shù)軸上位置距原點(diǎn)有多少個(gè)單位長(zhǎng)度，這個(gè)數(shù)字就是各數(shù)的絕對(duì)值.還可以用絕對(duì)值法那么來求解【答案打解析】方法】：因?yàn)樵t到原點(diǎn)距離是G個(gè)單位長(zhǎng)度，所以因?yàn)?0? 3到原點(diǎn)距離是0? 3個(gè)單位長(zhǎng)度，所以-0? 3|=0? 3?因?yàn)?到原點(diǎn)距離為0個(gè)單位長(zhǎng)度，所以|0|=0.11因?yàn)?丄到原點(diǎn)的距離是3丄個(gè)單位長(zhǎng)度，所以-2方法2：因?yàn)橹Z<0,所以-1因?yàn)?0. 3<0,所以-0? 3 丨=-(-0? 3)=0? 3?因?yàn)?的絕對(duì)值是它本身，所以|0|=0=3丄7【總結(jié)升華】求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值有兩種方法：一種是利用絕對(duì)值的幾何意義求解(如方法

8、1), 一種是利用絕對(duì)值的代數(shù)意義求解(如方法2),后種方法的具體做法為：首先判斷這個(gè)數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零再根據(jù)絕對(duì)值的意義，確泄去掉絕對(duì)值符號(hào)的結(jié)果是它本身，是它的相反數(shù)，還是零.從而求出該數(shù)的絕對(duì)值.類型四、比擬大小4. 比擬以下有理數(shù)大小：1-1和0：-2和卜3 :卜尋和-|-1|T-0.1I【答案】0大于負(fù)數(shù)，即-1V0 ；先化簡(jiǎn)一£ _丄1 1 ( 112 "2_即_ 一23I 3丿<先化簡(jiǎn)-3仁3,負(fù)數(shù)小于正數(shù)，所以-2<3,即-2V： -3i ； 先化簡(jiǎn)一 | 一 1| = 一 1? 一卜0?1| = -0? 1?這是兩個(gè)負(fù)數(shù)比擬大?。阂?yàn)閨 一

9、1| = 1,卜0.1| = 0?1,而 1>0.1,所以一 lv-0.1,即一 | 一 1|<一卜 0.1|【解析】2、3、4先化簡(jiǎn)，再運(yùn)用有理數(shù)大小比擬法那么.【總結(jié)升華】任比擬兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小時(shí)，可按以下步驟進(jìn)行：先求兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，再比較兩個(gè)絕對(duì)值的大小，最后根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小做出正確的判斷舉一反三：【變式】比大小：0.0001-1000:-3-3- :- -3.2-(+3.2):671.38 1.384: n 3. 14.【空案】>=:>>:<類型五、絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用5.12m| +1 n-31 =0>試求 m-2n的值.【思

10、路點(diǎn)撥】由I a I M0即絕對(duì)值的非負(fù)性可知，丨2-m I 20, I n-3 I 20,而它們的和 為0?所以丨2-m I =0,n-3 =0.因此，2-m=0, n-3=0,所以 m=2> n=3.【答案】解：因?yàn)?2-m + n-3: =0且 2-m $0,n3: A0所以 2-m| =0,n-3| =0即 2-m=0, n-3=0所以 m=2t n=3故 m-2n=22 X 3=-4【解析】由I a I A0即絕對(duì)值的非負(fù)性可知，I 2-m I 20, I n-3 I MO,而它們的和為0.所+mi= 0 時(shí),以 I 2-m I =0, n-3 =0.因此，2-m=0, n-3

11、 = 0,所以 m=2, n=3.【總結(jié)升華】假設(shè)幾個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和為0,那么每個(gè)數(shù)都等于0,即a+|b|+?貝 lj a=b = ?=m=0 ?類型六、絕對(duì)值的實(shí)際應(yīng)用Eh.正式足球比賽對(duì)所用足球的質(zhì)量有嚴(yán)格的規(guī)定，下面是 6個(gè)足球的質(zhì)量檢測(cè)結(jié)果， 用正數(shù)記超過 規(guī)左質(zhì)量的克數(shù)，用負(fù)數(shù)記缺乏規(guī)左質(zhì)量的克數(shù) ？檢測(cè)結(jié)果單位：克：-25, +10, -20, +30, +15,- 40.裁判員應(yīng)該選擇哪個(gè)足球用于這場(chǎng)比賽呢 ？青說明理由.【答案】因?yàn)樨?10 I < I +15 I < I -20 I < I -25 I < I +30 I < I -40 I ,所

12、以檢測(cè)結(jié)果為+10的足球的質(zhì)量好一些.所以裁判員應(yīng)該選第二個(gè)足球用于這場(chǎng)比賽.【解析】根據(jù)實(shí)際問題可知，哪個(gè)足球的質(zhì)量偏離規(guī)定質(zhì)量越小，那么足球的質(zhì)量越好.這個(gè)偏差可以用絕對(duì)值表示，即絕對(duì)值越小偏差也就越小，反之絕對(duì)值越大偏差也就越大0. 002L的誤差.作負(fù)數(shù).檢查結(jié)【總結(jié)升華】絕對(duì)值越小，越接近標(biāo)準(zhǔn).【變式】某企業(yè)生產(chǎn)瓶裝食用調(diào)和油，根據(jù)質(zhì)疑要求，凈含量不含包裝可以有 現(xiàn)抽查6瓶食用調(diào)和油，超過規(guī)定凈含量的升數(shù)記作正數(shù)，缺乏規(guī)左凈含量的升數(shù)記果如下表:+0. 0018-0. 0023+0.0025-0. 0015+0. 0012+0.0010請(qǐng)用絕對(duì)值知識(shí)說明1哪幾瓶是符合要求的即在誤差范

13、用內(nèi)的 ？2哪一瓶?jī)艉孔罱咏?guī)定的凈含量？【答案】1絕對(duì)值不超過0.002的有4瓶，分別是檢查結(jié)果為+0. 0018, -0. 0015, +0.0012, 0010的這四瓶2第6瓶?jī)艉颗c規(guī)定的凈含量相差最少，最接近規(guī)定的凈含量【穩(wěn)固練習(xí)】一、選擇題1. ?銅仁市2021的相反數(shù)是A. 2021 B. -2021 C.-一D. -A 202120212. 如果a+b = O,那么a"兩個(gè)數(shù)一定是.A.都等于0 B. 一正一負(fù)C.互為相反數(shù)D.互為倒數(shù)3. 以下判斷中，正確的選項(xiàng)是.A. 如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等：B. 如果兩個(gè)數(shù)相等，那么這兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等：C.

14、 任何數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù)：D. 如果一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，那么這個(gè)數(shù)是正數(shù) .4. ?婁底點(diǎn)M、N、P、Q在數(shù)軸上的位置如圖，那么其中對(duì)應(yīng)的數(shù)的絕對(duì)值最大的點(diǎn)是N MPO一 !魯 I 1 1 1 1 10 0?T-3 -2 -1 01 2345" 6A. M B ? N C? P D? Q5. 以下各式中正確的選項(xiàng)是.A. Ov-丄B? 一丄>一丄C? 一 3? 7< 5? 2 D? 0>23346. 假設(shè)兩個(gè)有理數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的點(diǎn)如下圖，貝卩以下各式中正確的選項(xiàng)是.a b 0A. a>b B? a | > b C. 一 aV-bD. -a<

15、; | b二、填空題7. ?五通橋區(qū)一模如果a與1互為相反數(shù)，貝IJ!a+2等于?8. 化簡(jiǎn)以下各數(shù)：1 _=: 2 + = : 3 _+_ +3 =V J/9. x =2, y =5,且 x>y,貝 lj x= y=?10?數(shù) a在數(shù)軸上的位宜如下圖.那么a-2|= ?丄1 L-1012 a11.在數(shù)軸上，與-1表示的點(diǎn)距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是 12.|4x-3| = 3-4x,那么x的取值范圍是 三 .解答題13. 春噺泰帀期中絕對(duì)值大于2而小于6的所有整數(shù)的和是多少？列式計(jì)算5) (1)-(-14. 化簡(jiǎn)以下各數(shù)，再用連接.54丿6一 +二15. 秋？孟津縣期中：a是？-5的相反數(shù)，

16、b比最小的正整數(shù)大4, c是最大的 負(fù)整數(shù).計(jì)算：3a+3b+c的值是多少？【答案與解析】一、 選擇題1. 【答案】 B2. 【答案】 C【解析】假設(shè) d + = 0,那么 ", 方一泄互為相反數(shù)：反之，假設(shè)“小互為相反數(shù)，那么a + b = O3. 【答案】 B【解析】A錯(cuò)誤，因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，這兩個(gè)數(shù)可能互為相反數(shù)；B正確；C錯(cuò)誤，因?yàn)? 的絕對(duì)值是 0,而 0 不是正數(shù)： D 錯(cuò)誤，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的絕對(duì)值是它本身的 數(shù)除了正數(shù)還 有 0.4. 【答案】 D【解析】解：? ?點(diǎn) Q 到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)， ? ?點(diǎn) Q 的絕對(duì)值最大 .應(yīng)選： D.5. 【答案】 D【解析】 0 大

17、于負(fù)數(shù) .6. 【答案】 B【解析】離原點(diǎn)越遠(yuǎn)的數(shù)的絕對(duì)值越大 .二、 填空題7. 【答案】 1【解析】Ta與1互為相反數(shù)，.？ a二-1,把a(bǔ)二-1代入a+2得，a+2匚-1+2 -1.248. 【答案】一； 335【解析】多重符號(hào)的化簡(jiǎn)是由 "- 的個(gè)數(shù)來定，假設(shè) "- 個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為 正；假設(shè)"- 個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為負(fù) .9. 【答案】 ±2, -5【解析】x | =2,那么 x=±2： y I =5,y=±5.但由于 x>y,所以 x 二 ±2, y=-510. 【答案】 a-2【解析】由圖可知：aM2,所以a-2|=a-2.11. 【答案】 -3, 1312. 【答案】 x<-43【解析】將4x-3看成整體即問二一"，那么a<0,故4X-3S0，.三、解答題13. 【解析】解：根據(jù)題意畫出數(shù)軸，如下圖：-7八-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 67A根摒圖形得：絕對(duì)值大于2而小于6的所有整數(shù)有：-4,? 5, 3, 4, 5, 這幾個(gè)整數(shù)的和為：(? 3) + (? 4) + (? 5) +3+4+5=(-3) +3 +