高等數(shù)學(xué)1.2　函數(shù)極限和運(yùn)算ppt課件

1、1.2函數(shù)極限與運(yùn)算函數(shù)極限與運(yùn)算一、函數(shù)的極限一、函數(shù)的極限 極限是微分學(xué)中最基本的概念之一極限是微分學(xué)中最基本的概念之一.它它與求某些量的精確值密切相關(guān)，是定義導(dǎo)與求某些量的精確值密切相關(guān)，是定義導(dǎo)數(shù)和積分的基礎(chǔ)，它研究在自變量的某個(gè)數(shù)和積分的基礎(chǔ)，它研究在自變量的某個(gè)變化過程中函數(shù)的變化趨勢(shì)變化過程中函數(shù)的變化趨勢(shì).1當(dāng)x時(shí)，函數(shù))(xfy 的極限x是指自變量x的| x無限增大，即無限遠(yuǎn)離x軸的坐標(biāo)原點(diǎn)，它包括兩個(gè)方向：一個(gè)是沿著x軸的負(fù)向，這時(shí)自變量x取值為負(fù)且| x無限增大，記作x；另一個(gè)是沿著x軸的正向這時(shí)自變量x取值為正且| x無限增大，記作x.因此x是指同時(shí)考慮x與x，當(dāng)然也可

2、以單獨(dú)考慮x或x.若函數(shù)的定義區(qū)間為若函數(shù)的定義區(qū)間為 , ,則只能考慮x；若函數(shù)的定義區(qū)間為若函數(shù)的定義區(qū)間為 , ,則只能考慮x.例如，函數(shù)xy1有01limxx，01limxx.這兩個(gè)極限值與01limxx相等，都是 0.定義 1設(shè)函數(shù))(xf在)0(MMx內(nèi)有定義，如果當(dāng)x無限增大時(shí)，函數(shù))(xf無限接近于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x時(shí)函數(shù))(xf以常數(shù)A為極限. 記作Axfx)(lim或)()(xAxf.類似地，當(dāng)x與x有相應(yīng)的定義.定義1 如果函數(shù))(xf在0 x且x無限增大時(shí)，函數(shù))(xf無限接近于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x時(shí)函數(shù))(xf以常數(shù)A為極限. 記作Axfx)(lim或)()(xAx

3、f.定義1 如果函數(shù))(xf在0 x且x無限增大時(shí)，函數(shù))(xf無限接近于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x時(shí)函數(shù))(xf以常數(shù)A為極限. 記作Axfx)(lim或)()(xAxf.這就是說，如果)(limxfx和)(limxfx都存在并且相等，則)(limxfx也存在并且與它們相等.顯然，如果)(limxfx和)(limxfx有一個(gè)不存在，或者兩個(gè)都存在但不相等，則)(limxfx不存在.即Axfx)(lim)(limxfxAxfx)(lim2當(dāng)0 xx 時(shí)，函數(shù))(xfy 的極限0 xx 是指自變量x無限接近于0 x點(diǎn)，它包括兩個(gè)方向：一個(gè)是點(diǎn)x從點(diǎn)0 x的左方 無限接近于點(diǎn)0 x，記作0 xx；另一個(gè)

4、是點(diǎn)x從點(diǎn)0 x的右方無限接近于點(diǎn)0 x，記作0 xx.因而0 xx 意味著同時(shí)考慮0 xx和0 xx，當(dāng)然也可以單獨(dú)考慮0 xx或0 xx.定義 2設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x的)0(鄰域內(nèi)(點(diǎn)0 x可以除外)有定義. 如果當(dāng)0 xx 時(shí),函數(shù))(xf的值無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱當(dāng)0 xx 時(shí)，函數(shù))(xf的極限為A，記作Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf.例如，當(dāng)0 x時(shí)，函數(shù)21)(xxf的極限是 1記作1)1 (lim)(lim200 xxfxx或)0( 11)(2xxxf.注： 函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x處的極限與函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x處有無定義無關(guān)； 函數(shù))(xf在點(diǎn)0

5、 x處的極限并非)(xf在點(diǎn)0 x處的函數(shù)值，而是當(dāng)0 xx 時(shí)，)(xf的變化趨勢(shì).3. 3. 左極限與右極限左極限與右極限定義 3如果當(dāng)0 xx(0 xx)時(shí)，函數(shù))(xf的值無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱當(dāng)0 xx(0 xx)時(shí)，函數(shù))(xf的左(右)極限為A，記作Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf；Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf.例如，1)1 (lim)(lim200 xxfxx，1)1 (lim)(lim200 xxfxx這兩個(gè)極限值與1)1 (lim)(lim200 xxfxx相等，都是 1.由此可得更一般的結(jié)論：由此可得更一般的結(jié)論：定理 1當(dāng)0 x

6、x 時(shí)，函數(shù))(xf以A為極限的充分必要條件是)(xf在點(diǎn)0 x處左、右極限都存在且都等于A. 即Axfxx)(lim0)(lim0 xfxxAxfxx)(lim0例 1函數(shù)0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf當(dāng)0 x時(shí)的左右極限，并討論極限)(lim0 xfx是否存在.xO11y解解 由圖可知由圖可知左極限為1) 1(lim)(lim00 xxxf，右極限為11lim)(lim00 xxxf.因?yàn)?(lim0 xfx)(lim0 xfx，所以極限)(lim0 xfx不存在.二、極限的運(yùn)算法則二、極限的運(yùn)算法則 1 1極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則本章中凡不標(biāo)明自變量變化過程的

7、極限號(hào)lim，均表示變化過程適用于xxx,0等各種形式.定理 2如果Axf)(lim，Bxg)(lim，那么BAxgxfxgxf)(lim)(lim)()(limABxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim當(dāng)0)(lim Bxg時(shí)，BAxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim由以上極限的四則運(yùn)算法則不難推出：由以上極限的四則運(yùn)算法則不難推出：推論 1如果有限個(gè)函數(shù))(1xf，)(2xf，)(3xf，)(,xfn的極限都存在，則極限)(lim)(lim)(lim)()()(lim2121xfxfxfxfxfxfnn 推論 2如果有限個(gè)函數(shù))(1xf,)(2xf,),(3xf)

8、(xfn的極限都存在，則極限)(lim)(lim)(lim)()()(lim2121xfxfxfxfxfxfnn 推論 3如果函數(shù))(xf的極限存在，k為常數(shù)，則極限)(lim)(limxfkxkf推論 4如果Axf)(lim，且n為正整數(shù)，那么nnnAxfxf)(lim)(lim.特殊地，有nnxxnxxxxx0limlim00.推論 5設(shè)多項(xiàng)式nnnnnaxaxaxaxP1110)(，那么)()(lim00 xPxPnnxx.推論 6設(shè))(xPn、)(xQm分別是x的n次和m次多項(xiàng)式，且0)(0 xQm，那么)()()()(lim000 xQxPxQxPmnmnxx.注：注： 法則和推論要

9、求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限法則和推論要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限都存在，并且商的極限運(yùn)算法則的重要前提是分母極都存在，并且商的極限運(yùn)算法則的重要前提是分母極限不為零；限不為零； 以下幾個(gè)常用的函數(shù)極限值可作為公式使用，結(jié)以下幾個(gè)常用的函數(shù)極限值可作為公式使用，結(jié)合函數(shù)圖像應(yīng)熟記：合函數(shù)圖像應(yīng)熟記：00limxxxx；01limxx；01lim2xx；2arctanlimxx；2arctanlimxx；0limxxe；0limxxe；0sinlim0 xx；1coslim0 xx.解解 先計(jì)算分母極限先計(jì)算分母極限.例 2 計(jì)算3213lim21xxxx.因?yàn)?23121) 32(lim221x

10、xx，使用推論 6，3213lim21 xxxx231211132 例 3 計(jì)算23lim22xxxx.解解 由于由于0)2(lim22xxx而05) 3(lim2xx.所以05032lim22xxxx，故23lim22xxxx例 4 計(jì)算39lim23xxx.解因?yàn)榉帜?)3(lim3xx，分子0)9(lim23xx所以不能應(yīng)用法則所以不能應(yīng)用法則. .但我們發(fā)現(xiàn)，分子與分母有公因式) 3( x，且0)3(lim3xx但3x時(shí)，0) 3(x.因此，可以先消去零因子，再計(jì)算極限因此，可以先消去零因子，再計(jì)算極限. . 于是有于是有6)3(lim3)3)(3(lim39lim3323xxxxxxxxx例 5 計(jì)算下列極限：2313lim33xxxxx112lim2xxxx235lim23xxxx解當(dāng)x時(shí)，分子、分母的極限都不存在，即“”型，不能直接運(yùn)用法則.分子、分母同除以3x，再求極限，得 2313lim33xxxxx3232213131limxxxxx 31 分子、分母同除以2x，再求極限，得112lim2xxxx2211112limxxxxx 0 因?yàn)?51123lim323xxxxx，所以235lim23xxxx一般地，當(dāng)x時(shí)，有理分式(0, 000ba)的極限有以下結(jié)果：mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx, 0lim00