圓和正多邊形點精專題輔導

1、圓和正多邊形點精李曉潔 對于“圓和正多邊形”這一單元的學習要求主要有：理解圓和正多邊形的關系，了解正多邊形的有關概念，能利用所學知識進行正多邊形的邊長、半徑、邊心距、中心角、周長、面積等有關的計算。中考單獨考查正多邊形主要有計算、作圖、鑲嵌、疊放、補形等問題。而在解有關圓和正多邊形的問題時，尤其要注意向有關三角形特別是直角三角形問題的轉化。由正多邊形的半徑、邊心距及邊長構成的直角三角形，是解決正多邊形的有關計算問題的基本圖形，它集中反映出了正多邊形各元素間的關系，而弦心距恰好就是正多邊形和圓之間的橋梁。 例1. 高為3的正三角形的內切圓半徑是_，外接圓半徑是_，邊長是_，面積是_，外接圓的外切

2、正三角形的邊長是_。 解：如圖1，O為正三角形ABC的中心，設ABC的外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，則R=AO=2OD=2r。由AD=3，得AO=2，故R=2，且r=1。在RtODB中，OB=R=2，易得，BC，故，因EFGABC，且OB、OD分別為EFG和ABC的邊心距，故，得GF。圖1 評注：由正多邊形的對稱性，易知點O為正三角形ABC的外接圓和內切圓的公共圓心。由于邊數(shù)相同的正多邊形均相似，所以在這些正多邊形的有關對應線段或面積的計算時，常用相似比來聯(lián)系。 例2. 已知正六邊形中，兩條互相平行的對邊間的距離為d，求正六邊形的面積。 解：如圖2，易得邊心距。圖2 AOB=60°

3、，且OA=OB，OAB是正三角形。 。 。 評注：在有關正多邊形的題目中，由正多邊形的對稱性可知正多邊形的中心是一個特殊的極有價值的點，它可以和任何一條正多邊形的邊形成一個等腰三角形，并且這個等腰三角形的底邊（正多邊形的邊）以及這個等腰三角形的三個內角（通過正多邊形內角計算）均可以求得。 例3. 如圖3，四邊形ABCD是O的內接正方形，以AB為直徑的半圓與O的圍成的陰影部分的面積為S1，如果正方形ABCD的面積為S，請判斷S1與S之間具有怎樣的關系，并說明理由。圖3 解：設O的半徑為R，弦AB與所圍成的弓形面積為S2，易知AOB=90°，故。 ， 。 又。 由 評注：對于數(shù)量關系探求型問題，有時可通過觀察圖形猜測，然后證明。本例需要通過計算獲得的結果來確定數(shù)量關系。解題中運用了面積割補的方法。 例4. 已知邊長為2的正方形內有5個全等的正八邊形，如圖4排列，求正八邊形的邊長。 解：設正八邊形的邊長為x，如圖4。圖4 因ADE為等腰直角三角形，DE=x，故x， 故。 又EF=GH=LM=x 解得，即正八邊形的邊長