四元數(shù)理論及其在運(yùn)動(dòng)融合中的應(yīng)用

1、收稿日期2009211204基金項(xiàng)目黑龍江省科技計(jì)劃項(xiàng)目(GZ09A118。作者簡(jiǎn)介張巧生(19812,男,2004年大學(xué)畢業(yè),碩士生,現(xiàn)主要從事計(jì)算機(jī)角色動(dòng)畫方面的研究工作。四元數(shù)理論及其在運(yùn)動(dòng)融合中的應(yīng)用張巧生大慶石油學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院,黑龍江大慶163318黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)文理學(xué)院,黑龍江大慶163318劉賢梅,李君,趙丹(大慶石油學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院,黑龍江大慶163318摘要詳細(xì)介紹了四元數(shù)的定義、性質(zhì),然后根據(jù)四元數(shù)的性質(zhì)對(duì)四元數(shù)在運(yùn)動(dòng)融合中應(yīng)用的相關(guān)原理做了詳細(xì)的闡述,最后在人體骨骼模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行了試驗(yàn),結(jié)果表明運(yùn)動(dòng)融合自然,運(yùn)動(dòng)也更逼真。關(guān)鍵詞四元數(shù);運(yùn)動(dòng)融合;歐

2、拉角;旋轉(zhuǎn)中圖分類號(hào)TP39119文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A 文章編號(hào)167321409(2010012N232203在計(jì)算機(jī)動(dòng)畫中,采用層級(jí)骨骼模型來描述人體模型,可把人體骨骼模型看成一棵樹,樹的根節(jié)點(diǎn)是Hip s 節(jié)點(diǎn),沒有子關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)點(diǎn)稱為葉子節(jié)點(diǎn),其他的關(guān)節(jié)點(diǎn)稱為非葉子節(jié)點(diǎn)。整個(gè)人體的運(yùn)動(dòng)可以看成是由平移和旋轉(zhuǎn)組成的,即Hip s 節(jié)點(diǎn)的平動(dòng)和其他各節(jié)點(diǎn)繞其父節(jié)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn),Hip s 節(jié)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)決定了人體骨骼模型的朝向,其他各節(jié)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)是在以父節(jié)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的相對(duì)坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)。各個(gè)關(guān)節(jié)點(diǎn)的位置可以根據(jù)骨架長(zhǎng)度和旋轉(zhuǎn)向量求出。在層級(jí)骨骼模型中除根節(jié)點(diǎn)Hip s (唯一具有平移屬性的關(guān)節(jié)之外的所有關(guān)節(jié),

3、都設(shè)置為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié),即這種關(guān)節(jié)只能做3個(gè)自由度(Degreeof Freedom ,DO F 的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),即歐拉角(,而不能夠進(jìn)行平移等其他形式的運(yùn)動(dòng)。但是歐拉角存在一些缺點(diǎn)1:旋轉(zhuǎn)矩陣不可交換,歐拉角旋轉(zhuǎn)一定要按某個(gè)特定的順序進(jìn)行;等量的歐拉角不一定引起等量的旋轉(zhuǎn)變化,即旋轉(zhuǎn)是有不均勻性;特定條件下自由度的喪失,即萬向軸鎖(G imbal Lock 。而四元數(shù)可以很好的克服上述缺點(diǎn)2,3。1四元數(shù)設(shè)Q 是實(shí)數(shù)域R 的四維向量空間:Q =q 0+q 1i +q 2j +q 3k(1其中,q 0,q 1,q 2,q 3均為實(shí)數(shù),則稱Q 為四元數(shù),這里i ,j ,k 是廣義虛部單位,滿足:i 2=j

4、 2=k 2=-1(2因此,四元數(shù)是復(fù)數(shù)的推廣,或稱為超復(fù)數(shù)。如果給式(1加上約束條件Q =q 20+q 21+q 22+q 23=1,則:Q -1=q 0-q 1i -q 2j -q 3k (3性質(zhì)1設(shè):Q 0=(q 0,q =cos +n sin Q 1=(p 0,p =cos +n sin n =q 1i +q 2j +q 3kq 21+q 22+q 23則R =Q 0Q 1Q -10=(r 0,r 為另一個(gè)四元數(shù)是將Q 1的向量部分p 沿錐面方向轉(zhuǎn)過2角就可以得到R 的向量部分r ,且R 與Q 1的模及它們的標(biāo)量部分相等。由性質(zhì)1可得:R =Q 0Q 1Q -10=(r 0,r =co

5、 s+m sin 其中,m 就是j 繞i 方向沿錐面轉(zhuǎn)過2角而得到的單位向量。故繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)可由四元數(shù)R =Q 0Q 1Q -1232長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版2010年3月第7卷第1期:理工Journal of Yangtze U niversity (N at Sci EditMar 12010,Vol 17No 11:Sci &Eng表示。其中,Q 0為轉(zhuǎn)動(dòng)四元數(shù),通常用Q 0=cos2,n sin 2表示轉(zhuǎn)動(dòng),表示繞n 軸轉(zhuǎn)過角。性質(zhì)2四元數(shù)q 的任意數(shù)量乘積(特別是-q 表示的是相同的旋轉(zhuǎn):(aq P (aq -1=aq Pq-1a=qPq-1(4設(shè)q =co s2+n si

6、n 2,其中,n 為單位向量,四元數(shù)對(duì)數(shù)定義為:log q =log cos 2+n sin 2=0+2n (5四元數(shù)的指數(shù)以嚴(yán)格相反的方式定義。設(shè)四元數(shù)p =0+n 2,則四元數(shù)的指數(shù)定義為:exp p =exp 0+n 2=co s 2+n sin2(6圖1四元數(shù)轉(zhuǎn)換為線性空間示意圖2應(yīng)用在運(yùn)動(dòng)融合的過程中,由于運(yùn)動(dòng)姿態(tài)是用各個(gè)關(guān)節(jié)的歐拉角表示,因?yàn)闅W拉角上述缺點(diǎn),就不適用直接進(jìn)行權(quán)值插值運(yùn)算而得到新的姿態(tài),這就需要將歐拉角對(duì)應(yīng)的方向向量映射到對(duì)應(yīng)的線性空間,然后再做運(yùn)動(dòng)融合,最后在映射回歐拉角對(duì)應(yīng)的方向向量。在試驗(yàn)中(如圖1,用四元數(shù)q 1、q 2、q 3分別表示3個(gè)運(yùn)動(dòng)姿態(tài)的同一個(gè)關(guān)節(jié)

7、的旋轉(zhuǎn)角度信息,假設(shè)一個(gè)參考向量q 3,先通過對(duì)數(shù)映射v =log (q -13q i (i =1,2,3,可將一個(gè)單位四元數(shù)q i (i =1,2,3轉(zhuǎn)換為線性空間中對(duì)應(yīng)的位置向量v i (i =1,2,3,如果log (q -13q i 2(i =1,2,3,根據(jù)性質(zhì)2則用-q i 代替q i (i =1,2,3,q 1、q 2、q 3分別對(duì)應(yīng)線性空間向量v 1、v 2、v 3,然后對(duì)v 1、v 2、v 3這3個(gè)向量做融合,得到向量v ,最后通過指數(shù)映射q =q 3exp (v ,將v 恢復(fù)到原來的向量空間即得到q ,q 即為根據(jù)給定的參數(shù)融合后的該關(guān)節(jié)的角度值。對(duì)于參考方向q 3用拉格朗

8、日乘數(shù)法計(jì)算。因?yàn)?q 和q 表示同一個(gè)方向,2個(gè)四元數(shù)q 1和q 2之間的角度距離為:dist (q 1,q 2=min (log (q -11q 2,log (q -11(-q 2故參考四元數(shù)q 3可采用2個(gè)四元數(shù)角度距離平方和的最小來計(jì)算4,即:E =63i =1dist (q 3,q i 2而這個(gè)距離和在2處不可微,這里可采用基于正弦曲線函數(shù)的距離:dist (q 3,q i =sin (log (q -13q i 采用上式表距離度量函數(shù),參考四元數(shù)q 3能通過最小化目標(biāo)函數(shù)E =63i =1sin 2i計(jì)算得到,其中i =log (q -13q i 。由于sin 2i =1-cos

9、2i ,且co s i =q T i q 3,因此有:E =63i =1(1-(q Ti q 32采用拉格朗日乘數(shù)法求解使E 最小的q 3:5E 5q 3-5Q 5q 3=0(為拉格朗日算子Q =1-q 32其中,q 3為一個(gè)4×1的向量;為一個(gè)實(shí)數(shù)。找q 3的問題就轉(zhuǎn)化為解特征向量問題,特征向量使目標(biāo)函數(shù)最小的一個(gè)即為所求。332第7卷第1期:理工張巧生等:四元數(shù)理論及其在運(yùn)動(dòng)融合中的應(yīng)用下面給出運(yùn)動(dòng)融合的步驟:1給定q 3,通過對(duì)數(shù)映射,將每個(gè)實(shí)例的方向q i 變換為它對(duì)應(yīng)的位移向量v i ,即;v i =log (q -13q i 2融合v i ,即:v =63i =1v i3

10、通過指數(shù)映射q =q 3exp (v ,將v 恢復(fù)到原來的向量空間即得到q 。試驗(yàn)中,用骨架模型來表示運(yùn)動(dòng)姿態(tài)。根節(jié)點(diǎn)使用簡(jiǎn)單的根節(jié)點(diǎn)位置的加權(quán)和,由于方向空間的非線性,方向數(shù)據(jù)和關(guān)節(jié)?不能直接使用加權(quán)和的方式。圖2是根據(jù)上述方法進(jìn)行由跑到走融合后的運(yùn)動(dòng)序列圖。由圖2可以看出,運(yùn)用四元數(shù)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)融合自然,運(yùn)動(dòng)也更逼真。在物理上,這樣生成的運(yùn)動(dòng)片斷更符合人體關(guān)節(jié)的變化規(guī)律,在視覺效果上更平滑 。圖2由跑到走的運(yùn)動(dòng)融合后的連續(xù)運(yùn)動(dòng)序列圖參考文獻(xiàn)1金小剛,彭群生,四元數(shù)及其在計(jì)算機(jī)動(dòng)畫中的應(yīng)用J 1計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào),1994,6(3:17418012Heise R ,MacDonald B A 1Quaternion and motion interpolation :a tutorial C 1In :Proc 1of Computer Graphics International ,1989122924313Pletincks D 1Quaternion calculus as a basic tool in computer graphics J 1The Visual Computer ,1989,(5:21314Sang II Park Shi