第一章顆粒幾何特性課件

1、吉曉莉2.2 顆粒的形狀顆粒的形狀2.3 顆粒的比表面積與理論計(jì)算顆粒的比表面積與理論計(jì)算 顆粒的幾何特征主要包括顆粒顆粒的幾何特征主要包括顆粒大小大小(尺寸尺寸)、形狀形狀、比表面積比表面積和和孔徑孔徑等，其中，等，其中，尺寸的大小是顆粒最重要的尺寸的大小是顆粒最重要的幾何特征參數(shù)。幾何特征參數(shù)。表征顆粒幾何尺寸的主要參數(shù)有：表征顆粒幾何尺寸的主要參數(shù)有：粒徑、粒度和粒度分粒徑、粒度和粒度分布值布值1.1.1 1.1.1 粒徑和粒度粒徑和粒度粒徑以單顆粒為對象，表示單顆粒的幾何尺寸的大小粒徑以單顆粒為對象，表示單顆粒的幾何尺寸的大小粒度以顆粒群為對象，表示所有顆粒大小的總體概念粒度以顆粒群為

2、對象，表示所有顆粒大小的總體概念1、單顆粒的粒徑、單顆粒的粒徑 直徑直徑D直徑直徑D、高度、高度H？當(dāng)量直徑當(dāng)量直徑就是通過測量某些與顆粒大小有關(guān)的性就是通過測量某些與顆粒大小有關(guān)的性 質(zhì)，推導(dǎo)出與線性量綱有關(guān)的參數(shù)質(zhì)，推導(dǎo)出與線性量綱有關(guān)的參數(shù)(1)軸軸 徑：用指定的特征線段表示。徑：用指定的特征線段表示。(2)球當(dāng)量徑：用和顆粒具有相同參量的球體直徑來表示。球當(dāng)量徑：用和顆粒具有相同參量的球體直徑來表示。(3)圓當(dāng)量徑：用和顆粒具有相同參量（面積、周長）的圓當(dāng)量徑：用和顆粒具有相同參量（面積、周長）的 圓的直徑表示。圓的直徑表示。(4)統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 徑徑: 是平行于一定方向（用顯微鏡）測得的

3、線是平行于一定方向（用顯微鏡）測得的線 度度 高度高度h：顆粒最低勢能態(tài)時正視投影圖的高度：顆粒最低勢能態(tài)時正視投影圖的高度寬度寬度b：顆粒俯視投影圖的最小平行線夾距：顆粒俯視投影圖的最小平行線夾距長度長度l：顆粒俯視投影圖中與寬度方向垂直的平行線夾距：顆粒俯視投影圖中與寬度方向垂直的平行線夾距（1）軸徑）軸徑設(shè)，圖中顆粒處于一水平面上，設(shè)，圖中顆粒處于一水平面上，其正視和俯視投影圖如圖所示。其正視和俯視投影圖如圖所示。這樣在兩個投影圖中，就能定義這樣在兩個投影圖中，就能定義一組描述顆粒大小的幾何量：高、一組描述顆粒大小的幾何量：高、寬、長，定義規(guī)則如下寬、長，定義規(guī)則如下hbLbd2/ )(

4、blcd3/ )(hblxd)111/(3hblydlbzd3lbh名稱名稱符號符號計(jì)算式計(jì)算式物理意義或定義物理意義或定義二軸平均徑二軸平均徑平面圖形長平面圖形長徑和徑和短徑的算術(shù)平均短徑的算術(shù)平均值值三軸平均徑三軸平均徑立體圖形三維尺寸立體圖形三維尺寸的算術(shù)平均值的算術(shù)平均值三軸調(diào)和三軸調(diào)和平均徑平均徑同外接長方體有相同同外接長方體有相同比表面積的比表面積的球直徑或立方體的一邊長球直徑或立方體的一邊長二軸幾何二軸幾何平均徑平均徑平面圖形長短徑的幾何平均平面圖形長短徑的幾何平均值值三軸幾何三軸幾何平均徑平均徑同外接長方體有相同體積的同外接長方體有相同體積的立方立方體的一邊長體的一邊長沿一定方

5、向的顆粒的一維尺度。定向徑包括三種沿一定方向的顆粒的一維尺度。定向徑包括三種粒 徑 名 稱粒 徑 名 稱定定 義義定 方 向 徑（Feret 徑）沿一定方向測得顆粒投影的兩平行線的距離。定方向等分徑（Martin 徑）沿一定方向?qū)㈩w粒投影像面積等分的線段長度定 向 最 大 徑沿一定方向測定顆粒投影像所得最大寬度的線段長度2、定向徑、定向徑S1S2定向最大徑定向最大徑Martin徑徑Feret徑徑對于一個顆粒，隨方向而異，定向徑可取其所有方向的平均值；對取向隨機(jī)的顆粒群，可沿一個方向測定。這些參量包括體積、面積、比表面積、運(yùn)動阻力、沉這些參量包括體積、面積、比表面積、運(yùn)動阻力、沉降速度等。降速度

6、等。3 3、當(dāng)量徑（球當(dāng)量徑、圓當(dāng)量徑、當(dāng)量徑（球當(dāng)量徑、圓當(dāng)量徑) )a 、等體積球當(dāng)量徑： 與顆粒同體積球的直徑36vvd b、等表面積球當(dāng)量徑： 與顆粒等表面積球的直徑ssd 球當(dāng)量徑：c、比表面球當(dāng)量徑： 與顆粒具有相同的表面積對體積之比，即具有相同的體積比表面積的直徑a、投影圓當(dāng)量徑Heywood徑 ：與顆粒投影面積相等的圓的直徑aad4b、等周長圓當(dāng)量徑：與顆粒投影圓形周長相等的圓的直徑lld 圓當(dāng)量徑：vdsdsvd23/svddddfdstd名稱名稱符號符號計(jì)算式計(jì)算式物理意義或定義物理意義或定義體積直徑（等體積直徑（等體積球當(dāng)量徑體積球當(dāng)量徑與顆粒具有相同體積的圓球直徑與顆粒

7、具有相同體積的圓球直徑面積直徑（等面面積直徑（等面積球當(dāng)量徑）積球當(dāng)量徑）與顆粒具有相同與顆粒具有相同表面積表面積的圓球直徑的圓球直徑等比表面積球當(dāng)?shù)缺缺砻娣e球當(dāng)量（比表面積量（比表面積徑徑）與顆粒具有與顆粒具有相同外表面積和體積比相同外表面積和體積比的圓球的圓球直徑直徑(阻力當(dāng)量徑阻力當(dāng)量徑)阻力直徑阻力直徑阻力阻力 當(dāng)當(dāng) 時時在粘度相同的流體中，在粘度相同的流體中，以同一速度并與顆粒具以同一速度并與顆粒具有有相同運(yùn)動阻力的球徑相同運(yùn)動阻力的球徑（當(dāng)（當(dāng)Re很時很時， ）自由降落自由降落直徑直徑自由降落末速度自由降落末速度與顆粒同密度球性，在密度和粘與顆粒同密度球性，在密度和粘度相同的度相同

8、的流體中，與顆粒具有相同沉降流體中，與顆粒具有相同沉降速度球體的速度球體的直徑（該球稱為標(biāo)準(zhǔn)粒子）直徑（該球稱為標(biāo)準(zhǔn)粒子）斯托克斯斯托克斯直徑直徑層流區(qū)（層流區(qū)（Re小于小于0.5）顆粒的）顆粒的自由降落自由降落直徑直徑3/6V/S22dRdvF 5 . 0Re llsfgdu6)(0)(/18lsstgudsdddadpd名稱名稱符號符號計(jì)算式計(jì)算式物理意義或定義物理意義或定義投影面積直徑投影面積直徑與顆粒在與顆粒在穩(wěn)定位置穩(wěn)定位置投影面積相投影面積相等的圓直徑等的圓直徑隨隨機(jī)機(jī)定向投影面積定向投影面積直徑直徑與與任意位置任意位置顆粒顆粒投影面積相等投影面積相等的圓的直徑的圓的直徑周長直徑周

9、長直徑與顆粒投影外形周長與顆粒投影外形周長相等的圓相等的圓的直徑的直徑/4A/41A/L d 以上各種粒徑是純粹的幾何表征量，描述了顆粒在三維以上各種粒徑是純粹的幾何表征量，描述了顆粒在三維空間中的線性尺度。在實(shí)際粉末顆粒測量中，還有依據(jù)物理空間中的線性尺度。在實(shí)際粉末顆粒測量中，還有依據(jù)物理測量原理，例如運(yùn)動阻力，介質(zhì)中的運(yùn)動速度等獲得的顆粒測量原理，例如運(yùn)動阻力，介質(zhì)中的運(yùn)動速度等獲得的顆粒粒徑，這時的粒徑已經(jīng)失去了通常的幾何學(xué)大小的概念，而粒徑，這時的粒徑已經(jīng)失去了通常的幾何學(xué)大小的概念，而轉(zhuǎn)化為材料物理性能的描述。因此，轉(zhuǎn)化為材料物理性能的描述。因此，除球體以外的任何形狀除球體以外的任

10、何形狀的顆粒并沒有一個絕對的粒徑值，描述它的大小必須要同時的顆粒并沒有一個絕對的粒徑值，描述它的大小必須要同時說明依據(jù)的規(guī)則和測量的方法說明依據(jù)的規(guī)則和測量的方法。 粒粒群群包含不同顆粒的顆粒體包含不同顆粒的顆粒體 粒群的平均粒度可用統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)的方法求得，粒群的平均粒度可用統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)的方法求得，即將即將粒群劃分為若干窄級別，任意粒級的粒度為粒群劃分為若干窄級別，任意粒級的粒度為d d，設(shè)該粒級的顆粒個數(shù)為設(shè)該粒級的顆粒個數(shù)為n n或占總粒群質(zhì)量比為或占總粒群質(zhì)量比為W W，再用加權(quán)平均法計(jì)算得到總粒群的平均粒度再用加權(quán)平均法計(jì)算得到總粒群的平均粒度aDnnd/32/dWdWgDnnnnnnddd1

11、21).(21WWnWWnddd121).(21hDdnn /43/dWdW 名稱名稱符號符號 計(jì)算公式計(jì)算公式公式編號公式編號算術(shù)平均直徑算術(shù)平均直徑（2-1）幾何平均直徑幾何平均直徑（2-2）調(diào)和平均直徑調(diào)和平均直徑（2-3）個數(shù)基準(zhǔn)個數(shù)基準(zhǔn)質(zhì)量基準(zhǔn)質(zhì)量基準(zhǔn)modDmedD峰值直徑峰值直徑分布曲線最高頻度點(diǎn)分布曲線最高頻度點(diǎn)中值直徑（中中值直徑（中位直徑）位直徑）累積分布曲線的中央值（累積分布曲線的中央值（50%）D50lmDndnd /22/dWdWsmD23/ndnddWW /vmD34/ndndWWd/SD212)/(nnd213)/(dWdWVD313)/(nnd313)/(dWW

12、 長度平均直徑長度平均直徑（2-4）面積平均直徑面積平均直徑（2-5）體積平均直徑（質(zhì)量體積平均直徑（質(zhì)量平均直徑）平均直徑）（2-6） 平均面積直徑平均面積直徑（2-7）平均體積直徑（重平均體積直徑（重量平均直徑）量平均直徑） （2-8）接上表接上表 計(jì)算方法很多，不同方法計(jì)算方法很多，不同方法的平均值不同，有時相差的平均值不同，有時相差甚遠(yuǎn)。工程應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)甚遠(yuǎn)。工程應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)具體的對象選擇某種適宜具體的對象選擇某種適宜的算法。的算法。 有些可以通過理論分析確有些可以通過理論分析確定某種算法定某種算法 圖圖2-3 鉻黃粉粒度分布曲線鉻黃粉粒度分布曲線（并示出各種平均直徑值）（并示出各種平

13、均直徑值）l 例如，在研究水煤漿的配級時，也應(yīng)用例如，在研究水煤漿的配級時，也應(yīng)用體積平均直徑體積平均直徑。在研究添加劑和煤粒的作用機(jī)理，礦物表面改性，微細(xì)粒在研究添加劑和煤粒的作用機(jī)理，礦物表面改性，微細(xì)粒團(tuán)聚等現(xiàn)象時，應(yīng)用團(tuán)聚等現(xiàn)象時，應(yīng)用面積平均直徑面積平均直徑。l 總之，平均粒度計(jì)算方法的選擇應(yīng)根據(jù)所研究對象的性總之，平均粒度計(jì)算方法的選擇應(yīng)根據(jù)所研究對象的性質(zhì)。只有在確定性質(zhì)的基礎(chǔ)上，計(jì)算的結(jié)果才有實(shí)際意義，質(zhì)。只有在確定性質(zhì)的基礎(chǔ)上，計(jì)算的結(jié)果才有實(shí)際意義，切不可隨意選用。切不可隨意選用。l1頻率分布和累積分布頻率分布和累積分布l 頻率分布頻率分布 在粉體樣品中，某一粒徑（在粉體樣

14、品中，某一粒徑（Dp）或某一粒徑范圍內(nèi)）或某一粒徑范圍內(nèi)（Dp）的顆粒在樣品中出現(xiàn)的個數(shù)分布或質(zhì)量分布（）的顆粒在樣品中出現(xiàn)的個數(shù)分布或質(zhì)量分布（%）（微分型），即為頻率，用（微分型），即為頻率，用f（Dp）或）或f（Dp）表示。）表示。 %100)(NnDfpp%100)(NnDfpp或頻率分布是表示某一粒徑或某一粒徑范圍的顆粒在全部顆頻率分布是表示某一粒徑或某一粒徑范圍的顆粒在全部顆粒中所占的比例。粒中所占的比例。累積分布可分為兩種：累積分布可分為兩種：l篩下累積：篩下累積：按粒徑從小到大進(jìn)行累積，稱為篩下累積（用按粒徑從小到大進(jìn)行累積，稱為篩下累積（用“”號表示），所得到的累積分布表示小

15、于某一粒徑的顆號表示），所得到的累積分布表示小于某一粒徑的顆粒數(shù)（或顆粒質(zhì)量）的百分?jǐn)?shù)，篩下累積分布常用粒數(shù)（或顆粒質(zhì)量）的百分?jǐn)?shù)，篩下累積分布常用 U（D）表示；表示；l篩上累積：篩上累積：從大到小進(jìn)行累積，稱為篩上累積（用從大到小進(jìn)行累積，稱為篩上累積（用“+”號號表示），表示大于某一粒徑的顆粒數(shù)（或顆粒質(zhì)量）的百表示），表示大于某一粒徑的顆粒數(shù)（或顆粒質(zhì)量）的百分?jǐn)?shù)，篩上累積分布常用分?jǐn)?shù)，篩上累積分布常用R（D）。兩者關(guān)系：兩者關(guān)系： U(D)+R(D)=100% 表表1-5 粒度分析數(shù)據(jù)綜合表粒度分析數(shù)據(jù)綜合表(1: 1.414=0.7072)1iiDD59.13)()(DfDDfDa

16、粒度范圍組距組距間隔間隔dD平均粒度平均粒度D顆粒數(shù)顆粒數(shù)dN頻率頻率f(D)/%篩下累積分布篩下累積分布 篩上累積分布篩上累積分布U（D）/% R(D)/%下下1.42.0上上0.61.710.1 0.1 上限篩上限篩 99.9下限篩下限篩 2.02.80.82.440.4 0.5 99.52.84.01.23.4222.2 2.7 97.34.05.61.64.8696.9 9.6 90.45.68.02.46.813413.4 23.0 77.48.011.23.29.624924.9 47.9 52.111.216.04.813.625925.9 73.8 26.2 16.022.46

17、.419.216016.0 89.8 10.222.432.09.627.2737.3 97.1 2.932.044.812.838.4212.1 99.2 0.844.864.019.254.460.6 99.8 0.264.089.625.676.820.2 100.0合計(jì)合計(jì)N=1000100(1)(1)列表法列表法2.2.粒度分布的表示方法粒度分布的表示方法例：表例：表1-6 1-6 以顯微鏡觀察測量粉體的以顯微鏡觀察測量粉體的FeretFeret徑（測量總數(shù)為徑（測量總數(shù)為10001000個）個）級別級別粒徑間隔粒徑間隔（m m）顆粒數(shù)顆粒數(shù)頻度頻度（f%f%）累計(jì)百分?jǐn)?shù)累計(jì)百分?jǐn)?shù)1

18、 1 1 12 239393.93.93.93.92 22 23 371717.17.111.011.03 33 34 488888.88.819.819.84 44 45 514214214.214.234.034.05 55 56 617317317.317.351.351.36 66 67 721821821.821.873.173.17 77 78 815115115.115.188.288.28 88 89 978787.87.896.096.09 99 9101032323.23.299.299.21010101011118 80.80.8100100 頻率矩頻率矩形圖（直方圖）形

19、圖（直方圖） 每一個直方圖的底邊長是組距，縱坐標(biāo)表示各粒級尺寸顆粒的相對分布每一個直方圖的底邊長是組距，縱坐標(biāo)表示各粒級尺寸顆粒的相對分布頻率頻率 （相對含量）（相對含量） 圖圖2-5 粒度分布矩形圖粒度分布矩形圖（2 2）作圖法（圖解法）作圖法（圖解法）優(yōu)點(diǎn)是一目了然的看出各級粒度的相對含量變化及主導(dǎo)級別等情況；優(yōu)點(diǎn)是一目了然的看出各級粒度的相對含量變化及主導(dǎo)級別等情況；缺點(diǎn)是非連續(xù)分布，缺少各粒級范圍內(nèi)的信息，因而不能完整反映粒缺點(diǎn)是非連續(xù)分布，缺少各粒級范圍內(nèi)的信息，因而不能完整反映粒群的粒度特性。群的粒度特性。la. 頻率連續(xù)分布曲線：頻率連續(xù)分布曲線：將矩形直方圖底邊組距中點(diǎn)連成一將

20、矩形直方圖底邊組距中點(diǎn)連成一條光滑的曲線，便形成頻率分布曲線。粒度分布的縱坐標(biāo)條光滑的曲線，便形成頻率分布曲線。粒度分布的縱坐標(biāo)不限于用顆粒個數(shù)表示，也可以使用顆粒質(zhì)量表示，這時不限于用顆粒個數(shù)表示，也可以使用顆粒質(zhì)量表示，這時所得到的分布，稱為質(zhì)量粒度分布所得到的分布，稱為質(zhì)量粒度分布。圖中，橫坐標(biāo)為粒群直徑，縱坐標(biāo)是大于或小于某指定粒圖中，橫坐標(biāo)為粒群直徑，縱坐標(biāo)是大于或小于某指定粒度度 的累積頻率（或產(chǎn)率）的百分?jǐn)?shù)。前者稱作的累積頻率（或產(chǎn)率）的百分?jǐn)?shù)。前者稱作篩上篩上（正）累積分布曲線（正）累積分布曲線R(D),后者稱作篩下后者稱作篩下(負(fù)負(fù))累積分布曲線累積分布曲線U(D)。D根據(jù)頻

21、率分布函數(shù)根據(jù)頻率分布函數(shù)f（D）的概念，可求得任意粒級的概念，可求得任意粒級DiDi+1范圍內(nèi)顆粒的相范圍內(nèi)顆粒的相對百分含量：對百分含量：1)()()(iiDDDdDfDF若從最小粒徑若從最小粒徑Dmin到某一粒徑到某一粒徑D（DDmin)范圍內(nèi)對范圍內(nèi)對f（D）進(jìn)行積分，可獲得）進(jìn)行積分，可獲得DminD粒徑范圍內(nèi)的顆粒相對粒徑范圍內(nèi)的顆粒相對累積百分含量：累積百分含量：dDDfDUDDmin)()(顆粒篩下累積分布函數(shù)顆粒篩下累積分布函數(shù)U(D) ：若從最大粒徑若從最大粒徑D 到某一粒徑到某一粒徑Dman （DDman)范圍內(nèi)對范圍內(nèi)對f（D）進(jìn)行積分，可獲得）進(jìn)行積分，可獲得D Dm

22、an粒徑范圍內(nèi)的顆粒相粒徑范圍內(nèi)的顆粒相對累積百分含量：對累積百分含量：dDDfDRDDmax)()(顆粒篩上累積分布函數(shù)顆粒篩上累積分布函數(shù)R(D)： (%)100(%)100%100minmaxDdDfDdDfDUDRDUDRDDDD累積分布曲線關(guān)系累積分布曲線關(guān)系min)()(DDdDDfDU矩值法就是以數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理來計(jì)算粒群（即樣本）粒度分布矩值法就是以數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理來計(jì)算粒群（即樣本）粒度分布的特征值，如平均粒度、方差等。的特征值，如平均粒度、方差等。設(shè)觀測數(shù)設(shè)觀測數(shù)D1、D2Dn為取自某整體（粒群）的一個容量為取自某整體（粒群）的一個容量（級別數(shù)（級別數(shù)顆粒數(shù)量）為顆粒數(shù)量）為n的隨

23、機(jī)樣本，則定義第的隨機(jī)樣本，則定義第k階樣本階樣本的的原點(diǎn)矩原點(diǎn)矩為：為：a= k, k=1，2， k,11nikikDna= k=1,2， （2-19）k=1時，得到樣本的平均數(shù)為：時，得到樣本的平均數(shù)為： = niiDnDa111（2-20） 第第k階樣本的階樣本的中心矩中心矩則定義為：則定義為：（2-21）顯然，顯然，k=1時，有時，有 (2-22)中心矩和原點(diǎn)矩的關(guān)系為：中心矩和原點(diǎn)矩的關(guān)系為：kniikDDnm11K=1,2，。01111niiDDnm443213144312133212236423aaaaaamaaaamaam (2-23) (2-24) (2-25)對于凡是可以用

24、矩表示的總體數(shù)字特征，都可以寫出與其相應(yīng)的樣本對于凡是可以用矩表示的總體數(shù)字特征，都可以寫出與其相應(yīng)的樣本數(shù)字特征，如：數(shù)字特征，如： 樣本方差樣本方差方差大小表征粒度分布的離散程度方差大小表征粒度分布的離散程度 樣本標(biāo)準(zhǔn)方差樣本標(biāo)準(zhǔn)方差 樣本偏倚系數(shù)樣本偏倚系數(shù)231213233niiniisDDDDnmmC （2-28）該值表示粒度分布偏離對稱分布的程度該值表示粒度分布偏離對稱分布的程度 （2-26）21221niiDDnma212121niiDDnma（2-27） 樣本峰凸系數(shù)樣本峰凸系數(shù)224mmniiniiEDDDDnmmC12214224)()( （2-29）這是衡量分布曲線形狀峰

25、度或陡峭度的指標(biāo)這是衡量分布曲線形狀峰度或陡峭度的指標(biāo) 當(dāng)樣本容量很大時，樣本數(shù)字特征的計(jì)算十分繁雜，此時可將測值適當(dāng)當(dāng)樣本容量很大時，樣本數(shù)字特征的計(jì)算十分繁雜，此時可將測值適當(dāng)分組，用每組的中值，即粒級的平均粒度，代替該組的所有測值進(jìn)行計(jì)分組，用每組的中值，即粒級的平均粒度，代替該組的所有測值進(jìn)行計(jì)算，則算，則k階原點(diǎn)矩定義為：階原點(diǎn)矩定義為： njjnjkjjkfDfa11 (2-30) 式中式中n為組數(shù)（級別數(shù)）；為組數(shù)（級別數(shù)）；Dj為第為第j組的中值；組的頻率數(shù)（產(chǎn)率）為組的中值；組的頻率數(shù)（產(chǎn)率）為fj，則有：則有：njjnjjjfDfDa111（j=1，2） （2-31） a1

26、即為該粒群的平均粒度。同理可得到：即為該粒群的平均粒度。同理可得到：njjnjjjfDfa1122 (2-32)njjnjjjfDfa1133(2-33) 同理，還可以計(jì)算出樣本各階中心矩同理，還可以計(jì)算出樣本各階中心矩 （4）函數(shù)法）函數(shù)法 (粒度特性方程粒度特性方程) 函數(shù)法就是用函數(shù)法就是用數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法將物料粒度將物料粒度分析數(shù)據(jù)歸納，整理并建立能反映物料分析數(shù)據(jù)歸納，整理并建立能反映物料粒度分布規(guī)律的粒度分布規(guī)律的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型粒度特性粒度特性方程方程。到目前為止，粒度特性方程均為。到目前為止，粒度特性方程均為經(jīng)驗(yàn)式經(jīng)驗(yàn)式。222exp21)(DDDfDDniiiDDn12nji

27、iDnnD11其頻率分布函數(shù)為其頻率分布函數(shù)為正態(tài)分布是一條鐘形對稱曲線正態(tài)分布是一條鐘形對稱曲線式中：式中：平均粒徑平均粒徑 分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即粒徑分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即粒徑Di對于平均徑對于平均徑 的二次的二次矩的平方根矩的平方根表征粒度分布的寬窄程度表征粒度分布的寬窄程度篩下累積分布為篩下累積分布為dDDDDUDD222exp21)(min正態(tài)分布的頻率分布曲線正態(tài)分布的頻率分布曲線關(guān)于坐標(biāo)：關(guān)于坐標(biāo)：a.常規(guī)的算術(shù)坐標(biāo)；常規(guī)的算術(shù)坐標(biāo)；b.橫坐標(biāo)為算術(shù)坐標(biāo)，縱坐標(biāo)則按粒橫坐標(biāo)為算術(shù)坐標(biāo)，縱坐標(biāo)則按粒徑的對數(shù)表示（正態(tài)概率紙）；徑的對數(shù)表示（正態(tài)概率紙）；c.橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為對數(shù)坐標(biāo)；橫坐

28、標(biāo)與縱坐標(biāo)均為對數(shù)坐標(biāo)；(對對數(shù)正態(tài)概率紙數(shù)正態(tài)概率紙)利用正態(tài)概率紙標(biāo)繪正態(tài)分布利用正態(tài)概率紙標(biāo)繪正態(tài)分布曲線和求取決定曲線的曲線和求取決定曲線的平均直平均直徑和標(biāo)準(zhǔn)偏差徑和標(biāo)準(zhǔn)偏差非常方便非常方便正態(tài)分布在正態(tài)概率紙上作圖呈一直線。正態(tài)分布在正態(tài)概率紙上作圖呈一直線。87.15505013.84UUDDDDD84.13,D15.87表示小于該表示小于該D的累的累積百分?jǐn)?shù)分別為積百分?jǐn)?shù)分別為84.13%和和15.67%50DD 累積篩下百分?jǐn)?shù)累積篩下百分?jǐn)?shù)222exp21)(DDDf許多細(xì)磨產(chǎn)物的粒度組成，通常都服從對數(shù)正態(tài)分布，其頻許多細(xì)磨產(chǎn)物的粒度組成，通常都服從對數(shù)正態(tài)分布，其頻率曲線

29、不對稱，偏向小粒徑一側(cè)率曲線不對稱，偏向小粒徑一側(cè)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：其數(shù)學(xué)表達(dá)式：密度函數(shù)式密度函數(shù)式篩下累積分布函數(shù)式篩下累積分布函數(shù)式l式中式中g(shù)幾何平均直徑，幾何平均直徑， 幾何標(biāo)準(zhǔn)偏差，可按下式計(jì)算幾何標(biāo)準(zhǔn)偏差，可按下式計(jì)算： ggggDDDDDfg225022ln2lnlnexp2ln1ln2lnlnexp2ln1)(lg)(lnln2)ln(lnexp2ln1)(lnmin22DdDDDUDDgggnDDngg/)ln(lnln2gnnDDgln如果粒群的粒度組成符合對數(shù)正態(tài)分布，在對數(shù)正態(tài)概率如果粒群的粒度組成符合對數(shù)正態(tài)分布，在對數(shù)正態(tài)概率紙上作圖，其測值必定分布在一條直線附近，紙

30、上作圖，其測值必定分布在一條直線附近， 即為直即為直線的斜率。線的斜率。粒群的平均粒度在累積分布曲線圖上對應(yīng)于粒群的平均粒度在累積分布曲線圖上對應(yīng)于50處處,它等于它等于幾何平均直徑。而幾何標(biāo)準(zhǔn)偏差為幾何平均直徑。而幾何標(biāo)準(zhǔn)偏差為:g87.15505013.84lnlnlnlnlnDDDDg累積篩上累積篩上累積篩下累積篩下13.845087.1587.15505013.8450DDDDDDDDgUg或或D84.13表示小于該表示小于該D的累積百分?jǐn)?shù)分別的累積百分?jǐn)?shù)分別84.13%; D15.37表示小于該表示小于該D的累積百分?jǐn)?shù)分別的累積百分?jǐn)?shù)分別15.87%Dg=D50累積篩上累積篩上累積篩

31、下累積篩下13.845087.1587.15505013.8450DDDDDDDDgg圖圖2-9 在對數(shù)在對數(shù)-概率紙上點(diǎn)繪的對數(shù)正態(tài)分布概率紙上點(diǎn)繪的對數(shù)正態(tài)分布D15. 87 D84.13D50橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為對數(shù)坐標(biāo)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為對數(shù)坐標(biāo)小于某一尺寸的累積百分?jǐn)?shù)小于某一尺寸的累積百分?jǐn)?shù)對數(shù)正態(tài)概率紙的縱坐標(biāo)與正態(tài)概率紙一樣，橫坐對數(shù)正態(tài)概率紙的縱坐標(biāo)與正態(tài)概率紙一樣，橫坐 標(biāo)用對數(shù)標(biāo)尺標(biāo)用對數(shù)標(biāo)尺舉例舉例1：三種曲線都符合對三種曲線都符合對數(shù)正態(tài)分布，其幾數(shù)正態(tài)分布，其幾何平均徑即中位徑何平均徑即中位徑均為均為10um,幾何標(biāo)準(zhǔn)幾何標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為：偏差分別為： 1.26; 2.00

32、; 3.16;按按 對數(shù)正態(tài)分布示例對數(shù)正態(tài)分布示例gDlnlnDln則相應(yīng)的則相應(yīng)的 (lnD的標(biāo)準(zhǔn)偏差）各為的標(biāo)準(zhǔn)偏差）各為 0.1; 0.3; 0.5; 通常某指定變量顆粒通常某指定變量顆粒個數(shù)符合個數(shù)符合某種分布規(guī)律時，其某種分布規(guī)律時，其質(zhì)量質(zhì)量分布就不符合該分布就不符合該規(guī)律，反之亦然。但規(guī)律，反之亦然。但對數(shù)分布不同，如對數(shù)分布不同，如果顆粒個數(shù)服從對數(shù)正態(tài)分布，其它如顆粒面積、質(zhì)量果顆粒個數(shù)服從對數(shù)正態(tài)分布，其它如顆粒面積、質(zhì)量分布也是如此，而且有相同的偏差。分布也是如此，而且有相同的偏差。凡符合對數(shù)正態(tài)分布的粒群，由解析法可得各種平均粒徑凡符合對數(shù)正態(tài)分布的粒群，由解析法可得

33、各種平均粒徑。?當(dāng)顆粒群符合對數(shù)正態(tài)分布時，個數(shù)基準(zhǔn)分布和質(zhì)量當(dāng)顆粒群符合對數(shù)正態(tài)分布時，個數(shù)基準(zhǔn)分布和質(zhì)量基準(zhǔn)分布符合以下?lián)Q算關(guān)系：基準(zhǔn)分布符合以下?lián)Q算關(guān)系：50D250ln3expgD質(zhì)量基準(zhǔn)中位徑質(zhì)量基準(zhǔn)中位徑 =個數(shù)基準(zhǔn)中位徑個數(shù)基準(zhǔn)中位徑gg質(zhì)量基準(zhǔn)幾何標(biāo)準(zhǔn)偏差質(zhì)量基準(zhǔn)幾何標(biāo)準(zhǔn)偏差 =個數(shù)基準(zhǔn)幾何標(biāo)準(zhǔn)偏差個數(shù)基準(zhǔn)幾何標(biāo)準(zhǔn)偏差 表表2-7 對數(shù)正態(tài)分布各種平均直徑的計(jì)算公式對數(shù)正態(tài)分布各種平均直徑的計(jì)算公式aDnnd /)(ln5 . 0exp250gDlmD)(/)(2ndnd)(ln5 . 1exp250gDsmD)(/ )(23ndnd)(ln5 . 2exp250gDwmD)(

34、/ )(34ndnd)(ln5 . 3exp250gDsDnnd/ )(2)exp(ln250gDVD33/ )(nnd)(ln5 . 1exp250gDdD)/(/dnn)(ln5 . 0exp250gD名稱名稱符號符號個數(shù)基準(zhǔn)個數(shù)基準(zhǔn)計(jì)算公式計(jì)算公式公式編號公式編號算術(shù)平均直徑算術(shù)平均直徑（2-43）長度平均直徑長度平均直徑（2-44）面積平均直徑面積平均直徑（2-45）質(zhì)量平均直徑質(zhì)量平均直徑（2-46）平均面積直徑平均面積直徑（2-47）平均體積直徑平均體積直徑（2-48）調(diào)和平均直徑調(diào)和平均直徑（2-49） 例題例題1.2：下表是根據(jù)某淀粉的光學(xué)顯微鏡測定的：下表是根據(jù)某淀粉的光學(xué)顯

35、微鏡測定的Feret徑的匯總表。將徑的匯總表。將2747個測定值按個測定值按20um以上者間隔以上者間隔10um，20um以下者間隔以下者間隔5um分組。試分組。試用將這些數(shù)值在用將這些數(shù)值在對數(shù)概率紙上對數(shù)概率紙上作圖，并求作圖，并求D50，gg的值。其次，求各種平的值。其次，求各種平均徑，而且換算成質(zhì)量基準(zhǔn)分布，畫在分布線圖上。已知均徑，而且換算成質(zhì)量基準(zhǔn)分布，畫在分布線圖上。已知淀粉的密度為淀粉的密度為1400kg/m3（lg60）（lg50）（lg40）（lg30）（lg20）（lg15）（lg10）442747=1.6%1032747=3.8%24652747=89.7%594274

36、7=21.6%14822747=54%20402747=74.2%2592747=9.4%篩下累積篩下累積篩上累積篩上累積解：如圖所示，作圖得解：如圖所示，作圖得245.064.1lnln64.17 .2004.3464.162.127 .2062.1210.1lglg04.34532.1lglg7 .20317.1lg225013.8487.155087.1514.8487.1513.8487.1513.8487.155050gUgUgURUURURDDDDDDDDDDDD或個數(shù)分布各平均徑各平均徑 如下表如下表umDDumDDumDDumDDumDDumDDumDDumDDdvswmsml

37、ma4 .1444. 1/7 .20)245. 05 . 1exp(500 .3044. 17 .20)245. 05 . 1exp(504 .2628. 17 .20)245. 0exp(509 .4836. 27 .20)245. 05 . 3exp(502 .3885. 17 .20)245. 05 . 2exp(500 .3044. 17 .20)245. 05 . 1exp(504 .2313. 17 .20)245. 05 . 0exp(502 .4308. 27 .20)245. 03exp(5050. .蓋蓋茨（茨（GatesGates）- -高登（高登（GaudinGaudi

38、n）- -舒茲曼（舒茲曼（SchutzmannSchutzmann）粒度特性方程，簡稱粒度特性方程，簡稱GGSGGS方程，即方程，即式中式中 U（D）篩下物（負(fù)累計(jì)產(chǎn)率）篩下物（負(fù)累計(jì)產(chǎn)率）% ,Dmax顆粒群中尺寸最大顆顆粒群中尺寸最大顆粒粒徑；粒粒徑； D粒度；粒度； m分布模數(shù)，與物料性質(zhì)，設(shè)備性能有關(guān)分布模數(shù)，與物料性質(zhì)，設(shè)備性能有關(guān)將上式兩邊取對數(shù)得將上式兩邊取對數(shù)得：(%)(100)(maxmDDDU成線性方程方程變?yōu)榱盍頒XYDmXYDUCDmDUDmDmDUlg100)(lglg100)(lglglg100)(lgmaxm表征粒群粒度表征粒群粒度分布范圍的寬窄分布范圍的寬窄程度

39、。程度。m越大表越大表示粒度分布范圍示粒度分布范圍越窄越窄圖圖2-7 典型的典型的GGS質(zhì)量粒度分布圖解質(zhì)量粒度分布圖解方程在對數(shù)坐標(biāo)上是一條直線。過縱坐標(biāo)方程在對數(shù)坐標(biāo)上是一條直線。過縱坐標(biāo)1.0處，平行橫處，平行橫坐標(biāo)直線和粒度分布線交點(diǎn)對應(yīng)橫坐標(biāo)上的值即為坐標(biāo)直線和粒度分布線交點(diǎn)對應(yīng)橫坐標(biāo)上的值即為Dmaxm直線斜率直線斜率篩下累積篩下累積U0.8413U0.1587D84.13%D15.87%U0.5D50. .羅辛（羅辛（RosionRosion）拉姆勒（拉姆勒（RmmlerRmmler）方程）方程RRSBRRSB 式中式中 R（D）正累積產(chǎn)率，正累積產(chǎn)率，% ；U（D）負(fù)累積產(chǎn)率，

40、負(fù)累積產(chǎn)率，% D粒度；粒度； De臨界粒度，即臨界粒度，即R（D）=36.8%（D=De）或）或U（）（）63.2%時，對應(yīng)的粒度；時，對應(yīng)的粒度； n-方方程模數(shù)，也稱均勻性系數(shù)，表示粒度范圍的寬窄。程模數(shù)，也稱均勻性系數(shù)，表示粒度范圍的寬窄。n大表示粒度分布范圍窄，大表示粒度分布范圍窄，n小則相反。小則相反。(%)(exp100)(neDDDR)(exp100100)(neDDDU或或若對上式兩邊除以若對上式兩邊除以100，并對其倒數(shù)取二重對數(shù)得：，并對其倒數(shù)取二重對數(shù)得：以以 為縱坐標(biāo)，以為縱坐標(biāo)，以 為橫坐標(biāo)，則得斜率為為橫坐標(biāo)，則得斜率為n的一的一條直線，其截距為條直線，其截距為K

41、。由。由R(D)=36.8處可得處可得De當(dāng)和當(dāng)和e的比值小于時的比值小于時RRSB方程和方程和GGS方程一致。而且方程一致。而且實(shí)踐證明：在較粗的粒度范圍時，方程有驚人的重現(xiàn)性，實(shí)踐證明：在較粗的粒度范圍時，方程有驚人的重現(xiàn)性，特別是特別是紙的應(yīng)用，使紙的應(yīng)用，使RRSB方程在實(shí)踐中很受歡迎。方程在實(shí)踐中很受歡迎。 KDneDnDnDRelglglglglg)(100lglg)(100lglgDRDlg圖圖2-8 RRSB分布圖分布圖例題例題2 用沖擊磨粉碎啤酒瓶，試料全部通過用沖擊磨粉碎啤酒瓶，試料全部通過3.36mm的標(biāo)準(zhǔn)篩，用標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)篩，用標(biāo)準(zhǔn)篩測定的粒度結(jié)果如表所列。試用這些數(shù)值在

42、篩測定的粒度結(jié)果如表所列。試用這些數(shù)值在R-R圖上作圖，并求圖上作圖，并求De;n值，寫出值，寫出R-R分布式。如取啤酒瓶的密度為分布式。如取啤酒瓶的密度為2600kg/m3，試計(jì)算，試計(jì)算其比表面積其比表面積Sw。kgmDDSSDDReeVw/7 . 52600109 . 117.289 . 1exp100)(231 . 1比面積因此，分布式解：如取解：如取mm作為粒度的單作為粒度的單位，由表作圖得位，由表作圖得De=1.9mm,n=1.1;SVDe=28.17kgmSSDDRVw/7.52600109.117.289.1exp100)(231.1比面積因此，分布式 顆粒的形狀對粉體的物理性

43、能、化學(xué)性能、輸顆粒的形狀對粉體的物理性能、化學(xué)性能、輸運(yùn)性能和工藝性能有很大的影響。例如，運(yùn)性能和工藝性能有很大的影響。例如，球形顆粒球形顆粒粉體的流動性、填充性好，粉末結(jié)合后材料的均勻粉體的流動性、填充性好，粉末結(jié)合后材料的均勻性高。涂料中所用的粉末則希望是性高。涂料中所用的粉末則希望是片狀顆粒片狀顆粒，這樣，這樣粉末的覆蓋性就會較其他形狀的好?？茖W(xué)地描述顆粉末的覆蓋性就會較其他形狀的好。科學(xué)地描述顆粒的形狀對粉體的應(yīng)用會有很大的幫助。粒的形狀對粉體的應(yīng)用會有很大的幫助。 2.2 顆粒的形狀顆粒的形狀同顆粒大小相比，描述顆粒形狀更加困難些。同顆粒大小相比，描述顆粒形狀更加困難些。為方便和歸

44、一化起見，人們規(guī)定了某種方法，使形為方便和歸一化起見，人們規(guī)定了某種方法，使形狀的描述量化，并且是無量綱的量。這些形狀表征狀的描述量化，并且是無量綱的量。這些形狀表征量可統(tǒng)稱為形狀因子量可統(tǒng)稱為形狀因子.顆粒的形狀顆粒的形狀-顆粒的輪廓邊界或表面上各點(diǎn)的圖象顆粒的輪廓邊界或表面上各點(diǎn)的圖象. 顆粒的形狀是繼顆粒大小之后又一重要的幾何特征。顆粒的形狀是繼顆粒大小之后又一重要的幾何特征。 顆粒形狀的分析有定性和定量兩方面。顆粒形狀的分析有定性和定量兩方面。2.2.1 顆粒形狀的定性分析顆粒形狀的定性分析 通常用一些定性的術(shù)語描述顆粒的形狀。通常用一些定性的術(shù)語描述顆粒的形狀。 顆粒形狀的定性分析非

45、常粗糙，不夠確切。它難于確顆粒形狀的定性分析非常粗糙，不夠確切。它難于確切描述顆粒的形狀，更不便于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理。因此，定切描述顆粒的形狀，更不便于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理。因此，定量分析顆粒形狀一直是人們悉心研究，期待解決的課題。量分析顆粒形狀一直是人們悉心研究，期待解決的課題。 表表2-8 顆粒形狀的定義顆粒形狀的定義名稱名稱定義定義形狀形狀球形球形圓形球體圓形球體滾圓形滾圓形表面比較光滑近似橢圓形表面比較光滑近似橢圓形多角形多角形具有清晰邊緣或粗糙的多面體具有清晰邊緣或粗糙的多面體不規(guī)則體不規(guī)則體無任何對稱的形狀無任何對稱的形狀粒粒狀狀體體具有大致相同的量綱的不規(guī)則體具有大致相同的量綱的不規(guī)則體片狀體

46、片狀體板片狀形體板片狀形體枝狀體枝狀體形狀似樹枝體形狀似樹枝體纖維狀纖維狀規(guī)則或不規(guī)則的線粒體規(guī)則或不規(guī)則的線粒體多孔體多孔體表面或體內(nèi)有發(fā)達(dá)的孔隙表面或體內(nèi)有發(fā)達(dá)的孔隙定量描述顆粒形狀的方法，大致可以分為兩類：定量描述顆粒形狀的方法，大致可以分為兩類：l.用用一組數(shù)一組數(shù)來表示，而且按照這一組數(shù)據(jù)可以再現(xiàn)顆粒來表示，而且按照這一組數(shù)據(jù)可以再現(xiàn)顆粒的形狀，如付立葉定律、神經(jīng)回路網(wǎng)絡(luò)的形狀，如付立葉定律、神經(jīng)回路網(wǎng)絡(luò)法等法等，這類方法，這類方法需要處理大量的數(shù)據(jù)，必須借助于計(jì)算機(jī)圖需要處理大量的數(shù)據(jù)，必須借助于計(jì)算機(jī)圖象處象處理技術(shù)理技術(shù)才行。才行。l用用一個數(shù)一個數(shù)從不同的角度來表示顆粒的形狀

47、，利用從不同的角度來表示顆粒的形狀，利用顆粒顆粒的各種特征粒徑與其表面積、體積之間的關(guān)系，來的各種特征粒徑與其表面積、體積之間的關(guān)系，來定義定義各種形狀系數(shù)，也可以與其某一基準(zhǔn)（通常是球）各種形狀系數(shù)，也可以與其某一基準(zhǔn)（通常是球）相比相比較，來定義各種形狀系數(shù)，在工程上后者用的較多。較，來定義各種形狀系數(shù)，在工程上后者用的較多。對規(guī)則形狀的顆粒而言，其表面積、體積分別和線性尺寸成平方或三對規(guī)則形狀的顆粒而言，其表面積、體積分別和線性尺寸成平方或三次方的關(guān)系。比例關(guān)系被定義為次方的關(guān)系。比例關(guān)系被定義為形狀系數(shù)形狀系數(shù)顆粒的直徑為顆粒的直徑為d，體積為，體積為V，面積為，面積為S，按上述定義得

48、：，按上述定義得：dddSddVSSdVdSsvcvsvvSVvssvvs3232/表面積形狀系數(shù)表面積形狀系數(shù) 體積形狀系數(shù)體積形狀系數(shù) 比表面形狀系數(shù)比表面形狀系數(shù)因單位體積顆粒的比表積因單位體積顆粒的比表積 Carman形狀系數(shù)形狀系數(shù)所以有所以有1.規(guī)則形狀的單顆粒規(guī)則形狀的單顆粒2.2.2.1 形狀系數(shù)形狀系數(shù)以顆粒幾何參量的比例關(guān)系來表示顆粒與規(guī)則體的偏離程度以顆粒幾何參量的比例關(guān)系來表示顆粒與規(guī)則體的偏離程度vsvv3131322vddd6666dSVVVSVSc顆粒的實(shí)際表面積面積與顆粒等體積的球體表Carman形狀系數(shù)形狀系數(shù)c是與顆粒層流動阻力有關(guān)的形狀系是與顆粒層流動阻力

49、有關(guān)的形狀系數(shù)，被定義為數(shù)，被定義為2. .不規(guī)則單顆粒不規(guī)則單顆粒對于不規(guī)則顆粒，其形狀系數(shù)隨粒度計(jì)算方法而變，例對于不規(guī)則顆粒，其形狀系數(shù)隨粒度計(jì)算方法而變，例如用投影面積直徑如用投影面積直徑 表示時，上述三種形狀系數(shù)分別為表示時，上述三種形狀系數(shù)分別為：avasaSVaavaasdVdS.3.2./式中符號含義同前，而式中符號含義同前，而下標(biāo)下標(biāo)a a表示測得的直徑表示測得的直徑是投影面積直徑。是投影面積直徑。3.3.顆粒群顆粒群如果研究對象是粒群，求其相應(yīng)的系數(shù)時，分別要用平均如果研究對象是粒群，求其相應(yīng)的系數(shù)時，分別要用平均值，即：值，即： 32/dVdSVsad表2-9 顆粒的形狀

50、系數(shù)svSV6/8 . 012/2/34/形狀類型形狀類型球形（球形（l=b=h=d） 6圓錐體（圓錐體（l=b=h=d） 9.7立方體（立方體（l=b=h=d） 6 1 6圓板（圓板（l=b,h=d） 6方柱體（方柱體（l=b=h） 6 1 6規(guī)則顆粒規(guī)則顆粒as .av .asv .形狀類型與實(shí)例形狀類型與實(shí)例渾圓體：經(jīng)水沖蝕的沙子，熔渾圓體：經(jīng)水沖蝕的沙子，熔凝煙灰，霧化金屬凝煙灰，霧化金屬2.73.40.320.418.348.29粉磨的角狀礦粒：煤，石灰石，粉磨的角狀礦粒：煤，石灰石，砂子砂子2.53.20.20.2812.511.43片狀礦粒：石墨粉，滑石，石片狀礦粒：石墨粉，滑石

51、，石膏膏2.02.80.120.1616.6717.5薄板片：云母，石墨，鋁片薄板片：云母，石墨，鋁片1.61.70.010.0316056.67不規(guī)則顆粒不規(guī)則顆粒請同學(xué)課后自己計(jì)算請同學(xué)課后自己計(jì)算由圖可見，隨粒度的減小，顆粒的形狀近似不變，而且各由圖可見，隨粒度的減小，顆粒的形狀近似不變，而且各種礦物細(xì)顆粒的形狀越發(fā)接近。種礦物細(xì)顆粒的形狀越發(fā)接近。為什么？為什么？ 形狀指數(shù)：以顆粒外截形體幾何參量的無因次數(shù)組來表示形狀指數(shù)：以顆粒外截形體幾何參量的無因次數(shù)組來表示顆粒的形狀特征。顆粒的形狀特征。 球形度球形度 顆粒顆粒球顆粒的實(shí)際表面積面積與顆粒等體積的球體表SDSSs2一些規(guī)則形狀體

52、的球形度一些規(guī)則形狀體的球形度： 一個任意形狀的顆粒，測得該顆粒的長、寬、一個任意形狀的顆粒，測得該顆粒的長、寬、高為高為l、b、h，定義方法與前面討論顆粒大小的三，定義方法與前面討論顆粒大小的三軸徑規(guī)定相同，則：軸徑規(guī)定相同，則：hbm顆粒的高度顆粒的寬度bln顆粒的寬度顆粒的長度扁平度扁平度伸長度伸長度（2）扁平度扁平度m與伸長度與伸長度nl將粒子的各種無因次組合稱為將粒子的各種無因次組合稱為形狀指數(shù)形狀指數(shù)，將立體幾何各變量的關(guān)系定義為將立體幾何各變量的關(guān)系定義為形狀系數(shù)形狀系數(shù)。 2.2.3.1傅立葉（傅立葉（Fourier）分析法）分析法 先進(jìn)的圖象處理技術(shù)，為顆粒形態(tài)研究提供了現(xiàn)代

53、，先進(jìn)的圖象處理技術(shù)，為顆粒形態(tài)研究提供了現(xiàn)代，科學(xué)和方便的方法。傅立葉分析法就是其中的一種。美科學(xué)和方便的方法。傅立葉分析法就是其中的一種。美國，加拿大，德國等一些學(xué)者，自國，加拿大，德國等一些學(xué)者，自2020世紀(jì)世紀(jì)7070年代開始，年代開始，著重對它進(jìn)行研究，結(jié)果表明，各階著重對它進(jìn)行研究，結(jié)果表明，各階FourierFourier系數(shù)可作系數(shù)可作為形狀指數(shù)來看待。如前述球形度，粗糙度等形狀指數(shù)為形狀指數(shù)來看待。如前述球形度，粗糙度等形狀指數(shù)都可從都可從FourierFourier系數(shù)求出。系數(shù)求出。 FourierFourier分析法有分析法有極坐標(biāo)法極坐標(biāo)法（R R， ）法，用于無凸

54、形顆粒）法，用于無凸形顆粒分析分析 ， 和和切線法切線法（ ，L)L)法，用于凹形顆粒分析。法，用于凹形顆粒分析。2.2.3顆粒形狀的數(shù)學(xué)分析顆粒形狀的數(shù)學(xué)分析一、一、極坐標(biāo)法極坐標(biāo)法（R,）: : 步驟：先在顆粒輪廓上取點(diǎn)，測量出每個點(diǎn)的（步驟：先在顆粒輪廓上取點(diǎn)，測量出每個點(diǎn)的（x,yx,y）坐）坐標(biāo)，求出面積質(zhì)心作為質(zhì)點(diǎn)，然后以該質(zhì)心為極坐標(biāo)點(diǎn)，標(biāo)，求出面積質(zhì)心作為質(zhì)點(diǎn)，然后以該質(zhì)心為極坐標(biāo)點(diǎn)，把直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成把直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成（R,）極坐標(biāo)，再將）極坐標(biāo)，再將（R,）函數(shù)）函數(shù)按按Fourier級數(shù)展開如下：級數(shù)展開如下： )sincos()cos()(1010nbnaAnAARnnnn

55、nn式中nA0Ananbn式中式中 是是Fourier系數(shù)；系數(shù)； 是相角是相角 n是展開系數(shù)是展開系數(shù),R隨隨的變化以的變化以2為周期。為周期。 Fourier分析法分析法顆粒邊界線所包圍圖形的面積質(zhì)心坐標(biāo)為顆粒邊界線所包圍圖形的面積質(zhì)心坐標(biāo)為一次矩）(iyicixicSMySMx由于極角由于極角與顆粒投影與顆粒投影圖的位置有關(guān)，圖的位置有關(guān)，規(guī)定投規(guī)定投影輪廓最大長度方向?yàn)橛拜喞畲箝L度方向?yàn)闃O半徑極半徑=0的位置的位置A0 下列各下列各式計(jì)算式計(jì)算 ：0AnAnanbndnRbdnRadRARRRRRnnniiiiiiiiisin)(1cos)(1)(1)()(2020201111nnn

56、nnnabtgbaA/222分別為分別為nanb0A由若干點(diǎn)的（由若干點(diǎn)的（R、）得出）得出Fourier系數(shù)系數(shù) 、 、 這些數(shù)值便含有顆粒形狀與尺寸的所有信息。若各這些數(shù)值便含有顆粒形狀與尺寸的所有信息。若各 、 都等于零，則圖形為圓，其半徑為都等于零，則圖形為圓，其半徑為A0。零。零階系數(shù)。階系數(shù)。nanb 如將各階系數(shù)都用如將各階系數(shù)都用A0去除，便得到歸一化系數(shù)。去除，便得到歸一化系數(shù)。這些歸一化系數(shù)就反映顆粒的形狀。這些歸一化系數(shù)就反映顆粒的形狀。其中低階系數(shù)其中低階系數(shù)（n較小時）較小時） 反映顆粒的主要特征，反映顆粒的主要特征， （n較較大時）高階系數(shù)大時）高階系數(shù) 、 反映顆

57、粒形狀的細(xì)節(jié)反映顆粒形狀的細(xì)節(jié)nanbnanb二維情況下，球形度就是圓形度，即：二維情況下，球形度就是圓形度，即：)(212nnnsba伸長度在這里是過重心的長寬比；過重心的最大伸長度在這里是過重心的長寬比；過重心的最大尺寸等于尺寸等于R(0)+R(180)1203210321022)() 0 (3cos2coscos)(03cos02cos0cos) 0 (nnaARRaaaARaaaAR),(l對于某些具有凹形特征的顆粒，若采用極坐標(biāo)法，對于某些具有凹形特征的顆粒，若采用極坐標(biāo)法，Ri可能可能會產(chǎn)生多值問題，這時可采用切線法對顆粒投影輪廓進(jìn)行會產(chǎn)生多值問題，這時可采用切線法對顆粒投影輪廓進(jìn)

58、行Fourier級數(shù)表征級數(shù)表征Ri多值問題多值問題設(shè)變量設(shè)變量 ,L表示顆粒輪廓線的總周長，則顆粒投表示顆粒輪廓線的總周長，則顆粒投影輪廓線可用影輪廓線可用Fourier級數(shù)表征：級數(shù)表征：Llt2)12.,3.2.1(2cos12sin11sinKt)cos()(122121111010KNyxllLLKlKbLKlKalLbKtatNiiiiKiiiNiiKiNiiKiNiiKKKMandelbrot在對皺折曲線進(jìn)行廣泛研究后，引入分?jǐn)?shù)維在對皺折曲線進(jìn)行廣泛研究后，引入分?jǐn)?shù)維（Fractal dimension）來描述沒有單一周長的曲線。）來描述沒有單一周長的曲線。最早是最早是Richa

59、rdsonRichardson對粗糙皺折邊界進(jìn)行了研究。他用腳規(guī)對粗糙皺折邊界進(jìn)行了研究。他用腳規(guī)沿著地圖上的海岸線一步步地估算出各國海岸線長度。沿著地圖上的海岸線一步步地估算出各國海岸線長度。發(fā)現(xiàn)當(dāng)減小步長時，估算的周長將傾向于無限地增大，發(fā)現(xiàn)當(dāng)減小步長時，估算的周長將傾向于無限地增大，即海岸線長度隨量度單元減小而趨于無限地增大。他得即海岸線長度隨量度單元減小而趨于無限地增大。他得出結(jié)論出結(jié)論 ：與：與n n多邊形（多邊形（n n為步長數(shù)）近似的海岸線具有為步長數(shù)）近似的海岸線具有 的周長的周長 Pn周長可按下式估算周長可按下式估算： Pn1 DPk顯然，在顯然，在ln 與與ln 圖中的曲線

60、斜率為圖中的曲線斜率為1-D。參數(shù)。參數(shù)D表示被表示被測海岸線的特性。測海岸線的特性。Mandelbrot發(fā)現(xiàn)許多天然的粗糙邊界都具有類似的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)許多天然的粗糙邊界都具有類似的性質(zhì)，并按下式定義了粗糙邊界的分?jǐn)?shù)維：并按下式定義了粗糙邊界的分?jǐn)?shù)維：P1D 式中，式中， 即圖上所得的斜率，即圖上所得的斜率， 0，故，故D（1，2）。）。維維數(shù)數(shù)D D越大，表明曲線越粗糙，填充空間的能力也越強(qiáng)越大，表明曲線越粗糙，填充空間的能力也越強(qiáng)。 分?jǐn)?shù)維可以作為粗糙曲線的粗糙定量化的表征分?jǐn)?shù)維可以作為粗糙曲線的粗糙定量化的表征。 1）分形與分?jǐn)?shù)維）分形與分?jǐn)?shù)維將一維的單位長度直線分為將一維的單位長度直線分