初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí)第二篇平面幾何第18章整數(shù)幾何試題新人教版

1、初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí)第二篇平面幾何第18章整數(shù)幾何試題新人教版第18章整數(shù)幾何18.1.1 已知 ABC的兩條高長分別是 5、15,第三條高的長數(shù)，求這條高之長的所有可 能值.解析由面積知，三條高的倒數(shù)可組成三角形三邊，這是它們的全部條件.設(shè)第三條高為h ,則111h 15 5,111.5 15 h解得15 h竺，h可取4、5、6、7這四個值. 4518.1.2 已知 ABC的三邊長分別為 AB n 3x , BC n 2x , CA n x ,且BC邊上的 高AD的長為n,其中n為正整數(shù)，且0 x<1 ,問：滿足上述條件的三角形有幾個？解析 注意AB為 ABC之最長邊，故 B 90,設(shè)

2、BD y , CD z,則y 0 ,而z可 正可負(fù).18 / 15由 y z n 2x,及 y2 z2222nn 3x n x 2n 4x 2x,得 y z 4x , y 3x ,22n22由勾股定理，知-3x n n 3x ,展開得n 12x,由0 x<1及n為正整數(shù)，知2n 1, 2,，12,這樣的三角形有 12個.18.1.3 已知一個直角三角形的三條邊均為正整數(shù)，其中一條直角邊不超過20,其外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑之比為 5：2,求此三角形周長的最大值.解析設(shè)該直角三角形直角邊長為a、b ,斜邊為c ,則外接圓半徑 R -,內(nèi)切圓半徑2r a b c ,不妨設(shè) a <20.2

3、由條件知 一c 5, 5a 5b 7c,平方，得 25 a2 b2 2ab 49 a2 b2 ,即a b c 212 a2 b2 25ab 0,3a 4b 4a 3b 0 ,于是a 3k, b 4k, c 5k ,或a 4k, b 3k , c 5k ,周長為12k , k為正整數(shù).k的最大值為6,此時各邊為18、24、30,周長最大值為72.18.1.4ABC為不等邊三角形，A 60面積.BC 7 ,其他兩邊長均為整數(shù)，求 4ABC的解析xy 49.由條件x y ,不妨設(shè) 分別代入，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x丁SA ABCAC y,則由余弦定理，有x y ,則AB為4ABC之最小邊，x只能取值 1、2、3、4

4、、5、6, 3或5時，y 8,其余情形均無整數(shù)解.1一一=-xysin606強 或 1043.218.1.5 一點P與半徑為15的圓的圓心距離是 9,求經(jīng)過P且長為整數(shù)的弦的條數(shù).解析PB如圖，e O半徑為1524 ,則 SP TP PA PBOP144,9 ,過P的弦ST長為整數(shù)，APB為直徑，AP 6 , 因此STSP TP > 2 JSP TP 24 .又ST < AB 30 ,故這樣的弦共有 3024 1 22 12條，其中與 AB垂直的弦及 AB各C 90 , CD為邊AB上的高，D為一條，其余的弦每種長度有兩條（關(guān)于 AB對稱）.18.1.6 在直角三角形 ABC中，各

5、邊長都是整數(shù),垂足，且BD p（p奇素數(shù)），求AC的值（用p表示）.AB解析 由BC2BD AB 知 BD BC2 ,故設(shè) BC股定理，知AC2p2t4 p4t2 ,故 tp AC .設(shè)ACkpt，代入得2,22p t kt k t k ,易知只能有t k p2 , t k 1 ,解得2t p2p2 1曰ACAB18.1.7 設(shè)正三角形 ABC外接圓于P、 解析 如圖，易知ABC, M、N 分別在 AB、AC 上，Q ,若PM、MN、AB長均為正整數(shù),NQPM也是整數(shù).設(shè)AM x, BMMN求y ，/ BC ,兩端延長MN ,交 AB的最小值.PM于是由相交弦定理，得xy2zz x z , x

6、 y z由于stk,要使AB xks達到最小，k得取s t ,于是 AB t2s>2 , t>1 ,知 t2t s>t2s>3 .當(dāng) AM 1BM 2時AB取到最小值 3,此時PM 1 .18.1.8 已知凸四邊形積的兩倍，且AD2解析 不妨設(shè)ABBC2ABCD的四邊長是兩兩不相等的整數(shù)，對邊乘積之和等于四邊形面250 ,求該四邊形面積、對角線長度.BC b , CD c , DA d , AC 與 BD 交于。，貝Ukt2z , s t, s, t 1 ,貝U x s tAC BD sin AOB 2Sabcd ac bd > AC BD ,于是由托勒密定理，知

7、 A、B、C、D 必2c 250 .經(jīng)搜索知250表為5, b 13, c 15, d 9,共圓，且滿足 AC BD .又由已知條件，b2 d2 250, a2 平方和只有兩組： 52 152和92 132 .由對稱性，不妨設(shè) a則 Sabcd 1 AC BD a。bd 96. 222221315 BD195222由余弦 定理，因cos BAD cos BCD 0 ,得-9一犯45BD 4 10 ,于是 AC 24 10 . 518.1.9 是否存在一個三邊長恰是三個連續(xù)正整數(shù)，且其中一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角2倍的4ABC ?證明你的結(jié)論.解析 存在滿足條件的三角形.當(dāng) ABC的三邊長分別為 a

8、 6, b 4, c 5時， A 2 B .如圖，當(dāng) A 2 B時，延長BA至點D ,使AD AC b .連結(jié)CD , AACD為等腰三角 形.CDA因為 BAC為4ACD的一個外角，所以 BAC 2 D .由已知， BAC 2 B ,所以 B D .所以4CBD為等腰三角形.又 D為4ACD與4CBD的一個公共角，有4ACD4CBD ,于是處 CD ,即B ,CD BD a b c所以a2 b b c .而62 4 4 5 ,所以此三角形滿足題設(shè)條件，故存在滿足條件的三角形.評注滿足條件的三角形是唯一的.若 A 2 B ,可得a2 b b c .有如下三種情形：(i)當(dāng)a c b時，設(shè)a n

9、 1 , c n , b n 1 (n為大于1的正整數(shù))，代入a2 b b c ,2一-得 n 1 n 1 2n 1 ,解得 n 5,有 a 6, b 4 , c 5;(ii)當(dāng)c a b時，設(shè)c n 1, c n , b n 1( n為大于1的正整數(shù))，代入a2 b b c ,得n2 n 12n.解得n 2,有a 2, b 1 , c 3,此時不能構(gòu)成三角形；(iii)當(dāng)a b c時，設(shè)a n 1 , b n , c n 1 (n為大于1的正整數(shù))，代入a2 b b c ,得n 1 2 n 2n 1 ,即n2 3n 1 0 ,此方程無整數(shù)解.所以，三邊長恰為三個連續(xù)的正整數(shù),且其中一個內(nèi)角等

10、于另一個內(nèi)角的2倍的三角形存在,而且只有三邊長分別為 4、5、6構(gòu)成的三角形滿足條件.18.1.10 三邊長為連續(xù)整數(shù)、周長不大于100、且面積是有理數(shù)的三角形共有多少個?解析設(shè)三角形三邊依次為 n1、則 3< n< 33,Skp p a p b p c3n2 1n 1421n 12于是3 n2 4是平方數(shù)，3 n22_2_ _ 2.一3k ，得 n4 3k,則 n< 32 ,2n 41020&33340, k< 18.又k不可能是奇數(shù)，否則n2 3k2 42223k ，得 n 4 3k ,則 n < 32 ,2_n 41020&33340 , k

11、< 18.又k不可能是奇數(shù)，否則n2 3k2 43 mod4 ，將 k 2,4,6, 8, 10, 12, 14, 16, 18代入，發(fā)現(xiàn)僅當(dāng)k 2, 8時滿足要求.因此這樣的三角形共有兩個，三邊長依次為3、4、5與 13、14、15. 18.1.11 某直角三角形邊長均為整數(shù)，一直角邊比斜邊小1575,求其周長的最小值.解析設(shè)直角三角形直角邊長 a、b,斜邊為a 1575,則a2 b2 a 1575 2 .b2 1575 2a 1575由于 1575 32 52 7,設(shè) b 105k,則 7k2 2a 1575 ,設(shè) a 7s ,則 k2 2s 225 ,于是 k 的最小值為17,此時

12、s 32, a 224, b 1785, c 1799.此時的最小周長為 3808.18.1.12 已知 ABC, AD是角平分線，AB 14, AC 24, AD也是整數(shù)，求 AD所有可取的值.A解析 如圖，作 DE II AB, E在AC上，則易知 AE ED .又 ED CD AC ,故AB BC AB ACAD AE DE 2ED2 AB ACAB AC33619故 AD <17.17.68 ，又當(dāng)AD< 17時，不難通過 4AED構(gòu)造出ABC,故AD所有可取的值為1, 2,17.18.1.13 面積為a而 c的正方形DEFG內(nèi)接于面積為1的正三角形 ABC ,其中a、b、

13、c是整數(shù)，且b不能被任何質(zhì)婁的平方整除，求 ac的值.b解析設(shè)正方形DEFG的邊長為x ,正三角形ABC的邊長為m ,則m2 ADGsABC ,可得解得x273 3 m .于是2873 48 .由題意得a 28, b 3, c 48,所以a c 20b 317.1.14 如圖,AD是 ABC的高，四邊形PQRS是ABC的內(nèi)接正方形，若 BC ab（即兩位數(shù)），SR c, AD d,且a、b、c、d恰為從小到大的4個連續(xù)正整數(shù),求 Sa abc的所有可能值.解析易知SRBC移項,AR彳 1AC1a 2 aCR 1ACABPD Q CSRAD，或一111a 1 a 36a 5 0 ,解得a 1或5

14、.于是有兩解:BC12,BC56,SR3,SR7,AD4;AD8.易知這兩組數(shù)據(jù)都符合要求，故SA abc 24或224.18.1.15 已知4ABC中，B是銳角.從頂點A向BC邊或其延長線作垂線， 垂足為D；從頂點C向AB邊或其延長線作垂線， 垂足為E .當(dāng)2BD和2BE均為正整數(shù)時， 4ABC是BC AB什么三角形？并證明你的結(jié)論.解析設(shè)2BD m, 2BE n , m、n均為正整數(shù)，則BCAB24cos B 4 ,BD BE mn 4 AB BC(1)當(dāng) mn 1 時，cosB -, 2所以，mn 1,2, 3.B 60 ,此時m n 1 .所以AD垂直平分 BC , CE垂直平分AB

15、,于是 ABC是等邊三角形.(2)當(dāng) mn 2 時，cosB J B 45 ,此時 m 1, n 2 ,或 m 2 n 1 ,所以點 E與 2點A重合，或點 D與點C重合.故 BAC 90 ,或 BCA 90 ,于是 ABC是等腰直角 三角形.3(3) mn 3時，cosBB 30 ,此時 m 1, n 3,或 m 3, n 1.于是 AD 垂直平分BC,或CE垂直平分 AB.故 ACB 30，或 BAC 30，于是4ABC是頂角為120 的等腰三角形.18.1.6 某直角三角形兩直角邊長均為整數(shù)，周長是面積的整數(shù)倍(就數(shù)字上講)，問問這樣的直角三角形有多少個？解析設(shè)直角邊分別為a、b ,則斜

16、邊c 后b2 ,由條件知它是有理數(shù)，故必定是整數(shù).設(shè)a b Va2b2 kab , k為正整數(shù)，于是24- k.aba b由于a b Ja2 b2也是正整數(shù),故它只能為 1、2或4,記作k .由 a b k Va"b2,得 2ab 2k a b k2 0,2a k b kk2 , k 1 時無解；k 2 時，有 a 2b 22, a, b=3 , 4 ; k 4 時，a 4 b 48, a, b =5 ,12或6 , 8,所以這樣的直角三角形共有3個.18.1.17 在等腰 4ABC中，已知 AB AC kBC ,這里k為大于1的自然數(shù)，點 D、E依次在AB、AC上，且DB BC C

17、E , CD與BE相交于O,求使OC為有理數(shù)的最小自BC然數(shù)k .解析 如圖，連結(jié)DE ,則DE / BC , DE AD AB BC 1BC AB AB由于四邊形DBCE為等腰梯形，則由托勒密定理（或過 D、k 1BC . k2CD CD BE DE BC DB CECO BC k 中曰 CO ,丁 ZE CD DE BC 2k 1 BCk 122 2k 12BC BC BCkk一，由于k與2k 1互質(zhì),2k 11,DE kE作BC垂線亦可），由題設(shè)知其必須均為平方數(shù)，k 1, k 25適合，這是滿足要求的最小自然數(shù).18.1.18 對于某些正整數(shù) n來說，只有一組解 xyz n （不計順序

18、），這里，x、y、z是正整數(shù)且可構(gòu)成三角形的三邊長，這樣的n < 100共有多少個?2斛析 顯然，當(dāng)n p （素數(shù)）時無斛；當(dāng) n p或1時只有一組解（1, p , p）或（1,1, 1）;當(dāng)n pq （ p、q為不同素數(shù)）時無解；當(dāng)n 4p （ p為大于3的素數(shù)）時也無解.剩 下的數(shù)為 8, 12, 16, 18,24,27, 30,32,36, 40,42,45,48, 50,54, 56, 60, 63,64, 66, 70, 72, 75, 78,80,81, 84,88,90, 96,98,99,100.易驗證，無解的 n有：30,42,54, 56,63,66, 70,78,

19、88,99;唯一解的 n 有：8, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 40, 45, 48, 50, 75, 80, 81, 84, 90, 96, 98;不止一組解的 n 有：36, 60, 64, 72, 100.注意：判定無解的主要依據(jù)是，abc n , c ab時無解，困為 c> ab 1 > a b.因此，有解的n共有23個.18.1.19 面積為整數(shù)的直角三角形周長為正整數(shù)k,求k的最小值，并求此時這個直角三角形的兩條直角邊的可取值（如不止一組解，只需舉了一組即可）解析設(shè)該直角三角形的直角三角形周長分別為a、b4Uab>1,a b> 2癡 &g

20、t; 272 ,2Ja2 b2 > ay=b > 2, k a b Ja2 b2 > 272 2 ,故 k > 5 .下令k 5, ab 2,如有解，則可.后 b2 5 a b ,平方得a2 b2 25 10 a b a2 b2 2ab .a取ab 2,得abh 29 b 102.因此a、b為方程210x29x 20 0的根，解得a、b為29再與29月，故k的最小2020值是5.18.1.20解析若 ABC的三邊長a、b、c均為整數(shù),不妨設(shè)abc 140,求 ABC內(nèi)切圓半徑.b< 1c只可能為140ab 1 c7 或 10.c<10.c 7時，ab 20,

21、只可能8,內(nèi)切圓半徑c 10時，ab 14 ,沒有滿足要求的解.18.1.21證明:b、c是一組勾股數(shù)b2則存在正整數(shù)k、u、v、u v ,1使得ck u2v2 ，而 a k u22kuv;或 a2kuv, b k解析2.2a b2c,設(shè)(a, b , c) k,則 abi、c1兩兩互質(zhì)；a與b1不可能同偶，否則 2 a. bi , g;a1與bi也不會同奇，否則c； 2mod 4是a1與n必一奇一偶，不妨設(shè) a1奇而n偶，于是G為奇數(shù).從而a12b1gb1 , c1b1 與 c1“必互質(zhì)，否則有P|2c ,bi )=1矛盾.于是可設(shè)c1b12u1，b1(U1=1 ，M均為奇數(shù)，解得U1V12

22、v12，u122u1M2u1 32，一 u1 v12，即得結(jié)論.18.1.22 如圖,求證：AF、F、BF、E在 ABC的邊AB、CB、CD、AE、EC、AC上，F(xiàn)E的延長線與BC的延長線交FE、ED的長度不可能是18的排列.解析如果 EF 1 ,貝”AE AF| EF 1 ,得 AEAF ,矛盾，故EF 1 ,同理AF、AE、ED、CD、EC都不等于1 .ABCD因此1只可能等于FB或BC之長，不失對稱性，設(shè) BF 1 ,則FD BD| BF 1, FD BD ,作CG/AB , G在ED上，四邊形FBCG乃一等腰梯形，于是EG FG EF BC EF為正整數(shù).又EG EC CG BF 1

23、,故EG EC ,但/ BFD為等腰三角形DFB的底角，ZBFD 90 , ZEGC 180 / BFD 90 ,為 4EGC 的最大內(nèi)角， EC EG,矛盾，因 此結(jié)論證畢.18.1.23 已知梯形 ABCD 中，AD BC , E、F 分別在 AB、CD 上，EF II AD II BC ,ED II BF ,如果AD、EF、BC均為正整數(shù)，稱該梯形為“整數(shù)梯形”.現(xiàn)對于正整數(shù) n ,有正整數(shù)x x'<y'<y, x y x'+y'=n，且x、y為一"整數(shù)梯形"的上、下底， x'、y'為另一 “整數(shù)梯形”的上、

24、下底，求n的最小值.解析 如圖，由 AEDsEFD , ADEF-FBC ,得空任空正，得 EF BE FC BCEF ,AD BC ,于是問題變?yōu)榍笞钚〉?n ,使xy與x ' y '均為平方數(shù).xy、x ' y '不可能都為4,故至少有一組9,顯然另一組也不可能為 4,于是xy , x ' y '>9.如果 xy 或 x' y' '25,貝 Un>2j25 10 .若 xy 或 x' y' =9 或 16,貝Un 1 9 或2 8 10.于是 n 的最小值為 10, x 1, x'

25、=2, y' =8, y=9.18.1.24 求證：存在無窮多個每邊及對角線長均為不同整數(shù)的、兩兩不相似的凸四 邊形.解析BP而由如圖，作圓內(nèi)接四邊形 ABCD, AC與BD垂直于222a 4 , DP 4a 1,貝U AB a 4 ,AD4a2設(shè)a為一整數(shù),22.a 4 4a 1CP4a ABPsdCP BPCsMPD 知,BC2a4a24aCD24a 12a 4 .4a同時乘以系數(shù)4a ,得 AB 4aAD4a 4a2 1BCCD 4a2 1 a2 4.-4AC 4aBD 20a a2 1 .易知上述6個多項式無二者恒等，于是任兩者相等只能得有限個 此有無限個a,使6個多項式兩兩不

26、等，a,但正整數(shù)有無限個，因又當(dāng)a時，BD 0,因此有無限個這樣的凸四邊形兩兩不相似.AC18.1.25 已知 PA、PB為圓的切線，割線過 P ,與圓交于PA、 PM、MS、SN均為正整數(shù)，求 PA的最小值.解析如圖,易知有MS)pn .（調(diào)和點列SN設(shè)PM aMS bacpa pm pn設(shè) a ks, b ktkt s tPA ks s t二1,s、t 一奇一偶.于是由（由PA為整數(shù)知sy為奇數(shù).因為sk的最小值為s t,t , PA s« s t s t sxy,當(dāng) s1,2, 3, 4時，t無解（即PA不是整數(shù)），故又 x>3, y>1,于是 PA>15,當(dāng)

27、 ab 4, c 36 時取到 PA 15.t , s t ） =2,此時s、t同奇，k的最小值為U ,此時c t s t ,22pa sjsts1- 2 %又x y,所以y >1 ,綜上，PA的最小值是x> 210.2x2PAs t 2y2,sxy >52當(dāng)s 1 , 3時，無t使PA為整數(shù)，于10.當(dāng) a 5, b 3, c 12 時取到 PA 10.3、4,顯然對圓內(nèi)接凸四邊形 ABCD ,無邊長為 1 .否則若設(shè)AB 1 ,AD BD AB 1 ,得AD BD，同理 AC CB ,于 長> 2X4=8.C、D均在AB中垂線上，構(gòu)不成凸四邊形.因此最小周四邊均為2

28、,得正方形，對角線為2段，不合要求；三邊為2,另一邊為3,得等腰梯形,求這類四邊形中周長最小者.18.1.26 一圓內(nèi)接四邊形的四邊長及對角線長都是整數(shù), 解析 顯然長與寬為4、3的矩形滿足要求，其周長 =14.若等腰梯形上、下底分別為腰為2,則由托勒密定理，對角線長為4,滿足要求，此時周長為 11.故最小周長W 11.對角線長為 聞,亦不合要求.故最小周長10.當(dāng)周長為10時，顯然至少有兩邊為 2.若是2、2、2、4,則對角線為. 12,不合；于是只JT3 ,亦不合.能為2、2、3、3,四邊形為矩形或箏形，總有對角線長為 故最小周長為11.18.1.27 在 RtABC中，ZBCA 90 ,

29、 CD是高，已知 ABC的三邊長都是整數(shù),且BD113,求4BCD與4ACD的周長之比.c .由題設(shè)知a、 b、解析BC2設(shè)ABC的三邊長分別為23BD BA ,故 a 11 c .于是設(shè)2 一 2a 11l,得11l c由勾股定理得11lJl2 112是整數(shù),所以l2 112是完全平方數(shù)，設(shè)為t2 t 0 ,則l2 112t2,61 , 60.2a 1161, b 11 61 60.一 l t 1, . - l由于0 l t l t ,所以,2解得ll t 112. t因為BCDsCAD,所以它們的周長比等于它們的相似比，即 -11b 60初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí)第二篇平面幾何第i8章整數(shù)幾何試

30、題新人教版i3 / i5i8.i.28 已知銳角三角形 ABC中，AD是高，矩形SPQR的面積是 4ABC的i/3, 其頂點S、P在BC上，Q、R分別在AC、AB上，且BC、AD及矩形SPQR的周長均為有理數(shù)，求 AB AC的最小值.BC解析如圖，設(shè) ABC的三邊長依次為 a、b、c , AD h , PQx, RS y,則 _xyahAQACCQAC知a、h、x y均為有理數(shù).占x由a若過a6x3m,3h ,因此只能有aA作BC的平行線l ,再作C關(guān)于l的對稱點是AB AC的最小值為 用，僅當(dāng)AB AC時取到.BCi8.i.29 整數(shù)邊三角形 ABC中，Z BAC 90對同一個BD能長度，有

31、兩個不全等的直角整數(shù)邊三角形解析不妨設(shè) ABC的三邊長為a、b、c, AD hAD是斜邊上的高，BD也是整數(shù).若ABC滿足要求，求 BD的最小值.bcBD d ,首先h bc為有理數(shù)，又ah2c2 d2為整數(shù)，因此h也是整數(shù).又CD為整數(shù)，故2立也是整數(shù).又ABDsCBA, d因此,只需正整數(shù)h、d滿足h2c2 d2及d |h2,這樣的整數(shù)邊三角形就存在.因為此hc是有理數(shù)，而b2 dh2 CD2為整數(shù)，從而b為整數(shù).易知由d|h2可得d|c2.d；,、di為正整數(shù)，且 無平方因子，于是由| h2及c2知G，代入得 di4 c；hi；,又由 d |h2 , c2 得 d： | * ,Ci2 ,今對di的任一素因子p,其在di的指數(shù)s di不會比hl的指數(shù)高，否則s di > s hi初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí)第二篇平面幾何第18章整數(shù)幾