高等數(shù)學(xué)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則 第十一節(jié)二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xx cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理定理1. 在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差差 , 積積 ,( 利用極限的四則運(yùn)算法則證明)連續(xù)xx cos,sin商商(分母不為分母不為 0) 運(yùn)算運(yùn)算,結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) .例例1.設(shè)函數(shù) f (x)和 g(x)在點(diǎn) 連續(xù)，則他們的和差）

2、、積 及商 （當(dāng) 時(shí)都在點(diǎn)0 xgf gf gf0)(0 xg0 x連續(xù)。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xye在),(上連續(xù)其反函數(shù)xyln在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增.例例3. xyOxylnexy 11單調(diào)遞增,定理定理2. 連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)也連續(xù)單調(diào)遞增連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)也連續(xù)單調(diào)遞增. 例例2.xysin在,22上連續(xù)單調(diào)其反函數(shù)xyarcsin(遞減遞減)(證明略)在1, 1上(遞減遞減)11xOy22也連續(xù)單調(diào)遞增.xsinxarcsin遞增，目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )ufxgfxx0(lim0定理定理3. 3. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)

3、的. . 設(shè)函數(shù))(xgu ,0連續(xù)在點(diǎn) x0( ),yf uu函數(shù)在點(diǎn)連續(xù). )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xgfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xgf故復(fù)合函數(shù))(xgf.0連續(xù)在點(diǎn) x且即.)(00uxg00)()(lim0uxgxgxx注：注： 由于連續(xù)函數(shù)符號(hào)連續(xù)函數(shù)符號(hào)f 和極限號(hào)和極限號(hào) 可以交換次序?？梢越粨Q次序。0limxx所以即.lim0 xgfxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,xy1sin是由連續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因而xy1sin在*Rx上連續(xù) .復(fù)合而成 ,xy1sinxyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例

4、4. 求求.)1 (loglim0 xxax解解:原式xxax1)1 (loglim0elogaaln1例例5. 求求.1lim0 xaxx解解: 令令, 1xat那么, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln說明說明: 由此可見當(dāng)由此可見當(dāng)0e,xa時(shí), 有)1ln(x1e xxx10log lim(1) xaxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如例如,21xy的連續(xù)區(qū)間為1, 1(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為Znn

5、n, ) 12( ,2(1cosxy的定義域?yàn)閆nnx,2因此它無連續(xù)點(diǎn)而目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1lim arccos1xxx例例6. 6. 求極限求極限1lim arccos1xxx1arccos(lim)1xxxarccos( 1)解：解：目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 求極限求極限311 sin(1) limln2xxx解：解：311 sinlimln2xxx31 sin(1)ln121ln32 1ln320(arcsin2 )(2) limln1 cosxxx20(arcsin2 )limln1 cosxxx20(arcsin2 )lnlim1 cosxxx202(2

6、)lnlim12xxxln8目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式elim0 x)21ln(sin3xx03limexx6ex2說明說明: 假假設(shè)設(shè),0)(lim0 xuxx則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx3limln(1 2 )sin0 xxxe1型型目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 lim ( ) 1 ( )u xv xe ( )lim ( )v xu xlim ( ) 1 ( )u xv xe 關(guān)于關(guān)于11型極限的求法型極限的求法( )lim

7、( )v xu xlim ( )1,lim ( )u xv x ( )lim ( )v xu x( )lim1( ) 1v xu x1 ( ) 1 ( )( ) 1lim1( ) 1u xv xu xu x(lim ( )1,lim ( )u xv x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9. 求求解：解：0limxxxxcot110limxxxxcot)121(e2e0limxxxxcot11e()021lim1xxxx()012limtan1xxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 冪指函數(shù)一般的,對(duì)于形如 的 lim ( ),u xalim ( ),v xb函數(shù)(通常稱為冪指函數(shù)),假如那么(

8、 )lim ( ).v xbu xa( )( )( ( )0, ( )1)v xu xu xu x注: lim表示在同一自變量變化過程中的極限.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說明說明: 分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性左、右連續(xù)性.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P52 1 (1) (2) (6) ; 3 第十節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf,2)cos1 (xxa0 x,1

9、0 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 連續(xù) , 那么 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e思考與練習(xí)思考與練習(xí)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1)(e)(xaxbxfx有無窮間斷點(diǎn)0 x及可去間斷點(diǎn), 1x解解:為無窮間斷點(diǎn),0 x) 1)(elim0 xaxbxx所以bxaxxxe) 1)(lim0ba101,0ba為可去間斷點(diǎn) ,1x) 1(elim1xxbxx極限存在0)(elim1bxxeelim1xxb2. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)試確定常數(shù) a 及 b .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 求極限求極限 xxxx193lim xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e1lim39xxxe990 e目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令1limx1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt