淺談三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的教學(xué)

1、淺談三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的教學(xué) 江蘇省南通市如東縣岔河中學(xué) 胡文建 郵編226403 摘要：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，涉及的內(nèi)容包括三角函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性和周期性，這些都是三角函數(shù)的核心內(nèi)容。近年來(lái),各級(jí)各類(lèi)考試命題者不斷變換考查的角度,相繼推出了許多新穎別致,極富思考性和挑戰(zhàn)性的創(chuàng)新題型,給此類(lèi)問(wèn)題注入了新的活力。同學(xué)們重點(diǎn)要掌握的有關(guān)三角函數(shù)的知識(shí)有：y=sinx，y=cosx，y=tanx的定義域、值域（最值）、周期性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性及單調(diào)性；y=Asin（x+）+k模型（圖象變換、性質(zhì)）及應(yīng)用。 關(guān)鍵字：高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；圖像；性質(zhì)三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容

2、之一，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)（定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性）是三角函數(shù)的重點(diǎn)。函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)、解決函數(shù)相關(guān)問(wèn)題的重要工具。通過(guò)解決函數(shù)圖象問(wèn)題既能夠考查函數(shù)性質(zhì)的掌握情況，也能夠通過(guò)創(chuàng)設(shè)新的情景，考查創(chuàng)新和知識(shí)遷移能力，所以是各類(lèi)考試的熱點(diǎn)問(wèn)題。由于三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)有許多獨(dú)特的表現(xiàn)，因此近年來(lái)高考對(duì)三角部分的考查多集中在三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，重視對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和技能的考查。 一、已知函數(shù)圖象求函數(shù)解析式方面的問(wèn)題應(yīng)用函數(shù)圖象來(lái)解決問(wèn)題，我們需要增強(qiáng)讀圖和識(shí)圖能力，捕捉圖象中包含的信息。從圖象的交點(diǎn)、極值點(diǎn)、范圍、位置、對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心、上升和下降等信息來(lái)判斷函數(shù)

3、的單調(diào)性、奇偶性、最值、定義域、值域等性質(zhì)。已知圖象求函數(shù)y=Asin(x+)（A>0, >0）的解析式，是“五點(diǎn)法”作圖的逆向思維問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于利用圖象上的特殊點(diǎn)，確定參變量A、的值。本文就一般情況例析如下。  (一)A值的確定方法：A等于圖象中最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)所得差的一半。(二)值的確定方法：  方法：在一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)“關(guān)鍵點(diǎn)”中，若任知其中兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則可先求出周期，然后據(jù)，求得的值。 方法：“特殊點(diǎn)坐標(biāo)法”。特殊點(diǎn)包括曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)和最低點(diǎn)等。在求出了A與的值之后，可由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)確定的值。(三)值的確定方法：&#

4、160;方法：“關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)等法”。確定了的值之后，把已知圖象上五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)之一的橫坐標(biāo)代人x+，它應(yīng)與曲線sinx上對(duì)應(yīng)五點(diǎn)之一的橫坐標(biāo)相等，由此可求得的值。此法最主要的是找準(zhǔn)“對(duì)等的關(guān)鍵點(diǎn)”，我們知道曲線ysinx在區(qū)間0，2上的第一至第五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為0、2，若設(shè)所給圖象與曲線y=sinx上對(duì)應(yīng)五點(diǎn)的橫坐標(biāo)為XJ(J1,2,3,4,5),則順次有x1+0、x2+、x3+、x4+、x5+2,由此可求出的值。 方法2：“篩選選項(xiàng)法”，對(duì)于選擇題，可根據(jù)圖象的平移方向經(jīng)過(guò)篩選選項(xiàng)來(lái)確定的值。 方法3：“特殊點(diǎn)坐標(biāo)法”。（與2中的方法2類(lèi)同）。 (四)k值的確定方

5、法：|K|等于圖象向上或向下平移的長(zhǎng)度，圖象上移時(shí)k為正值，下移時(shí)k為負(fù)值。 另外A、的值還可以通過(guò)“解方程（組）法”來(lái)求得。例如：圖1是函數(shù)2sin（x+）(，|)的圖象，那么正確的是（   ）  .,p   , ， ，解：可用“篩選選項(xiàng)法”。            題設(shè)圖象可看作由y2sinx的圖象向左平移而得到，所以0排除B和D，由A,C知；值的確定可用“關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)等法”，圖1因點(diǎn)（,0）是“

6、五點(diǎn)法”中的第五個(gè)點(diǎn)，·+2，解得，故選C。 又如：圖2是函數(shù)yAsin(x+)圖象上的一段,（A0，0,（0，）,求該函數(shù)的解析式。解法一：觀察圖象易得A2,T2×（-），2,  y2sin(2x+)。下面用“關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)等法”來(lái)求出的值,由2×+（用“第三點(diǎn)”），得，所求函數(shù)解析式為y2sin(2x+)。說(shuō)明：若用“第二點(diǎn)”，可由2×+求得的值；若用“第五點(diǎn)”，可由2×+2，求得的值。 解法二：由解法一得到T=，=2后，可用“解方程組法”求得與A的值，點(diǎn)（0，）及點(diǎn)（，0）在圖象上，  

7、; 由(2)得，k-(kZ)，   又（0，)，   只有K1，得，代人（1）得A2。所求函數(shù)解析式為 y2sin(2x+)。 二、有關(guān)三角函數(shù)圖像對(duì)稱(chēng)性方面的問(wèn)題函數(shù)的奇偶性表現(xiàn)為其圖像對(duì)稱(chēng)性（中心對(duì)稱(chēng)或軸對(duì)稱(chēng)），三角函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)伸縮或平移后，仍具有對(duì)稱(chēng)的特征。一般地，基本三角函數(shù)sinx,cosx,tanx, cotx的圖像具有以下對(duì)稱(chēng)性：y=sinx的圖像有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸 x=k+/2，無(wú)數(shù)多個(gè)對(duì)稱(chēng)中心（k,0），k 。y=cosx的圖像有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸x=k，無(wú)數(shù)多個(gè)對(duì)稱(chēng)中心k+/2，0，k。

8、60; y=tanx與y=cotx的圖像有無(wú)數(shù)多個(gè)對(duì)稱(chēng)中心k/2，0，k。 例如，蘇教版三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)中1·3·1中的例2：求函數(shù)f(x)=cos2x的周期。解：設(shè)周期為T(mén)。f(x)=cos2x=cos(2x+2)，f(x+T)=cos2(x+T)，由f(x)= f(x+T)得，2x+2=2(x+T)，解得T=2/2= 函數(shù)f(x)=cos2x的周期。注意：運(yùn)用了換元方法，u=2x；f(u)=cosu的(最小正)周期是2；即cosu=cos(u+2)；由于cos(2x+2) =cos2(x+T)對(duì)任一x的值都成立，所以2x+2=2(x+T)；f(x)= co

9、s2x的周期與f(u)=cosu的周期是兩個(gè)不同的概念。總結(jié)：一般地，函數(shù)y=Asin(x+)及函數(shù)y=Acos(x+)（其中A，為常數(shù)，且A0，0）的周期T=。又如：已知函數(shù)y=sin(2x+)，求其圖象的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心。解析：利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，由2x=k（kZ）可求得其圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程，由2x=k+（kZ）可求得其圖象的對(duì)稱(chēng)中心。解：y=sin（2x+）=cos2x，由2x=k（kZ）得其圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=，kZ；由2x=k+（kZ）得：x=+，kZ，其圖象的對(duì)稱(chēng)中心為（+，0），kZ。三、與三角函數(shù)的圖象變換有關(guān)的問(wèn)題在三角函數(shù)圖象的三種變換中，相位變換與周期變換比較復(fù)雜，稍有不

10、慎，極易出錯(cuò)。關(guān)于三角函數(shù)圖象變換的位移問(wèn)題，只需抓住函數(shù)圖象的“起點(diǎn)”變化，便可迎刃而解。這類(lèi)問(wèn)題多以選擇填空的形式出現(xiàn)。畫(huà)出三角函數(shù)y=Asin（x+）+k的圖象有兩種常用的方法：（1）“五點(diǎn)作圖法”，即令x+=0，/2，3/2，2時(shí)，求出相對(duì)應(yīng)的x的值及相應(yīng)的y的值，進(jìn)而列表，描點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象。這五個(gè)點(diǎn)是使得三角函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)取得極大值與極小值，以及曲線與x軸相交的點(diǎn)。（2）“圖象變換法”，即三角函數(shù)y=Asin（x+）+k的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)平移變換，周期變換，振幅變換等得到的。振幅變換：由A的變化引起的。即函數(shù)y=Asinx的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象上的所

11、有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（A>1）或縮短。周期變換：由的變化引起的.即函數(shù)y=sinx的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（0<<1）或縮短（>1）到原來(lái)的1D倍，縱坐標(biāo)不變。 平移變換：包括左右平移（即相位變換）和上下平移。左右平移：即函數(shù)y=sin（x+）的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象上的所有點(diǎn)向左（>0）或向右（<0）平移|個(gè)單位。上下平移：即函數(shù)y=sinx+k的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象上的所有點(diǎn)向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|個(gè)單位。周期變換和振幅變換統(tǒng)稱(chēng)為伸縮變換，在進(jìn)行三角函數(shù)圖象變換時(shí)，因周期變換，振幅變

12、換，相位變換的順序不同而產(chǎn)生不同的變換方式。要注意雖然各種變換的順序可以是任意的，但在不同的變換順序下，平移的單位可能是不同的。例如，蘇教版三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)中1·3·3中的例1：若函數(shù)y=3sin（2x-）表示一個(gè)振動(dòng)量:(1)求這個(gè)振動(dòng)的振幅、周期、初相;(2)不用計(jì)算機(jī)和圖形計(jì)算器,畫(huà)出該函數(shù)的簡(jiǎn)圖。解：(1) 函數(shù)y=3sin（2x-）的振幅為3,初相為,周期為.(2)方法一“五點(diǎn)法”：周期T=p,令X=2-則=+。列表： 2-0p2p3sin(2-) 03 0-30作圖：x1y=sin(x-)y=sin(2x-)y=3sin(2x-)y0方法二(先周期后相位)：

13、作出正弦曲線，并將曲線上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin2x的圖象；再將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=3sin（2x-）的圖象；再將函數(shù)y=sin（2x-）的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變），即可得到函數(shù)y=3sin（2x-）的圖象。y=sinxy=sin2xy=sin（2x-）y=3sin（2x-）。方法三(先相位后周期)：作出正弦曲線，并將其向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sin（x-）的圖象;再將函數(shù)y=sin（x-）圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin（2x-）的圖象;再將函數(shù)y=sin

14、（2x-）圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變），即可得到函數(shù)y=3sin（2x-）的圖象。y=sinxy=sin（x-）y=sin（2x-）y=3sin（2x-）?？偨Y(jié)參數(shù)A，函數(shù)yAsin(x)的影響。（1）振幅變化，由A的變化引起;（2）周期變化，由的變化引起;（3）相位變化，由或的變化引起。總之，對(duì)于三角函數(shù)圖像與性質(zhì)部分，我們沒(méi)有必要花費(fèi)大量的精力在較難題上，而應(yīng)把重點(diǎn)放在三角函數(shù)自身的性質(zhì)的理解和掌握上，注重落實(shí)課本中例題習(xí)題以及其變式、組合的應(yīng)用。熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的性質(zhì)，形狀、特點(diǎn)，并會(huì)用五點(diǎn)畫(huà)出函數(shù)的圖象；理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會(huì)用這兩種變換