淺談三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的教學

1、淺談三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的教學 江蘇省南通市如東縣岔河中學 胡文建 郵編226403 摘要：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的熱點，涉及的內(nèi)容包括三角函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性和周期性，這些都是三角函數(shù)的核心內(nèi)容。近年來,各級各類考試命題者不斷變換考查的角度,相繼推出了許多新穎別致,極富思考性和挑戰(zhàn)性的創(chuàng)新題型,給此類問題注入了新的活力。同學們重點要掌握的有關(guān)三角函數(shù)的知識有：y=sinx，y=cosx，y=tanx的定義域、值域（最值）、周期性、奇偶性、對稱性及單調(diào)性；y=Asin（x+）+k模型（圖象變換、性質(zhì)）及應(yīng)用。 關(guān)鍵字：高中數(shù)學；三角函數(shù)；圖像；性質(zhì)三角函數(shù)是高中數(shù)學的基本內(nèi)容

2、之一，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)（定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性）是三角函數(shù)的重點。函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)、解決函數(shù)相關(guān)問題的重要工具。通過解決函數(shù)圖象問題既能夠考查函數(shù)性質(zhì)的掌握情況，也能夠通過創(chuàng)設(shè)新的情景，考查創(chuàng)新和知識遷移能力，所以是各類考試的熱點問題。由于三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)有許多獨特的表現(xiàn)，因此近年來高考對三角部分的考查多集中在三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，重視對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識和技能的考查。 一、已知函數(shù)圖象求函數(shù)解析式方面的問題應(yīng)用函數(shù)圖象來解決問題，我們需要增強讀圖和識圖能力，捕捉圖象中包含的信息。從圖象的交點、極值點、范圍、位置、對稱軸和對稱中心、上升和下降等信息來判斷函數(shù)

3、的單調(diào)性、奇偶性、最值、定義域、值域等性質(zhì)。已知圖象求函數(shù)y=Asin(x+)（A>0, >0）的解析式，是“五點法”作圖的逆向思維問題，解題的關(guān)鍵在于利用圖象上的特殊點，確定參變量A、的值。本文就一般情況例析如下。  (一)A值的確定方法：A等于圖象中最高點的縱坐標減去最低點的縱坐標所得差的一半。(二)值的確定方法：  方法：在一個周期內(nèi)的五個“關(guān)鍵點”中，若任知其中兩點的橫坐標，則可先求出周期，然后據(jù)，求得的值。 方法：“特殊點坐標法”。特殊點包括曲線與坐標軸的交點、最高點和最低點等。在求出了A與的值之后，可由特殊點的坐標來確定的值。(三)值的確定方法：&#

4、160;方法：“關(guān)鍵點對等法”。確定了的值之后，把已知圖象上五個關(guān)鍵點之一的橫坐標代人x+，它應(yīng)與曲線sinx上對應(yīng)五點之一的橫坐標相等，由此可求得的值。此法最主要的是找準“對等的關(guān)鍵點”，我們知道曲線ysinx在區(qū)間0，2上的第一至第五個關(guān)鍵點的橫坐標依次為0、2，若設(shè)所給圖象與曲線y=sinx上對應(yīng)五點的橫坐標為XJ(J1,2,3,4,5),則順次有x1+0、x2+、x3+、x4+、x5+2,由此可求出的值。 方法2：“篩選選項法”，對于選擇題，可根據(jù)圖象的平移方向經(jīng)過篩選選項來確定的值。 方法3：“特殊點坐標法”。（與2中的方法2類同）。 (四)k值的確定方

5、法：|K|等于圖象向上或向下平移的長度，圖象上移時k為正值，下移時k為負值。 另外A、的值還可以通過“解方程（組）法”來求得。例如：圖1是函數(shù)2sin（x+）(，|)的圖象，那么正確的是（   ）  .,p   , ， ，解：可用“篩選選項法”。            題設(shè)圖象可看作由y2sinx的圖象向左平移而得到，所以0排除B和D，由A,C知；值的確定可用“關(guān)鍵點對等法”，圖1因點（,0）是“

6、五點法”中的第五個點，·+2，解得，故選C。 又如：圖2是函數(shù)yAsin(x+)圖象上的一段,（A0，0,（0，）,求該函數(shù)的解析式。解法一：觀察圖象易得A2,T2×（-），2,  y2sin(2x+)。下面用“關(guān)鍵點對等法”來求出的值,由2×+（用“第三點”），得，所求函數(shù)解析式為y2sin(2x+)。說明：若用“第二點”，可由2×+求得的值；若用“第五點”，可由2×+2，求得的值。 解法二：由解法一得到T=，=2后，可用“解方程組法”求得與A的值，點（0，）及點（，0）在圖象上，  

7、; 由(2)得，k-(kZ)，   又（0，)，   只有K1，得，代人（1）得A2。所求函數(shù)解析式為 y2sin(2x+)。 二、有關(guān)三角函數(shù)圖像對稱性方面的問題函數(shù)的奇偶性表現(xiàn)為其圖像對稱性（中心對稱或軸對稱），三角函數(shù)的圖像經(jīng)過伸縮或平移后，仍具有對稱的特征。一般地，基本三角函數(shù)sinx,cosx,tanx, cotx的圖像具有以下對稱性：y=sinx的圖像有無數(shù)條對稱軸 x=k+/2，無數(shù)多個對稱中心（k,0），k 。y=cosx的圖像有無數(shù)條對稱軸x=k，無數(shù)多個對稱中心k+/2，0，k。

8、60; y=tanx與y=cotx的圖像有無數(shù)多個對稱中心k/2，0，k。 例如，蘇教版三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)中1·3·1中的例2：求函數(shù)f(x)=cos2x的周期。解：設(shè)周期為T。f(x)=cos2x=cos(2x+2)，f(x+T)=cos2(x+T)，由f(x)= f(x+T)得，2x+2=2(x+T)，解得T=2/2= 函數(shù)f(x)=cos2x的周期。注意：運用了換元方法，u=2x；f(u)=cosu的(最小正)周期是2；即cosu=cos(u+2)；由于cos(2x+2) =cos2(x+T)對任一x的值都成立，所以2x+2=2(x+T)；f(x)= co

9、s2x的周期與f(u)=cosu的周期是兩個不同的概念?？偨Y(jié)：一般地，函數(shù)y=Asin(x+)及函數(shù)y=Acos(x+)（其中A，為常數(shù)，且A0，0）的周期T=。又如：已知函數(shù)y=sin(2x+)，求其圖象的對稱軸和對稱中心。解析：利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，由2x=k（kZ）可求得其圖象的對稱軸方程，由2x=k+（kZ）可求得其圖象的對稱中心。解：y=sin（2x+）=cos2x，由2x=k（kZ）得其圖象的對稱軸方程為x=，kZ；由2x=k+（kZ）得：x=+，kZ，其圖象的對稱中心為（+，0），kZ。三、與三角函數(shù)的圖象變換有關(guān)的問題在三角函數(shù)圖象的三種變換中，相位變換與周期變換比較復雜，稍有不

10、慎，極易出錯。關(guān)于三角函數(shù)圖象變換的位移問題，只需抓住函數(shù)圖象的“起點”變化，便可迎刃而解。這類問題多以選擇填空的形式出現(xiàn)。畫出三角函數(shù)y=Asin（x+）+k的圖象有兩種常用的方法：（1）“五點作圖法”，即令x+=0，/2，3/2，2時，求出相對應(yīng)的x的值及相應(yīng)的y的值，進而列表，描點，作出函數(shù)的圖象。這五個點是使得三角函數(shù)在一個周期內(nèi)取得極大值與極小值，以及曲線與x軸相交的點。（2）“圖象變換法”，即三角函數(shù)y=Asin（x+）+k的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過平移變換，周期變換，振幅變換等得到的。振幅變換：由A的變化引起的。即函數(shù)y=Asinx的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象上的所

11、有點的縱坐標伸長（A>1）或縮短。周期變換：由的變化引起的.即函數(shù)y=sinx的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象上的所有點的橫坐標伸長（0<<1）或縮短（>1）到原來的1D倍，縱坐標不變。 平移變換：包括左右平移（即相位變換）和上下平移。左右平移：即函數(shù)y=sin（x+）的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象上的所有點向左（>0）或向右（<0）平移|個單位。上下平移：即函數(shù)y=sinx+k的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象上的所有點向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|個單位。周期變換和振幅變換統(tǒng)稱為伸縮變換，在進行三角函數(shù)圖象變換時，因周期變換，振幅變

12、換，相位變換的順序不同而產(chǎn)生不同的變換方式。要注意雖然各種變換的順序可以是任意的，但在不同的變換順序下，平移的單位可能是不同的。例如，蘇教版三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)中1·3·3中的例1：若函數(shù)y=3sin（2x-）表示一個振動量:(1)求這個振動的振幅、周期、初相;(2)不用計算機和圖形計算器,畫出該函數(shù)的簡圖。解：(1) 函數(shù)y=3sin（2x-）的振幅為3,初相為,周期為.(2)方法一“五點法”：周期T=p,令X=2-則=+。列表： 2-0p2p3sin(2-) 03 0-30作圖：x1y=sin(x-)y=sin(2x-)y=3sin(2x-)y0方法二(先周期后相位)：

13、作出正弦曲線，并將曲線上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數(shù)y=sin2x的圖象；再將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)y=3sin（2x-）的圖象；再將函數(shù)y=sin（2x-）的圖象上每一點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標不變），即可得到函數(shù)y=3sin（2x-）的圖象。y=sinxy=sin2xy=sin（2x-）y=3sin（2x-）。方法三(先相位后周期)：作出正弦曲線，并將其向右平移個單位長度，得到函數(shù)y=sin（x-）的圖象;再將函數(shù)y=sin（x-）圖象上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數(shù)y=sin（2x-）的圖象;再將函數(shù)y=sin

14、（2x-）圖象上每一點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標不變），即可得到函數(shù)y=3sin（2x-）的圖象。y=sinxy=sin（x-）y=sin（2x-）y=3sin（2x-）?？偨Y(jié)參數(shù)A，函數(shù)yAsin(x)的影響。（1）振幅變化，由A的變化引起;（2）周期變化，由的變化引起;（3）相位變化，由或的變化引起?？傊?，對于三角函數(shù)圖像與性質(zhì)部分，我們沒有必要花費大量的精力在較難題上，而應(yīng)把重點放在三角函數(shù)自身的性質(zhì)的理解和掌握上，注重落實課本中例題習題以及其變式、組合的應(yīng)用。熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的性質(zhì)，形狀、特點，并會用五點畫出函數(shù)的圖象；理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會用這兩種變換