均勻帶電球體表面電場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算論文

1、摘 要 因此均勻帶電球體表面電場(chǎng)強(qiáng)度使用高斯定理不能獲得，因?yàn)楦咚苟ɡ硎且粋€(gè)幾何表面，表面電荷也利用幾何模型，當(dāng)高斯分割和表面電荷，表面電荷不能被視為一個(gè)幾何面，與普通物理的電磁學(xué)教材在討論均勻表面電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度分布不計(jì)算表面電場(chǎng)。本文介紹了疊加原理，點(diǎn)電荷球形均勻一個(gè)任意點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度值，表面磁場(chǎng)強(qiáng)度為球形面很近球形點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度平均值，并從外地疊加原理的兩種方法求出了均勻帶電球面電場(chǎng)強(qiáng)度值。關(guān)鍵詞： 帶點(diǎn)球面；電場(chǎng)強(qiáng)度；疊加原理；電荷面密度；高斯定理；突變Abstract pick due to uniform charged sphere surface electric field in

2、tensity using Gauss theorem cannot be obtained, because Gauss's theorem is a geometric surface, surface charge is also using the geometric model, when Gauss segmentation and surface charge, surface charge cannot be regarded as a geometric surface, and general physics electromagnetics teaching ma

3、terials in the discussion of uniform charged surface electric field intensity produced by distribution are not calculated spherical electric field intensity of. This paper introduces the principle of superposition of point charge and spherical uniform with an arbitrary point of the field strength va

4、lue, the surface field strength for spherical sides very near spherical point field strength average value, and from the field superposition principle by two kinds of method to seek out the uniformly charged spherical surface electric field strength value.Keywords: with spherical; electric field int

5、ensity; superposition principle; surface charge density; Gauss theorem; mutation目錄摘 要I AbstractII 引言1 1. 電場(chǎng)強(qiáng)度與電場(chǎng)的疊加原理的概念1 1.1 電場(chǎng)強(qiáng)度1 1.2 電場(chǎng)疊加原理1 2. 帶電面產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)1 3.用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理通過(guò)積分計(jì)算均勻帶電球面上的場(chǎng)強(qiáng)5 4. 用場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理計(jì)算帶電球面空間的電場(chǎng)強(qiáng)度6 4.1均勻帶電球面空間的場(chǎng)強(qiáng)6 4.2 均勻帶電半球面軸線上的場(chǎng)強(qiáng)9 4.3 不均勻帶電球體表面空間場(chǎng)強(qiáng)的分布11 4.3.1 分割帶電體積方法11 4.3.2立體角法13 5.均

6、勻帶電球面在介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)13 6.通過(guò)推演和分析的方法求均勻帶電球面上的電場(chǎng)強(qiáng)度17 7 小結(jié)18 8 參考文獻(xiàn).20 9 謝辭.21引言 電荷的面分布是一種理想化的模型，某點(diǎn)的電荷面密度被定義為該點(diǎn)附近單位面積內(nèi)的電荷量，一般用字母表示，=。討論帶點(diǎn)面電荷在空間產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分布是靜電學(xué)的一個(gè)最基本的問(wèn)題。其中均勻帶電面是一種理想的模型，也是最簡(jiǎn)單一種情況，幾乎在每本電磁學(xué)教材中都討論過(guò)，例如無(wú)限大均勻帶電平面外一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E=，再一個(gè)就是本文所要研究討論的均勻帶電球體表面電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算。1. 電場(chǎng)強(qiáng)度與電場(chǎng)的疊加原理的概念1.1 電場(chǎng)強(qiáng)度靜止點(diǎn)電荷Q激發(fā)的靜電場(chǎng)，把在電場(chǎng)中所要研究的點(diǎn)叫場(chǎng)

7、點(diǎn)。在場(chǎng)點(diǎn)中放置一個(gè)靜止的試探電荷q，有庫(kù)侖定律可知，它所受到的電場(chǎng)力為，其中不但與場(chǎng)點(diǎn)有關(guān)，而且與試探電荷q有關(guān)，但只和場(chǎng)點(diǎn)有關(guān)，我們將之稱為該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。以E為電場(chǎng)強(qiáng)度，其大小為。1.2 電場(chǎng)疊加原理 當(dāng)空間有兩個(gè)以上點(diǎn)電荷所激發(fā)的電場(chǎng)時(shí)，作用于該點(diǎn)的總電場(chǎng)強(qiáng)度等于其他點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)作用于該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和，這叫做場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理,其表達(dá)式為： = （2.1）2. 帶電面產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) 在計(jì)算半徑為R帶電量為Q的均勻帶電球體面上的電場(chǎng)強(qiáng)度分布時(shí)，絕大多 數(shù)電磁學(xué)教材中都是用高斯定理來(lái)求解的。它們都有意的忽略了球體表面上的電場(chǎng)強(qiáng)度，只計(jì)算了球體內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度。它們都是在講高斯定理的運(yùn)用時(shí)，

8、將它作為一個(gè)例題來(lái)講解的。由于在此種情況下，球體表面上的電荷分布是對(duì)稱的，在球面內(nèi)和球面外作高斯面就很容易求出球面內(nèi)和球面外的電場(chǎng)強(qiáng)度的分布。 假如均勻帶電球體半徑為R，電荷為Q，那么均勻帶電球體表面內(nèi)外的靜電場(chǎng)強(qiáng)如何計(jì)算呢？ 圖2.1均勻帶電球面幾何模型 在球外任取一點(diǎn)p，過(guò)p點(diǎn)作與帶電球面同心的球面M。從電荷分布的球?qū)ΨQ性出發(fā)，可以證明球面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向沿徑向，故M面的E通量=Eds = Eds = Eds = E4r ()其中E是E在方向上的投影，r是球面M的半徑。另一方面，球面M內(nèi)的電荷就是帶電球面的電荷q，由高斯定理有=Q/，故 E= . ()因E，故E=E=E，于是 E=

9、 . （2.2.3）設(shè)想把帶電球面的全部電荷Q置于球心成一點(diǎn)電荷，其電場(chǎng)強(qiáng)度的表示與（）式相同?？梢?，均勻帶電球體表面外任意一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)等于球面全部電荷集中于球心時(shí)在該點(diǎn)所激發(fā)的電場(chǎng)。過(guò)球面任一點(diǎn)作與帶電球面同心的球面,式（1）對(duì)同樣成立，但面內(nèi)電荷為零，故E4r =0，因而E=0.即 E=0 (r<R) ()和 E= （r>R） ()上面的計(jì)算并沒有涉及到球面上當(dāng)r=R時(shí)的情況，而且當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)從球面內(nèi)到球面外的過(guò)渡過(guò)程中電場(chǎng)強(qiáng)度E的表達(dá)式有一個(gè)突變，那么就無(wú)法用兩邊取極限的方式來(lái)求出球面上的電場(chǎng)強(qiáng)度了。幾乎所有的電磁學(xué)教材都有意回避了計(jì)算球面上的電場(chǎng)強(qiáng)度，我們?nèi)绻亚蛎姹旧碜鳛橐粋€(gè)高斯

10、面，就無(wú)法確定電荷是在球面內(nèi)還是球面外，這樣就無(wú)法用高斯定理來(lái)計(jì)算，這是由于電荷的面分布是一種理想化模型造成的。實(shí)際上，在現(xiàn)實(shí)中我們接觸到的帶電面總是有一定的厚度的, 那么我們?cè)诳罩腥我庖稽c(diǎn)所作的高斯面都可確定為面內(nèi)的電荷, 這時(shí)面上的電場(chǎng)強(qiáng)度是可以計(jì)算出來(lái)的。電場(chǎng)強(qiáng)度在均勻帶電球體表面上發(fā)生突變，場(chǎng)強(qiáng)的這種突變是由于對(duì)帶電球殼采用面模型的結(jié)果。面模型是當(dāng)我們不關(guān)心帶電薄球殼內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)及球殼附近的場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)的是否正確，將帶電薄球殼視為一個(gè)帶電幾何面的理想模型。當(dāng)知道帶電薄層內(nèi)的電荷密度時(shí)，層內(nèi)各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度就可以求出來(lái)。 假設(shè)均勻帶電量為q的薄球殼內(nèi)外半徑分別為,電荷體密度為，由高斯定理可求出其場(chǎng)

11、強(qiáng)E的分布：當(dāng)r<R時(shí)，E=0 當(dāng)R< r < R時(shí)，做高斯面S，如圖所示： 圖2.2 球殼與高斯面幾何模型 =() （） ES= E= () E=n （） 當(dāng)r >R時(shí)，E = n （）作電場(chǎng)隨r變化的曲線如圖所示，此曲線為一連續(xù)曲線。即帶電薄層內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)從一壁到另一壁是連續(xù)變化的，在任何地方都沒有突變。 圖2.3電場(chǎng)強(qiáng)度隨r的變化曲線如果保持球殼帶電量q和外半徑R不變，讓球殼內(nèi)半徑R不斷趨向與外半徑R，但是不能讓R=R，不管球殼多么薄，其電場(chǎng)強(qiáng)度分布曲線都是連續(xù)的。當(dāng)帶電球殼很薄并且我們不管球殼內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)及球殼附近的場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)的是否正確，將薄球殼視為帶電的幾何面，即： R

12、=R=R這時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度將在帶電面上發(fā)生突變（如圖所示），并且不能從（）式求得R處的電場(chǎng)強(qiáng)度。這時(shí)我們要得到電場(chǎng)隨r變化的全部情況，就需要知道球面上的電場(chǎng)強(qiáng)度。那么球面上任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度是否可以計(jì)算出來(lái)呢？電場(chǎng)強(qiáng)度隨r的變化會(huì)發(fā)生突變，而高斯定理適合于電荷分布具有某種對(duì)稱的情況下。均勻帶點(diǎn)球面雖然是球?qū)ΨQ性的，但是高斯定理求電場(chǎng)強(qiáng)度是過(guò)所求場(chǎng)強(qiáng)點(diǎn)作適合的高斯面，高斯面是一個(gè)幾何面，無(wú)論哪一種電荷（包括點(diǎn)電荷）與其相交都會(huì)被分為球面內(nèi)和球面外兩個(gè)部分，因此，對(duì)于所作高斯面來(lái)講，均勻帶電薄球殼不能再抽象為均勻帶電的幾何球面了，無(wú)法用高斯定理求出球面上的電場(chǎng)強(qiáng)度了。 既然無(wú)法用高斯定理不能完成任務(wù)，那

13、么對(duì)于理想化的均勻帶電球面上的場(chǎng)強(qiáng)又怎么求出呢? 最直接的方法也就是最基本的方法用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理通過(guò)積分的方法計(jì)算。3.用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理通過(guò)積分計(jì)算均勻帶電球面上的場(chǎng)強(qiáng)由于在大多數(shù)普通電磁學(xué)教材中，都只計(jì)算了球體內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)，而在球面上的場(chǎng)強(qiáng)都沒有給出，所以，在這里我們通過(guò)場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理，來(lái)計(jì)算球面上的電場(chǎng)強(qiáng)度。如圖3.1所示，均勻帶電球面上的電荷量為q，電荷面密度為， d R o .p x 圖3.1均勻帶電球面幾何模型 我們把球面分成無(wú)限多個(gè)帶電圓環(huán)球，位于到+d之間的球帶面積為 ds=2sind，所帶電量為dq=2sind，其中為球面的面電荷密度=。根據(jù)帶電圓環(huán)在其軸線上的場(chǎng)強(qiáng)公式可知，該球帶在

14、球面上P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為：dE = = = = （3.1） 方向沿 x 軸正向, 根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理, 帶電面上 P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)是所有這些帶電球帶在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)dE的矢量和。因?yàn)楦鱾€(gè)小圓環(huán)產(chǎn)生的的場(chǎng)強(qiáng)方向都相同, 矢量和變成代數(shù)和, 所以合場(chǎng)強(qiáng)是 dE的標(biāo)量積分：E= = = = = = = （3.2）我們通過(guò)場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理求出的均勻帶電球面上的場(chǎng)強(qiáng)和電磁學(xué)教材上給出的球面附近的場(chǎng)強(qiáng)一致，所以我們求出的結(jié)果的正確性是有保證的。4. 用場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理計(jì)算帶電球面空間的電場(chǎng)強(qiáng)度4.1均勻帶電球面空間的場(chǎng)強(qiáng)假如有一個(gè)均勻帶電球殼，半徑為R，它的總電荷為Q，相對(duì)于殼的半徑，它的厚度幾乎可以忽略，球殼表面

15、的面電荷密度為,如圖4.1所示： R y p r 圖4.1均勻帶電球殼空間模型 dA=2 （4.1） dQ=2 （4.2）從截面到p點(diǎn)的距離為r-Rcos角取值從0到那么就有 E= （4.3）令u=cos 則 （4.4）在球面上時(shí)，即R=r = = = = = = = = （4.5）由E=可得：在球面外，即r>R時(shí) 由圖可知 = （4.6）在球面內(nèi)，即R<r時(shí)可知： （4.7）綜上所述可知： （4.8） 4.2 均勻帶電半球面軸線上的場(chǎng)強(qiáng)有一個(gè)均勻帶電的半球面，它的半徑為R，電荷的面密度為，求球心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。我在這里求軸線任意一點(diǎn)p上的電場(chǎng)強(qiáng)度？4.2.1 分割帶電體積方法首先選

16、取坐標(biāo)軸ox沿半球面的對(duì)稱軸，如圖4.2所示，把半球面分成很多微小寬度的環(huán)帶，每一個(gè)環(huán)帶的面積為ds.ds= （4.9）小環(huán)上帶的電荷為： = （4.10）設(shè)小環(huán)帶到p點(diǎn)的距離為r，帶電截面與p點(diǎn)的距離為x； 根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理, 帶電面上 P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)是所有這些帶電球帶在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)dE的矢量和。因?yàn)楦鱾€(gè)小圓環(huán)產(chǎn)生的的場(chǎng)強(qiáng)方向都相同, 矢量和變成代數(shù)和, 由均勻帶電圓環(huán)在其軸線p點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)可知： 圖4.2均勻帶電半球面幾何模型= （4.11） x=r+Rcos y= Rsin 方向沿 x 軸正向。 （4.12） 所以和場(chǎng)強(qiáng)是 dE的標(biāo)量積分： （4.13） 令u= （4.14）當(dāng)=0時(shí)， u

17、=（r+R）=u當(dāng)=時(shí)， u=r+R=u （4.15）當(dāng)r=0時(shí)，即半球的球心處，此時(shí)該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為： （4.16）方向沿x軸方向。這與電磁學(xué)書上給出的結(jié)論一致，可以保證它的正確性。 4.3 不均勻帶電球體表面空間場(chǎng)強(qiáng)的分布在靜電學(xué)中，我們經(jīng)常可以見到均勻帶電球面空間場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算這類問(wèn)題，它是將現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題理想化的模型，但是在現(xiàn)實(shí)生活中，我們遇見的問(wèn)題比較復(fù)雜，就像我們要討論的問(wèn)題：不均勻帶電球面空間場(chǎng)強(qiáng)的分布問(wèn)題，例如我們會(huì)遇到帶電球面電荷密度為極角的余弦的函數(shù)的情況，因此，研究非均勻帶電球面場(chǎng)強(qiáng)分布對(duì)研究電荷分布有非常重要的意義。如圖所示，非均勻帶電球體表面一半帶正電荷，一半帶負(fù)電荷，在極

18、角處，電荷面密度的數(shù)值是余弦的函數(shù), 即 , 求其球面空間電場(chǎng)強(qiáng)度的分布。在這里我們用兩種方法來(lái)求解。4.3.1 分割帶電體積方法首先選取坐標(biāo)軸ox沿半球面的對(duì)稱軸，如圖4.3所示，把半球面分成很多微小寬度的環(huán)帶，每一個(gè)環(huán)帶的面積為ds. + + + + R+ + + - O - X - - - - - 圖4.3不均勻帶電球體幾何模型 ds= （4.17）小環(huán)上帶的電荷為： = （4.18）設(shè)小環(huán)帶到p點(diǎn)的距離為r，帶電截面與p點(diǎn)的距離為x； 根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理, 帶電面上 P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)是所有這些帶電球帶在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)dE的矢量和。因?yàn)楦鱾€(gè)小圓環(huán)產(chǎn)生的的場(chǎng)強(qiáng)方向都相同, 矢量和變成代數(shù)和, 由均

19、勻帶電圓環(huán)在其軸線p點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)可知： = （4.19） x=r-Rcos y= Rsin方向沿 x 軸正向。 （4.20）所以和場(chǎng)強(qiáng)是 dE的標(biāo)量積分： （4.21） 令u=兩邊同時(shí)求導(dǎo) 那么E= = = = （4.22）當(dāng)時(shí)，u=u當(dāng)時(shí)，u= （4.23）當(dāng)r=0時(shí)，即計(jì)算球心的場(chǎng)強(qiáng)。4.3.2立體角法在半球面上任取一個(gè)面元dS（如圖4.4），面元dS 所對(duì)應(yīng)的立體角為d 。 圖4.4不均勻帶電班球面幾何模型 則面元dS 在球心O 處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小dE 為：其中 （4.24）那么，整個(gè)球面上所有電荷元在球心O 處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)E的大小之和可以表示為: （4.25） 又 （4.26）5.均勻帶電

20、球面在介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng) 設(shè)電容率為的介質(zhì)球置于均勻外電場(chǎng)中,介質(zhì)球在外電場(chǎng)中極化，在它表面上產(chǎn)生束縛電荷。這些束縛電荷激發(fā)的電場(chǎng)疊加在原電場(chǎng)上,得總電場(chǎng).束縛電荷分布和總電場(chǎng)相互制約,邊界條件正確地反映這種制約關(guān)系.若球半徑,球外為真空。這個(gè)問(wèn)題具有軸對(duì)稱性，對(duì)稱軸為通過(guò)球心沿外電場(chǎng)方向的軸線，取此軸線為極軸。介質(zhì)球的存在使空間分為兩均勻區(qū)域球體區(qū)域和球內(nèi)區(qū)域。兩個(gè)區(qū)域內(nèi)部都沒有自由電荷，因此電勢(shì)都滿足拉普拉斯方程.以代表球外區(qū)域的電勢(shì)，代表球內(nèi)區(qū)域的電勢(shì).有公式（其中為勒讓德函數(shù)，和是任何常數(shù)，有邊界條件確定.），兩區(qū)域的通解為： （5.11a） （5.12a）（1）無(wú)窮遠(yuǎn)處， ,由易得 （5.

21、13a）因而 （5.14a）（2） =0處，應(yīng)為有限值，因此 （5.15a） （3） 在介質(zhì)球面上: （5.16a）把（5.11a）和（5.12a）式代入得 （5.17a）比較的系數(shù)得 （5.18a）有（5.18a）式解出 （5.19a）比較（5.17a）式其他項(xiàng)的系數(shù)可解出 （5.20a）所有常數(shù)已經(jīng)定出，因此本問(wèn)題的解為 （5.21a）所以 （5.22a）上式即為球體目標(biāo)的電場(chǎng)分布公式（現(xiàn)在討論此解的物理意義.由總是小于1，所以球內(nèi)電場(chǎng)比原來(lái)的電場(chǎng)為弱，這是由于介質(zhì)球極化后在右半球面上產(chǎn)生正束縛電荷，在左半球面上產(chǎn)生負(fù)束縛電荷，因而在球內(nèi)束縛電荷激發(fā)的場(chǎng)與原外場(chǎng)反向，使總電場(chǎng)減弱。b 設(shè)接

22、地?zé)o限大平面導(dǎo)體邊附近有一點(diǎn)電荷,從物理上分析，在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)作用下，導(dǎo)體板上出現(xiàn)感應(yīng)電荷分布。若為正的，則感應(yīng)電荷為負(fù)的。空間中的電場(chǎng)是由給定的點(diǎn)電荷以及導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷共同激發(fā)的，而另一方面感應(yīng)電荷分布又是在總電場(chǎng)作用下達(dá)到平衡的結(jié)果。平衡的條件就是導(dǎo)體的靜電條件，即導(dǎo)體表面為一等勢(shì)面.所以這問(wèn)題的邊界條件是 常數(shù)（導(dǎo)體面上）或者說(shuō)，電場(chǎng)線必須與導(dǎo)體平板垂直。我們?cè)O(shè)想，假設(shè)感應(yīng)電荷對(duì)空間電場(chǎng)的作用能用一個(gè)假想的電荷，然后把導(dǎo)體板抽去，若。則假想電荷與給定電荷激發(fā)的總電場(chǎng)具有對(duì)稱性，有對(duì)稱性容易看出，在原導(dǎo)體板平面上，電場(chǎng)線處處與它相交，因而邊界條件得到滿足。因此，導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷確實(shí)可

23、以用板下方一個(gè)假想電荷代替。稱為的鏡像電荷.導(dǎo)體板上部空間的電場(chǎng)可以看作原電荷與鏡像電荷共同激發(fā)的電場(chǎng).以表示到場(chǎng)點(diǎn)的距離，表示鏡像電荷到的距離。點(diǎn)的電勢(shì)為： (5.11b) 選到導(dǎo)體板上的投影點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)到導(dǎo)體板的距離為，有 （5.12b） （5.13b）C 設(shè)半徑為的帶電球面，面電荷密度為（為常數(shù)），球外充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，若球外電勢(shì)分別為，因球內(nèi)外電荷密度都為零，故滿足方程： （5.11c） （5.12c）邊界條件： 當(dāng) (5.13c)邊值關(guān)系： (5.14c) (5.15c)由對(duì)稱性及邊界條件，方程（1.11c）和（1.12c）的解可寫為： （5.16c） （5.17c）利

24、用邊值關(guān)系（5.14c）和(5.15c)，可得到：解得：求得：進(jìn)而求得球內(nèi)外電場(chǎng)：6.通過(guò)推演和分析的方法求均勻帶電球面上的電場(chǎng)強(qiáng)度 為求球面上 P 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng), 在球面上先取一個(gè)以 P 為圓心半徑 r 為趨近于無(wú)窮小的帶電圓面( 圓球面則趨近于平面) , 如圖6.1所示。這樣均勻的帶電球體表面就被分割為兩部分: 帶電圓面和帶電球面剩下的部分, 它們的帶電量分別為 和 。根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理可知, 在空間中任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)就等于 和 在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) 和 的矢量和。其中 P 點(diǎn)兩邊球面內(nèi)和面外的兩點(diǎn) A 和 B, A 和 B 到 P 點(diǎn)的距離都是比 r 高階的無(wú)窮小量, 相對(duì)于 A、B 的所在的位置小

25、圓平面可看作一個(gè)大的平面。取徑向方向即 A到 B 的方向?yàn)檎较?如圖， 則 A 和 B 的場(chǎng)強(qiáng)分別為: 圖6.1 E =E+E=+E （6.1） E =E+E=+E （6.2）而A在球面內(nèi)=0，B在球面外且無(wú)限趨于球面（r=R）， . （6.3） E=+E=0 即E= （6.4） E=+E= 即E= （6.5） 由于E =E=，即在A、B兩點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)相等, 所以在 A、B 兩點(diǎn)間的 P 處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)也是和A、B點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)相等的，即E=。再利用場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理得均勻帶電球面也就是和在p點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為： E=E+E=E+ （6.6） 而是均勻帶電圓平面, 由其對(duì)稱性易得在其圓心產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) E= 0 所以最后求得均勻帶電球面上的電場(chǎng)強(qiáng)度為: E= （6.7）這與電磁學(xué)教材中的習(xí)題