均勻帶電球體表面電場強的計算論文

1、摘 要 因此均勻帶電球體表面電場強度使用高斯定理不能獲得，因為高斯定理是一個幾何表面，表面電荷也利用幾何模型，當(dāng)高斯分割和表面電荷，表面電荷不能被視為一個幾何面，與普通物理的電磁學(xué)教材在討論均勻表面電荷產(chǎn)生的電場強度分布不計算表面電場。本文介紹了疊加原理，點電荷球形均勻一個任意點的磁場強度值，表面磁場強度為球形面很近球形點電場強度平均值，并從外地疊加原理的兩種方法求出了均勻帶電球面電場強度值。關(guān)鍵詞： 帶點球面；電場強度；疊加原理；電荷面密度；高斯定理；突變Abstract pick due to uniform charged sphere surface electric field in

2、tensity using Gauss theorem cannot be obtained, because Gauss's theorem is a geometric surface, surface charge is also using the geometric model, when Gauss segmentation and surface charge, surface charge cannot be regarded as a geometric surface, and general physics electromagnetics teaching ma

3、terials in the discussion of uniform charged surface electric field intensity produced by distribution are not calculated spherical electric field intensity of. This paper introduces the principle of superposition of point charge and spherical uniform with an arbitrary point of the field strength va

4、lue, the surface field strength for spherical sides very near spherical point field strength average value, and from the field superposition principle by two kinds of method to seek out the uniformly charged spherical surface electric field strength value.Keywords: with spherical; electric field int

5、ensity; superposition principle; surface charge density; Gauss theorem; mutation目錄摘 要I AbstractII 引言1 1. 電場強度與電場的疊加原理的概念1 1.1 電場強度1 1.2 電場疊加原理1 2. 帶電面產(chǎn)生的場強1 3.用場強疊加原理通過積分計算均勻帶電球面上的場強5 4. 用場強的疊加原理計算帶電球面空間的電場強度6 4.1均勻帶電球面空間的場強6 4.2 均勻帶電半球面軸線上的場強9 4.3 不均勻帶電球體表面空間場強的分布11 4.3.1 分割帶電體積方法11 4.3.2立體角法13 5.均

6、勻帶電球面在介質(zhì)中的場強13 6.通過推演和分析的方法求均勻帶電球面上的電場強度17 7 小結(jié)18 8 參考文獻.20 9 謝辭.21引言 電荷的面分布是一種理想化的模型，某點的電荷面密度被定義為該點附近單位面積內(nèi)的電荷量，一般用字母表示，=。討論帶點面電荷在空間產(chǎn)生的場強分布是靜電學(xué)的一個最基本的問題。其中均勻帶電面是一種理想的模型，也是最簡單一種情況，幾乎在每本電磁學(xué)教材中都討論過，例如無限大均勻帶電平面外一點的電場強度為E=，再一個就是本文所要研究討論的均勻帶電球體表面電場強度的計算。1. 電場強度與電場的疊加原理的概念1.1 電場強度靜止點電荷Q激發(fā)的靜電場，把在電場中所要研究的點叫場

7、點。在場點中放置一個靜止的試探電荷q，有庫侖定律可知，它所受到的電場力為，其中不但與場點有關(guān)，而且與試探電荷q有關(guān)，但只和場點有關(guān)，我們將之稱為該點的電場強度。以E為電場強度，其大小為。1.2 電場疊加原理 當(dāng)空間有兩個以上點電荷所激發(fā)的電場時，作用于該點的總電場強度等于其他點電荷單獨存在時作用于該點的電場強度的矢量和，這叫做場強的疊加原理,其表達式為： = （2.1）2. 帶電面產(chǎn)生的場強 在計算半徑為R帶電量為Q的均勻帶電球體面上的電場強度分布時，絕大多 數(shù)電磁學(xué)教材中都是用高斯定理來求解的。它們都有意的忽略了球體表面上的電場強度，只計算了球體內(nèi)外的電場強度。它們都是在講高斯定理的運用時，

8、將它作為一個例題來講解的。由于在此種情況下，球體表面上的電荷分布是對稱的，在球面內(nèi)和球面外作高斯面就很容易求出球面內(nèi)和球面外的電場強度的分布。 假如均勻帶電球體半徑為R，電荷為Q，那么均勻帶電球體表面內(nèi)外的靜電場強如何計算呢？ 圖2.1均勻帶電球面幾何模型 在球外任取一點p，過p點作與帶電球面同心的球面M。從電荷分布的球?qū)ΨQ性出發(fā)，可以證明球面上各點場強大小相等，方向沿徑向，故M面的E通量=Eds = Eds = Eds = E4r ()其中E是E在方向上的投影，r是球面M的半徑。另一方面，球面M內(nèi)的電荷就是帶電球面的電荷q，由高斯定理有=Q/，故 E= . ()因E，故E=E=E，于是 E=

9、 . （2.2.3）設(shè)想把帶電球面的全部電荷Q置于球心成一點電荷，其電場強度的表示與（）式相同。可見，均勻帶電球體表面外任意一點的場強等于球面全部電荷集中于球心時在該點所激發(fā)的電場。過球面任一點作與帶電球面同心的球面,式（1）對同樣成立，但面內(nèi)電荷為零，故E4r =0，因而E=0.即 E=0 (r<R) ()和 E= （r>R） ()上面的計算并沒有涉及到球面上當(dāng)r=R時的情況，而且當(dāng)場點從球面內(nèi)到球面外的過渡過程中電場強度E的表達式有一個突變，那么就無法用兩邊取極限的方式來求出球面上的電場強度了。幾乎所有的電磁學(xué)教材都有意回避了計算球面上的電場強度，我們?nèi)绻亚蛎姹旧碜鳛橐粋€高斯

10、面，就無法確定電荷是在球面內(nèi)還是球面外，這樣就無法用高斯定理來計算，這是由于電荷的面分布是一種理想化模型造成的。實際上，在現(xiàn)實中我們接觸到的帶電面總是有一定的厚度的, 那么我們在空中任意一點所作的高斯面都可確定為面內(nèi)的電荷, 這時面上的電場強度是可以計算出來的。電場強度在均勻帶電球體表面上發(fā)生突變，場強的這種突變是由于對帶電球殼采用面模型的結(jié)果。面模型是當(dāng)我們不關(guān)心帶電薄球殼內(nèi)的場強及球殼附近的場強表達的是否正確，將帶電薄球殼視為一個帶電幾何面的理想模型。當(dāng)知道帶電薄層內(nèi)的電荷密度時，層內(nèi)各點的電場強度就可以求出來。 假設(shè)均勻帶電量為q的薄球殼內(nèi)外半徑分別為,電荷體密度為，由高斯定理可求出其場

11、強E的分布：當(dāng)r<R時，E=0 當(dāng)R< r < R時，做高斯面S，如圖所示： 圖2.2 球殼與高斯面幾何模型 =() （） ES= E= () E=n （） 當(dāng)r >R時，E = n （）作電場隨r變化的曲線如圖所示，此曲線為一連續(xù)曲線。即帶電薄層內(nèi)的場強從一壁到另一壁是連續(xù)變化的，在任何地方都沒有突變。 圖2.3電場強度隨r的變化曲線如果保持球殼帶電量q和外半徑R不變，讓球殼內(nèi)半徑R不斷趨向與外半徑R，但是不能讓R=R，不管球殼多么薄，其電場強度分布曲線都是連續(xù)的。當(dāng)帶電球殼很薄并且我們不管球殼內(nèi)的場強及球殼附近的場強表達的是否正確，將薄球殼視為帶電的幾何面，即： R

12、=R=R這時電場強度將在帶電面上發(fā)生突變（如圖所示），并且不能從（）式求得R處的電場強度。這時我們要得到電場隨r變化的全部情況，就需要知道球面上的電場強度。那么球面上任意一點的電場強度是否可以計算出來呢？電場強度隨r的變化會發(fā)生突變，而高斯定理適合于電荷分布具有某種對稱的情況下。均勻帶點球面雖然是球?qū)ΨQ性的，但是高斯定理求電場強度是過所求場強點作適合的高斯面，高斯面是一個幾何面，無論哪一種電荷（包括點電荷）與其相交都會被分為球面內(nèi)和球面外兩個部分，因此，對于所作高斯面來講，均勻帶電薄球殼不能再抽象為均勻帶電的幾何球面了，無法用高斯定理求出球面上的電場強度了。 既然無法用高斯定理不能完成任務(wù)，那

13、么對于理想化的均勻帶電球面上的場強又怎么求出呢? 最直接的方法也就是最基本的方法用場強疊加原理通過積分的方法計算。3.用場強疊加原理通過積分計算均勻帶電球面上的場強由于在大多數(shù)普通電磁學(xué)教材中，都只計算了球體內(nèi)外的場強，而在球面上的場強都沒有給出，所以，在這里我們通過場強的疊加原理，來計算球面上的電場強度。如圖3.1所示，均勻帶電球面上的電荷量為q，電荷面密度為， d R o .p x 圖3.1均勻帶電球面幾何模型 我們把球面分成無限多個帶電圓環(huán)球，位于到+d之間的球帶面積為 ds=2sind，所帶電量為dq=2sind，其中為球面的面電荷密度=。根據(jù)帶電圓環(huán)在其軸線上的場強公式可知，該球帶在

14、球面上P點產(chǎn)生的場強大小為：dE = = = = （3.1） 方向沿 x 軸正向, 根據(jù)場強疊加原理, 帶電面上 P點的場強是所有這些帶電球帶在該點產(chǎn)生的場強dE的矢量和。因為各個小圓環(huán)產(chǎn)生的的場強方向都相同, 矢量和變成代數(shù)和, 所以合場強是 dE的標(biāo)量積分：E= = = = = = = （3.2）我們通過場強的疊加原理求出的均勻帶電球面上的場強和電磁學(xué)教材上給出的球面附近的場強一致，所以我們求出的結(jié)果的正確性是有保證的。4. 用場強的疊加原理計算帶電球面空間的電場強度4.1均勻帶電球面空間的場強假如有一個均勻帶電球殼，半徑為R，它的總電荷為Q，相對于殼的半徑，它的厚度幾乎可以忽略，球殼表面

15、的面電荷密度為,如圖4.1所示： R y p r 圖4.1均勻帶電球殼空間模型 dA=2 （4.1） dQ=2 （4.2）從截面到p點的距離為r-Rcos角取值從0到那么就有 E= （4.3）令u=cos 則 （4.4）在球面上時，即R=r = = = = = = = = （4.5）由E=可得：在球面外，即r>R時 由圖可知 = （4.6）在球面內(nèi)，即R<r時可知： （4.7）綜上所述可知： （4.8） 4.2 均勻帶電半球面軸線上的場強有一個均勻帶電的半球面，它的半徑為R，電荷的面密度為，求球心處的電場強度。我在這里求軸線任意一點p上的電場強度？4.2.1 分割帶電體積方法首先選

16、取坐標(biāo)軸ox沿半球面的對稱軸，如圖4.2所示，把半球面分成很多微小寬度的環(huán)帶，每一個環(huán)帶的面積為ds.ds= （4.9）小環(huán)上帶的電荷為： = （4.10）設(shè)小環(huán)帶到p點的距離為r，帶電截面與p點的距離為x； 根據(jù)場強疊加原理, 帶電面上 P點的場強是所有這些帶電球帶在該點產(chǎn)生的場強dE的矢量和。因為各個小圓環(huán)產(chǎn)生的的場強方向都相同, 矢量和變成代數(shù)和, 由均勻帶電圓環(huán)在其軸線p點產(chǎn)生的場強可知： 圖4.2均勻帶電半球面幾何模型= （4.11） x=r+Rcos y= Rsin 方向沿 x 軸正向。 （4.12） 所以和場強是 dE的標(biāo)量積分： （4.13） 令u= （4.14）當(dāng)=0時， u

17、=（r+R）=u當(dāng)=時， u=r+R=u （4.15）當(dāng)r=0時，即半球的球心處，此時該點的電場強度為： （4.16）方向沿x軸方向。這與電磁學(xué)書上給出的結(jié)論一致，可以保證它的正確性。 4.3 不均勻帶電球體表面空間場強的分布在靜電學(xué)中，我們經(jīng)?？梢砸姷骄鶆驇щ娗蛎婵臻g場強的計算這類問題，它是將現(xiàn)實中的問題理想化的模型，但是在現(xiàn)實生活中，我們遇見的問題比較復(fù)雜，就像我們要討論的問題：不均勻帶電球面空間場強的分布問題，例如我們會遇到帶電球面電荷密度為極角的余弦的函數(shù)的情況，因此，研究非均勻帶電球面場強分布對研究電荷分布有非常重要的意義。如圖所示，非均勻帶電球體表面一半帶正電荷，一半帶負(fù)電荷，在極

18、角處，電荷面密度的數(shù)值是余弦的函數(shù), 即 , 求其球面空間電場強度的分布。在這里我們用兩種方法來求解。4.3.1 分割帶電體積方法首先選取坐標(biāo)軸ox沿半球面的對稱軸，如圖4.3所示，把半球面分成很多微小寬度的環(huán)帶，每一個環(huán)帶的面積為ds. + + + + R+ + + - O - X - - - - - 圖4.3不均勻帶電球體幾何模型 ds= （4.17）小環(huán)上帶的電荷為： = （4.18）設(shè)小環(huán)帶到p點的距離為r，帶電截面與p點的距離為x； 根據(jù)場強疊加原理, 帶電面上 P點的場強是所有這些帶電球帶在該點產(chǎn)生的場強dE的矢量和。因為各個小圓環(huán)產(chǎn)生的的場強方向都相同, 矢量和變成代數(shù)和, 由均

19、勻帶電圓環(huán)在其軸線p點產(chǎn)生的場強可知： = （4.19） x=r-Rcos y= Rsin方向沿 x 軸正向。 （4.20）所以和場強是 dE的標(biāo)量積分： （4.21） 令u=兩邊同時求導(dǎo) 那么E= = = = （4.22）當(dāng)時，u=u當(dāng)時，u= （4.23）當(dāng)r=0時，即計算球心的場強。4.3.2立體角法在半球面上任取一個面元dS（如圖4.4），面元dS 所對應(yīng)的立體角為d 。 圖4.4不均勻帶電班球面幾何模型 則面元dS 在球心O 處產(chǎn)生的場強大小dE 為：其中 （4.24）那么，整個球面上所有電荷元在球心O 處產(chǎn)生的場強E的大小之和可以表示為: （4.25） 又 （4.26）5.均勻帶電

20、球面在介質(zhì)中的場強 設(shè)電容率為的介質(zhì)球置于均勻外電場中,介質(zhì)球在外電場中極化，在它表面上產(chǎn)生束縛電荷。這些束縛電荷激發(fā)的電場疊加在原電場上,得總電場.束縛電荷分布和總電場相互制約,邊界條件正確地反映這種制約關(guān)系.若球半徑,球外為真空。這個問題具有軸對稱性，對稱軸為通過球心沿外電場方向的軸線，取此軸線為極軸。介質(zhì)球的存在使空間分為兩均勻區(qū)域球體區(qū)域和球內(nèi)區(qū)域。兩個區(qū)域內(nèi)部都沒有自由電荷，因此電勢都滿足拉普拉斯方程.以代表球外區(qū)域的電勢，代表球內(nèi)區(qū)域的電勢.有公式（其中為勒讓德函數(shù)，和是任何常數(shù)，有邊界條件確定.），兩區(qū)域的通解為： （5.11a） （5.12a）（1）無窮遠(yuǎn)處， ,由易得 （5.

21、13a）因而 （5.14a）（2） =0處，應(yīng)為有限值，因此 （5.15a） （3） 在介質(zhì)球面上: （5.16a）把（5.11a）和（5.12a）式代入得 （5.17a）比較的系數(shù)得 （5.18a）有（5.18a）式解出 （5.19a）比較（5.17a）式其他項的系數(shù)可解出 （5.20a）所有常數(shù)已經(jīng)定出，因此本問題的解為 （5.21a）所以 （5.22a）上式即為球體目標(biāo)的電場分布公式（現(xiàn)在討論此解的物理意義.由總是小于1，所以球內(nèi)電場比原來的電場為弱，這是由于介質(zhì)球極化后在右半球面上產(chǎn)生正束縛電荷，在左半球面上產(chǎn)生負(fù)束縛電荷，因而在球內(nèi)束縛電荷激發(fā)的場與原外場反向，使總電場減弱。b 設(shè)接

22、地?zé)o限大平面導(dǎo)體邊附近有一點電荷,從物理上分析，在點電荷的電場作用下，導(dǎo)體板上出現(xiàn)感應(yīng)電荷分布。若為正的，則感應(yīng)電荷為負(fù)的?？臻g中的電場是由給定的點電荷以及導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷共同激發(fā)的，而另一方面感應(yīng)電荷分布又是在總電場作用下達到平衡的結(jié)果。平衡的條件就是導(dǎo)體的靜電條件，即導(dǎo)體表面為一等勢面.所以這問題的邊界條件是 常數(shù)（導(dǎo)體面上）或者說，電場線必須與導(dǎo)體平板垂直。我們設(shè)想，假設(shè)感應(yīng)電荷對空間電場的作用能用一個假想的電荷，然后把導(dǎo)體板抽去，若。則假想電荷與給定電荷激發(fā)的總電場具有對稱性，有對稱性容易看出，在原導(dǎo)體板平面上，電場線處處與它相交，因而邊界條件得到滿足。因此，導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷確實可

23、以用板下方一個假想電荷代替。稱為的鏡像電荷.導(dǎo)體板上部空間的電場可以看作原電荷與鏡像電荷共同激發(fā)的電場.以表示到場點的距離，表示鏡像電荷到的距離。點的電勢為： (5.11b) 選到導(dǎo)體板上的投影點作為坐標(biāo)原點，設(shè)到導(dǎo)體板的距離為，有 （5.12b） （5.13b）C 設(shè)半徑為的帶電球面，面電荷密度為（為常數(shù)），球外充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，若球外電勢分別為，因球內(nèi)外電荷密度都為零，故滿足方程： （5.11c） （5.12c）邊界條件： 當(dāng) (5.13c)邊值關(guān)系： (5.14c) (5.15c)由對稱性及邊界條件，方程（1.11c）和（1.12c）的解可寫為： （5.16c） （5.17c）利

24、用邊值關(guān)系（5.14c）和(5.15c)，可得到：解得：求得：進而求得球內(nèi)外電場：6.通過推演和分析的方法求均勻帶電球面上的電場強度 為求球面上 P 點的場強, 在球面上先取一個以 P 為圓心半徑 r 為趨近于無窮小的帶電圓面( 圓球面則趨近于平面) , 如圖6.1所示。這樣均勻的帶電球體表面就被分割為兩部分: 帶電圓面和帶電球面剩下的部分, 它們的帶電量分別為 和 。根據(jù)場強的疊加原理可知, 在空間中任一點的場強就等于 和 在該點產(chǎn)生的場強 和 的矢量和。其中 P 點兩邊球面內(nèi)和面外的兩點 A 和 B, A 和 B 到 P 點的距離都是比 r 高階的無窮小量, 相對于 A、B 的所在的位置小

25、圓平面可看作一個大的平面。取徑向方向即 A到 B 的方向為正方向,如圖， 則 A 和 B 的場強分別為: 圖6.1 E =E+E=+E （6.1） E =E+E=+E （6.2）而A在球面內(nèi)=0，B在球面外且無限趨于球面（r=R）， . （6.3） E=+E=0 即E= （6.4） E=+E= 即E= （6.5） 由于E =E=，即在A、B兩點產(chǎn)生的場強相等, 所以在 A、B 兩點間的 P 處產(chǎn)生的場強也是和A、B點的場強相等的，即E=。再利用場強的疊加原理得均勻帶電球面也就是和在p點產(chǎn)生的場強為： E=E+E=E+ （6.6） 而是均勻帶電圓平面, 由其對稱性易得在其圓心產(chǎn)生的場強 E= 0 所以最后求得均勻帶電球面上的電場強度為: E= （6.7）這與電磁學(xué)教材中的習(xí)題