多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

1、第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用教學(xué)與考試基本要求1 理解多元函數(shù)、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念，會求多元函數(shù)的定義域、二重極限；2 會求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分、全導(dǎo)數(shù)等；3 會求空間曲線的切線及法平面、空間曲面的切平面及法線方程；4 會用多元函數(shù)微分法解決簡單的最大值最小值問題8.1多元函數(shù)的概念一、主要內(nèi)容回顧二元函數(shù)定義設(shè)有變量和，如果當變量在一定范圍內(nèi)任取一組值時，變量按照一定的法則總有確定的值和它們對應(yīng)，則稱變量是變量的二元函數(shù)記作 或 其中變量稱為自變量，稱為因變量，自變量的取值范圍稱為函數(shù)的定義域二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)鄰域（1）點集稱為點的鄰域，記為稱為該鄰域的中心，稱為該鄰域

2、的半徑（2）點集稱為點的去心鄰域，記為內(nèi)點是平面上的點集，為一點，若存在，使，則稱是的內(nèi)點邊界點是平面上的點集，為一點，如果對于任意，內(nèi)既有中的點，又有不屬于的點，則稱是的邊界點的邊界點的全體，稱為的邊界注：邊界點可以屬于也可以不屬于開集如果點集中的點都是的內(nèi)點，則稱為開集連通集如果內(nèi)的任意兩點都可用中的折線連接起來，則稱為連通集開區(qū)域連通的開集閉區(qū)域開區(qū)域加上它的邊界有界區(qū)域如果一個區(qū)域內(nèi)的任意兩點的距離都不超過某一常數(shù)，則稱它為有界區(qū)域，否則稱為無界區(qū)域二重極限設(shè)二元函數(shù)在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果動點沿任意方式趨近于時，對應(yīng)的函數(shù)值總是趨近于一個確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)當時的極限，或稱

3、函數(shù)在點處收斂于，記為注意：如果點只是沿某一條或幾條特殊路徑趨向于，函數(shù)趨向于某一確定的值，不能判斷函數(shù)的極限存在；反過來，如果當沿不同的路徑趨于時， 趨于不同的值，就可判定在的極限不存在注：二重極限的運算與一元函數(shù)極限的運算完全一致連續(xù)（1）設(shè)二元函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)的定義，如果，則稱函數(shù)在處連續(xù)，并稱為的連續(xù)點（2）設(shè)二元函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)的定義，如果，則稱函數(shù)在處連續(xù)其中稱為在處的全增量（3）若函數(shù)在內(nèi)每一點都連續(xù)，稱函數(shù)在內(nèi)連續(xù)（4）函數(shù)的不連續(xù)點稱為函數(shù)的間斷點連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必為有界函數(shù)（2）有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必最大值和最小值（3）有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)

4、必取得介于函數(shù)最大值和最小值之間的任何值二、基本考試題型及配套例題題型I判斷題（1）若，則（ ）（2）若存在，都不存在，則不存在（ ）解（1）錯（2）對題型II填空題（1）函數(shù)的定義域是_（2）解（），所以（）題型III計算題（1）求；（2）求解（1）（2）因為，且由夾逼法則知，題型IV證明題（1） 證明不存在（2） 證明函數(shù)在的連續(xù)性證（1）因為，所以不存在（2）因為，所以，函數(shù)在處連續(xù)三、習(xí)題選解（習(xí)題81） 4確定下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）解（1）即，函數(shù)的定義域為（2），函數(shù)的定義域為（3），函數(shù)的定義域為（4），即或由知，而無解所

5、以，函數(shù)的定義域為（5），函數(shù)定義域為（6），函數(shù)定義域為（7），即，函數(shù)定義域為（8），函數(shù)的定義域為5求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解（1）（2）（3）（4）（5）（6）因為，所以6證明下列極限不存在：（1）；（2）證 (1)因為，所以不存在（2）因為，所以不存在8.2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、主要內(nèi)容回顧增量設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，（）當固定在而有增量時，稱為在處對的偏增量；（）當固定在而有增量時， 稱為在處對的偏增量；（）稱為在處的全增量一階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，（）若存在，則稱此極限為在處對的偏導(dǎo)數(shù)，記作，或（）若存在，則稱此極限為在處對的偏導(dǎo)數(shù)

6、，記作，或（）若在區(qū)域內(nèi)的每一點處對（或）的偏導(dǎo)數(shù)都存在，則這個偏導(dǎo)數(shù)為的函數(shù)，此函數(shù)稱為對（或）的偏導(dǎo)函數(shù)，記為（或）不致混淆時也稱偏導(dǎo)函數(shù)為偏導(dǎo)數(shù)幾何意義（）表示空間曲線在點的切線對軸的斜率；（）表示空間曲線在點的切線對軸的斜率二階偏導(dǎo)數(shù)若在區(qū)域內(nèi)的偏導(dǎo)函數(shù)仍在內(nèi)可導(dǎo)，則它們的偏導(dǎo)函數(shù)是的二階偏導(dǎo)數(shù)，分別是：，其中稱為的二階混合偏導(dǎo)數(shù)同理可定義三階及三階以上的偏導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)注意：混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序有關(guān)，但當在內(nèi)連續(xù)時，全微分設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果全增量可表示為其中不依賴于，僅與有關(guān)，則稱函數(shù)在點處可微，稱為在點的全微分，記作，即若函數(shù)在內(nèi)的每一點處

7、可微，稱函數(shù)的內(nèi)可微可微的性質(zhì)（）可微的必要條件：若在處可微，則在處可導(dǎo)，且（）可微的充分條件：若的偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)，則函數(shù)在該點必可微（）記，則二、基本考試題型及配套例題題型I判斷題（1）若在點處連續(xù)，則偏導(dǎo)數(shù)一定存在（）（2）若在點處可微，則偏導(dǎo)數(shù)一定連續(xù)（）解（）錯（）錯題型II計算題（1） 設(shè)，求及（2） 討論函數(shù)在點處的可導(dǎo)性，連續(xù)性與可微性解（1）（3） 因為，所以在處兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在又，故在處的極限不存在，從而在處不連續(xù)而當時，上式極限不存在，因而不是的高階無窮小，故在處不可微三、習(xí)題選解（習(xí)題82）1 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8

8、） 解（1），（2），（3），（4），（5），（6）為求，方程兩邊取對數(shù)，得，兩邊對求導(dǎo)，得，所以（7），（8） ，2 設(shè)，求解，3 曲線在處的切線與軸正向所成的傾斜角是多少？解，設(shè)切線與軸正向的傾斜角為， 則，4 ，求解因為，所以5 證明函數(shù)滿足方程：證，求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）解（1），（2）， ，（1）設(shè)，求；（2）設(shè)，求解（1），（2）， 求函數(shù)在點(10,8)處當時的全增量及全微分解，求函數(shù)當時在點(1,1)處的全微分解，11求函數(shù)在點(2,1)處的全微分解，12求下列函數(shù)的全微分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）解（1），（2）（3）（4），（5）

9、（6）13計算的近似值解設(shè)，取則，故8.3多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則一、主要內(nèi)容回顧復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（）若函數(shù)在點處對及對的偏導(dǎo)數(shù)存在，在對應(yīng)點對及對有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點處對及對的偏導(dǎo)數(shù)存在，且有公式； （）對亦有； （）對有； 全導(dǎo)數(shù)設(shè)，則復(fù)合函數(shù)是的一元函數(shù)，且，稱為關(guān)于的全導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（）設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則方程在點的某鄰域內(nèi)可惟一確定一個具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，滿足，且（）設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且則方程在的某鄰域內(nèi)可惟一確定一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，滿足，且；二、基本考試題型及配套例題題型I計算題（1）設(shè)，其中由方程確定，求（2）設(shè)是由方程確定，求

10、（3）設(shè)，其中具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求解（1）方程兩邊對求導(dǎo)，,得故（2）設(shè)，則，（3），題型II證明題設(shè)，而為可導(dǎo)函數(shù)，證明證，所以三、習(xí)題選解（習(xí)題83 ）1 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4）解（1）（）（3）（4）設(shè)，則，2 求下列函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：（1），其中； （2），其中；（3），其中解（1）（2）（3）3 設(shè)，證明證，4證明證 ，5求由下列方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）；（2）解（1）設(shè)，則，從而（2）設(shè)， 則，故6求由下列方程確定的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）解（1）設(shè)，則，從而（2）設(shè)，則同理，從而8.4偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用一、主要內(nèi)容回顧空間曲線的切

11、線及法平面（）設(shè)的參數(shù)方程為，其中都是的可導(dǎo)函數(shù)，當時，對應(yīng)曲線上的定點，不全為零，則在的切向量為，切線方程為法平面方程為（）若的方程為，都是的可導(dǎo)函數(shù)，則在的切向量為，切線方程為：法平面方程為：空間曲面的切平面及法線（）隱式方程情形：設(shè)曲面的方程為，為上的一點，在的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)且不全為零，則在的法向量為，切平面方程為：法線方程為：（）顯式方程情形：設(shè)曲面的方程為，為上的一點，在處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在的法向量為切平面方程為：法線方程為：二、基本考試題型及配套例題題型I計算題（1）求空間曲線上相應(yīng)于處的切線及法平面方程（2）求曲面在(2,1,0)處的切平面及法線方程解（1），切向量為，切點為，切線方

12、程為法平面方程為，即（2）設(shè)，則，法向量為1,2,0，切平面方程為，即法線方程為三、習(xí)題選解（習(xí)題84） 1求下列各曲線在指定點處的切線方程和法平面方程：（1），在時；（2），在時；（3），在時解（1），切點坐標為，切線的方向向量為， 切線方程為法平面方程為，即（2），切點坐標為，切向量為，切線方程為法平面方程為，即（3），切點坐標為，切線的方向向量為，切線方程為法平面方程為即2求下列各曲面在指定點處的切平面與法線方程：（1）在點(3,1,1)處；（2）在點處；（3）在點處解（1）設(shè)，則，在處，切平面方程為，即法線方程為（） 設(shè)，則在處，切平面方程為，即法線方程為（3），則切平面方程為，即法線

13、方程為3 在曲線上求出使該點的切線平行于平面的點解，設(shè)在參數(shù)為處的點的切線的方向向量與平面的法線向量垂直，則，解得，切點為和4 求曲線在點處的切線與法平面方程解設(shè)，則為曲線在切點的切向量，為球面在的法向量，為平面的法向量，切線方程為，法平面方程為，即5 求曲面上平行于平面的切平面方程解 設(shè)曲面上處的切平面平行于平面，令，則切平面的法向量為，且，而在曲面上，從而，解之得，此時切點為，將及代入中，得切平面方程為6求旋轉(zhuǎn)橢球面上點處的切平面與面的夾角的余弦解 設(shè)，則，7求曲面在點處的法向量與坐標軸的夾角解 ，法向量為，8試證曲面上作一點處的切平面在各坐標軸上截距之和等于證設(shè)，則，切平面方程為即它在三

14、坐標軸上的截距分別為從而8.5多元函數(shù)的極值及應(yīng)用一、主要內(nèi)容回顧極值設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)不同于的任意點，總有，則稱為函數(shù)的一個極大值（或極小值），點稱為極大值點（或極小值點）極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點駐點使的點稱為函數(shù)的駐點極值的必要條件設(shè)函數(shù)在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且在點處取得極值，則極值的充分條件設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，為函數(shù)的駐點，令，（1）若，則點是的極值點，且當時，點為極大值點，當時，點為極小值點；（2）若，則點不是的極值點；（3）若， 可能是的極值點，也可能不是的極值點函數(shù)的最大值與最小值在實際問題中，根據(jù)問

15、題的實際意義，可以判斷函數(shù)在區(qū)域上存在最大值或最小值，且一定在區(qū)域的內(nèi)部取得，而區(qū)域內(nèi)僅有一個駐點，則函數(shù)必在該駐點處取得最大值或最小值二、基本考試題型及配套例題題型I選擇題（1）滿足且的點一定是（）A駐點B極值點C最大值點D最小值點（2）二元函數(shù)的極小值點是（ ）A (0,0) B (2,2) C (0,2) D (2,0)解：（）（）的駐點為，在點，極大值點，在點，非極值點，在點，極小值點，在點，非極值點題型II應(yīng)用題（1）設(shè)長方體內(nèi)接于半徑為R的半球，問長方體各邊長是多少時其體積最大？最大體積是多少？（2）求函數(shù)的極值解（1）設(shè)球心在原點，長方體在第一卦限的頂點為，則長方體的長、寬、高分

16、別為，其體積為，而，故令解之得，此時即當長方體的長、寬、高分別為時，體積最大，最大體積為（2）令，解之得駐點，所以函數(shù)在取得極小值三、習(xí)題選解（習(xí)題85 ）1求下列函數(shù)的極值：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）令，解得駐點為(0,1),，函數(shù)的極小值為（2）令，解得駐點為(1,0)，函數(shù)有極小值（3）令，解得駐點為(0,0)和(1,1)，對(0,0)，不是極值點；對(1,1), ,為函數(shù)的極大值 （4）令，解得駐點為 (5,2)，為函數(shù)的極小值2將給定的正數(shù)分為三個正數(shù)之和，問這三個數(shù)各為多少時，它們的乘積最大？解（1）設(shè)分成的三個正數(shù)為，則積為，令得，即當分成的三個數(shù)相等時積最大3求內(nèi)接

17、于半徑為的球且有最大體積的長方體解設(shè)長方體在第一卦限的頂點坐標為，則，解聯(lián)立方程得駐點，此時即邊長均為的立方體體積最大4從斜邊長為的一切直角三角形中，求有最大周長的直角三角形解 設(shè)直角三角形的一條直角邊為，則另一條直角邊為，此時周長為，得，即為等腰直角三角形時周長最大5制作一個容積為的無蓋圓柱形容器，容器的高和底半徑各為多少時，所用材料最?。拷?設(shè)容器的高為，底半徑為，則，得，此時當高和底半徑相等時，所用材料最少6有一寬為24cm的長方形鐵板，把它的兩邊折起來，做成一個斷面為等腰梯形的水槽，問折起來的各面的寬及其傾斜角為多少時，才能使水槽斷面積最大？解 設(shè)折起來的邊長為，傾角為，則梯形的下底長為，上底長為，高為，斷面面積為，令解之得依題意知面積的最大值一定存在，又函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)只有一個駐點，所以當時斷面面積最大復(fù)習(xí)題八3計算下列各題：（1）設(shè)，求（2）設(shè)，求（3）已知，求（4）設(shè)，其中有一階偏導(dǎo)數(shù)，求（5）設(shè)，求（6）求曲面在點處的切平面方程解（1）；（2）設(shè)，則，（3）令，則，從而（4）設(shè)，（5），（6）設(shè)，切平面方程為，即4應(yīng)用題：（2）已知矩形的周長為，將它繞其一邊旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成一圓柱體，求所得圓柱體體積為最大的矩形解（2）設(shè)矩形的一邊為，則另一邊為，繞邊旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的圓柱體積為，即矩形的邊長分別為，且繞短邊旋